資源簡介

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第06講 由SAS、ASA證明三角形全等
·模塊一 “邊角邊” 判定三角形全等
·模塊二 “角邊角”判定三角形全等
·模塊三 課后作業
全等三角形的判定
邊角邊(SAS)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。
【考點1 “邊角邊” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·山東威海·期末）如圖，在中，平分，，可用“”判斷全等的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．以上三個選項都可以
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．根據角平分線的定義得到，由全等三角形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：∵平分，
∴，
在與中，
，
∴，
故選：C．
【例1.2】（2023八年級·浙江臺州·期末）如圖，已知，則的根據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有．根據題中已知，及公共角，利用證明即可．
【詳解】解：在與中，
，
∴，
故選：D．
【例1.3】（2023八年級·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，是等邊三角形，分別在和上，，連接交于P點，則的度數是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】
本題考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質；證明三角形全等得出角相等是解決問題的關鍵，先由等邊三角形的性質，得再證明，再進行角的等量代換，即可作答．
【詳解】
解：∵是等邊三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
故選：C．
【變式1.1】（2023八年級·山東泰安·期末）如圖，，，要根據“”說明，則還需要添加的一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查添加條件證明三角形全等，根據要求利用“”說明，角度給定，且給定一邊，只要找到夾角的另一邊即可．
【詳解】解：根據題意知利用“”證明，
∵，，
∴添加即可．
故選：A．
【變式1.2】（2023八年級·江蘇常州·期中）如圖，在由6個相同的小正方形拼成的網格中，∠2﹣∠1＝ °．
【答案】90
【分析】如圖（見解析），先根據三角形全等的判定定理證出，再根據全等三角形的性質可得，然后根據三角形的外角性質即可得．
【詳解】解：如圖，由題意得：，
，
，
，
，
，
故答案為：90．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、三角形的外角性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．
【變式1.3】（2023八年級·河北廊坊·期中）如圖，是的中線，點，分別是和延長線上的點，且，連接，，下列說法不一定正確的是（ ）

A． B．和的面積相等
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中線的面積相等．根據“”證明得到，，推出，可對選項AC進行判斷；根據三角形中線的性質可對選項B進行判斷；
【詳解】解：為的中線，
，
在和中，
，
，
∴，故選項A說法正確，不符合題意；
∴，
∴，故選項C說法正確，不符合題意；
是的中線，
，
和面積相等，故選項B說法正確，不符合題意；
不一定相等，故選項D說法錯誤，符合題意；
故選：D．
【考點2 “邊角邊” 證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·河南三門峽·期末）如圖，，，，求證：．

【答案】證明見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定，首先根據，然后得到，然后證明出．
解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：，，，，．
【詳解】∵，
∴，即，
又∵，，
∴．
【例2.2】（2023八年級·浙江溫州·期中）看圖填空：如圖，已知，，試說明．
證明：∵
∴ （兩直線平行，同位角相等）
∵
∴ ；
即：
在和中
∴（ ）．
【答案】A；；；；；．
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，由，可得，根據證明即可．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在與中，
，
∴，
故答案為：A；；；；；．．
【例2.3】（2023八年級·山西長治·期中）如圖，將繞頂點A逆時針旋轉至．連接．

