資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第04講 與三角形的角有關的三種幾何模型
·模塊一 角的“8”字模型
·模塊二 角的燕尾模型
·模塊三 三角形的內角及外角的平分線所成的角
·模塊四 課后作業
角的“8”字模型
【條件】AD、BC相交于點O.
【結論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)
【證明】在△ABO中，由內角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對頂角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.
【例1.1】（2023八年級·河南漯河·期末）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【例1.2】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【例1.3】（2023八年級·浙江金華·期末）如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．
（1）若，求的度數；
（2）若，求的度數．
【變式1.1】（2023八年級·湖北恩施·期中）如圖，將矩形紙片沿折疊，點落在邊上的點處，點落在點處，若，則的度數為（ ）．
A．42° B．69° C．44° D．32°
【變式1.2】（2023八年級·北京懷柔·期末）如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【變式1.3】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，求的度數.
角的燕尾模型
【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.
【結論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個內角和)
【證明】如上右圖，連接AD并延長到E，則：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質為兩個三角形外角和定理證明.
【例2.1】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖所示，已知四邊形，求證．
【例2.2】（2023八年級·江蘇南京·期末）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【例2.3】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，若，則 ．
【變式2.1】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，是的平分線，CH是的平分線，與CH交于點，若，，求的度數.
【變式2.2】（2023八年級·云南昆明·期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數為（　　）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【變式2.3】（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，請發揮你的聰明才智，解決以下問題：
(1)觀察“規形圖”，試探究與之間的關系，并說明理由；
(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經過點B、C，若，直接寫出的結果；
②如圖3，平分，平分，若，求的度數；
③如圖4，的10等分線相交于點，若，求的度數．
三角形的內角及外角的平分線所成的角
【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內角和外角的角平分線，且相交于點P.
【結論】
【證明】 ∵BP是∠ABC平分線，∴ ∵CP是∠ACE平分線，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
對①式兩邊同時除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比較②③式子可知：.==.
【例3.1】（2023八年級·河南商丘·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝
【例3.2】（2023八年級·廣東東莞·階段練習）如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度數；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB= ．
【例3.3】（2023八年級·四川成都·期中）如圖，已知的兩條高、交于點，的平分線與外角的平分線交于點，若，則 ．
【變式3.1】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，在中，的平分線與，的外角平分線交于點，的延長線于點，已知，，求、的度數.
【變式3.2】（2023八年級·河北滄州·階段練習）∠ACD是△的外角，的平分線與的平分線交于點，的平分線與的平分線交于點，…，的平分線與的平分線交于點An． 設∠A＝．則＝ ，∠A2021＝ ．
【變式3.3】（2023八年級·福建泉州·期中）如圖①，在△ABC 中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．

(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度數；
(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數量關系．
(3)如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，求∠A的度數．
1．（2023八年級·江蘇無錫·期中）如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點，依此類推，與的角平分線交于點，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，，的角平分線交于點，若，，則的度數（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八年級·福建泉州·期末）如圖，則的度數是 ．

4．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，求的度數.
5．（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，、分別平分和，若，，求的度數.
6．（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，向兩邊延長的邊，點是直線上點右邊的一動點，，平分，平分，與交于點，當點在直線上運動時，探求與數量關系.
7．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，點是的外角和的角平分線交點，延長交于，請寫出和的數量關系.
8．（2023八年級·重慶·期中）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度數．
9．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，在直角中，是的平分線，,的延長線與的平分線交于點，求的度數.
10．（2023八年級·廣東中山·期中）已知，在四邊形ABCD中，．

