資源簡介

8．1　基本立體圖形
8.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
1. 認識棱柱、棱錐和棱臺的結構特征．
2. 能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構．
3. 了解棱柱、棱錐和棱臺的概念．
活動一 了解空間內的常見幾何體
思考1
如圖，下面這些圖片中的物體具有怎樣的形狀？在日常生活中，我們把這些物體的形狀叫作什么？如何描述它們的形狀？
紙杯 紙箱 腰鼓 金字塔
茶葉盒 水晶螢石 奶粉罐 籃球和足球
　
1. 多面體：由若干個______________圍成的幾何體叫作多面體．圍成多面體的各個多邊形叫作多面體的________，兩個面的________叫作多面體的棱，棱與棱的公共點叫作多面體的________．
2. 旋轉體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫作旋轉體的________．
活動二 了解棱柱的結構特征
思考2
觀察下面的長方體，它的每個面是什么樣的多邊形？不同的面之間有什么位置關系？
　　
1. 棱柱的定義：
2. 棱柱中一些常用名稱的含義：
我們把棱柱中兩個互相平行的面叫作棱柱的底面，它們是全等的多邊形；其余各面叫作棱柱的側面，它們都是平行四邊形；相鄰側面的公共邊叫作棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫作棱柱的頂點．
3. 棱柱的表示方法：用表示底面各頂點的字母表示棱柱，如：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.
4. 棱柱的分類：
(1) 分類一：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……我們把這樣的棱柱分別叫作________、________、________……
(2) 分類二：一般地，把________垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，側棱________于底面的棱柱叫作斜棱柱．底面是________的直棱柱叫作正棱柱．底面是________的四棱柱也叫作平行六面體．
練習　說出下列哪些圖是直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面體？
(2) (3)
　　
　　
5. 棱柱的性質：
(1) 側棱都互相________，各側面都是平行四邊形；直棱柱的每條側棱及每個側面都________于底面；
(2) 兩個底面與平行于底面的截面是________的多邊形，且對應邊互相________；
(3) 過不相鄰的兩條側棱的截面(即對角面)是________．
活動三 了解棱錐的結構特征
思考3
下圖中的物體具有什么樣的共同的結構特征？
　　
1. 棱錐的定義：
2. 棱錐中一些常用名稱的含義：
一個多邊形面叫作棱錐的底面；有公共頂點的各個三角形面叫作棱錐的側面；相鄰側面的公共邊叫作棱錐的側棱；各側面的公共頂點叫作棱錐的頂點．
3. 棱錐的表示方法：用表示頂點和底面各頂點的字母表示，如四棱錐S-ABCD.
4. 棱錐的分類：
按底面多邊形的邊數，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐…… 其中三棱錐又叫________．底面是________，并且頂點與底面中心的連線________于底面的棱錐叫作正棱錐．
練習　下面幾何體是棱錐嗎？
活動四 了解棱臺的結構特征
1. 棱臺的定義：
思考4
請你仿照棱錐中側面、側棱、頂點的定義，給出棱臺側面、側棱、頂點的定義，并在棱臺中標出．
2. 棱臺的表示方法：用表示上、下底面各頂點的字母來表示，如棱臺ABCDE-A1B1C1D1E1.
3. 棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫作三棱臺，四棱臺，五棱臺……
思考5
棱臺的結構特征是什么？
練習　判斷下列幾何體是不是棱臺，為什么？
(2)
　　　
例　將下列各類幾何體之間的關系用Venn圖表示出來：多面體，長方體，棱柱，棱錐，棱臺，直棱柱，四面體，平行六面體．
掌握幾種特殊棱柱(直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體)的概念、特征及他們之間的關系．
1. 下列多面體中，棱柱的個數是(　　)
　　　　①　　　　②　　　　 ③　　　　　④　　　　　⑤
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 如圖所示的簡單組合體的組成是(　　)
A. 棱柱、棱臺　 B. 棱柱、棱錐
C. 棱錐、棱臺　 D. 棱柱、棱柱
3. (多選)(2022隨州期末)下列說法中，正確的是(　　)
A. 如果四棱錐的底面是正方形，那么這個四棱錐的四條側棱都相等
B. 五棱錐只有五條棱
C. 一個棱柱至少有五個面
D. 棱臺的各側棱延長后交于一點
4. 具備下列條件的多面體是棱臺的是________．(填序號)
①兩底面是相似多邊形的多面體；
②側面是梯形的多面體；
③兩底面平行的多面體；
④兩底面平行，且側棱延長后交于一點的多面體．
5. (2023江蘇高一專題練習)如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1.
(1) 這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
(2) 用平面BCNM將這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用字母表示；如果不是，請說明理由．
【答案解析】
8．1　基本立體圖形
8．1.1　棱柱、棱錐和棱臺
【活動方案】
活動一
思考1：物體的形狀略．描述它們的形狀應先從整體入手，想象圍成物體的每個面的形狀、面與面之間的關系，并注意利用平面圖形的知識．紙箱、金字塔、茶葉盒、水晶螢石等物體圍成它們的面都是平面圖形，并且都是平面多邊形；紙杯、腰鼓、奶粉罐、籃球和足球圍成它們的面不全是平面圖形，有些面是曲面．
1. 平面多邊形　面　公共邊　頂點
2. 軸
活動二
思考2：它的每個面都是平行四邊形(矩形)，并且相對的兩個面，如面ABCD和面A′B′C′D′，給我們以平行的形象，如同教室的地面和天花板一樣．
1. 一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫作棱柱.
4. (1) 三棱柱　四棱柱　五棱柱
(2) 側棱　不垂直　正多邊形　平行四邊形
練習：直棱柱：(1)，(3)；斜棱柱：(2)；正棱柱：(3)，沒有平行六面體．
5. (1) 平行　垂直　(2) 全等　平行　(3) 平行四邊形
活動三
思考3：一個面是多邊形，其余各面都是三角形，并且這些三角形有一個公共頂點．
1. 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫作棱錐．
4. 四面體　正多邊形　垂直
練習：不是
活動四
1. 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫作棱臺．原棱錐的底面和截面分別叫作棱臺的下底面和上底面．
思考4：定義略
思考5：①各側棱的延長線相交于一點；②截面平行于原棱錐的底面．
練習：不是，因為(1)中各側棱延長后不相交于一點；(2)中兩個底面不平行．
例　 如圖所示：
【檢測反饋】
1. A　解析：由棱柱的定義及幾何特征知①③為棱柱．
2. B　解析：由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成．
3. CD　解析：四棱錐的底面是正方形，它的側棱可以相等，也可以不相等，故A錯誤；五棱錐除了五條側棱外，底面上還有五條棱，故共10條棱，故B錯誤；一個棱柱最少有三個側面，兩個底面，即至少有五個面，故C正確；棱臺是由平行于棱錐底面的截面截得，故棱臺的各側棱延長后交于一點，故D正確．故選CD.
4. ④　解析：棱臺是由棱錐截得的，因此一個幾何體要成為棱臺應有兩個條件：一是上、下底面平行；二是各側棱延長后交于一點．①②兩條件都不具備，③只具備一個條件，④具備兩個條件．
5. (1) 是棱柱，并且是四棱柱．因為長方體相對的兩個面是互相平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側面)，且相鄰側面的公共邊互相平行，符合棱柱的定義．又底面是四邊形，所以長方體是四棱柱．
(2) 截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱BMB1-CNC1，其中△BMB1和△CNC1是底面．
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABMA1-DCND1，其中四邊形ABMA1和DCND1是底面．

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