(1)若，，求的度數．
(2)若，求證．
【答案】(1)
(2)見詳解
【分析】本題主要考查旋轉的性質及全等三角形的判定，熟練掌握旋轉的性質及全等三角形的判定定理是解題的關鍵；
（1）由旋轉可知，則有，然后根據三角形內角和及旋轉的性質可進行求解；
（2）由旋轉可知，，然后問題可求證．
【詳解】（1）解：由旋轉可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：由旋轉可知，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【變式2.1】（2023八年級·重慶沙坪壩·期中）如圖，在中，，延長至點，使，過點作，使，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)10
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，
（1）首先根據題意得到，然后利用證明即可；
（2）根據全等三角形的性質求解即可．
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【變式2.2】（2023八年級·河北保定·期中）如圖，在和中，，，且，，的延長線交于點．
(1)求證：；
(2)寫出與的數量關系，并證明你的結論．
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵；
（1）先證明，再利用證明兩個三角形全等即可；
（2）先證明，再結合，從而可得結論．
【詳解】（1）證明：，
，
即．
又，
（2），理由如下：
，
．
設、相交于點，
則．
，
即．
【變式2.3】（2023八年級·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知正方形，點E是上的一點，連接，以為一邊，在的上方作正方形，連接．
求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質：
（1）根據四邊形，均為正方形，可得，，，進而可得，即可證明；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得，等量代換可得．
【詳解】（1）證明：四邊形，均為正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）證明：由（1）得，
，
．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·山東臨沂·期末）如圖，，，，點在線段上以的速度由點A向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動，它們運動的時間為．當與全等時，的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
根據題意得，，則，由于，根據全等三角形的判定方法，當，時可判斷，即，；當，時可判斷，即，，然后分別求出對應的的值即可．
【詳解】解：根據題意得，，，則，
，
當，時，，
即，，
解得：，；
當，時，，
即，，
解得：，，
綜上所述，當與全等時，的值是2或3．
故選：C．
【題型2】（2023八年級·山東德州·期中）在和中，，，，，則這兩個三角形的關系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根據全等 D．根據全等
【答案】D
【分析】由角度數量關系與三角形內角和定理可得，，由線段的數量關系可得，，進而可證明三角形全等．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，
得，
得：，
∴在和中，
∵
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的判定．解題的關鍵在于找出三角形全等的條件．
【題型3】（2023八年級·江蘇南京·期末）在中，，中線，則邊AB的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】作出圖形，延長AD至E，使，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．
【詳解】如圖，延長AD至E，使，
是的中線，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，，
，
即．
故答案為．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構造出全等三角形是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河南周口·期中）如圖，在四邊形中，，，．求證：．
【答案】證明見解析．
【分析】連接，證明，得出，
再證，即可．
【詳解】連接，BD
在與中，，
∴，
，
在與中，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形性質和判定，掌握全等三角形性質和判定是解題的關鍵．
【題型2】（2023八年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD為∠ABC的平分線，BC=7.6，AB=4.4，則AD= .
【答案】3.2
【詳解】如圖，在BC上截取BE=AB，
則CE=BC BE=7.6 4.4=3.2，
∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBD中,
，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=DE，∠BED=∠A，
∵∠BAC=2∠C，∠BED=∠C+∠CDE，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE=BC AB=3.2，
∴AD=DE=3.2，
故答案為3.2.
點睛：證明或求線段相等的方法通常有：全等三角形的對應邊相等；等腰三角形中等角對等邊；角平分線上的點到角的兩邊距離相等；線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等；根據題目條件選擇適當方法解決.
