資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第07講 由AAS、HL證明三角形全等
·模塊一 “角角邊” 判定三角形全等
·模塊二 由HL證明三角形全等
·模塊三 課后作業
全等三角形的判定
角角邊(AAS)：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等。
【考點1 “角角邊”判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，，要依據“”判定，則還需要添加的條件是 ．

【例1.2】（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是，當小敏從水平位置下降時，小明離地面的高度是 cm．
【例1.3】（2023八年級·山東淄博·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．點O在BC上，且CO=1，點M是AC上一動點，連接OM，將線段OM繞點O逆時針旋轉90°，得到線段OD，要使點D恰好落在AB上，CM的長度為 ．
【變式1.1】（2023八年級·甘肅·期中）如圖，已知的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和全等的圖形是 .
【變式1.2】（2023八年級·福建龍巖·期中）如圖，已知與相交于點，，點為中點，若，，則 ．

【變式1.3】（2023八年級·河北邢臺·期中）在一次數學活動中，為了測一堵墻上點的高度，嘉淇設計了如下方案：
第一步：找一根長度大于的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點重合，記錄直桿與地面的夾角；
第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得 °，標記此時直桿的底端點；
第三步：測量地面上線段 的長度，即為點的高度．
若測得，，直桿下滑的高度 m．
【考點2 “角角邊”證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·四川成都·期中）如圖，點、在上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【例2.2】（2023·江蘇無錫·八年級·期末）如圖，中，點是的中點，過點作，連接并延長交于點，連接、．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【例2.3】（2023八年級·陜西西安·期末）數學活動課上，小宇帶著組員想要測量學校博智樓的高度．他們的測量方案如下：在大樹與博智樓之間找到一點，使得此時樹的頂端點處的視線與博智樓的頂端處的視線交于點，此時，測量得知與互余，且米，米．請你求出博智樓的高度．

【變式2.1】（2023八年級·浙江湖州·期末）如圖，已知，，．求證： ．

【變式2.2】（2023八年級·云南普洱·期末）如圖，點在同一條直線上，點分別在直線的兩側，且．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【變式2.3】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖,在中，是邊上的中線,于點E，交的延長線于點F．
(1)求證：；
(2)若＝16,求的長．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，已知在中，，，，．求證：．
【題型2】（2023八年級·湖北十堰·期末）已知：如圖，，．

(1)若中，，為上的一點，與相交于點F，求證：．
(2)若中，，在的延長線上，交的延長線相交于點E，則（1）的結論是否仍然成立？若成立，請完成下圖，并加以證明；若不成立，請說明理由．
【題型3】（2023八年級·湖北武漢·期中）如圖所示，中，，，，直線l經過點C．點M以每秒2cm的速度從B點出發，沿B→C→A路徑向終點A運動；同時點N以每秒1cm的速度從A點出發，沿A→C→B路徑向終點B運動；兩點到達相應的終點就分別停止運動．分別過M、N作于點D，于點E．設運動時間為t秒，要使以點M，D，C為頂點的三角形與以點N，E，C為頂點的三角形全等，則t的值為 ．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·四川廣安·期末）小明在物理課上學習了發聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探究：如圖1，在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動．如圖2，A表示小球靜止時的位置，當小明用發聲物體靠近小球時，小球從A處擺動到B處，此時過點B作于點D，當小球擺動到C處時，與恰好垂直，過點C作于點E．試說明（圖中的點在同一平面內）．
【題型2】（2023八年級·廣東廣州·期中）如圖，且，且，若點E、B、D到直線的距離分別為6、3、2，則圖中實線所圍成的陰影部分面積S是 ．
【題型3】（2023八年級·山東臨沂·期末）張華與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，張華坐在秋千的起始位置處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的處接住他后用力一推，爸爸在處接住他．若媽媽與爸爸到的水平距離、分別為和，．
(1)與全等嗎？請說明理由；
(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住張華的？（提示：夾在兩條平行線間的垂直線段都相等．）
全等三角形的判定：
斜邊、直角邊(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等
【考點1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據“”證明，則還要添加一個條件是（　?。?br/>A． B． C． D．
【例1.2】（2023八年級·河北滄州·期中）圖1是，圖2是嘉琪在已有的情況下，所畫的的部分過程，則依據是（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2023八年級·山西太原·期中）如圖，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023八年級·湖南郴州·期末）如圖，點D在上，．若，則 ．
【變式1.2】（2023八年級·湖北武漢·期末）如圖，D為中斜邊上的一點，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為 cm
【變式1.3】（2023八年級·江西贛州·期中）如圖，幼兒園的滑梯中有兩個長度相等的梯子，且，已知，，則 ．
【考點2 由HL證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在中，是的中點，于點，于點，且．求證：．完成下面的證明過程．
證明：
，，
__________．
是的中點，
__________，
又，
__________．
．
【例2.2】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點、、、在同一條直線上，，，，

