資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第03講 多邊形、多邊形的內角和
·模塊一 多邊形
·模塊二 多邊形的內角和
·模塊三 課后作業
1.多邊形的定義
在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.
2.正多邊形
各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．
3.多邊形的對角線
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
【要點】①從邊形一個頂點可以引(n－3)條對角線，將多邊形分成(n－2)個三角形；②n邊形共有條對角線.
【考點1 多邊形及其相關概念】
【例1.1】（2023八年級·江蘇南京·期末）下列圖形中，不是多邊形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【例1.2】（2023八年級·湖南長沙·期末）如圖，下面四邊形的表示方法：①四邊形ABCD；②四邊形ACBD；③四邊形ABDC；④四邊形ADCB．其中正確的有（　?。?br/>A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【例1.3】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，作出正五邊形的所有對角線，得到一個五角星，那么，在五角星含有的多邊形中（ ）
A．只有三角形 B．只有三角形和四邊形
C．只有三角形、四邊形和五邊形 D．只有三角形、四邊形、五邊形和六邊形
【變式1.1】（2023八年級·廣東汕頭·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形
B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內角或外角
C．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形
D．連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線
【變式1.2】（2023八年級·湖南長沙·期末）寫出下面多邊形的名稱：
(1) (2) (3)
【變式1.3】（2023八年級·江蘇無錫·期中）個六邊形、個五邊形共有 條邊．
【考點2 多邊形的對角線】
【例2.1】（2023八年級·江蘇南京·期末）如果從一個多邊形的一個頂點出發作它的對角線，最多能將多邊形分成2023個三角形，那么這個多邊形的邊數為 ．
【例2.2】（2023八年級·山東東營·期中）過n邊形的一個頂點可以畫出10條對角線，將它分成m個小三角形，則的值是 ．
【例2.3】（2023八年級·廣東東莞·期末）過邊形的一個頂點有條對角線，邊形沒有對角線，五邊形共有條對角線，則的值為 ．
【變式2.1】（2023八年級·廣東東莞·期末）若一個多邊形的邊數恰好是從一個頂點引出的對角線條數的2倍，則這個多邊形的邊數是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式2.2】（2023八年級·云南昆明·階段練習）我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條，如圖，有一個正五邊形木框，要使五邊形木架不變形，至少要釘 根木條．

【變式2.3】（2023八年級·廣東廣州·期中）過邊形的一個頂點有7條對角線，邊形沒有對角線，過邊形一個頂點的對角線條數是邊數的，則 .
【考點3 正多邊形】
【例3.1】（2023八年級·山東淄博·階段練習）下列圖形中，是正八邊形的是（ ）
A．B．C．D．
【例3.2】（2023八年級·山東東營·階段練習）一個正多邊形從一個頂點出發有3條對角線，它的周長為，則它的邊長為 ．
【例3.3】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，把邊長為12的正三角形ABC紙板剪去三個小正三角形（陰影部分），得到正六邊形DEFGHK，則剪去的小正三角形的邊長為 ．

【變式3.1】（2023八年級·全國·課前預習）下列敘述正確的是（ ）
A．每條邊都相等的多邊形是正多邊形；
B．如果畫出多邊形某一條邊所在的直線，這個多邊形都在這條直線的同一側，那么它一定是凹多邊形；
C．每個角都相等的多邊形叫正多邊形；
D．每條邊、每個角都相等的多邊形叫正多邊形
【變式3.2】（2023八年級·四川德陽·階段練習）下列圖形中不可能是正多邊形的是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．四邊形 D．梯形
【變式3.3】（2023八年級·四川內江·期末）如圖所示，①中多邊形（邊數為12）是由正三角形“擴展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴展”而來的，…，依此類推，則由正八邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為 ．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·湖北省直轄縣級單位·階段練習）將一張正方形的紙片減去一個角后，剩下紙片的角的個數為（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
【題型2】（2023·江西·期末）如圖，在邊長為的小正方形網格中，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形圖中①，②，③，④四個格點多邊形的面積分別記為下列說法正確的是（ ）

A． B． C． D．
【題型3】（2023八年級·全國·假期作業）將一個多邊形紙片沿一條直線剪下一個三角形后，變成一個六邊形，則原多邊形紙片的邊數不可能是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·湖南長沙·期末）從一個多邊形一邊上的一點（不是頂點）出發，分別連接這個點與各個頂點，可以把這個多邊形分割成若干個三角形，請你觀察下圖，并完成后面的填空.
當多邊形的邊數是4時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
當多邊形的邊數是5時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
當多邊形的邊數是6時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
……
你能看出多邊形邊數與分割成的三角形的個數之間有什么規律嗎？
【題型2】（2023八年級·安徽阜陽·期末）夏夏和數學小組的同學們研究多邊形對角線的相關問題，邀請你也加入其中，請仔細觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：
多邊形的頂點數 4 5 6 7 8 ……
從一個頂點出發的對角線的條數 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　
多邊形對角線的總條數 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　
(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數式將上面的表格填寫完整，其中①________；②________.
(2)拓展應用：
有一個76人的代表團，由于任務需要每兩人之間通1次電話（且只通1次電話），他們一共通了多少次電話
【題型3】（2023八年級·廣東東莞·期末）（1）如圖①，O為四邊形內一點，連接，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？

