資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第03講 用尺規作角平分線和垂線、由HL證明三角形全等
·模塊一 用尺規作角平分線和垂線
·模塊二 由HL證明三角形全等
·模塊三 課后作業
1．用尺規作角平分線：
步驟：
（1）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點N、M；
（2）分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，相交于點P；
（3）畫射線OP,OP即為所求角平分線.
2．用尺規作垂線：
步驟：
（1）以點O為圓心，任意長為半徑向點O兩側作弧，交直線于A、B兩點；
（2）分別以點A、B為圓心，以大于AB長為半徑向直線兩側作弧，交點分別為M、N；
（3）連接MN，MN即為所求垂線.
【考點1 用尺規作角平分線】
【例1.1】（2023八年級·山西朔州·期末）如圖所示，小李用直尺和圓規作∠CAB的平分線AD，則得出∠CAD＝∠DAB的依據是（　　）

A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
【答案】C
【分析】利用三角形全等的判定證明．
【詳解】解：由題意AF=AE，FD=ED，AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠DAF=∠DAE，
故選C．
【點睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
【例1.2】（2023八年級·江蘇南京·期末）已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB．①畫射線OC即為所求；②以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；③分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C，則上面作法的合理順序為（ ）.
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
【答案】A
【分析】根據角平分線的作法可直接得到答案．
【詳解】解：②以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；
③分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C，
①畫射線OC即為所求，
故選A．
【點睛】本題考查了尺規作圖—作已知角的平分線，熟記作圖的一般步驟是解決此題的關鍵．
【例1.3】（2023·四川廣元·八年級·期末）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數為（ ）
A．20° B．50° C．60° D．40°
【答案】D
【分析】利用全等三角形的性質解決問題即可．
【詳解】解：連接CN、DN．
由作圖可知，CM=DM，CN=DN,
在△MCN和△MDN中，
，
∴△MCN≌△MDN（SSS），
∴∠CMN=∠DMN，
∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，
∴∠CMD=2∠AOB=40°，
故選：D
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【變式1.1】（2023八年級·福建漳州·期末）如圖，已知，求作射線，使（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并說明其中的道理．
【答案】見解析.
【分析】利用基本作圖（作已知角的角平分線）作出OC，同時得到OC′，然后根據“SSS“判斷△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根據等角的補角相等得到∠AOC′=∠BOC′．
【詳解】解：如圖，射線或為所作．
通過證明得到，
然后根據等角的補角相等得到．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．
【變式1.2】（2023八年級·河南漯河·期中）王師傅用角尺平分一個角，如圖①，學生小顧用三角尺平分一個角，如圖②，他們都在兩邊上分別取，前者使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；后者分別過，作，的垂線，交點為，則射線平分，均可由得知，其依據分別是（　　）
A．； B．； C．； D．；
【答案】C
【分析】根據題意可知：王師傅用角尺平分一個角時使得：，，，故王師傅的依據為：；學生小顧用三角尺平分一個角時使得：，，且，故學生小顧的依據為：；即可得到結果
【詳解】∵王師傅用角尺平分一個角，在兩邊上分別取，使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；
∴，，，
∴，
故王師傅的依據為：；
∵學生小顧用三角尺平分一個角，在兩邊上分別取，分別過，作，的垂線，交點為，
∴，，且，
∴，
故學生小顧的依據為：；
故答案為：C
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和角平分線的概念，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵
【考點2 用尺規作垂線】
【例2.1】（2023·湖北宜昌·中考真題）尺規作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】根據過直線外一點向直線作垂線即可．
【詳解】已知：直線AB和AB外一點C．
求作：AB的垂線，使它經過點C．
作法：（1）任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．
（2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以D和E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F，
（4）作直線CF．
直線CF就是所求的垂線．
故選B．
【點睛】此題主要考查了過一點作直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解決問題的關鍵．
【例2.2】（2023·河北秦皇島·八年級·期末）用直尺和圓規作一個直角三角形斜邊上的高，作圖錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據過直線外一點作已知直線的垂線作圖即可求解
【詳解】A、D選項通過作線段的垂直平分線得到斜邊上的高，C選項通過作90度的圓周角得到斜邊上的高．故選B．
【點睛】此題考查作圖-基本作圖，掌握作圖技巧是解題關鍵
【例2.3】（2023·廣西防城港·中考真題）如圖，在中，，觀察圖中尺規作圖的痕跡，可知的度數為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性質和基本作圖得到，則平分，利用和三角形內角和計算出，從而得到的度數.
【詳解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故選C．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.也考查了等腰三角形的性質.
【變式2.1】（2023·浙江溫州·八年級·期末）小明用尺規作了如下四幅圖形：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點P作已知直線的垂線，從保留的作圖痕跡看出作圖正確的是（　　）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】利用作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過直線外一點P作已知直線的垂線的作法進而判斷得出答案．
【詳解】解：①作一個角等于已知角的方法正確；
②作一個角的平分線的作法正確；
③作一條線段的垂直平分線缺少另一個交點，作法錯誤；
④過直線外一點P作已知直線的垂線的作法正確．
故選A．
【點睛】此題主要考查了基本作圖，正確把握作圖方法是解題關鍵．
【變式2.2】（2023·吉林長春·八年級·期末）在數學課上，老師提出如下問題
老師說：“小華的作法正確”
請回答：小華第二步作圖的依據是 ．
【答案】等腰三角形的性質
【分析】根據等腰三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解：小華第二步作圖的依據是等腰三角形的性質，
故答案為等腰三角形的性質．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：五種基本作圖一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，逐步操作．
【變式2.3】（2023八年級·山西臨汾·期末）按要求完成尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．
已知：在中，，．
(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點．
(2)求所作圖形中的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用基本作圖，過點作于，再利用基本作圖作的平分線， 與相交于點；
（2）首先根據直角三角形兩銳角互余計算出，再根據角平分線的性質得出，根據同角的余角相等得，最后根據三角形內角和定理即可得出結果．
【詳解】（1）如圖，線段是邊上的高，線段是的角平分線．
（2） ，，
，，
是的角平分線，