(1)求證：；
(2)若，求的度數
【例2.3】（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．
【變式2.1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在和中，，判斷和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答過程正確嗎？若不正確，請你說明錯誤的原因．
【變式2.2】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿，將兩根長均為的鋼絲一端同系在電線桿上的點A處，另一端固定在地面上的兩個針上，那么兩個錨離電線桿底部的距離相等嗎？為什么？

【變式2.3】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，于，，．求證：；．

【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·河北張家口·期末）如圖，在中，于點，點在上，，，點為的中點，連接并延長至點，使，連接．求證：

(1)；
(2)．
【題型2】（2023八年級·廣東佛山·期末）如圖，，，垂足分別為、，，與交于點．寫出由上述條件得到的兩個不同類的結論 ．
【題型3】（2023八年級·山東德州·期中）如圖，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，則四個結論：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正確的是 ．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河北保定·期中）題目：“如圖，，，，點，分別在，上，且．當為何值時，與全等．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（ ）

A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【題型2】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）數學社團活動課上，甲乙兩位同學玩數學游戲．游戲規則是：兩人輪流對及的對應邊或對應角添加一組等量條件（點，，分別是點A，B，C的對應點），某輪添加條件后，若能判定與全等，則當輪添加條件者失敗，另一人獲勝．
輪次 行動者 添加條件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是 ．（填寫所有正確結論的序號）
①若第3輪甲添加，則甲獲勝；
②若第3輪甲添加，則甲必勝；
③若第2輪乙添加條件修改為，則乙必勝；
④若第2輪乙添加條件修改為，則此游戲最多4輪必分勝負．
【題型3】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，直線交于點，于點，于點，若，且，則的度數為 ．
1．（2023八年級·安徽蚌埠·開學考試）如圖所示，在中，，，于點，于點，，，則的長是( 　)

A． B． C． D．
2．（2023八年級·江蘇宿遷·階段練習）如圖，點，分別在線段，上，與相交于點．若，則圖中相等的線段有（ ）

A．對 B．對 C．對 D．對
3．（2023八年級·天津西青·期中）如圖，，，垂足分別為點A，B，．根據這些條件不能推出的結論是（ ）
A． B． C．平分 D．
4．（2023八年級·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，在中，，高交于點交于點F，則圖中共有全等三角形（）
A．7對 B．6對 C．5對 D．4對
5．（2023八年級·安徽·專題練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，兩個滑梯的傾斜角和的大小間的關系是（　?。?br/>A． B．
C． D．
6．（2023八年級·江蘇常州·期末）如圖，在和中，，，．若，則 °．
7．（2023八年級·河南新鄉·期中）如圖，兩個小朋友在水平地上玩蹺蹺板．已知蹺蹺板的支點是長板的中點，支柱高．當長板的一端著地時，長板的另一端到地面的高度為 ．
8．（2023八年級·四川成都·期末）在中，，，點在邊上，，點，在線段上，若的面積為，則 ．
9．（2023八年級·山東濟寧·期末）在一個支架的橫桿點處用一根繩懸掛一個小球，小球可以擺動，如圖，表示小球靜止時的位置，當小球從擺到位置時，過點作于點，當小球擺到位置時，與恰好垂直，過點作于點，測得，則的長為 ．
10．（2023八年級·河北保定·階段練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，兩個滑梯的傾斜角和的數量關系是 ．