（2）如圖②，點O在五邊形的邊上（不與端點重合），連接，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？
（3）如圖③，過點A作六邊形的對角線，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？
（4）若是任意一個n（，且n為整數）邊形，上述三種情況分別可以將n邊形分割成多少個三角形？
1.多邊形的內角和公式
n邊形的內角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數) ．
2.多邊形的多邊形外角和
n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.
3.多邊形的邊數與內角和、外角和的關系
n邊形的內角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數n有關，每增加1條邊，內角和增加180°.
【考點1 多邊形的內角和】
【例1.1】（2023·廣西柳州·期末）蜂巢結構精巧，如圖是部分巢房的橫截面圖，形狀均為正六邊形．正六邊形的內角和是 ．
【例1.2】（2023八年級·云南昆明·期中）已知一個多邊形的內角和是，則這個多邊形的邊數是 ．
【例1.3】（2023八年級·吉林·期末）求出下面圖形中的值．
【變式1.1】（2023八年級·云南昭通·階段練習）多邊形的內角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】（2023八年級·重慶·階段練習）若五邊形的內角中有一個角為，則其余四個內角之和為 ．
【變式1.3】（2023八年級·浙江臺州·期末）已知九邊形的其余8個角的度數均為，那么第九個角的度數為 ．
【考點2 多邊形的外角和】
【例2.1】（2023·云南曲靖·期末）十二邊形的外角和為（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2023八年級·北京西城·開學考試）下列圖形中，內角和是外角和的二倍的多邊形是（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】（2023八年級·貴州黔西·階段練習）若一個多邊形的內角和與外角和之比是的5︰2，則這個多邊形的邊數是 ．
【變式2.1】（2023·云南文山·期末）一個多邊形的每個外角均為，則這個多邊形是（ ）
A．八邊形 B．七邊形 C．六邊形 D．五邊形
【變式2.2】（2023·陜西咸陽·期末）已知一個正多邊形的內角和與其外角和的和為，那么從這個正多邊形的一個頂點出發，可以作 條對角線．
【變式2.3】（2023八年級·廣東廣州·期中）一個多邊形的每一個外角都相等，且一個內角的度數是，則這個多邊形的邊數是 ．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·陜西安康·期中）如圖，小東在操場的中心位置，從點出發，每走向左轉，

(1)小東能否走回點處？若能，請求出小東一共走了多少米；若不能，請說明理由．
(2)小東走過的路徑是一個什么幾何圖形？并求這個幾何圖形的內角和．
【題型2】（2023八年級·上?！ふn后作業）一個多邊形的內角中,銳角的個數最多有 個.
【題型3】（2023八年級·福建泉州·期末）如圖，若正五邊形和長方形按如圖方式疊放在一起，則的度數為 ．

【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，正邊形紙片被撕掉一塊，若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【題型2】（2023八年級·湖北黃岡·期中）閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．
(1)這個“多加的銳角”是__________度．
(2)小明求的是幾邊形內角和？
(3)若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個內角是多少度？
【題型3】（2023八年級·河北保定·期末）如圖，甲、乙兩位同學用n個完全相同的正六邊形按如圖所示的方式拼成一圈后，使相鄰的兩個正六邊形有公共頂點，設相鄰兩個正六邊形外圈的夾角為，內圈的夾角為，中間會圍成一個正n邊形，關于n的值，甲的結果是或4，乙的結果是或6，則（ ）
A．甲的結果正確 B．乙的結果正確
C．甲、乙兩人的結果合在一起才正確 D．甲、乙兩人的結果合在一起也不正確
1．（2023八年級·廣東佛山·階段練習）在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．（2023八年級·山東淄博·期中）過邊形的一個頂點可以畫出7條對角線，將它分成個小三角形，則的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（2023八年級·江蘇連云港·期中）正十邊形的每一個內角的度數是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八年級·北京·階段練習）若正多邊形的內角和是，則該正多邊形的一個外角是（　?。?br/>A． B． C． D．
5．（2023·江蘇淮安·期末）如圖，由矩形和正六邊形構成的扳手截面中，的度數為（ ）

A． B． C． D．
6．（2023八年級·江蘇無錫·期中）一個正多邊形的內角和是，則這個多邊形的邊數 ．
7．（2023八年級·江蘇南京·期中）一個多邊形除了一個內角之外，其余各內角的度數和為1510°，則這個多邊形的邊數為 ．
8．（2023八年級·四川巴中·期末）如圖，將邊長相等的正八邊形與正五邊形的一邊重合，并讓正五邊形位于正八邊形內部，則 ．
9．（2023八年級·福建廈門·期中）有一程序，如果機器人在平地上按如圖所示的路線行走，那么機器人回到點行走的路程是 米．

10．（2023·湖南長沙·期末）小明用一些完全相同的三角形紙片（圖中△ABC）拼接圖案，已知用6個△ABC紙片按照圖1所示的方法拼接可得外輪廓是正六邊形的圖案，若按照圖2所示的方法拼接下去，則得到的圖案的外輪廓是正 邊形．
11．（2023八年級·河南許昌·階段練習）求圖中的x的值
(1)
(2)
12．（2023八年級·湖南長沙·期末）正多邊形的每條邊都相等，每個角都相等．已知正邊形的內角和為，邊長為2．
(1)求正邊形的周長；
(2)若正邊形的每個外角的度數比正邊形每個內角的度數小，求的值．
13．（2023八年級·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）小紅在求一個凸n邊形的內角和時，多算了一個角，求得的內角和為1920°
(1)多算進去的那個內角為多少度？
(2)求這個多邊形的邊數？
14．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內角后，得到一個內角和為2520°的新多邊形，求原多邊形的邊數．
15．（2023八年級·湖南長沙·期末）（1）已知一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍還多，求這個多邊形的邊數；
（2）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內角與一個外角的度數之比為，求這個多邊形的邊數．
16．（2023八年級·廣東東莞·期末）[應用意識]清晨，小明沿著一個五邊形廣場周圍的小路按逆時針方向跑步，如圖．