，
線段是邊上的高，
，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了作圖——基本作圖，也考查了三角形內角和定理，角平分線性質，熟練掌握基本幾何圖形的性質是解本題的關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023·河北邢臺·八年級·期末）圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關于四條弧①、②、③、④有四種說法：
（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
（2）弧②是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
（3）弧③是以A為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
其中正確說法的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據基本作圖的方法即可得到結論．
【詳解】解：（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確；
（2）弧②是以P為圓心，大于點P到直線的距離為半徑所畫的弧，錯誤；
（3）弧③是以A為圓心，大于AB的長為半徑所畫的弧，錯誤；
（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確．
故選C．
【點睛】此題主要考查了基本作圖，解決問題的關鍵是掌握基本作圖的方法．
【題型2】（2023八年級·陜西安康·期末）在△ABC中，畫出BC邊上的高線，∠B的角平分線．
【答案】詳見解析.
【分析】利用尺規作圖, 過點A作AD⊥BC即可作出高AD; 利用角平分線的作法, 即可作出∠ABC的平分線BE.
【詳解】解：如圖，AD、BE為所作．
【點睛】本題考查了尺規作圖的應用, 主要考查了角平分線的作法、高線、中線作法, 熟練掌握基本作圖方法、 作圖的步驟是解題關鍵. 本題難度不大.
【題型3】（2023八年級·全國·期中）如圖，已知△ABC中，∠A=70°，根據作圖痕跡推斷∠BOC的度數為 °．
【答案】125
【分析】利用基本作圖得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根據三角形內角和得到∠BOC=90°+∠A，然后把∠A=70°代入計算即可．
【詳解】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A，
而∠A=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°．
故答案為125．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了角平分線的定義及三角形內角和定理的應用.
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023·云南昆明·八年級·期末）如圖所示，∠AOB＝70°，以點O為圓心，以適當長為半徑作弧分別交OA，OB于C，D兩點；分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；以O為端點作射線OP，在射線OP上取點M，連接MC、MD．若測得∠CMD＝40°，則∠MDB＝
【答案】55°
【分析】利用基本作圖得到OC＝OD，OP平分∠AOB，則∠AOP＝∠BOP＝35°，再證明△OMC≌△OMD得到∠OMC＝∠OMD＝20°，然后利用三角形外角性質計算∠MDB．
【詳解】解：由作法得OC＝OD，OP平分∠AOB，則∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝35°，
在△OMC和△OMD中
，
∴△OMC≌△OMD（SAS），
∴∠OMC＝∠OMD＝∠CMD＝20°，
∴∠MDB＝∠DOM+∠OMD＝35°+20°＝55°．
故答案為55°．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也得考查了全等三角形的判定與性質.
【題型2】（2023八年級·廣西·學業考試）如圖，已知，直線及上兩點，．尺規作圖：作，使點在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）
【答案】見解析．
【分析】分別根據過直線上一點作已知直線的垂線、作一個角等于已知角的作圖步驟，尺規作圖即可.
【詳解】如圖所示，作出，
作出，
即為所求.
【點睛】本題考查過直線上一點作已知直線的垂線、作一個角等于已知角這兩個尺規作圖的結合，熟練掌握這幾種尺規作圖的具體作法是解題的關鍵.
【題型3】（2023·廣東佛山·八年級·期末）如圖，已知鈍角△ABC
(1)過點A作BC邊的垂線，交CB的延長線于點D；（尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）
(2)當BC=AB，∠ABC=120°時，求證：AB平分∠DAC．
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【分析】（1）利用基本作圖：過直線外一點作直線的垂線作出垂線段AD即可；
（2）根據等腰三角形的性質求出∠BAC=∠BCA=30°，然后根據直角三角形的性質求出∠DAC=60°，得到∠DAB=∠BAC即可.
【詳解】解：（1）如圖所示：
（2）∵BC=AB，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA= ，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-30°=60°，
∴∠DAB=∠DAC-∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠BAC，即AB平分∠DAC.
【點睛】本題考查了過直線外一點作垂線，等腰三角形的性質，直角三角形的性質以及角平分線的判定，熟練掌握相關性質定理是解題關鍵.
全等三角形的判定：
斜邊、直角邊(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等
【考點1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據“”證明，則還要添加一個條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查的是直角三角形的全等的判定，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“”）．
直接根據直角三角形的全等的判定方法可得答案．
【詳解】解：在和中，
，
，
故選：B．
【例1.2】（2023八年級·河北滄州·期中）圖1是，圖2是嘉琪在已有的情況下，所畫的的部分過程，則依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，用尺規作圖：作一個三角形，讀懂作圖的步驟及作圖原理可得到答案．
【詳解】解：根據作圖過程和步驟可知依據是，
故選：D
【例1.3】（2023八年級·山西太原·期中）如圖，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩個銳角互余，先根據證明得，進而可求出的度數．
【詳解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故選C．
【變式1.1】（2023八年級·湖南郴州·期末）如圖，點D在上，．若，則 ．
【答案】/45度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．證明，可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴．
又∵，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【變式1.2】（2023八年級·湖北武漢·期末）如圖，D為中斜邊上的一點，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為 cm
【答案】6
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，先連接，再根據“”證明，然后根據全等三角形的性質得出答案．
【詳解】連接．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案為：6．
【變式1.3】（2023八年級·江西贛州·期中）如圖，幼兒園的滑梯中有兩個長度相等的梯子，且，已知，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，利用證明得到，則．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【考點2 由HL證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在中，是的中點，于點，于點，且．求證：．完成下面的證明過程．
證明：
，，
__________．
是的中點，
__________，
又，
__________．
．
【答案】，，
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質知識；證明，得出即可．證明三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
是的中點，
又，
．
【例2.2】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點、、、在同一條直線上，，，，