11．（2023八年級·山東濟南·期中）如圖，在與中，點，在線段上，，，，求證：．

12．（2023·云南·模擬預測）如圖，D是內部的一點，，過點D作，，垂足分別為E，F，且．求證：．
13．（2023八年級·遼寧沈陽·期中）某建筑測量隊為了測量一棟垂直于地面的居民樓的高度，在大樹與居民樓之間的地面上選了一點C，使B，C，D在一條直線上，測得垂直于地面的大樹頂端A的視線與居民樓頂墻E的視線的夾角，若米，米，請計算出該居民樓的高度．

14．（2023八年級·全國·專題練習）如圖，在中，，，點在線段上運動（不與、重合），連接，作，交線段于．
(1)當時， ， ；
(2)當等于多少時，，請說明理由．
15．（2023八年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，且，，，垂足分別為E、F．

(1)求證：；
(2)在圖2中，連接交BC于點G，請直接寫出圖中所有相等的線段（不包括的對應線段）中小學教育資源及組卷應用平臺
第07講 由AAS、HL證明三角形全等
·模塊一 “角角邊” 判定三角形全等
·模塊二 由HL證明三角形全等
·模塊三 課后作業
全等三角形的判定
角角邊(AAS)：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等。
【考點1 “角角邊”判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，，要依據“”判定，則還需要添加的條件是 ．

【答案】
【分析】本題考查的是全等三角形的判定，熟記判定三角形全等是解本題的關鍵，本題添加即可．
【詳解】解：∵，，
∴添加，
∴；
故答案為：．
【例1.2】（2023八年級·江蘇揚州·期中）如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是，當小敏從水平位置下降時，小明離地面的高度是 cm．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，將實際生活與全等三角形的知識結合是解題關鍵．
【詳解】解：由題意得：，，
∵，
∴
∴
∵支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是，
∴小明離地面的高度是：
故答案為：
【例1.3】（2023八年級·山東淄博·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．點O在BC上，且CO=1，點M是AC上一動點，連接OM，將線段OM繞點O逆時針旋轉90°，得到線段OD，要使點D恰好落在AB上，CM的長度為 ．
【答案】5
【分析】如圖，作輔助線；首先證明，得到，；其次證明，求出，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，過點作于點；
，
，
；
由題意得：；
在與中，
，
，
，；
為等腰直角三角形，
，，
，，
，
故答案為5．
【點睛】本題主要考查了旋轉變換的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定等幾何知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線，構造全等三角形；解題的關鍵是靈活運用旋轉變換的性質等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答.
【變式1.1】（2023八年級·甘肅·期中）如圖，已知的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和全等的圖形是 .
【答案】乙丙.
【分析】甲不符合三角形全等的判斷方法，乙可運用SAS判定全等，丙可運用AAS證明兩個三角形全等．
【詳解】由圖形可知，甲有一邊一角，不能判斷兩三角形全等，
乙有兩邊及其夾角，能判斷兩三角形全等，
丙得出兩角及其一角對邊，能判斷兩三角形全等，
根據全等三角形的判定得，乙丙正確.
故答案為乙丙.
【點睛】此題考查三角形全等的判定方法，解題關鍵在于掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【變式1.2】（2023八年級·福建龍巖·期中）如圖，已知與相交于點，，點為中點，若，，則 ．