【題型3】（2023八年級·河南信陽·期中）如圖，某村莊有一塊五邊形的田地，，，連接對角線，，．
(1)，與之間的數量關系是____________．
(2)為保護田內作物不被牲畜踩踏，村里決定給這塊田地的五邊上圍一圈木柵欄，已知每米木柵欄的建造成本是50元，則建造木柵欄共需花費多少元？（提示：延長至點，使）
(3)在和區域種上小麥，已知每平方米田地的小麥播種量為克，請直接寫出需提前準備多少千克的小麥種．
【答案】(1)
(2)12000元
(3)千克
【分析】（1）由直接可以得到；
（2）延長至點，使，證得，得到，，進而證明解題；
（3）利用（2）中結論可得，運用三角形的面積公式計算即可．
【詳解】（1），
，
故答案為：；
（2）如圖，延長至點，使，連接．
.
在與中，
，
，.
，即.
在與中，
，
，
（米）．
五邊形的周長為（米），
（元）．
答：建造木柵欄共需花費12000元.
（3）千克
，
需小麥種數量為：(千克）．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解決一條線段長等于兩條線段和的問題常用方法“截長或補短”．
全等三角形的判定
角邊角(ASA)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等。
【考點1 “角邊角” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·陜西安康·期末）如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據所學知識很快就另外畫出了一個與原來完全一樣的三角形，這兩個三角形全等的依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圖形可知三角形的兩邊和夾邊，于是根據即可畫出一個與原來完全一樣的三角形．此題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．
【詳解】解：已知三角形的兩角和夾邊，
∴兩個三角形全等的依據是，
故選：B．
【例1.2】（2023八年級·河南周口·期末）如圖，要測量河岸相對兩點的距離，已知垂直于河岸，先在上取兩點，使，再過點作的垂線段，使點在一條直線上，測出米，則的長是（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
【答案】C
【分析】由均垂直于，即可得出，即可證出，由此即可得出，此題得解．
【詳解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴米，
故選C
【點睛】考查了三角形全等的判定和性質，解題是熟練判定方法，本題屬于三角形全等的判定應用.
【例1.3】（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖，點是平分線上的一點，，，，則的長不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點作交于點，使得，得，再根據的三邊的關系即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作交于點，使得，
∵是的平分線，
∴，是公共邊，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在中，，即，
∴的長不可能是，
故選：．
【點睛】本題主要考查三角形的三邊關系，構造全等三角形是解題的關鍵．
【變式1.1】（2023八年級·全國·假期作業）如圖，下列四個三角形中，是全等三角形的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】D
【詳解】③④滿足利用ASA證明全等.
【變式1.2】（2023八年級·河北石家莊·期末）有一塊三角形玻璃在運輸過程中，不小心碎成如圖所示的四塊，嘉淇想按原來的大小在玻璃店再訂制一塊，需要帶的兩塊可以是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、，做題時要根據已知條件進行選擇運用．
【詳解】解：想按原來的大小在玻璃店再訂制一塊，需要帶的兩塊可以是①④或③④，
滿足的為①④，
故選D．
【變式1.3】（2023八年級·河南信陽·期末）已知是的邊上一點，交于點，，，若，，則的長為（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】利用ASA證明和全等，進而得出，即可求出的長．
【詳解】解：，
．
，，
（ASA）．
．
又，
，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質；利用全等三角形來得出簡單的線段相等是解此類題的常用方法．
【考點2 “角邊角” 證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·廣西河池·期末）如圖，已知點B、E、C、F在同一直線上，，，．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】（1）由，依據“兩只相平行，同位角相等”得到，結合已知根據“”可判定全等；
（2）根據全等三角形的性質得到，依據“同位角相等，兩只相平行”可進行求證．
【詳解】（1）∵，
，
在和中，
，
（2），
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
【例2.2】（2023八年級·山東臨沂·期末）如圖所示，點在外部，點在邊上．交于，若，，，求證：．
【答案】見解析
【分析】由題意可得出，再利用即可證明．
【詳解】證明：∵，
∴，即．
在和中，，
∴．
【點睛】本題考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．
【例2.3】（2023·陜西西安·八年級·期末）如圖，在中，，在邊上順次取點，，使．作，，分別與，的延長線交于點，．求證：．