(1)求證：；
(2)若，求的度數
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理：
（1）先證，再證即可；
（2）根據可得，再根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】（1）證明： ，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【例2.3】（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．
【答案】見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據三角形中線的定義得到，，由，得到，利用即可證明．
【詳解】證明：∵與分別為，邊上的中線，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【變式2.1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在和中，，判斷和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答過程正確嗎？若不正確，請你說明錯誤的原因．
【答案】不正確，錯誤原因見解析．
【分析】根據直角三角形全等的判定定理判定．
【詳解】解：不正確，錯誤原因如下：
∵在中是斜邊，在中是直角邊，
∴不滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等的條件，
∴解答過程不正確．
【點睛】本題考查了直角三角形的全等判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．
【變式2.2】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿，將兩根長均為的鋼絲一端同系在電線桿上的點A處，另一端固定在地面上的兩個針上，那么兩個錨離電線桿底部的距離相等嗎？為什么？

【答案】相等，見解析
【分析】根據直角三角形全等的判定方法即可得．
【詳解】相等．理由如下：
解：，
，
在和中，，
．
，
即兩個針離電線桿底部的距離相等．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，掌握全等三角形的判定．
【變式2.3】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，于，，．求證：；．

【答案】詳見解析
【分析】過點向作垂線，構建全等三角形，繼而根據平角定義以及線段的和差即可證得結論．
【詳解】如圖，過點作與點，則，
，，
，
，，
，，
，
，，
∵，
，
．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確添加輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·河北張家口·期末）如圖，在中，于點，點在上，，，點為的中點，連接并延長至點，使，連接．求證：

(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）)先根據垂直的定義可得和都是直角三角形，再利用定理證明三角形全等即可；
（2）根據證明，得到再利用直角三角形的兩銳角互余得出．
【詳解】（1），
．
又，，
；
（2）為中點，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定定理與性質、直角三角形的性質等知識點，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵
【題型2】（2023八年級·廣東佛山·期末）如圖，，，垂足分別為、，，與交于點．寫出由上述條件得到的兩個不同類的結論 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】連接OP，證明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性質解答即可．
【詳解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．從中選擇邊和角不同的結論即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM與Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM與△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案為：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山東德州·期中）如圖，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，則四個結論：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正確的是 ．
【答案】①②
【分析】證，可得，，再根據即可求得，即可解題．
【詳解】解：在和中，
，
，
，①正確，
∴，
，
，
，②正確，
和中，只有一個條件，再沒有其余條件可以證明 ，故③④錯誤；
故答案是：①②．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河北保定·期中）題目：“如圖，，，，點，分別在，上，且．當為何值時，與全等．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（ ）

A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解答本題的關鍵．
根據已知條件，得到，，，要使兩個直角三角形全等還需要一條直角邊對應相等即可，分析得到或時，．
【詳解】解：如圖所示，

，，，
，
在和中，
，
如圖所示，

，，，
，
在和中，
，
，
綜上，或時，，
故選：．
【題型2】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）數學社團活動課上，甲乙兩位同學玩數學游戲．游戲規則是：兩人輪流對及的對應邊或對應角添加一組等量條件（點，，分別是點A，B，C的對應點），某輪添加條件后，若能判定與全等，則當輪添加條件者失敗，另一人獲勝．
輪次 行動者 添加條件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是 ．（填寫所有正確結論的序號）
①若第3輪甲添加，則甲獲勝；
②若第3輪甲添加，則甲必勝；
③若第2輪乙添加條件修改為，則乙必勝；
④若第2輪乙添加條件修改為，則此游戲最多4輪必分勝負．
【答案】②③④
【分析】根據全等三角形的判定定理，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：①若第3輪甲添加，可根據角角邊判定與全等，則乙獲勝，故本說法錯誤；
②若第3輪甲添加，
如圖，當，時，以為圓心，為半徑畫弧，與射線相交于點，
，
此時交點C是唯一的，
故甲添加時，與全等，
故甲獲勝，故本說法正確；
③若第2輪乙添加條件修改為，
若第3輪甲添加一邊相等，可根據邊角邊或斜邊直角邊判定與全等，則乙獲勝，
若第3輪甲添加一角相等，可根據角角邊或角邊角判定與全等，則乙獲勝，
故乙必勝，故本說法正確；
④若第2輪乙添加條件修改為，
第3輪甲若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定與全等，則乙獲勝；
甲若添加一組角相等，滿足邊邊角，不能判定與全等，
第4輪乙若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定與全等，則乙獲勝；
乙若添加一組角相等，滿足角角邊（或角邊角），能判定與全等，則甲獲勝，
此時此游戲4輪能分勝負，故本說法正確．
故答案為：②③④
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，直線交于點，于點，于點，若，且，則的度數為 ．
【答案】/26度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形兩銳角互余，證明得到，計算出，最后根據直角三角形兩銳角互余進行計算即可，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．
【詳解】解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
1．（2023·湖北襄陽·八年級·期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AB于點E，交AD于點F，分別以點E和點F為圓心，以大于EF長為半徑畫弧，兩弧交于點G，作射線AG，交BC于點H，由作圖過程可得到△ABH一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用角平分線的性質以及平行線的性質得出∠BAH＝∠AHB，進而得出△ABH的形狀．
【詳解】∵AD∥BC，
∴∠DAH＝∠AHB，
∵作圖過程是作的∠DAB的角平分線，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAH＝∠AHB，
∴AB＝BH，
∴△ABH一定是等腰三角形．
故選A．
【點睛】此題主要考查了角平分線的性質以及平行線的性質等知識，利用已知得出∠BAH＝∠AHB是解題關鍵．
2．（2023八年級·湖南岳陽·期中）如圖，于點D，于點F，．證明不是利用“”的條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等是解答本題的關鍵．根據直角三角形全等的判定方法進行判斷即可．
【詳解】解：∵于點D，于點F，．
∴，
∵，
∴補充：或，
可得：，故A，C不符合題意；
補充，
∴，
∴，故D不符合題意；
補充，
∴，
∴，故B符合題意；
故選B
3．（2023八年級·河南鄭州·期中）過射線上一點分別向的兩邊作垂線，得到垂線段與，若垂線段，則可以得到一對全等三角形，為了證明，運用到的全等三角形判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，利用證明直角三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】解：∵過射線上一點分別向的兩邊作垂線，得到垂線段與，
∴，
又∵（公共邊），（已知），
∴，
∴為了證明，運用到的全等三角形判定定理是，
故選：D．
4．（2023八年級·江蘇蘇州·期末）在中，，E是上的一點，且，過E作交于D，如果，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，判定三角形全等的方法有、、、、．
根據可判定，再根據全等三角形的性質得出，最后根據線段的和差即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
5．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，，，點A，D和B，C分別在直線和上，點E在上，，，，則的值為（ ）