【答案】4
【分析】根據平行線的性質和線段中點，證明，得到，再根據，即可求出的長．
【詳解】解：，
，，
點為中點，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．
【變式1.3】（2023八年級·河北邢臺·期中）在一次數學活動中，為了測一堵墻上點的高度，嘉淇設計了如下方案：
第一步：找一根長度大于的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點重合，記錄直桿與地面的夾角；
第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得 °，標記此時直桿的底端點；
第三步：測量地面上線段 的長度，即為點的高度．
若測得，，直桿下滑的高度 m．
【答案】
【分析】測一堵墻上點的高度，可構造，則，即的長度就是點的高度，由此即可求解．
【詳解】解：根據題意得，，，通過構造直角三角形與直角三角形全等，
∴，
∵利用“角角邊”構造，
∴，
∴測量的長即為墻上點的高度，
∵，
∴m，m，，
∴m．
【點睛】本題主要考查全等三角形性質的應用，構造三角形全等是解題的關鍵．
【考點2 “角角邊”證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·四川成都·期中）如圖，點、在上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)證明見解析
(2)∠D的度數是
【分析】（1）由，推導出，由，證明，即可根據“”證明；
（2）由，，根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”得，，求得．
此題重點考查平行線的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識，推導出，，進而證明是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，
，
的度數是．
【例2.2】（2023·江蘇無錫·八年級·期末）如圖，中，點是的中點，過點作，連接并延長交于點，連接、．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）利用即可證明；
（2）結合（1）利用線段的和差即可解決問題．
【詳解】（1）證明：是的中點，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
【例2.3】（2023八年級·陜西西安·期末）數學活動課上，小宇帶著組員想要測量學校博智樓的高度．他們的測量方案如下：在大樹與博智樓之間找到一點，使得此時樹的頂端點處的視線與博智樓的頂端處的視線交于點，此時，測量得知與互余，且米，米．請你求出博智樓的高度．

【答案】博智樓的高度是18米
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，根據，得出，，結合角的等量代換得出，即可證明，然后進行邊的運算，即可作答．
【詳解】解：由題意，得．
∵，，
∴．
在與中，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即．
答：博智樓的高度是18米．
【變式2.1】（2023八年級·浙江湖州·期末）如圖，已知，，．求證： ．

【答案】見解析
【分析】利用，證明 即可．
【詳解】∵，
∴，
即，
又∵，，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理，是解題的關鍵．
【變式2.2】（2023八年級·云南普洱·期末）如圖，點在同一條直線上，點分別在直線的兩側，且．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)的長為5
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，
（1）利用等量代換得，從而利用“”證明即可；
（2）由（1）知，可得，再利用求解即可．
【詳解】（1）證明：，，且，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
的長為5．
【變式2.3】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖,在中，是邊上的中線,于點E，交的延長線于點F．
(1)求證：；
(2)若＝16,求的長．
【答案】(1)見解析
(2)8
【分析】本題考查了根據三角形的中線求線段長度、全等三角形綜合,根據條件寫全步驟是解決本題的關鍵．
（1）中線可得，通過兩個垂直可以判斷兩個角都為，還有對頂角,通過即可證明兩個三角形全等,進而得證．
（2）通過觀察可發現根據（1）中的全等可拆分為，從而得出答案．
【詳解】（1）證明：是的邊上的中線，
，
，
．
在和中,
，
，
．
（2）由（1）知，
，
，
，
，
∴．
故．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，已知在中，，，，．求證：．
【答案】見解析
【分析】
本題考查了平行線性質，三角形內角和，全等三角形的判定與性質，根據兩直線平行同位角相等，得到，結合題意以及三角形內角和可得，利用證明，即可得出結論．
【詳解】證明：，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【題型2】（2023八年級·湖北十堰·期末）已知：如圖，，．