(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角，在圖上標出；
(2)他每跑一圈，身體轉過的角度之和是多少？
(3)你是怎么得到的？中小學教育資源及組卷應用平臺
第03講 多邊形、多邊形的內角和
·模塊一 多邊形
·模塊二 多邊形的內角和
·模塊三 課后作業
1.多邊形的定義
在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.
2.正多邊形
各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．
3.多邊形的對角線
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
【要點】①從邊形一個頂點可以引(n－3)條對角線，將多邊形分成(n－2)個三角形；②n邊形共有條對角線.
【考點1 多邊形及其相關概念】
【例1.1】（2023八年級·江蘇南京·期末）下列圖形中，不是多邊形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據多邊形的定義，逐項判斷，即可求解．
【詳解】解：A、該圖形是由4條線段首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項不符合題意；
B、該圖形是由5條線段首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項不符合題意；
C、該圖形是由線段、曲線首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它不是多邊形．故本選項符合題意；
D、該圖形是由5條線段首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了多邊形，熟練掌握由條線段首尾順次連接而成的封閉圖形是多邊形是解題的關鍵．
【例1.2】（2023八年級·湖南長沙·期末）如圖，下面四邊形的表示方法：①四邊形ABCD；②四邊形ACBD；③四邊形ABDC；④四邊形ADCB．其中正確的有（　?。?br/>A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【答案】B
【詳解】根據題意，結合圖形，
所給四邊形的表示方法正確的有：
①四邊形ABCD；④四邊形ADCB.
故選B.
點睛：本題主要考查的是四邊形的定義，熟練掌握四邊形的表示方法是解題的關鍵.
【例1.3】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，作出正五邊形的所有對角線，得到一個五角星，那么，在五角星含有的多邊形中（ ）
A．只有三角形 B．只有三角形和四邊形
C．只有三角形、四邊形和五邊形 D．只有三角形、四邊形、五邊形和六邊形
【答案】C
【分析】由正五邊形的性質和五角星的特點得出五角星含有的多邊形中，有三角形、四邊形和五邊形.
【詳解】解：根據題意得：在五角星含有的多邊形中,有三角形、四邊形和五邊形,故選C．
【點睛】本題考查了正五邊形的性質、五角星的特點,熟練掌握正五邊形的性質是解決問題的關鍵．
【變式1.1】（2023八年級·廣東汕頭·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形
B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內角或外角
C．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形
D．連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線
【答案】C
【分析】根據多邊形的概念，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、在平面內，由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，故本選項錯誤，不符合題意；
B、多邊形的一邊與另一邊組成的角叫做多邊形的內角，多邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角，故本選項錯誤，不符合題意；
C、各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形，故本選項正確，符合題意；
D、連接多邊形兩個頂點的線段，分為兩種類型是連接相鄰兩個頂點的線段是多邊形的邊，連接不相鄰的頂點的線段叫做多邊形的對角線，故本選項錯誤，不符合題意；
故選：C
【點睛】本題主要考查了多邊形的概念；多邊形內角、外角的概念；對角線的概念，熟練掌握由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形是解題的關鍵．
【變式1.2】（2023八年級·湖南長沙·期末）寫出下面多邊形的名稱：
(1) (2) (3)
【答案】 （1）五邊形；　 （2）三角形； （3）四邊形.
【詳解】分析：
根據所給圖形和多邊形的定義進行分析解答即可.
詳解：
題中所給3個多邊形分別是：
（1）五邊形；（2）三角形；（3）四邊形.
故答案為：（1）五邊形；（2）三角形；（3）四邊形.
點睛：知道“在多邊形中，邊數是n（n為不小于3的正整數）的多邊形被稱為n邊形”是解答本題的關鍵.
【變式1.3】（2023八年級·江蘇無錫·期中）個六邊形、個五邊形共有 條邊．
【答案】
【分析】由六邊形有六條邊，五邊形有五條邊，即可計算．
【詳解】解：∵個六邊形有條邊，個五邊形有條邊，
∴個六邊形、個五邊形共有條邊，
故答案為：.
【點睛】本題考查多邊形的概念，關鍵是掌握n邊形有n條邊．
【考點2 多邊形的對角線】
【例2.1】（2023八年級·江蘇南京·期末）如果從一個多邊形的一個頂點出發作它的對角線，最多能將多邊形分成2023個三角形，那么這個多邊形的邊數為 ．
【答案】2025
【分析】本題考查多邊形的有關知識，解題的關鍵是掌握，從邊形的一個頂點出發作它的對角線，將邊形分成個三角形．
【詳解】解：從邊形的一個頂點出發作它的對角線，將邊形分成個三角形，
，
，
故答案為：2025．
【例2.2】（2023八年級·山東東營·期中）過n邊形的一個頂點可以畫出10條對角線，將它分成m個小三角形，則的值是 ．
【答案】24
【分析】本題考查多邊形的對角線問題，根據過n邊形的一個頂點可以畫出條對角線，分成個三角形，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∴；
故答案為：24．
【例2.3】（2023八年級·廣東東莞·期末）過邊形的一個頂點有條對角線，邊形沒有對角線，五邊形共有條對角線，則的值為 ．
【答案】64
【分析】根據n邊形從一個頂點出發可引出（n-3）條對角線．而每條重復一次，所以n邊形對角線的總條數為：（n＞3，且n為整數）可得到m、k、n的值，進而可得答案．
【詳解】解：由題意得：n-3=2m，m=3，
解得m=3，n=9，
，
解得k=5，
則：（n-k）m=（9-5）3=64．
故答案為：64．
【點睛】此題主要考查了多邊形的對角線和有理數的乘方，關鍵是掌握對角線條數的計算公式．
【變式2.1】（2023八年級·廣東東莞·期末）若一個多邊形的邊數恰好是從一個頂點引出的對角線條數的2倍，則這個多邊形的邊數是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】設此多邊形有n條邊，則從一個頂點引出的對角線有（n-3）條，根據“一個多邊形的邊數恰好是從一個頂點引出的對角線條數的2倍”列出方程，解方程即可．
【詳解】設此多邊形有n條邊，由題意，得
n=2(n 3)，
解得n=6.
故此多邊形有6條邊.
故選A.
【點睛】此題考查多邊形的對角線，解題關鍵在于理解題意找出等量關系列出方程.
【變式2.2】（2023八年級·云南昆明·階段練習）我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條，如圖，有一個正五邊形木框，要使五邊形木架不變形，至少要釘 根木條．