【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，根據推出，根據，，得出，結合，利用證明，即可得出，熟練掌握利用證明三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【變式2.1】（2023·陜西西安·八年級·期末）如圖，點在外部，點在邊上，若，，，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，證明，即可得證．
【詳解】解：，
，
在和中，
，
，
．
【變式2.2】（2023八年級·山東濟南·期中）如圖，已知點在一條直線上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)6
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定：
（1）先由平行線的性質得到，再利用即可證明；
（2）利用全等三角形的性質得到，再根據線段的和差關系求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
【變式2.3】（2023八年級·湖北·期末）如圖，為測量河寬，小軍站在河岸的O處調整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對面的Q處，然后沿所在直線后退到B處（保持之前的姿勢），這時他的視點恰好落在O處，同時他讓小華測量他此時所站的B處與O處之間的距離為．你能幫忙算出河寬嗎？請說明理由．
AI
【答案】
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質的應用，證明即可求解．
【詳解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵B處與O處之間的距離為，
∴河寬．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·全國·競賽）如圖，已知點為邊上一點，點為外一點，如果，且，那么下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，先證明，根據可證明．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∵
∴，
又，
∴
∴選項D正確；
而選項A、B、C都無法證明三角形全等，
故選：D．
【題型2】（2023八年級·廣東清遠·期中）如圖，小明和小月兩家位于A，B兩處，要測得兩家之間的距離，小明設計方案如下：
①從點A 出發沿河岸畫一條射線
②在射線上截取 ；
③過點E作， 使 B， F，C在一條直線上；
④的長就是A，B 間的距離．
(1)請你說出小明的方案的原理，小明的方案是否可行？如果可行，請進行說理證明．
(2)如果不借助測量儀，小明的設計中哪一步難以實現？（直接寫出答案）
【答案】(1)運用了全等三角形（邊角邊）原理，方案可行
(2)第③步難以實現
【分析】本題考查全等三角形的應用，由實際問題抽象出幾何圖形是解題的關鍵．
（1）根據全等三角形的判定定理求解；
（2）如果不借助測量儀，難以作一條直線的平行線，由此可得答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴小明和小月運用了全等三角形（邊角邊）原理，
小明的方案可行；
（2）解：如果不借助測量儀，小明無法使得．
因此第③步難以實現．
【題型3】（2023八年級·安徽·專題練習）如圖，在中，，，的平分線交于，的延長線于點，求證：
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，先證明，得出，證明得出，進而即可得證．
【詳解】證明：如圖所示，延長、相交于點．
，
．
又，
，
在和中
，
．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·江蘇泰州·期末）如圖，有兩個三棱錐，其中，，則下列說法正確的是（ ）
A．，
B．，與不全等
C．與不全等，
D．與全等，與不全等
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法判斷即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
【詳解】解：在和中，
∵，
∴，
在和中，
，，
∵，
∴，
∴與不全等，
故選：．
【題型2】（2023八年級·江西吉安·期末）如圖，的面積為，平分，過點A作于點，則的面積為 ．
【答案】7.5/
【分析】根據已知條件證得≌，根據全等三角形的性質得到，得出，，推出，代入求出即可．
【詳解】解：延長交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌(ASA)，
，
，，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，三角形的面積的應用，能夠根據已知條件證得≌得到，進而得到，是解決問題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·重慶沙坪壩·期中）如圖， 中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點H．
求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，證明三角形全等是證明線段相等的重要手段．
①首先計算出，進而得到，然后再計算出，然后證明可得；
②首先證明，然后證明，進而得到，再利用等量代換可得結論．
【詳解】（1）證明：，
，
又、分別平分、，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）證明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
1．（2023八年級·廣東廣州·期中）使的條件是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】根據全等三角形判定定理，依次判斷，即可求解，本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是：熟練掌握全等三角形判定定理．
【詳解】解：、滿足，不能判定，不符合題意；
、滿足，不能判定，不符合題意；
、滿足，不能判定，不符合題意；
、滿足，能判定，符合題意，
故選：．
2．（2023八年級·湖南岳陽·開學考試）如圖，和相交于O點，若，用證明還需增加條件（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了對全等三角形的判定的應用．要用證明三角形全等，即角邊角證明三角形全等，題目已知，，那么添加條件即可．
【詳解】解：由題意可得：，，
∴當時，可根據可證，
故選：B．
3．（2023八年級·河北保定·期末）要測量A，B間的距離（無法直接測出），兩位同學提供了如下測量方案：
方案Ⅰ ①如圖1，選定點； ②連接，并延長到點C，使，連接，并延長到點，使； ③連接，測量的長度即可． 方案Ⅱ ①如圖2，選定點； ②連接，，并分別延長到點，，使，； ③連接，測量的長度即可．
對于方案Ⅰ、Ⅱ，下列說法正確的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形全等的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．分別證明，得出；證明，得出．
【詳解】解：方案Ⅰ：∵，，，
∴，
∴；
方案Ⅱ：
∵，，，
∴，
∴；
綜上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行．
故選：D．
4．（2023八年級·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，，若連接、相交于點O，則圖中全等三角形共有（ ）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，首先證明，根據全等三角形的性質可得，，再證明，．解題的關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．
【詳解】解：在和中，
，
，，
在和中，
，
在和中，
，
綜上，圖中全等三角形共有3對，
故選：C．
5．（2023八年級·安徽合肥·期末）如圖，在和中，，連接，則與之間的大小關系是（ ）
A． B． C． D．大小關系不確定
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵．先證明，根據可得，進而根據全等三角形的性質可得答案．
【詳解】證明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
故選A．
6．（2023八年級·江蘇徐州·階段練習）如圖，在中，D是邊上一點，平分，在上截取，連結，已知，則線段的長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，利用角平分線的定義得到，證明，即可得到，即可解答，熟知全等三角形判定的條件是解題的關鍵．
【詳解】解：平分，
，
在與中，
，
，
，
，
故答案為：．
7．（2023八年級·云南昭通·階段練習）如圖，，，，，則等于 ．
【答案】3；
【分析】本題考查三角形全等的判定及性質，根據得到，結合角邊角判定即可得到答案；
【詳解】解：∵，
∴，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：3．
8．（2023八年級·河南周口·階段練習）如圖，在中，，于D，，交于M，過點N作交于F，交于H．與全等的三角形為 ．