(1)若中，，為上的一點，與相交于點F，求證：．
(2)若中，，在的延長線上，交的延長線相交于點E，則（1）的結論是否仍然成立？若成立，請完成下圖，并加以證明；若不成立，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)結論成立，見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖，找出角度之間的關系是解題的關鍵．
（1）求出，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出，然后利用“角角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）作出圖形，與（1）的證明思路相同進行證明即可．
【詳解】（1）解：證明： ，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）明：結論成立．
證明如下：如圖，

，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【題型3】（2023八年級·湖北武漢·期中）如圖所示，中，，，，直線l經過點C．點M以每秒2cm的速度從B點出發，沿B→C→A路徑向終點A運動；同時點N以每秒1cm的速度從A點出發，沿A→C→B路徑向終點B運動；兩點到達相應的終點就分別停止運動．分別過M、N作于點D，于點E．設運動時間為t秒，要使以點M，D，C為頂點的三角形與以點N，E，C為頂點的三角形全等，則t的值為 ．
【答案】或7或10
【分析】分，，以及四種情況進行討論，利用全等三角形的判定，進行求解即可．
【詳解】解：∵，，
從運動到需要：，從運動到需要：，
∴運動的總時間為：，
從運動到需要：，從運動到需要：，
∴運動的總時間為：，
∴當時：，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當時： ，
即：，
∴（不合題意，舍去）；
當：時，，，
當重合時，，即：，，
∴，解得：；
當：時，，，
∵，，
∴當時： ，
即：，解得：；
當：時，，，
∵，，
∴當時： ，
即：，解得：；
綜上：當的值為或7或10．
故答案為：或7或10．
【點睛】本題考查全等三角形中的動點問題．熟練掌握全等三角形的判定，根據動點的位置，進行分類討論，是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·四川廣安·期末）小明在物理課上學習了發聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探究：如圖1，在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動．如圖2，A表示小球靜止時的位置，當小明用發聲物體靠近小球時，小球從A處擺動到B處，此時過點B作于點D，當小球擺動到C處時，與恰好垂直，過點C作于點E．試說明（圖中的點在同一平面內）．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．利用證明，可得結論．
【詳解】解：∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
【題型2】（2023八年級·廣東廣州·期中）如圖，且，且，若點E、B、D到直線的距離分別為6、3、2，則圖中實線所圍成的陰影部分面積S是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查三角形全等的性質與判定，證明，，結合梯形面積公式及三角形面積公式即可得到答案；
【詳解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
在與，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【題型3】（2023八年級·山東臨沂·期末）張華與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，張華坐在秋千的起始位置處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的處接住他后用力一推，爸爸在處接住他．若媽媽與爸爸到的水平距離、分別為和，．
(1)與全等嗎？請說明理由；
(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住張華的？（提示：夾在兩條平行線間的垂直線段都相等．）
【答案】(1)全等，見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．
（1）根據證明與全等即可；
（2）根據全等三角形的性質得出，，求出，根據求出結果即可．
【詳解】（1）解：．理由如下：
由題意可知，，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴.
（2）解：∵，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
答：爸爸是在距離地面的地方接住張華的．
全等三角形的判定：
斜邊、直角邊(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等
【考點1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據“”證明，則還要添加一個條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查的是直角三角形的全等的判定，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“”）．
直接根據直角三角形的全等的判定方法可得答案．
【詳解】解：在和中，
，
，
故選：B．
【例1.2】（2023八年級·河北滄州·期中）圖1是，圖2是嘉琪在已有的情況下，所畫的的部分過程，則依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，用尺規作圖：作一個三角形，讀懂作圖的步驟及作圖原理可得到答案．
【詳解】解：根據作圖過程和步驟可知依據是，
故選：D
【例1.3】（2023八年級·山西太原·期中）如圖，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩個銳角互余，先根據證明得，進而可求出的度數．
【詳解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故選C．
【變式1.1】（2023八年級·湖南郴州·期末）如圖，點D在上，．若，則 ．
【答案】/45度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．證明，可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴．
又∵，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【變式1.2】（2023八年級·湖北武漢·期末）如圖，D為中斜邊上的一點，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為 cm
【答案】6
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，先連接，再根據“”證明，然后根據全等三角形的性質得出答案．
【詳解】連接．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案為：6．
【變式1.3】（2023八年級·江西贛州·期中）如圖，幼兒園的滑梯中有兩個長度相等的梯子，且，已知，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，利用證明得到，則．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【考點2 由HL證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在中，是的中點，于點，于點，且．求證：．完成下面的證明過程．
證明：
，，
__________．
是的中點，
__________，
又，
__________．
．
【答案】，，
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質知識；證明，得出即可．證明三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
是的中點，
又，
．
【例2.2】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點、、、在同一條直線上，，，，