【答案】2
【分析】
根據三角形具有穩定性，五邊形可以分成3個三角形，需要兩根木條．
【詳解】解：∵三角形具有穩定性，其它多邊形都不具有穩定性，
∴要使五邊形木架不變形，根據同一頂點出發的對角線把五邊形分成3個三角形，需連兩條對角線，每條對角線用一根木條，
∴至少要釘2根木條；
故答案為：2．
【點睛】本題考查三角形的穩定性．熟練掌握三角形具有穩定性，是解題的關鍵．
【變式2.3】（2023八年級·廣東廣州·期中）過邊形的一個頂點有7條對角線，邊形沒有對角線，過邊形一個頂點的對角線條數是邊數的，則 .
【答案】13
【分析】根據過n邊形一個頂點有n-3條對角線進行解答即可．
【詳解】解：∵過十邊形的一個頂點有7條對角線，∴m=10，
∵三角形沒有對角線，∴n=3，
又∵k-3= k，解得，k=6，
∴m-n+k=13，
故答案為13．
【點睛】本題考查的是多邊形的對角線的求法，掌握過n邊形一個頂點有n-3條對角線是解題的關鍵．
【考點3 正多邊形】
【例3.1】（2023八年級·山東淄博·階段練習）下列圖形中，是正八邊形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據正多邊形的定義判斷即可．
【詳解】解：由正八邊形的定義：即正八邊形有八條邊，且每個邊都相等，每個角都相等，由此可知，C選項中的圖形是正八邊形，
故選：C．
【點睛】本題考查了正多邊形的定義，正多邊形就是各邊相等，各角也相等的多邊形．
【例3.2】（2023八年級·山東東營·階段練習）一個正多邊形從一個頂點出發有3條對角線，它的周長為，則它的邊長為 ．
【答案】7
【分析】根據n邊形一個頂點可以引條對角線求出這個正多邊形的邊數，進而求出對應的邊長即可．
【詳解】解：設這個正多邊形的邊數為n，
由題意得，
解得，
∵這個正多邊形的周長為，
∴這個正多邊形的邊長為，
故答案為：7．
【點睛】本題主要考查了多邊形對角線條數問題，熟知n邊形一個頂點可以引條對角線是解題的關鍵．
【例3.3】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，把邊長為12的正三角形ABC紙板剪去三個小正三角形（陰影部分），得到正六邊形DEFGHK，則剪去的小正三角形的邊長為 ．

【答案】4
【分析】由題意可知剪去的三個三角形是全等的等邊三角形，可知得到剪去的小正三角的邊長為4．
【詳解】解：∵剪去三個三角形
∴AD=AE=DE，BK=BH=HK，CG=CF=GF，
∵六邊形DEFGHK是正六邊形，
∴DE=DK=HK=GH=GF=EF，
∴剪去的三個三角形是全等的等邊三角形；
∴AD=DK=BK==4，
∴剪去的小正三角形的邊長4．
故答案為：4．
【點睛】本題考查了等邊三角形以及正六邊形的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【變式3.1】（2023八年級·全國·課前預習）下列敘述正確的是（ ）
A．每條邊都相等的多邊形是正多邊形；
B．如果畫出多邊形某一條邊所在的直線，這個多邊形都在這條直線的同一側，那么它一定是凹多邊形；
C．每個角都相等的多邊形叫正多邊形；
D．每條邊、每個角都相等的多邊形叫正多邊形
【答案】D
【解析】每條邊、每個角都相等的多邊形叫正多邊形
【變式3.2】（2023八年級·四川德陽·階段練習）下列圖形中不可能是正多邊形的是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．四邊形 D．梯形
【答案】D
【分析】根據正多邊形的性質依次判定各項后即可解答.
【詳解】選項A，三角形中的等邊三角形是正三角形；
選項B，正方形是正四邊形；
選項C，四邊形中的正方形是正四邊形；
選項D，梯形的上底與下底不相等所以梯形不可能是正多邊形.
故選D.
【點睛】本題考查了正多邊形的性質，熟知每條邊都相等、每個角都相等的多邊形是正多邊形是解決問題的關鍵.
【變式3.3】（2023八年級·四川內江·期末）如圖所示，①中多邊形（邊數為12）是由正三角形“擴展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴展”而來的，…，依此類推，則由正八邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為 ．
【答案】72
【分析】①邊數是12=3×4，②邊數是20=4×5，依此類推，則由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為n（n+1）．
【詳解】解：∵①正三邊形“擴展”而來的多邊形的邊數是12=3×4，
②正四邊形“擴展”而來的多邊形的邊數是20=4×5，
③正五邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為30=5×6，
④正六邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為42=6×7，
∴正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為n（n+1）．
當n=8時，8（8+1）=72個，
故答案為72．
【點睛】本題考查圖形的變化類，首先要正確數出這幾個圖形的邊數，從中找到規律，進一步推廣．正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為n（n+1）是解題關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·湖北省直轄縣級單位·階段練習）將一張正方形的紙片減去一個角后，剩下紙片的角的個數為（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
【答案】D
【分析】分三種情況，畫出圖形，即可得出結果．
【詳解】解：如圖，減去一個角有三種情況，