A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】運用方法判定，得，進而求解．
【詳解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．
6．（2023八年級·廣東廣州·期中）能使兩個直角三角形全等的條件有 ．
①一條直角邊及其對角對應相等；②斜邊和一條直角邊對應相等；③斜邊和一銳角對應相等；④兩個銳角對應相等．
【答案】①②③
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】∵所有的直角都相等，
∴①一條直角邊及其對角對應相等，符合角角邊定理，正確；
②斜邊和一條直角邊對應相等，符合，正確；
③斜邊和一銳角對應相等，符合角角邊定理，正確；
④兩個銳角對應相等，缺少邊元素，無法判定，錯誤．
故答案為：①②③．
7．（2023八年級·江蘇泰州·期末）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點M、N作的垂線，交點為P，畫射線，則平分的依據是 ．（填或或）
【答案】
【分析】利用判定方法“”證明 和 全等，進而得出答案；
【詳解】解：∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴ 是 的平分線；
故答案為：
【點睛】本題考查了全等三角形的應用以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關鍵
8．（2023八年級·甘肅平涼·期末）如圖，在中，分別是邊上的高，已知；若，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證即可求解．
【詳解】解：∵分別是邊上的高，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
故答案為：
9．（2023八年級·河北唐山·期中）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面豎直的墻上，已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等．若，則的度數是 ．

【答案】/57度
【分析】根據，，證明，熟練掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
10．（2023八年級·山東聊城·期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，，則 ．
【答案】/58度
【分析】利用直角三角形全等的判定得出，進而得出，即可得出的度數．
【詳解】在與中，
∴．
∴（全等三角形對應角相等）．
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查直角三角形的判定定理，直角三角形的兩銳角互余，解題的關鍵是掌握直角三角形的判定定理，證明．
11．（2023·陜西商洛·八年級·期末）如圖，，于點M，于點N，，連接．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，先證明，再證明，即可證明．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
12．（2023八年級·福建福州·期末）求證：全等三角形對應角的角平分線相等．（要求在給出的兩個全等三角形中畫出一組對應角的角平分線，并寫出已知、求證和證明過程）

【答案】見解析
【分析】本題主要考查了學生對全等三角形的性質及判定的理解及運用能力，注意命題的證明的格式和步驟是正確解題的前提．
作出圖形，結合圖形寫出已知、求證，根據全等三角形對應邊相等，對應角相等，得， ，，由、分別是和的平分線，可得，根據角邊角可以判定，即可得出結論．
【詳解】已知：如圖所示，，、分別是和的平分線．

求證：
證明：∵，
∴， ，，
∵、分別是和的平分線．，
∴，
在和中，
∴()，
∴．
13．（2023八年級·陜西西安·期中）如圖，在五邊形中，，，，點D是上一點，連接、，有，求證：．

【答案】見解析
【分析】此題考查了全等三角形的性質和判定，
連接，首先證明出，得到，然后證明出，得到．
【詳解】解：連接，

在和中，
有
∴，
∴．
在和中，
有
∴，
∴．
14．（2023八年級·北京門頭溝·期末）下面是小芳同學設計的“過直線外一點作這條直線垂線”的尺規作圖過程．
已知：如圖1，直線l及直線l外一點P ．
求作：直線l的垂線，使它經過點P ．
作法：如圖2，
① 以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A、B兩點；
② 連接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分線PQ，交直線l于點Q．
④ 作直線PQ ．
∴ 直線PQ就是所求的直線．
根據小芳設計的尺規作圖過程，解答下列問題：
（1）使用直尺和圓規，補全圖2（保留作圖痕跡）；
（2）補全下面證明過程：
證明：∵ PQ平分∠APB，
∴ ∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依據）．
∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依據）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．
【答案】（1）見詳解；（2）PB，兩邊及其夾角相等的兩三角形全等，全等三角形對應角相等．
【分析】（1）根據尺規作圖的步驟先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分線PQ即作出所求圖；
（2）根據作圖過程知PA=PB，再根據三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性質．
【詳解】（1）如圖：
（2）PB；兩邊及其夾角相等的兩三角形全等；全等三角形對應角相等．
【點睛】此題考查學生的動手能力——尺規作圖中角平分線和垂直平分線的作法，涉及到三角形全等的判定和性質，難度一般．
15．（2023八年級·山東棗莊·期中）已知：如圖，在中，，于，于，相交于，連接．求證：平分．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定和角平分線判定的應用．求出，根據推出，求出，根據證出，推出即可．
【詳解】證明：，，
，
在和中，
，
．
，
在和中，
，
∴，
，
平分．
16．（2023八年級·廣東茂名·期中）已知：如圖，，垂足分別為與相交于點P．
求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質和判定，正確的作出輔助線；連結，先證根據，證明，得，再根據，證明，得，進而可證；
【詳解】證明：連接，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，
，中小學教育資源及組卷應用平臺
第03講 用尺規作角平分線和垂線、由HL證明三角形全等
·模塊一 用尺規作角平分線和垂線
·模塊二 由HL證明三角形全等
·模塊三 課后作業
1．用尺規作角平分線：
步驟：
（1）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點N、M；
（2）分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，相交于點P；
（3）畫射線OP,OP即為所求角平分線.
2．用尺規作垂線：
步驟：
（1）以點O為圓心，任意長為半徑向點O兩側作弧，交直線于A、B兩點；
（2）分別以點A、B為圓心，以大于AB長為半徑向直線兩側作弧，交點分別為M、N；
（3）連接MN，MN即為所求垂線.
【考點1 用尺規作角平分線】
【例1.1】（2023八年級·山西朔州·期末）如圖所示，小李用直尺和圓規作∠CAB的平分線AD，則得出∠CAD＝∠DAB的依據是（　　）