（1）求證：．
（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關系，并證明．
（3）如圖2，若BF、DE分別平分，的外角，寫出BF與DE的位置關系，并證明．中小學教育資源及組卷應用平臺
第04講 與三角形的角有關的三種幾何模型
·模塊一 角的“8”字模型
·模塊二 角的燕尾模型
·模塊三 三角形的內角及外角的平分線所成的角
·模塊四 課后作業
角的“8”字模型
【條件】AD、BC相交于點O.
【結論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)
【證明】在△ABO中，由內角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對頂角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.
【例1.1】（2023八年級·河南漯河·期末）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可．
【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故選項A，B，C正確，
故選D．
【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵．
【例1.2】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【答案】900°
【分析】根據多邊形的內角和，可得答案．
【詳解】解：連EF，GI，如圖
，
∵6邊形ABCDEFK的內角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案為：900°．
【點睛】本題考查了n邊形的內角和定理：n邊形的內角和為（n－2）×180°（n≥3的整數）．
【例1.3】（2023八年級·浙江金華·期末）如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．
（1）若，求的度數；
（2）若，求的度數．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據角平分線的定義可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性質即可得解；
（2）根據角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據三角形的內角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF= ，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理及三角形外角的性質，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關鍵．
【變式1.1】（2023八年級·湖北恩施·期中）如圖，將矩形紙片沿折疊，點落在邊上的點處，點落在點處，若，則的度數為（ ）．
A．42° B．69° C．44° D．32°
【答案】A
【分析】根據翻折的性質，及矩形的性質，求出，再利用“8”字模型求解即可．
【詳解】由圖形翻折的性質可知，，
，，
，利用“8”字模型，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了矩形翻折問題，能夠根據圖形翻折的性質推理出是解決問題的關鍵，熟練運用“8”字模型是求最終結果的關鍵．
【變式1.2】（2023八年級·北京懷柔·期末）如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖標記，然后利用三角形的外角性質得，，再利用互為鄰補角，即可得答案．
【詳解】解：如下圖標記，
，
，
，
又，
，
，
，
故選C．
【點睛】此題考查了三角形的外角性質與鄰補角的意義，熟練掌握并靈活運用三角形的外角性質與鄰補角的意義是解答此題的關鍵．
【變式1.3】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，求的度數.
【答案】.
【分析】根據三角形的內角和定理即可求解
【詳解】解：連結，
BC與DE相交成對頂三角形，
，
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，熟練掌握相關的性質是解題的關鍵
角的燕尾模型
【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.
【結論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個內角和)
【證明】如上右圖，連接AD并延長到E，則：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質為兩個三角形外角和定理證明.
【例2.1】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖所示，已知四邊形，求證．
【答案】見解析
【分析】方法1連接BC，根據三角形內角和定理可得結果；
方法2 作射線，根據三角形的外角性質得到，，兩式相加即可得到結論；
方法3延長BD，交AC于點E，兩次運用三角形外角的性質即可得出結論．
【詳解】方法1如圖所示，連接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如圖所示，連接AD并延長.
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如圖所示，延長BD，交AC于點E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【點睛】本題考查了三角形的外角性質：解題的關鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內角的和．也考查了三角形內角和定理．
【例2.2】（2023八年級·江蘇南京·期末）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據三角形內角和定理求出再利用鄰補角的性質求出，再根據四邊形的內角和求出，根據鄰補角的性質即可求出的度數．
【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,
故選：B．
【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯系起來進行求解．三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補；多邊形內角和：．
【例2.3】（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，若，則 ．
【答案】230°
【分析】根據三角形外角的性質，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結論．
【詳解】解：如圖
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案為：230°．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性質．
【變式2.1】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，是的平分線，CH是的平分線，與CH交于點，若，，求的度數.
【答案】.
【分析】根據三角形的外角的性質得出燕尾角的基本圖形的結論得出∠BDC、∠BOC，在根據角平分線的性質即可得出
【詳解】解：由燕尾角的基本圖形與結論可得，
①
②
是的平分線，是的平分線
，．
①-②得，．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義．注意利用“8字形”的對應角相等求出角的關系是解題的關鍵，要注意整體思想的利用．
【變式2.2】（2023八年級·云南昆明·期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數為（　　）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【答案】B
【分析】在△ABC中利用三角形內角和定理可求出∠C的度數，由折疊的性質，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，結合∠2的度數可求出∠CED的度數，在△CDE中利用三角形內角和定理可求出∠CDE的度數，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出結論．
【詳解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折疊，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理以及折疊的性質，利用三角形內角和定理及折疊的性質求出∠CDE的度數是解題的關鍵．
【變式2.3】（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，請發揮你的聰明才智，解決以下問題：
(1)觀察“規形圖”，試探究與之間的關系，并說明理由；
(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經過點B、C，若，直接寫出的結果；
②如圖3，平分，平分，若，求的度數；
③如圖4，的10等分線相交于點，若，求的度數．
【答案】(1)，見解析
(2)①；②；③
【分析】（1）首先連接并延長，然后根據外角的性質，即可判斷出；
（2）①由（1）可得，然后根據，，即可求出的值；②由（1）可得，再根據，求出的值；然后根據，即可求出的度數；③設，，結合已知可得，，再根據（1）可得，，即可判斷出的度數．
【詳解】（1）解：，理由如下：
如圖，連接并延長．
根據外角的性質，可得，，
又∵，，
∴，
故答案為：；
（2）①由（1）可得，
∵，，
∴；
②由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
③設，，
則，，
則，，
解得，
所以，
即的度數為．
【點睛】此題還考查了三角形的外角的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
三角形的內角及外角的平分線所成的角
【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內角和外角的角平分線，且相交于點P.
【結論】
【證明】 ∵BP是∠ABC平分線，∴ ∵CP是∠ACE平分線，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
對①式兩邊同時除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比較②③式子可知：.==.
【例3.1】（2023八年級·河南商丘·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝
【答案】40°
【分析】根據角平分線的定義結合三角形外角的性質即可得到結論．
【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，
∴∠ACO=∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，
故答案為：40°．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質，角平分線的定義，熟練掌握相關性質和概念正確推理計算是解題的關鍵．
【例3.2】（2023八年級·廣東東莞·階段練習）如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度數；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】（1）由角平分線的定義得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根據三角形外角的性質即可得到結論；
（2））根據角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根據三角形的內角和得到∠E=90°-α；
（3）根據角平分線的定義可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性質可求解．
【詳解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，
∴∠D=α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-α；
（3）如圖，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，
∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．
故答案為：β．
【點睛】本題主要考查三角形的角平分線，三角形外角的性質，靈活運用三角形外角的性質是解題的關鍵．
【例3.3】（2023八年級·四川成都·期中）如圖，已知的兩條高、交于點，的平分線與外角的平分線交于點，若，則 ．
【答案】36
【分析】首先根據三角形的外交性質求出，結合三角形的高的知識得到和之間的關系，進而可得結果；
【詳解】由圖知：，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵的兩條高、交于點，
∴，，
∴，
∴在四邊形中有：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：36．
【點睛】本題主要考查了與角平分線有關的三角形的內角和與外角性質，準確分析計算是解題的關鍵．
【變式3.1】（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，在中，的平分線與，的外角平分線交于點，的延長線于點，已知，，求、的度數.
【答案】；.
【分析】根據三角形的內角和定理、角平分線定義得出，即可
【詳解】解：，，．
平分，
．
是內、外角平分線的交角，
．
．
是內、外角平分線的交角，
．
【點睛】此題主要考查了角平分線的性質，三角形內角與外角的關系，三角形內角和定理，關鍵是根據角平分線的性質得到角之間的關系．
【變式3.2】（2023八年級·河北滄州·階段練習）∠ACD是△的外角，的平分線與的平分線交于點，的平分線與的平分線交于點，…，的平分線與的平分線交于點An． 設∠A＝．則＝ ，∠A2021＝ ．
【答案】
【分析】據角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度數，同理求出∠A2，可以發現后一個角等于前一個角的，根據此規律即可得解．
【詳解】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=，
∴∠A1=，
同理可得：∠An=，
∴∠A2021=，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記性質并準確識圖然后求出后一個角是前一個角的是解題的關鍵．
【變式3.3】（2023八年級·福建泉州·期中）如圖①，在△ABC 中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．