(1)求證：；
(2)若，求的度數
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理：
（1）先證，再證即可；
（2）根據可得，再根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】（1）證明： ，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【例2.3】（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．
【答案】見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據三角形中線的定義得到，，由，得到，利用即可證明．
【詳解】證明：∵與分別為，邊上的中線，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【變式2.1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在和中，，判斷和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答過程正確嗎？若不正確，請你說明錯誤的原因．
【答案】不正確，錯誤原因見解析．
【分析】根據直角三角形全等的判定定理判定．
【詳解】解：不正確，錯誤原因如下：
∵在中是斜邊，在中是直角邊，
∴不滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等的條件，
∴解答過程不正確．
【點睛】本題考查了直角三角形的全等判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．
【變式2.2】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿，將兩根長均為的鋼絲一端同系在電線桿上的點A處，另一端固定在地面上的兩個針上，那么兩個錨離電線桿底部的距離相等嗎？為什么？

【答案】相等，見解析
【分析】根據直角三角形全等的判定方法即可得．
【詳解】相等．理由如下：
解：，
，
在和中，，
．
，
即兩個針離電線桿底部的距離相等．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，掌握全等三角形的判定．
【變式2.3】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，于，，．求證：；．

【答案】詳見解析
【分析】過點向作垂線，構建全等三角形，繼而根據平角定義以及線段的和差即可證得結論．
【詳解】如圖，過點作與點，則，
，，
，
，，
，，
，
，，
∵，
，
．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確添加輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·河北張家口·期末）如圖，在中，于點，點在上，，，點為的中點，連接并延長至點，使，連接．求證：

(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）)先根據垂直的定義可得和都是直角三角形，再利用定理證明三角形全等即可；
（2）根據證明，得到再利用直角三角形的兩銳角互余得出．
【詳解】（1），
．
又，，
；
（2）為中點，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定定理與性質、直角三角形的性質等知識點，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵
【題型2】（2023八年級·廣東佛山·期末）如圖，，，垂足分別為、，，與交于點．寫出由上述條件得到的兩個不同類的結論 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】連接OP，證明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性質解答即可．
【詳解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．從中選擇邊和角不同的結論即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM與Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM與△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案為：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山東德州·期中）如圖，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，則四個結論：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正確的是 ．
【答案】①②
【分析】證，可得，，再根據即可求得，即可解題．
【詳解】解：在和中，
，
，
，①正確，
∴，
，
，
，②正確，
和中，只有一個條件，再沒有其余條件可以證明 ，故③④錯誤；
故答案是：①②．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河北保定·期中）題目：“如圖，，，，點，分別在，上，且．當為何值時，與全等．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（ ）

A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解答本題的關鍵．
根據已知條件，得到，，，要使兩個直角三角形全等還需要一條直角邊對應相等即可，分析得到或時，．
【詳解】解：如圖所示，