A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
【答案】C
【分析】利用三角形全等的判定證明．
【詳解】解：由題意AF=AE，FD=ED，AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠DAF=∠DAE，
故選C．
【點睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
【例1.2】（2023八年級·江蘇南京·期末）已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB．①畫射線OC即為所求；②以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；③分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C，則上面作法的合理順序為（ ）.
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
【答案】A
【分析】根據角平分線的作法可直接得到答案．
【詳解】解：②以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；
③分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C，
①畫射線OC即為所求，
故選A．
【點睛】本題考查了尺規作圖—作已知角的平分線，熟記作圖的一般步驟是解決此題的關鍵．
【例1.3】（2023·四川廣元·八年級·期末）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數為（ ）
A．20° B．50° C．60° D．40°
【答案】D
【分析】利用全等三角形的性質解決問題即可．
【詳解】解：連接CN、DN．
由作圖可知，CM=DM，CN=DN,
在△MCN和△MDN中，
，
∴△MCN≌△MDN（SSS），
∴∠CMN=∠DMN，
∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，
∴∠CMD=2∠AOB=40°，
故選：D
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【變式1.1】（2023八年級·福建漳州·期末）如圖，已知，求作射線，使（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并說明其中的道理．
【答案】見解析.
【分析】利用基本作圖（作已知角的角平分線）作出OC，同時得到OC′，然后根據“SSS“判斷△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根據等角的補角相等得到∠AOC′=∠BOC′．
【詳解】解：如圖，射線或為所作．
通過證明得到，
然后根據等角的補角相等得到．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．
【變式1.2】（2023八年級·河南漯河·期中）王師傅用角尺平分一個角，如圖①，學生小顧用三角尺平分一個角，如圖②，他們都在兩邊上分別取，前者使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；后者分別過，作，的垂線，交點為，則射線平分，均可由得知，其依據分別是（　　）
A．； B．； C．； D．；
【答案】C
【分析】根據題意可知：王師傅用角尺平分一個角時使得：，，，故王師傅的依據為：；學生小顧用三角尺平分一個角時使得：，，且，故學生小顧的依據為：；即可得到結果
【詳解】∵王師傅用角尺平分一個角，在兩邊上分別取，使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；
∴，，，
∴，
故王師傅的依據為：；
∵學生小顧用三角尺平分一個角，在兩邊上分別取，分別過，作，的垂線，交點為，
∴，，且，
∴，
故學生小顧的依據為：；
故答案為：C
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和角平分線的概念，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵
【考點2 用尺規作垂線】
【例2.1】（2023·湖北宜昌·中考真題）尺規作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】根據過直線外一點向直線作垂線即可．
【詳解】已知：直線AB和AB外一點C．
求作：AB的垂線，使它經過點C．
作法：（1）任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．
（2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以D和E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F，
（4）作直線CF．
直線CF就是所求的垂線．
故選B．
【點睛】此題主要考查了過一點作直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解決問題的關鍵．
【例2.2】（2023·河北秦皇島·八年級·期末）用直尺和圓規作一個直角三角形斜邊上的高，作圖錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據過直線外一點作已知直線的垂線作圖即可求解
【詳解】A、D選項通過作線段的垂直平分線得到斜邊上的高，C選項通過作90度的圓周角得到斜邊上的高．故選B．
【點睛】此題考查作圖-基本作圖，掌握作圖技巧是解題關鍵
【例2.3】（2023·廣西防城港·中考真題）如圖，在中，，觀察圖中尺規作圖的痕跡，可知的度數為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性質和基本作圖得到，則平分，利用和三角形內角和計算出，從而得到的度數.
【詳解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故選C．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.也考查了等腰三角形的性質.
【變式2.1】（2023·浙江溫州·八年級·期末）小明用尺規作了如下四幅圖形：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點P作已知直線的垂線，從保留的作圖痕跡看出作圖正確的是（　　）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】利用作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過直線外一點P作已知直線的垂線的作法進而判斷得出答案．
【詳解】解：①作一個角等于已知角的方法正確；
②作一個角的平分線的作法正確；
③作一條線段的垂直平分線缺少另一個交點，作法錯誤；
④過直線外一點P作已知直線的垂線的作法正確．
故選A．
【點睛】此題主要考查了基本作圖，正確把握作圖方法是解題關鍵．
【變式2.2】（2023·吉林長春·八年級·期末）在數學課上，老師提出如下問題
老師說：“小華的作法正確”
請回答：小華第二步作圖的依據是 ．
【答案】等腰三角形的性質
【分析】根據等腰三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解：小華第二步作圖的依據是等腰三角形的性質，
故答案為等腰三角形的性質．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：五種基本作圖一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，逐步操作．
【變式2.3】（2023八年級·山西臨汾·期末）按要求完成尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．
已知：在中，，．
(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點．
(2)求所作圖形中的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用基本作圖，過點作于，再利用基本作圖作的平分線， 與相交于點；
（2）首先根據直角三角形兩銳角互余計算出，再根據角平分線的性質得出，根據同角的余角相等得，最后根據三角形內角和定理即可得出結果．
【詳解】（1）如圖，線段是邊上的高，線段是的角平分線．
（2） ，，
，，
是的角平分線，
，
線段是邊上的高，
，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了作圖——基本作圖，也考查了三角形內角和定理，角平分線性質，熟練掌握基本幾何圖形的性質是解本題的關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023·河北邢臺·八年級·期末）圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關于四條弧①、②、③、④有四種說法：