【答案】
【分析】根據平行線的性質得到，由直角三角形兩銳角互余推出，即可證明．
【詳解】解：與全等的三角形為
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴
在和中
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定定理，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
9．（2023八年級·安徽阜陽·階段練習）已知且交于點，，，其中的面積為，四邊形的面積為，若，則點到 的距離為 ．

【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定；根據證明，結合題意得出，進而根據三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴
∴
∵，
則點到 的距離為,
故答案為：．
10．（2023八年級·河南商丘·期末）如圖，在中，平分，，的面積為，的面積為，則的面積等于 ．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形的性質和判定，三角形的面積的應用，注意：等底等高的三角形的面積相等．延長交于，根據已知條件證得，推出，得出，即可得出答案．掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，延長交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面積為，
∴，
∵的面積為，
∴，
∴的面積等于．
故答案為：．
11．（2023八年級·安徽蕪湖·期末）如圖，在中，，，，、交于點．在不添加字母和輔助線的情況下，請你在圖中找出一對全等三角形并證明．
【答案】；證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先證明，然后根據證明即可．
【詳解】證明：，理由如下
，
即，
在和中，
．
12．（2023八年級·福建泉州·期末）如圖，，．下列三個條件：
①；
②；
③．
請你從①②③中選一個條件，使．
(1)你添加的條件是_______（填序號）；
(2)添加條件后，請證明．
【答案】(1)①或③
(2)見詳解
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質以及平行線的性質，
添加①或③均可證明全等；
由平行線的性質可得，如果選擇①利用邊角邊證明三角形全等，如果選擇③角邊角證明三角形全等．
【詳解】（1）解：選擇①或③
（2）選擇①，證明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
選擇③，證明如下：
∵，
∴，
∵，
在和中
，
∴．
13．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，已在與中，，，，，求證：．
【答案】證明見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，根據題中條件證明出三角形全等是解題的關鍵．根據，，，從而得出，，結合，即可得出，進而可以解決問題．
【詳解】證明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴．
14．（2023八年級·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接、，若，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的外角性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質．
（1）由可得，結合可推出，由，結合三角形的外角性質可得，即可證明；
（2）由（1）可知，根據全等三角形的性質以及線段的和差即可求解．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，，
，
在與中，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
15．（2023八年級·陜西西安·期中）如圖，在中，，高、相交于點O，，且．
(1)求線段的長；
(2)動點P從點O出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為l秒，的面積為S，請用含t的式子表示S；
(3)在（2）的條件下，點F是直線上的一點且．是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等？若存在，請直接寫出符合條件的t值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)5；
(2)，；
(3)或時，與全等；
【分析】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、三角形的面積等知識：
（1）只要證明即可解決問題；
（2）分兩種情形討論求解即可①當點Q在線段上時，，②當點Q在射線上時，時；
（3）分兩種情形求解即可①如圖2中，當時，，②如圖3中，當時，；再進一步建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1中，
，
∵是高，
∴，
∵是高，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
由題意得，
，，
①當點Q在線段上時，，如圖，
∴；
②當點Q在射線上時，，如圖，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
①如圖2中，當時，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
②如圖3中，當時，
∵，，
，
∴，
∴，
∴，解得，
綜上所述，或時，與全等．中小學教育資源及組卷應用平臺
第06講 由SAS、ASA證明三角形全等
·模塊一 “邊角邊” 判定三角形全等
·模塊二 “角邊角”判定三角形全等
·模塊三 課后作業
全等三角形的判定
邊角邊(SAS)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。
【考點1 “邊角邊” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·山東威海·期末）如圖，在中，平分，，可用“”判斷全等的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．以上三個選項都可以
【例1.2】（2023八年級·浙江臺州·期末）如圖，已知，則的根據是（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2023八年級·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，是等邊三角形，分別在和上，，連接交于P點，則的度數是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【變式1.1】（2023八年級·山東泰安·期末）如圖，，，要根據“”說明，則還需要添加的一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】（2023八年級·江蘇常州·期中）如圖，在由6個相同的小正方形拼成的網格中，∠2﹣∠1＝ °．
【變式1.3】（2023八年級·河北廊坊·期中）如圖，是的中線，點，分別是和延長線上的點，且，連接，，下列說法不一定正確的是（ ）