，，，
，
在和中，
，
如圖所示，

，，，
，
在和中，
，
，
綜上，或時，，
故選：．
【題型2】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）數學社團活動課上，甲乙兩位同學玩數學游戲．游戲規則是：兩人輪流對及的對應邊或對應角添加一組等量條件（點，，分別是點A，B，C的對應點），某輪添加條件后，若能判定與全等，則當輪添加條件者失敗，另一人獲勝．
輪次 行動者 添加條件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是 ．（填寫所有正確結論的序號）
①若第3輪甲添加，則甲獲勝；
②若第3輪甲添加，則甲必勝；
③若第2輪乙添加條件修改為，則乙必勝；
④若第2輪乙添加條件修改為，則此游戲最多4輪必分勝負．
【答案】②③④
【分析】根據全等三角形的判定定理，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：①若第3輪甲添加，可根據角角邊判定與全等，則乙獲勝，故本說法錯誤；
②若第3輪甲添加，
如圖，當，時，以為圓心，為半徑畫弧，與射線相交于點，
，
此時交點C是唯一的，
故甲添加時，與全等，
故甲獲勝，故本說法正確；
③若第2輪乙添加條件修改為，
若第3輪甲添加一邊相等，可根據邊角邊或斜邊直角邊判定與全等，則乙獲勝，
若第3輪甲添加一角相等，可根據角角邊或角邊角判定與全等，則乙獲勝，
故乙必勝，故本說法正確；
④若第2輪乙添加條件修改為，
第3輪甲若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定與全等，則乙獲勝；
甲若添加一組角相等，滿足邊邊角，不能判定與全等，
第4輪乙若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定與全等，則乙獲勝；
乙若添加一組角相等，滿足角角邊（或角邊角），能判定與全等，則甲獲勝，
此時此游戲4輪能分勝負，故本說法正確．
故答案為：②③④
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，直線交于點，于點，于點，若，且，則的度數為 ．
【答案】/26度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形兩銳角互余，證明得到，計算出，最后根據直角三角形兩銳角互余進行計算即可，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．
【詳解】解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
1．（2023八年級·安徽蚌埠·開學考試）如圖所示，在中，，，于點，于點，，，則的長是( 　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查直角三角形的全等判定與性質，首先證明，又由，，得出，，進而得出答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，，
∴．
故選B
2．（2023八年級·江蘇宿遷·階段練習）如圖，點，分別在線段，上，與相交于點．若，則圖中相等的線段有（ ）

A．對 B．對 C．對 D．對
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，根據全等三角形的性質直接可得，，，進而得出，然后證明得出，即可求解．
【詳解】解：∵
∴，，
∴，即，
∵
∴，，又，
∴
∴
∴共有對相等的線段，
故選：D．
3．（2023八年級·天津西青·期中）如圖，，，垂足分別為點A，B，．根據這些條件不能推出的結論是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】C
【分析】根據，就可以肯定答案A可以推出，再由條件可以得到，就可以推出與，而平分無法得到論證．
【詳解】解：∵，，
∴， 故答案A可以推出．
又∵在與中， ，，
∴，
∴，，
∴答案B、D均可以推出．
∴只有C無法推出，
故選：C．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定，以及全等三角形的性質，用排除法解決選擇題是常用的方法，也是解決本題的關鍵．
4．（2023八年級·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，在中，，高交于點交于點F，則圖中共有全等三角形（）
A．7對 B．6對 C．5對 D．4對
【答案】A
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，根據題意得等腰三角形，利用等腰三角形的判定逐個判斷圖中包含的全等三角形即可．
【詳解】解：∵，分別是三角形的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
則，
∵，
∴，
在和中
∴，
同理還有；；；；，總共7對．
故選∶A．
5．（2023八年級·安徽·專題練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，兩個滑梯的傾斜角和的大小間的關系是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意易證Rt△ABC≌Rt△DEF，從而可得，再利用直角三角形兩銳角互余即可得正確結論．
【詳解】∵
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴
∴
又∵在中,
∴
故選：D
【點睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定和性質在實際問題中的應用，問題簡單．
6．（2023八年級·江蘇常州·期末）如圖，在和中，，，．若，則 °．
【答案】55
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．由“”可證，可得，即可求解．
【詳解】解：在和中，
，
，
，
，
故答案為：55．
7．（2023八年級·河南新鄉·期中）如圖，兩個小朋友在水平地上玩蹺蹺板．已知蹺蹺板的支點是長板的中點，支柱高．當長板的一端著地時，長板的另一端到地面的高度為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，通過證明，得到，由平行線間間距相等可得則．
【詳解】解：如圖所示，為長板，點O為中點，為水平底面，
分別過A和D作水平底面的垂線，垂足分別為E、B，過點O作，分別交于C、D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由平行線間間距相等可得，
∴，
∴當長板的一端著地時，長板的另一端到地面的高度為，
故答案為：．
8．（2023八年級·四川成都·期末）在中，，，點在邊上，，點，在線段上，若的面積為，則 ．
【答案】6
【分析】本題屬于全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．
證明≌，推出與面積相等，可得結論．
【詳解】解：在等腰三角形中，，，
與等高，底邊比值為，
與的面積比為．
的面積為，
與的面積分別為和，
，
．
，，，
，
．
在和中，
，
，
與面積相等，
與的面積之和為的面積，
與的面積之和為．
故答案為：．
9．（2023八年級·山東濟寧·期末）在一個支架的橫桿點處用一根繩懸掛一個小球，小球可以擺動，如圖，表示小球靜止時的位置，當小球從擺到位置時，過點作于點，當小球擺到位置時，與恰好垂直，過點作于點，測得，則的長為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質、直角三角形的特征，根據直角三角形的特征及可得，進而可得，再根據即可求解，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】解： 和是由擺動得到，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案為：6．
10．（2023八年級·河北保定·階段練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，兩個滑梯的傾斜角和的數量關系是 ．