（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
（2）弧②是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
（3）弧③是以A為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；
其中正確說法的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據基本作圖的方法即可得到結論．
【詳解】解：（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確；
（2）弧②是以P為圓心，大于點P到直線的距離為半徑所畫的弧，錯誤；
（3）弧③是以A為圓心，大于AB的長為半徑所畫的弧，錯誤；
（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確．
故選C．
【點睛】此題主要考查了基本作圖，解決問題的關鍵是掌握基本作圖的方法．
【題型2】（2023八年級·陜西安康·期末）在△ABC中，畫出BC邊上的高線，∠B的角平分線．
【答案】詳見解析.
【分析】利用尺規作圖, 過點A作AD⊥BC即可作出高AD; 利用角平分線的作法, 即可作出∠ABC的平分線BE.
【詳解】解：如圖，AD、BE為所作．
【點睛】本題考查了尺規作圖的應用, 主要考查了角平分線的作法、高線、中線作法, 熟練掌握基本作圖方法、 作圖的步驟是解題關鍵. 本題難度不大.
【題型3】（2023八年級·全國·期中）如圖，已知△ABC中，∠A=70°，根據作圖痕跡推斷∠BOC的度數為 °．
【答案】125
【分析】利用基本作圖得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根據三角形內角和得到∠BOC=90°+∠A，然后把∠A=70°代入計算即可．
【詳解】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A，
而∠A=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°．
故答案為125．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了角平分線的定義及三角形內角和定理的應用.
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023·云南昆明·八年級·期末）如圖所示，∠AOB＝70°，以點O為圓心，以適當長為半徑作弧分別交OA，OB于C，D兩點；分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；以O為端點作射線OP，在射線OP上取點M，連接MC、MD．若測得∠CMD＝40°，則∠MDB＝
【答案】55°
【分析】利用基本作圖得到OC＝OD，OP平分∠AOB，則∠AOP＝∠BOP＝35°，再證明△OMC≌△OMD得到∠OMC＝∠OMD＝20°，然后利用三角形外角性質計算∠MDB．
【詳解】解：由作法得OC＝OD，OP平分∠AOB，則∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝35°，
在△OMC和△OMD中
，
∴△OMC≌△OMD（SAS），
∴∠OMC＝∠OMD＝∠CMD＝20°，
∴∠MDB＝∠DOM+∠OMD＝35°+20°＝55°．
故答案為55°．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也得考查了全等三角形的判定與性質.
【題型2】（2023八年級·廣西·學業考試）如圖，已知，直線及上兩點，．尺規作圖：作，使點在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）
【答案】見解析．
【分析】分別根據過直線上一點作已知直線的垂線、作一個角等于已知角的作圖步驟，尺規作圖即可.
【詳解】如圖所示，作出，
作出，
即為所求.
【點睛】本題考查過直線上一點作已知直線的垂線、作一個角等于已知角這兩個尺規作圖的結合，熟練掌握這幾種尺規作圖的具體作法是解題的關鍵.
【題型3】（2023·廣東佛山·八年級·期末）如圖，已知鈍角△ABC
(1)過點A作BC邊的垂線，交CB的延長線于點D；（尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）
(2)當BC=AB，∠ABC=120°時，求證：AB平分∠DAC．
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【分析】（1）利用基本作圖：過直線外一點作直線的垂線作出垂線段AD即可；
（2）根據等腰三角形的性質求出∠BAC=∠BCA=30°，然后根據直角三角形的性質求出∠DAC=60°，得到∠DAB=∠BAC即可.
【詳解】解：（1）如圖所示：
（2）∵BC=AB，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA= ，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-30°=60°，
∴∠DAB=∠DAC-∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠BAC，即AB平分∠DAC.
【點睛】本題考查了過直線外一點作垂線，等腰三角形的性質，直角三角形的性質以及角平分線的判定，熟練掌握相關性質定理是解題關鍵.
全等三角形的判定：
斜邊、直角邊(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等
【考點1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年級·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據“”證明，則還要添加一個條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查的是直角三角形的全等的判定，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“”）．
直接根據直角三角形的全等的判定方法可得答案．
【詳解】解：在和中，
，
，
故選：B．
【例1.2】（2023八年級·河北滄州·期中）圖1是，圖2是嘉琪在已有的情況下，所畫的的部分過程，則依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，用尺規作圖：作一個三角形，讀懂作圖的步驟及作圖原理可得到答案．
【詳解】解：根據作圖過程和步驟可知依據是，
故選：D
【例1.3】（2023八年級·山西太原·期中）如圖，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩個銳角互余，先根據證明得，進而可求出的度數．
【詳解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故選C．
【變式1.1】（2023八年級·湖南郴州·期末）如圖，點D在上，．若，則 ．
【答案】/45度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．證明，可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴．
又∵，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【變式1.2】（2023八年級·湖北武漢·期末）如圖，D為中斜邊上的一點，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為 cm
【答案】6
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，先連接，再根據“”證明，然后根據全等三角形的性質得出答案．
【詳解】連接．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案為：6．
【變式1.3】（2023八年級·江西贛州·期中）如圖，幼兒園的滑梯中有兩個長度相等的梯子，且，已知，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，利用證明得到，則．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【考點2 由HL證明三角形全等】
【例2.1】（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在中，是的中點，于點，于點，且．求證：．完成下面的證明過程．
證明：
，，
__________．
是的中點，
__________，
又，
__________．
．
【答案】，，
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質知識；證明，得出即可．證明三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
是的中點，
又，
．
【例2.2】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點、、、在同一條直線上，，，，