A． B．和的面積相等
C． D．
【考點2 “邊角邊” 證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·河南三門峽·期末）如圖，，，，求證：．

【例2.2】（2023八年級·浙江溫州·期中）看圖填空：如圖，已知，，試說明．
證明：∵
∴ （兩直線平行，同位角相等）
∵
∴ ；
即：
在和中
∴（ ）．
【例2.3】（2023八年級·山西長治·期中）如圖，將繞頂點A逆時針旋轉至．連接．

(1)若，，求的度數．
(2)若，求證．
【變式2.1】（2023八年級·重慶沙坪壩·期中）如圖，在中，，延長至點，使，過點作，使，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【變式2.2】（2023八年級·河北保定·期中）如圖，在和中，，，且，，的延長線交于點．
(1)求證：；
(2)寫出與的數量關系，并證明你的結論．
【變式2.3】（2023八年級·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知正方形，點E是上的一點，連接，以為一邊，在的上方作正方形，連接．
求證：
(1)；
(2)．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·山東臨沂·期末）如圖，，，，點在線段上以的速度由點A向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動，它們運動的時間為．當與全等時，的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2
【題型2】（2023八年級·山東德州·期中）在和中，，，，，則這兩個三角形的關系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根據全等 D．根據全等
【題型3】（2023八年級·江蘇南京·期末）在中，，中線，則邊AB的取值范圍是 ．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河南周口·期中）如圖，在四邊形中，，，．求證：．
【題型2】（2023八年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD為∠ABC的平分線，BC=7.6，AB=4.4，則AD= .
【題型3】（2023八年級·河南信陽·期中）如圖，某村莊有一塊五邊形的田地，，，連接對角線，，．
(1)，與之間的數量關系是____________．
(2)為保護田內作物不被牲畜踩踏，村里決定給這塊田地的五邊上圍一圈木柵欄，已知每米木柵欄的建造成本是50元，則建造木柵欄共需花費多少元？（提示：延長至點，使）
(3)在和區域種上小麥，已知每平方米田地的小麥播種量為克，請直接寫出需提前準備多少千克的小麥種．
全等三角形的判定
角邊角(ASA)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等。
【考點1 “角邊角” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·陜西安康·期末）如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據所學知識很快就另外畫出了一個與原來完全一樣的三角形，這兩個三角形全等的依據是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023八年級·河南周口·期末）如圖，要測量河岸相對兩點的距離，已知垂直于河岸，先在上取兩點，使，再過點作的垂線段，使點在一條直線上，測出米，則的長是（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
【例1.3】（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖，點是平分線上的一點，，，，則的長不可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023八年級·全國·假期作業）如圖，下列四個三角形中，是全等三角形的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①② D．③④
【變式1.2】（2023八年級·河北石家莊·期末）有一塊三角形玻璃在運輸過程中，不小心碎成如圖所示的四塊，嘉淇想按原來的大小在玻璃店再訂制一塊，需要帶的兩塊可以是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【變式1.3】（2023八年級·河南信陽·期末）已知是的邊上一點，交于點，，，若，，則的長為（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考點2 “角邊角” 證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·廣西河池·期末）如圖，已知點B、E、C、F在同一直線上，，，．求證：
(1)；
(2)．
【例2.2】（2023八年級·山東臨沂·期末）如圖所示，點在外部，點在邊上．交于，若，，，求證：．
【例2.3】（2023·陜西西安·八年級·期末）如圖，在中，，在邊上順次取點，，使．作，，分別與，的延長線交于點，．求證：．