(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度數；
(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數量關系．
(3)如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，求∠A的度數．
【答案】(1)
(2)
(3)∠A的度數是或或或
【分析】（1）在△ABC中，根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根據角平分線的定義得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）根據三角形外角性質得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根據角平分線的定義得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根據三角形內角和定理求出即可；
（3）根據角平分線的定義得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根據三角形外角性質得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可
【詳解】（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵點P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵點Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點，
∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；
（3）∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，那么分為四種情況：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
綜合上述，∠A的度數是45°或60°或120°或135°．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質，三角形內角和定理，角平分線的定義等知識點，熟練掌握知識點及運用分類討論思想是解題的關鍵．
1．（2023八年級·江蘇無錫·期中）如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點，依此類推，與的角平分線交于點，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分線，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根據三角形內角和定理可求結果．
【詳解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，
同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故選B．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，角平分線，關鍵是找出其中的規律，利用規律解決問題．
2．（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，，的角平分線交于點，若，，則的度數（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：延長PC交BD于E，設AC、PB交于F，根據三角形的內角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根據三角形的外角性質得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，根據PB、PC是角平分線得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A ∠D，代入即可求出∠P．
法二：延長DC，與AB交于點E．設AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入計算即可．
【詳解】解：法一：延長PC交BD于E，設AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD ∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A ∠D＋∠ABF＋∠PCD，
∵PB、PC是角平分線
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A ∠D
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
∴∠P＝19°．
法二：延長DC，與AB交于點E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，
∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，
整理得∠ACD ∠ABD＝58°．
設AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，
∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，
即∠P＝48° （∠ACD ∠ABD）＝19°．
故選A.
【點睛】本題主要考查對三角形的內角和定理，三角形的外角性質，對頂角的性質，角平分線的性質等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．
3．（2023八年級·福建泉州·期末）如圖，則的度數是 ．