(1)求證：；
(2)若，求的度數
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理：
（1）先證，再證即可；
（2）根據可得，再根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】（1）證明： ，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【例2.3】（2023八年級·山東濟南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．
【答案】見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據三角形中線的定義得到，，由，得到，利用即可證明．
【詳解】證明：∵與分別為，邊上的中線，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【變式2.1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在和中，，判斷和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答過程正確嗎？若不正確，請你說明錯誤的原因．
【答案】不正確，錯誤原因見解析．
【分析】根據直角三角形全等的判定定理判定．
【詳解】解：不正確，錯誤原因如下：
∵在中是斜邊，在中是直角邊，
∴不滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等的條件，
∴解答過程不正確．
【點睛】本題考查了直角三角形的全等判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．
【變式2.2】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿，將兩根長均為的鋼絲一端同系在電線桿上的點A處，另一端固定在地面上的兩個針上，那么兩個錨離電線桿底部的距離相等嗎？為什么？

【答案】相等，見解析
【分析】根據直角三角形全等的判定方法即可得．
【詳解】相等．理由如下：
解：，
，
在和中，，
．
，
即兩個針離電線桿底部的距離相等．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，掌握全等三角形的判定．
【變式2.3】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，于，，．求證：；．

【答案】詳見解析
【分析】過點向作垂線，構建全等三角形，繼而根據平角定義以及線段的和差即可證得結論．
【詳解】如圖，過點作與點，則，
，，
，
，，
，，
，
，，
∵，
，
．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確添加輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·河北張家口·期末）如圖，在中，于點，點在上，，，點為的中點，連接并延長至點，使，連接．求證：

(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）)先根據垂直的定義可得和都是直角三角形，再利用定理證明三角形全等即可；
（2）根據證明，得到再利用直角三角形的兩銳角互余得出．
【詳解】（1），
．
又，，
；
（2）為中點，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定定理與性質、直角三角形的性質等知識點，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵
【題型2】（2023八年級·廣東佛山·期末）如圖，，，垂足分別為、，，與交于點．寫出由上述條件得到的兩個不同類的結論 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】連接OP，證明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性質解答即可．
【詳解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．從中選擇邊和角不同的結論即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM與Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM與△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案為：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山東德州·期中）如圖，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，則四個結論：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正確的是 ．
【答案】①②
【分析】證，可得，，再根據即可求得，即可解題．
【詳解】解：在和中，
，
，
，①正確，
∴，
，
，
，②正確，
和中，只有一個條件，再沒有其余條件可以證明 ，故③④錯誤；
故答案是：①②．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河北保定·期中）題目：“如圖，，，，點，分別在，上，且．當為何值時，與全等．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（ ）

A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解答本題的關鍵．
根據已知條件，得到，，，要使兩個直角三角形全等還需要一條直角邊對應相等即可，分析得到或時，．
【詳解】解：如圖所示，

，，，
，
在和中，
，
如圖所示，

，，，
，
在和中，
，
，
綜上，或時，，
故選：．
【題型2】（2023八年級·江蘇蘇州·期末）數學社團活動課上，甲乙兩位同學玩數學游戲．游戲規則是：兩人輪流對及的對應邊或對應角添加一組等量條件（點，，分別是點A，B，C的對應點），某輪添加條件后，若能判定與全等，則當輪添加條件者失敗，另一人獲勝．
輪次 行動者 添加條件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是 ．（填寫所有正確結論的序號）
①若第3輪甲添加，則甲獲勝；
②若第3輪甲添加，則甲必勝；
③若第2輪乙添加條件修改為，則乙必勝；
④若第2輪乙添加條件修改為，則此游戲最多4輪必分勝負．
【答案】②③④
【分析】根據全等三角形的判定定理，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：①若第3輪甲添加，可根據角角邊判定與全等，則乙獲勝，故本說法錯誤；
②若第3輪甲添加，
如圖，當，時，以為圓心，為半徑畫弧，與射線相交于點，
，
此時交點C是唯一的，
故甲添加時，與全等，
故甲獲勝，故本說法正確；
③若第2輪乙添加條件修改為，
若第3輪甲添加一邊相等，可根據邊角邊或斜邊直角邊判定與全等，則乙獲勝，
若第3輪甲添加一角相等，可根據角角邊或角邊角判定與全等，則乙獲勝，
故乙必勝，故本說法正確；
④若第2輪乙添加條件修改為，
第3輪甲若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定與全等，則乙獲勝；
甲若添加一組角相等，滿足邊邊角，不能判定與全等，
第4輪乙若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定與全等，則乙獲勝；
乙若添加一組角相等，滿足角角邊（或角邊角），能判定與全等，則甲獲勝，
此時此游戲4輪能分勝負，故本說法正確．
故答案為：②③④
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山西呂梁·期中）如圖，直線交于點，于點，于點，若，且，則的度數為 ．
【答案】/26度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形兩銳角互余，證明得到，計算出，最后根據直角三角形兩銳角互余進行計算即可，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．
【詳解】解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
1．（2023·湖北襄陽·八年級·期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AB于點E，交AD于點F，分別以點E和點F為圓心，以大于EF長為半徑畫弧，兩弧交于點G，作射線AG，交BC于點H，由作圖過程可得到△ABH一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用角平分線的性質以及平行線的性質得出∠BAH＝∠AHB，進而得出△ABH的形狀．
【詳解】∵AD∥BC，
∴∠DAH＝∠AHB，
∵作圖過程是作的∠DAB的角平分線，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAH＝∠AHB，
∴AB＝BH，
∴△ABH一定是等腰三角形．
故選A．
【點睛】此題主要考查了角平分線的性質以及平行線的性質等知識，利用已知得出∠BAH＝∠AHB是解題關鍵．
2．（2023八年級·湖南岳陽·期中）如圖，于點D，于點F，．證明不是利用“”的條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等是解答本題的關鍵．根據直角三角形全等的判定方法進行判斷即可．
【詳解】解：∵于點D，于點F，．
∴，
∵，
∴補充：或，
可得：，故A，C不符合題意；
補充，
∴，
∴，故D不符合題意；
補充，
∴，
∴，故B符合題意；
故選B
3．（2023八年級·河南鄭州·期中）過射線上一點分別向的兩邊作垂線，得到垂線段與，若垂線段，則可以得到一對全等三角形，為了證明，運用到的全等三角形判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，利用證明直角三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】解：∵過射線上一點分別向的兩邊作垂線，得到垂線段與，
∴，
又∵（公共邊），（已知），
∴，
∴為了證明，運用到的全等三角形判定定理是，
故選：D．
4．（2023八年級·江蘇蘇州·期末）在中，，E是上的一點，且，過E作交于D，如果，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，判定三角形全等的方法有、、、、．
根據可判定，再根據全等三角形的性質得出，最后根據線段的和差即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
5．（2023八年級·江蘇南京·期末）如圖，，，點A，D和B，C分別在直線和上，點E在上，，，，則的值為（ ）