∴剩下紙片的角的個數為3或4或5；
故選D．
【點睛】本題主要考查了在不同情況下正方形的不同剪法，做此題考慮要全面不要遺漏，解答此題應根據題意，結合圖形進行操作，進而得出結論．
【題型2】（2023·江西·期末）如圖，在邊長為的小正方形網格中，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形圖中①，②，③，④四個格點多邊形的面積分別記為下列說法正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意判斷格點多邊形的面積，依次將計算出來，再找到等量關系．
【詳解】觀察圖形可得
∴，
故選：．
【點睛】本題考查了新概念的理解，通過表格獲取需要的信息，找到關于面積的等量關系．
【題型3】（2023八年級·全國·假期作業）將一個多邊形紙片沿一條直線剪下一個三角形后，變成一個六邊形，則原多邊形紙片的邊數不可能是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根據一個邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是邊形或邊形或邊形即可得出答案．
【詳解】如圖可知，原來多邊形的邊數可能是5，6，7．不可能是8．
故選：．
【點睛】本題考查了多邊形，剪去一個角的方法可能有三種：經過兩個相鄰頂點，則少了一條邊；經過一個頂點和一邊，邊數不變；經過兩條領邊，邊數增加．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·湖南長沙·期末）從一個多邊形一邊上的一點（不是頂點）出發，分別連接這個點與各個頂點，可以把這個多邊形分割成若干個三角形，請你觀察下圖，并完成后面的填空.
當多邊形的邊數是4時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
當多邊形的邊數是5時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
當多邊形的邊數是6時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
……
你能看出多邊形邊數與分割成的三角形的個數之間有什么規律嗎？
【答案】3,4, 5,規律：多邊形的邊數比分割成的三角形的個數多1
【分析】由相應圖形得到分成的三角形的個數和多邊形的邊數的關系的規律即可．
【詳解】由圖中可以看出：四邊形被分為3個三角形，五邊形被分為4個三角形，六邊形被分成5個三角形，那么n邊形被分為（n-1）個三角形．
∵n-(n-1)=1，
∴多邊形的邊數比分割成的三角形的個數多1.
【點睛】解決本題的難點是得到分成的三角形的個數和多邊形的邊數的關系．
【題型2】（2023八年級·安徽阜陽·期末）夏夏和數學小組的同學們研究多邊形對角線的相關問題，邀請你也加入其中，請仔細觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：
多邊形的頂點數 4 5 6 7 8 ……
從一個頂點出發的對角線的條數 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　
多邊形對角線的總條數 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　
(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數式將上面的表格填寫完整，其中①________；②________.
(2)拓展應用：
有一個76人的代表團，由于任務需要每兩人之間通1次電話（且只通1次電話），他們一共通了多少次電話
【答案】(1)①，②
(2)他們一共通了2850次電話
【分析】（1）根據前面5個圖形歸納類推出一般規律，由此即可得出答案；
（2）將問題轉化為一個多邊形的頂點數為76個，求這個多邊形對角線的總條數與邊數之和，再結合（1）的結論即可得．
【詳解】（1）解：多邊形的頂點數為4時，從一個頂點出發的對角線的條數為，多邊形對角線的總條數為，
多邊形的頂點數為5時，從一個頂點出發的對角線的條數為，多邊形對角線的總條數為，
多邊形的頂點數為6時，從一個頂點出發的對角線的條數為，多邊形對角線的總條數為，
多邊形的頂點數為7時，從一個頂點出發的對角線的條數為，多邊形對角線的總條數為，
多邊形的頂點數為8時，從一個頂點出發的對角線的條數為，多邊形對角線的總條數為，
歸納類推得：當多邊形的頂點數為時，從一個頂點出發的對角線的條數為，多邊形對角線的總條數為（其中，且n為整數），
故答案為：，．
（2）解：由題意，將問題轉化為一個多邊形的頂點數為76個，求這個多邊形對角線的總條數與邊數之和，
則，
答：他們一共通了2850次電話．
【點睛】本題考查了多邊形的對角線條數問題，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．
【題型3】（2023八年級·廣東東莞·期末）（1）如圖①，O為四邊形內一點，連接，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？