【變式2.1】（2023·陜西西安·八年級·期末）如圖，點在外部，點在邊上，若，，，求證：．
【變式2.2】（2023八年級·山東濟南·期中）如圖，已知點在一條直線上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【變式2.3】（2023八年級·湖北·期末）如圖，為測量河寬，小軍站在河岸的O處調整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對面的Q處，然后沿所在直線后退到B處（保持之前的姿勢），這時他的視點恰好落在O處，同時他讓小華測量他此時所站的B處與O處之間的距離為．你能幫忙算出河寬嗎？請說明理由．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·全國·競賽）如圖，已知點為邊上一點，點為外一點，如果，且，那么下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【題型2】（2023八年級·廣東清遠·期中）如圖，小明和小月兩家位于A，B兩處，要測得兩家之間的距離，小明設計方案如下：
①從點A 出發沿河岸畫一條射線
②在射線上截取 ；
③過點E作， 使 B， F，C在一條直線上；
④的長就是A，B 間的距離．
(1)請你說出小明的方案的原理，小明的方案是否可行？如果可行，請進行說理證明．
(2)如果不借助測量儀，小明的設計中哪一步難以實現？（直接寫出答案）
【題型3】（2023八年級·安徽·專題練習）如圖，在中，，，的平分線交于，的延長線于點，求證：
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·江蘇泰州·期末）如圖，有兩個三棱錐，其中，，則下列說法正確的是（ ）
A．，
B．，與不全等
C．與不全等，
D．與全等，與不全等
【題型2】（2023八年級·江西吉安·期末）如圖，的面積為，平分，過點A作于點，則的面積為 ．
【題型3】（2023八年級·重慶沙坪壩·期中）如圖， 中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點H．
求證：
(1)；
(2)．
1．（2023八年級·廣東廣州·期中）使的條件是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．（2023八年級·湖南岳陽·開學考試）如圖，和相交于O點，若，用證明還需增加條件（　　）

A． B． C． D．
3．（2023八年級·河北保定·期末）要測量A，B間的距離（無法直接測出），兩位同學提供了如下測量方案：
方案Ⅰ ①如圖1，選定點； ②連接，并延長到點C，使，連接，并延長到點，使； ③連接，測量的長度即可． 方案Ⅱ ①如圖2，選定點； ②連接，，并分別延長到點，，使，； ③連接，測量的長度即可．
對于方案Ⅰ、Ⅱ，下列說法正確的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
4．（2023八年級·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，，若連接、相交于點O，則圖中全等三角形共有（ ）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
5．（2023八年級·安徽合肥·期末）如圖，在和中，，連接，則與之間的大小關系是（ ）
A． B． C． D．大小關系不確定
6．（2023八年級·江蘇徐州·階段練習）如圖，在中，D是邊上一點，平分，在上截取，連結，已知，則線段的長是 ．
7．（2023八年級·云南昭通·階段練習）如圖，，，，，則等于 ．
8．（2023八年級·河南周口·階段練習）如圖，在中，，于D，，交于M，過點N作交于F，交于H．與全等的三角形為 ．

9．（2023八年級·安徽阜陽·階段練習）已知且交于點，，，其中的面積為，四邊形的面積為，若，則點到 的距離為 ．

10．（2023八年級·河南商丘·期末）如圖，在中，平分，，的面積為，的面積為，則的面積等于 ．
11．（2023八年級·安徽蕪湖·期末）如圖，在中，，，，、交于點．在不添加字母和輔助線的情況下，請你在圖中找出一對全等三角形并證明．
12．（2023八年級·福建泉州·期末）如圖，，．下列三個條件：
①；
②；
③．
請你從①②③中選一個條件，使．
(1)你添加的條件是_______（填序號）；
(2)添加條件后，請證明．
13．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，已在與中，，，，，求證：．
14．（2023八年級·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接、，若，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
15．（2023八年級·陜西西安·期中）如圖，在中，，高、相交于點O，，且．
(1)求線段的長；
(2)動點P從點O出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為l秒，的面積為S，請用含t的式子表示S；
(3)在（2）的條件下，點F是直線上的一點且．是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等？若存在，請直接寫出符合條件的t值，若不存在，請說明理由．

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