【答案】/180度
【分析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得，，然后利用三角形的內角和定理即可得解．
【詳解】解：如圖，

∵是的外角，是的外角，
∴，，
又∵，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形外角的性質，三角形的內角和定理．三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．
4．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，求的度數.
【答案】.
【分析】連接CD，將轉化為四邊形CDEF的內角和即可求出答案.
【詳解】解：如圖所示，連接CD.
由對頂三角形得，，
∴ .
【點睛】本題考查了三角形、四邊形的內角和定理、對頂角的性質等知識.將所求角的度數和轉化為四邊形內角和是解題的關鍵.
5．（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，、分別平分和，若，，求的度數.
【答案】.
【分析】根據三角形內角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根據角平分線的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M與∠B、∠D關系，代入數據進行計算即可得解；
【詳解】解：根據三角形內角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義．注意利用“8字形”的對應角相等求出角的關系是解題的關鍵，要注意整體思想的利用．
6．（2023八年級·廣東東莞·期末）如圖，向兩邊延長的邊，點是直線上點右邊的一動點，，平分，平分，與交于點，當點在直線上運動時，探求與數量關系.
【答案】.
【分析】過點A作，交MO的延長于點G，先根據平行線的性質得出，再得出平分，再根據三角形內、外角平分線的交角的結論即可
【詳解】解：如圖，過點A作，交MO的延長于點G，則
，，
平分，
平分，
由三角形內、外角平分線的交角的基本圖形與結論得，
，
即．
【點睛】此題主要考查了角平分線的性質，三角形內角與外角的關系，三角形內角和定理，關鍵是根據角平分線的性質得到角之間的關系．
7．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，點是的外角和的角平分線交點，延長交于，請寫出和的數量關系.
【答案】
【分析】先根據三角形外角的性質及角平分線的性質即可用含的式子表示出和的和，再利用三角形外角的性質即可得到和的數量關系.
【詳解】解：∵,
∴,
∵點是的外角和的角平分線交點，
∴+＝，
又∵＝+，
∴.
【點睛】本題考查了三角形內角和定理、三角形外角和的性質及角平分線的性質.熟練應用三角形外角的性質是解題的關鍵.
8．（2023八年級·重慶·期中）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度數．
【答案】80°
【詳解】試題分析：根據外角與內角性質得出∠BAC的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
試題解析：解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
考點：角平分線的性質，直角三角形全等的判定
9．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，在直角中，是的平分線，,的延長線與的平分線交于點，求的度數.
【答案】
【分析】設，則，，，根據三角形ABO與三角形DFO的內角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案.
【詳解】解：設，則，
在直角中，，
∵是的平分線，
∴，
在直角中，.
∵,
又∵，
∴，
即，
∴.
【點睛】本題考查了對頂角相等、三角形內角和定理及其推論等知識.根據對頂三角形構建方程是解題的關鍵.
10．（2023八年級·廣東中山·期中）已知，在四邊形ABCD中，．

（1）求證：．
（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關系，并證明．
（3）如圖2，若BF、DE分別平分，的外角，寫出BF與DE的位置關系，并證明．
【答案】（1）證明見詳解；（2）DE⊥BF，證明見詳解；（3）DE∥BF，證明見詳解
【分析】（1）根據四邊形內角和等于360°列式計算即可得解；
（2）如圖1，延長DE交BF于G，易證∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，則可證得DE⊥BF；
（3）如圖2，連接BD，易證∠NDC+∠MBC=180゜，則可得∠EDC+∠CBF=90゜，繼而可證得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，則可得DE∥BF．
【詳解】（1）證明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；
（2）DE⊥BF
延長DE交BF于點G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC
∵DE、BF分別平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC
∴∠EDC=∠EBG
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG
∴∠EGB=∠C=90°
∴DE⊥BF
（3）DE∥BF
連接BD
∵DE、BF分別平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC
∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°
∵∠C=90°
∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°
∴DE∥BF．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質以及三角形外角的性質，掌握輔助線的作法是解題的關鍵．

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