（2）如圖②，點O在五邊形的邊上（不與端點重合），連接，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？
（3）如圖③，過點A作六邊形的對角線，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？
（4）若是任意一個n（，且n為整數）邊形，上述三種情況分別可以將n邊形分割成多少個三角形？
【答案】（1）4個，它與邊數相等．（2）4個，它等于邊數減1．（3）4個，它等于邊數減2．（4）若點在n邊形內部，則可以將n邊形分割成n個三角形；若點在n邊形的邊上（不與端點重合），則可以將邊形分割成個三角形；若點為邊形的頂點，則可以將邊形分割成個三角形．
【分析】（1）根據圖形，求解即可；
（2）依據題中的圖形，求解即可；
（3）依據題中的圖形，求解即可；
（4）根據前面三種情況求解即可．
【詳解】解：（1）由圖形可得，可以得到4個三角形，它與邊數相等；
（2）可以得到4個三角形，它等于邊數減1；
（3）可以得到4個三角形，它等于邊數減2；
（4）由前面的性質可得，若點在n邊形內部，則可以將n邊形分割成n個三角形；若點在n邊形的邊上（不與端點重合），則可以將邊形分割成個三角形；若點為邊形的頂點，則可以將邊形分割成個三角形．
【點睛】此題考查了多邊形的性質，解題的關鍵是理解題意，掌握多邊形的有關性質．
1.多邊形的內角和公式
n邊形的內角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數) ．
2.多邊形的多邊形外角和
n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.
3.多邊形的邊數與內角和、外角和的關系
n邊形的內角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數n有關，每增加1條邊，內角和增加180°.
【考點1 多邊形的內角和】
【例1.1】（2023·廣西柳州·期末）蜂巢結構精巧，如圖是部分巢房的橫截面圖，形狀均為正六邊形．正六邊形的內角和是 ．
【答案】720
【分析】本題考查了多邊形內角和，根據內角和公式：（其中n表示多邊形的邊數），即可完成求解．掌握多邊形內角和公式是關鍵．
【詳解】解：正六邊形的內角和為：，
故答案為：720．
【例1.2】（2023八年級·云南昆明·期中）已知一個多邊形的內角和是，則這個多邊形的邊數是 ．
【答案】15/十五
【分析】
本題考查多邊形得內角和，根據多邊形的內角和公式，進行求解即可．
【詳解】解：設所求n邊形邊數為n，
則，
解得．
故這個多邊形的邊數是15．
故答案為：15．
【例1.3】（2023八年級·吉林·期末）求出下面圖形中的值．
【答案】
【分析】本題考查多邊形內角和公式，根據多邊形內角和公式，數形結合列方程求解即可得到答案，數據多邊形內角和公式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：由圖可知，
∴．
【變式1.1】（2023八年級·云南昭通·階段練習）多邊形的內角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了多邊形的內角和定理，對于定理的理解是解決本題的關鍵．
n邊形的內角和是，即多邊形的內角和一定是180的正整數倍，依此即可解答．
【詳解】解：不能被整除，一個多邊形的內角和不可能是．
故選：B．
【變式1.2】（2023八年級·重慶·階段練習）若五邊形的內角中有一個角為，則其余四個內角之和為 ．
【答案】
【分析】本題考查多邊形的內角和，熟練掌握內角和公式是解題的關鍵．
【詳解】解：．
故答案為：．
【變式1.3】（2023八年級·浙江臺州·期末）已知九邊形的其余8個角的度數均為，那么第九個角的度數為 ．
【答案】/100度
【分析】
本題考查多邊形內角和，熟練掌握多邊形內角和的求法是解題的關鍵．
先求出九邊形的內角和，再減去8個內角的度數即可．
【詳解】解：九邊形的內角和為，8個內角的度數為，
第九個角的度數為．
故答案為：．
【考點2 多邊形的外角和】
【例2.1】（2023·云南曲靖·期末）十二邊形的外角和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查多邊形的外角和，根據多邊形的外角和為360度，判斷即可．
【詳解】解：十二邊形的外角和為；
故選B．
【例2.2】（2023八年級·北京西城·開學考試）下列圖形中，內角和是外角和的二倍的多邊形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形內角與外角，熟記公式并列方程求出多邊形的邊數是解題的關鍵．
根據多邊形的內角和公式以及多邊形的外角和等于列方程求出邊數，從而得解．
【詳解】解：設多邊形邊數為n，
由題意得，，
解得，
所以，這個多邊形是六邊形．
故選：D．
【例2.3】（2023八年級·貴州黔西·階段練習）若一個多邊形的內角和與外角和之比是的5︰2，則這個多邊形的邊數是 ．
【答案】7
【分析】設這個多邊形的邊數是n，則內角和為，然后根據外角和是360度，即可求得邊數．
【詳解】解：設這個多邊形的邊數是n，則
∴
解得；
故答案為：7．
【點睛】本題考查了多邊形的計算，理解多邊形的外角和是360度，外角和不隨邊數的變化而變化是關鍵．
【變式2.1】（2023·云南文山·期末）一個多邊形的每個外角均為，則這個多邊形是（ ）
A．八邊形 B．七邊形 C．六邊形 D．五邊形
【答案】D
【分析】本題主要考查的是多邊形的內角和與外角和，然后根據外角和為360°即可求得多邊形的邊數．
【詳解】解：∵多邊形外角和為，
∴多邊形的外角個數為：，
∴ 這個多邊形是五邊形．
故選：D．
【變式2.2】（2023·陜西咸陽·期末）已知一個正多邊形的內角和與其外角和的和為，那么從這個正多邊形的一個頂點出發，可以作 條對角線．
【答案】9
【分析】此題主要考查了多邊形的外角和以及內角和計算公式求多邊形的邊數，關鍵是掌握多邊形的內角和公式．首先根據多邊形外角和求出內角和的度數，再利用內角和公式可得多邊形的邊數，再計算出對角線的條數．
【詳解】解：多邊形的外角和都是，
內角和等于，
設這個多邊形有條邊，
，解得：，
從這個正多邊形的一個頂點出發，可以作條對角線．
故答案為：9．
【變式2.3】（2023八年級·廣東廣州·期中）一個多邊形的每一個外角都相等，且一個內角的度數是，則這個多邊形的邊數是 ．
【答案】12
【分析】本題考查正多邊形的外角和與內角和．由多邊形的內角與外角互補求得外角的度數，再由正多邊形的外角和為360°，可得到答案．
【詳解】解：∵多邊形的每一個外角都相等，
∴多邊形為正多邊形，
∵外角與內角互補，
∴外角度數為，
∵正多邊形的外角和為，
∴多邊形一共有條邊
故答案為：12．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·陜西安康·期中）如圖，小東在操場的中心位置，從點出發，每走向左轉，

(1)小東能否走回點處？若能，請求出小東一共走了多少米；若不能，請說明理由．
(2)小東走過的路徑是一個什么幾何圖形？并求這個幾何圖形的內角和．
【答案】(1)能，小東一共走了
(2)正六邊形，正六邊形的內角和為
【分析】本題考查的是多邊形的外角和定理應用，內角和定理的應用，理解題意是解本題的關鍵；
（1）由每次向左轉，結合回到出發點共轉過可得答案；
（2）由形成的六邊形的每一條邊都相等，每一個角都相等，可得多邊形的形狀，再求解內角和即可．
【詳解】（1）解：∵從點出發，每走向左轉，
，
小東一共走了：（）；
（2）∵由（1）得多邊形有六條邊，且每一條邊都相等，
由每個外角都為，可得六邊形的每一個角都相等，
∴走過的路徑是一個邊長為的正六邊形；
∴正六邊形的內角和為：．
【題型2】（2023八年級·上?！ふn后作業）一個多邊形的內角中,銳角的個數最多有 個.
【答案】3
【分析】根據多邊形的外角和為360°可得多邊形外角最多有3個鈍角，再利用多邊形的內角與外角互為鄰補角即可得答案.
【詳解】∵一個多邊形的外角和360度，
∴外角最多可以有3個鈍角，
又∵多邊形的內角與外角互為鄰補角，
∴一個多邊形中，它的內角最多可以有3個銳角．
故答案為3．
【點睛】考查了多邊形內角與外角，考慮多邊形的內角的問題，由于內角和不確定，而外角和是一個定值，因而轉化為考慮外角和的問題比較簡單．
【題型3】（2023八年級·福建泉州·期末）如圖，若正五邊形和長方形按如圖方式疊放在一起，則的度數為 ．