【答案】
【分析】由條件信息可得，與均是直角三角形，由已知可根據判定兩三角形全等，再根據全等三角形的對應角相等，不難求解．
【詳解】解：，證明如下：
由題意可得：與均是直角三角形，且．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：
【點睛】此題考查了全等三角形的應用．做題時要注意找已知條件，根據已知選擇方法得出全等三角形是解題關鍵．
11．（2023八年級·山東濟南·期中）如圖，在與中，點，在線段上，，，，求證：．

【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質．由“”可證，可得結論．
【詳解】證明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
12．（2023·云南·模擬預測）如圖，D是內部的一點，，過點D作，，垂足分別為E，F，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．根據可證明，再由全等三角形的性質可得結論．
【詳解】證明：，，
．
在和中，
，
，
．
13．（2023八年級·遼寧沈陽·期中）某建筑測量隊為了測量一棟垂直于地面的居民樓的高度，在大樹與居民樓之間的地面上選了一點C，使B，C，D在一條直線上，測得垂直于地面的大樹頂端A的視線與居民樓頂墻E的視線的夾角，若米，米，請計算出該居民樓的高度．

【答案】25米
【分析】本題考查了全等三角形的判定，先根據以及可以推出，從而得到，進而計算出即可．
【詳解】解：由題意可知：，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
又米，米，
米，
米，
答：該居民樓的高度為25米．
14．（2023八年級·全國·專題練習）如圖，在中，，，點在線段上運動（不與、重合），連接，作，交線段于．
(1)當時， ， ；
(2)當等于多少時，，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此題主要考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強．
（）利用鄰補角的性質和三角形內角和定理解題；
（）當時，利用，，求出，再利用，即可得出．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：當時，，理由如下：
，
，
又，
，
，
在和中，
，
．
15．（2023八年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，且，，，垂足分別為E、F．

(1)求證：；
(2)在圖2中，連接交BC于點G，請直接寫出圖中所有相等的線段（不包括的對應線段）
【答案】(1)見解析
(2)，，，
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解決問題的關鍵．
（1）由，，得出，再由，得出結論；
（2）由（1）得，容易得到，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴；
（2）解：，，，，理由如下：
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，．

展開更多......

收起↑