A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】運用方法判定，得，進而求解．
【詳解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．
6．（2023八年級·廣東廣州·期中）能使兩個直角三角形全等的條件有 ．
①一條直角邊及其對角對應相等；②斜邊和一條直角邊對應相等；③斜邊和一銳角對應相等；④兩個銳角對應相等．
【答案】①②③
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】∵所有的直角都相等，
∴①一條直角邊及其對角對應相等，符合角角邊定理，正確；
②斜邊和一條直角邊對應相等，符合，正確；
③斜邊和一銳角對應相等，符合角角邊定理，正確；
④兩個銳角對應相等，缺少邊元素，無法判定，錯誤．
故答案為：①②③．
7．（2023八年級·江蘇泰州·期末）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點M、N作的垂線，交點為P，畫射線，則平分的依據是 ．（填或或）
【答案】
【分析】利用判定方法“”證明 和 全等，進而得出答案；
【詳解】解：∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴ 是 的平分線；
故答案為：
【點睛】本題考查了全等三角形的應用以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關鍵
8．（2023八年級·甘肅平涼·期末）如圖，在中，分別是邊上的高，已知；若，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證即可求解．
【詳解】解：∵分別是邊上的高，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
故答案為：
9．（2023八年級·河北唐山·期中）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面豎直的墻上，已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等．若，則的度數是 ．

【答案】/57度
【分析】根據，，證明，熟練掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
10．（2023八年級·山東聊城·期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，，則 ．
【答案】/58度
【分析】利用直角三角形全等的判定得出，進而得出，即可得出的度數．
【詳解】在與中，
∴．
∴（全等三角形對應角相等）．
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查直角三角形的判定定理，直角三角形的兩銳角互余，解題的關鍵是掌握直角三角形的判定定理，證明．
11．（2023·陜西商洛·八年級·期末）如圖，，于點M，于點N，，連接．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，先證明，再證明，即可證明．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
12．（2023八年級·福建福州·期末）求證：全等三角形對應角的角平分線相等．（要求在給出的兩個全等三角形中畫出一組對應角的角平分線，并寫出已知、求證和證明過程）

【答案】見解析
【分析】本題主要考查了學生對全等三角形的性質及判定的理解及運用能力，注意命題的證明的格式和步驟是正確解題的前提．
作出圖形，結合圖形寫出已知、求證，根據全等三角形對應邊相等，對應角相等，得， ，，由、分別是和的平分線，可得，根據角邊角可以判定，即可得出結論．
【詳解】已知：如圖所示，，、分別是和的平分線．

求證：
證明：∵，
∴， ，，
∵、分別是和的平分線．，
∴，
在和中，
∴()，
∴．
13．（2023八年級·陜西西安·期中）如圖，在五邊形中，，，，點D是上一點，連接、，有，求證：．

【答案】見解析
【分析】此題考查了全等三角形的性質和判定，
連接，首先證明出，得到，然后證明出，得到．
【詳解】解：連接，

在和中，
有
∴，
∴．
在和中，
有
∴，
∴．
14．（2023八年級·北京門頭溝·期末）下面是小芳同學設計的“過直線外一點作這條直線垂線”的尺規作圖過程．
已知：如圖1，直線l及直線l外一點P ．
求作：直線l的垂線，使它經過點P ．
作法：如圖2，
① 以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A、B兩點；
② 連接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分線PQ，交直線l于點Q．
④ 作直線PQ ．
∴ 直線PQ就是所求的直線．
根據小芳設計的尺規作圖過程，解答下列問題：
（1）使用直尺和圓規，補全圖2（保留作圖痕跡）；
（2）補全下面證明過程：
證明：∵ PQ平分∠APB，
∴ ∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依據）．
∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依據）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．
【答案】（1）見詳解；（2）PB，兩邊及其夾角相等的兩三角形全等，全等三角形對應角相等．
【分析】（1）根據尺規作圖的步驟先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分線PQ即作出所求圖；
（2）根據作圖過程知PA=PB，再根據三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性質．
【詳解】（1）如圖：
（2）PB；兩邊及其夾角相等的兩三角形全等；全等三角形對應角相等．
【點睛】此題考查學生的動手能力——尺規作圖中角平分線和垂直平分線的作法，涉及到三角形全等的判定和性質，難度一般．
15．（2023八年級·山東棗莊·期中）已知：如圖，在中，，于，于，相交于，連接．求證：平分．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定和角平分線判定的應用．求出，根據推出，求出，根據證出，推出即可．
【詳解】證明：，，
，
在和中，
，
．
，
在和中，
，
∴，
，
平分．
16．（2023八年級·廣東茂名·期中）已知：如圖，，垂足分別為與相交于點P．
求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質和判定，正確的作出輔助線；連結，先證根據，證明，得，再根據，證明，得，進而可證；
【詳解】證明：連接，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，
，

展開更多......

收起↑