【答案】36
【分析】先求出正五邊形的內角和，可得出每個內角的度數，利用三角形的外角得出，再求出，即可得到答案．
【詳解】解：∵正五邊形內角和為：，
∴，
∵長方形中，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：36．
【點睛】本題考查多邊形的內角和，三角形的外角，正確理解題意是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，正邊形紙片被撕掉一塊，若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】本題考查了多邊形的內角和外角和，延長、交于點，根據得到，于是可以得到正多邊形的一個外角為，進而可得正多邊形的邊數，掌握相關定義是解題的關鍵．
解：如圖，延長，交于點，

，
，
正多邊形的一個外角為，
，
故選：．
【題型2】（2023八年級·湖北黃岡·期中）閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．
(1)這個“多加的銳角”是__________度．
(2)小明求的是幾邊形內角和？
(3)若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個內角是多少度？
【答案】(1)
(2)小明求的是邊形內角和
(3)這個正多邊形的一個內角是
【分析】本題考查了多邊形的內角和，一元一次方程的應用．熟練掌握多邊形的內角和，一元一次方程的應用是解題的關鍵．
（1）由題意知，多邊形的內角和為，是的整數倍，根據，計算求解即可；
（2）由題意知，，計算求解即可；
（3）根據這個正多邊形的一個內角是，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，多邊形的內角和為，是的整數倍，
∴這個“多加的銳角”是 ，
故答案為：；
（2）解：由題意知，，
解得，，
∴小明求的是邊形內角和；
（3）解：由題意知，這個正多邊形的一個內角是，
∴這個正多邊形的一個內角是．
【題型3】（2023八年級·河北保定·期末）如圖，甲、乙兩位同學用n個完全相同的正六邊形按如圖所示的方式拼成一圈后，使相鄰的兩個正六邊形有公共頂點，設相鄰兩個正六邊形外圈的夾角為，內圈的夾角為，中間會圍成一個正n邊形，關于n的值，甲的結果是或4，乙的結果是或6，則（ ）
A．甲的結果正確 B．乙的結果正確
C．甲、乙兩人的結果合在一起才正確 D．甲、乙兩人的結果合在一起也不正確
【答案】C
【分析】本題考查了多邊形的內角與外角，正六邊形的一個內角為，根據周角的定義有，，得，再討論即可得n的值．
【詳解】解：正六邊形的一個內角為，
，
為正n邊形的一個內角的度數，
，
當時，，則；
當時，，則；
當時，，則；
當時，，則．
故n的值為3或4或5或6．故選C．
1．（2023八年級·廣東佛山·階段練習）在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題考查多邊形定義，根據多邊形定義，逐個驗證即可得到答案．
【詳解】解：所示的圖形中，第一個是三角形、第二個是四邊形、第三個是圓、第四個是正六邊形、第五個是正方體，
是多邊形的有第一個、第二個、第四個，共有3個，
故選：C．
2．（2023八年級·山東淄博·期中）過邊形的一個頂點可以畫出7條對角線，將它分成個小三角形，則的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】本題考查多邊形的對角線．根據邊形過一個頂點能畫出對角線的條數為：進行計算即可，對角線將多邊形分成個三角形，進行計算出．
【詳解】解：由題意可得：，，
，
．
故選：D．
3．（2023八年級·江蘇連云港·期中）正十邊形的每一個內角的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了正多邊形的性質，熟練掌握多邊形內角和公式是解題的關鍵．根據正多邊形的每個內角都相等和多邊形內角和公式進行列式求解即可．
【詳解】解：正十邊形的每個內角的度數是：
，
故選：A．
4．（2023八年級·北京·階段練習）若正多邊形的內角和是，則該正多邊形的一個外角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了多邊形的內角和與外角和之間的關系，根據多邊形的內角和公式求出多邊形的邊數，再根據多邊形的外角和是，依此可以求出多邊形的一個外角．
【詳解】解：∵正多邊形的內角和是，
∴多邊形的邊數為，
∵多邊形的外角和都是，
∴該正多邊形的每個外角為．
故選：B．
5．（2023·江蘇淮安·期末）如圖，由矩形和正六邊形構成的扳手截面中，的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了正多邊形的內角，以及周角為，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形的內角度數，
先求出正多邊形的內角度數，再利用矩形的一個直角和正多邊形的一個內角以及組成了一個周角，即可求解；
【詳解】解：正六邊形的外角度數為：，
故正六邊形的內角度數為：
故選：A
6．（2023八年級·江蘇無錫·期中）一個正多邊形的內角和是，則這個多邊形的邊數 ．
【答案】10
【分析】本題考查了多邊形的內角和公式，熟記公式是解題的關鍵．根據多邊形的內角和公式列式求解即可．
【詳解】解：設這個多邊形的邊數是，
則，
解得．
故答案為：10．
7．（2023八年級·江蘇南京·期中）一個多邊形除了一個內角之外，其余各內角的度數和為1510°，則這個多邊形的邊數為 ．
【答案】11
【分析】直接利用多邊形內角和公式列出不等式組進行求解即可．
【詳解】解：設這個多邊形邊數為n，
，
∴，
∵n是整數，
∴，
故答案為11．
【點睛】本題考查了多邊形的內角和公式，解題關鍵是牢記公式，列出不等式組．
8．（2023八年級·四川巴中·期末）如圖，將邊長相等的正八邊形與正五邊形的一邊重合，并讓正五邊形位于正八邊形內部，則 ．
【答案】
【分析】先求出正八邊形與正五邊形的內角，之后得出的度數，根據是等腰三角形即可求出．
【詳解】解：如圖，
正八邊形的內角為，即，
正五邊形的內角為，即，
,
是等腰三角形
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查正多邊形的內角，等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的性質以及正多邊形內角是解題的關鍵．
9．（2023八年級·福建廈門·期中）有一程序，如果機器人在平地上按如圖所示的路線行走，那么機器人回到點行走的路程是 米．

【答案】12
【分析】利用多邊形的外角和等于，可知機器人回到點時，恰好沿著邊形的邊走了一圈，即可求得路程．
【詳解】解：米．
故答案為：12．
【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理．任何一個多邊形的外角和都是，用外角和求正多邊形的邊數直接讓除以一個外角即可．
10．（2023·湖南長沙·期末）小明用一些完全相同的三角形紙片（圖中△ABC）拼接圖案，已知用6個△ABC紙片按照圖1所示的方法拼接可得外輪廓是正六邊形的圖案，若按照圖2所示的方法拼接下去，則得到的圖案的外輪廓是正 邊形．
【答案】九
【分析】本題主要考查了多邊形的外角的性質與內角的性質等知識點，先求出的度數，再求出圖2中正多邊形的每一個內角的度數，進而求出答案，熟記正多邊形的性質是解題的關鍵．
【詳解】如圖1，

∵正六邊形的每一個內角為，
∴，
∴圖2中正多邊形的每一個內角為，

，
故答案為：九．
11．（2023八年級·河南許昌·階段練習）求圖中的x的值
(1)
(2)
【答案】(1)80
(2)110
【分析】本題主要考查了多邊形內角和定理：
（1）根據四邊形內角和為360度列出方程求解即可；
（2）根據五邊形內角和為列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，，
解得；
（2）解：由題意得，，
解得．
12．（2023八年級·湖南長沙·期末）正多邊形的每條邊都相等，每個角都相等．已知正邊形的內角和為，邊長為2．
(1)求正邊形的周長；
(2)若正邊形的每個外角的度數比正邊形每個內角的度數小，求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本題主要考查多邊形內角和外角和的相關知識．
（1）根據多邊形的內角和公式列式進行計算求得邊數．
（2）根據（1）求出正邊形每個內角的度數，正n邊形的每個外角的度數，根據多邊形的外角和為解題即可．
【詳解】（1）解：由題意可得，解得．
正x邊形的周長為；
（2）正邊形每個內角的度數為，
正n邊形的每個外角的度數為，
，
∴n的值為5．
13．（2023八年級·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）小紅在求一個凸n邊形的內角和時，多算了一個角，求得的內角和為1920°
(1)多算進去的那個內角為多少度？
(2)求這個多邊形的邊數？
【答案】(1)120度
(2)12邊
【分析】（1）根據多邊形的內角和應為180的整數倍即可求解；
（2）根據多邊形的內角和公式即可進行求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴多算進去的內角度數：；
（2）右（1）可知，多算進去的內角為，
∴這個多邊形的內角和為：，
，解得：，
∴這個多邊形邊數為12．
【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，解題的關鍵是掌握多邊形的內角和為180的整數倍以及多邊形的內角和公式．
14．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內角后，得到一個內角和為2520°的新多邊形，求原多邊形的邊數．
【答案】15
【分析】根據多邊形內角和公式，可得新多邊形的邊數，根據新多邊形比原多邊形多1條邊，可得答案．
【詳解】設新多邊形是n邊形，
由多邊形內角和公式得：，
解得：，
則原多邊形的邊數是：．
原多邊形的邊數是15．
【點睛】本題主要考查了多邊形內角與外角，解決本題的關鍵是要熟練掌握多邊形的內角和公式．
15．（2023八年級·湖南長沙·期末）（1）已知一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍還多，求這個多邊形的邊數；
（2）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內角與一個外角的度數之比為，求這個多邊形的邊數．
【答案】（1）9（2）11
【分析】本題主要考查了求多邊形的邊數，多邊形內角和和外角和定理以及一元一次方程的應用．
（1）設這個多邊形的邊數為n，利用一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍還多列一元一次方程求解即可得出答案．
（2）設這個多邊形一個內角的度數為，則一個外角的度數為，根據題意，列一元一次方程求解出x，再利用多邊形外角為即可求出答案．
【詳解】解：（1）設這個多邊形的邊數為n，
根據題意，得，
解得，
所以這個多邊形的邊數為9．
（2）設這個多邊形一個內角的度數為，則一個外角的度數為，
根據題意，得，解得．
∴，
所以這個多邊形的邊數為11．
16．（2023八年級·廣東東莞·期末）[應用意識]清晨，小明沿著一個五邊形廣場周圍的小路按逆時針方向跑步，如圖．

(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角，在圖上標出；
(2)他每跑一圈，身體轉過的角度之和是多少？
(3)你是怎么得到的？
【答案】(1)圖見解析，
(2)他每跑一圈，身體轉過的角度之和是
(3)五邊形的外角和等于
【分析】（1）根據圖形進行解答即可；
（2）根據多邊形外角和進行解答即可；
（3）多邊形的外角和等于．
【詳解】（1）解：如圖，小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是．

（2）解：他每跑一圈，身體轉過的角度之和是
（3）解：五邊形的外角和等于．
【點睛】本題主要考查了多邊形的外角，解題的關鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于．

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