資源簡介

8．1.2　圓柱、圓錐、圓臺和球
1. 認識圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征．
2. 了解圓柱、圓錐、圓臺和球的概念．
3. 能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構．
活動一 圓柱、圓錐、圓臺及球的概念
思考1
一個矩形繞著一條邊所在直線旋轉一周，可得什么圖形？
1. 圓柱的定義：以矩形的________為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫作圓柱．在圓柱的形成中，________叫作圓柱的軸，垂直于________的邊旋轉而成的圓面叫作圓柱的底面，平行于________的邊旋轉而成的曲面叫作圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，________軸的邊都叫作圓柱側面的母線.
圓柱的表示：用表示它的軸的字母來表示，如：圓柱O′O.
思考2
一個直角三角形繞著一條直角邊所在直線旋轉一周，可得什么圖形？
2. 圓錐的定義：以直角三角形的一條________所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫作圓錐．
思考3
請你仿照圓柱中軸、底面、側面、母線的定義，給出圓錐的軸、底面、側面、母線的定義，并在圖中標出．
圓錐的表示：用表示它的軸的字母來表示，圓錐SO.
3. 圓臺的定義：用一個________于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與________之間的部分叫作圓臺．
　
思考4
在圓臺中標出圓臺的軸、底面、側面、母線．
探究1：圓柱可以由矩形旋轉得到，圓錐可以由直角三角形旋轉得到．圓臺是否可以由平面圖形旋轉得到？如果可以，由什么平面圖形旋轉得到？如何旋轉？
思考5
半圓繞著它的直徑旋轉一周得到什么圖形？
4. 球的定義： 半圓以它的________所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫作球面，________所圍成的旋轉體叫作球體，簡稱球．半圓的________叫作球的球心，連接________和球面上任意一點的線段叫作球的半徑；連接球面上兩點并且經過________的線段叫作球的直徑．
球的表示：常用表示球心的字母來表示，如：球O.
5. 簡單幾何體的分類：
探究2：棱柱、棱錐與棱臺都是多面體，它們在結構上有哪些相同點和不同點？當底面發生變化時，它們能否互相轉化？圓柱、圓錐、圓臺呢？
活動二　簡單組合體
6. 簡單組合體的概念：現實世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體稱作簡單組合體．
思考6
請你說說下圖中各幾何體是由哪些簡單幾何體組合而成的．
(2) (3) (4)
　
　
　
例1　觀察教室中的物體，并說出它們具有什么幾何結構特征．
反 思 與 感 悟
日常生活中，一些復雜的幾何體都是由簡單的幾何體組合而成的．
指出下圖中的幾何體是由哪些簡單幾何體割補而成的？
圖1 圖2
　　　
例2　如圖，將直角梯形ABCD繞AB邊所在的直線旋轉一周，由此形成的幾何體是由哪些幾何體構成的？
旋轉體都是由平面圖形繞著一條定直線旋轉而成的．
一個有30°角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉360°所得的空間圖形都是圓錐嗎？
1. 下列結論中，正確的是(　　)
A. 半圓以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫作球
B. 直角三角形繞一邊旋轉得到的幾何體是圓錐
C. 夾在圓柱的兩個平行截面間的部分還是一個旋轉體
D. 圓錐截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺
2. 一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截面可能是(　　)
　　　　　　　　　　①　　　②　　　 ③　　　④
A. ①③④ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
3. (多選)下列關于球體的說法中，正確的是(　　)
A. 球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
B. 球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
C. 一個圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D. 過球面上任意兩點只能作球的一個大圓
4. 用長為8，寬為4的矩形做側面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為________．
5. (2023高一課時練習)已知圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，它的軸截面的面積等于10，母線與軸的夾角是，求該圓臺的高與母線長．
【答案解析】
8．1.2　圓柱、圓錐、圓臺和球
【活動方案】
思考1：圓柱
1. 一邊所在直線　旋轉軸　軸　軸　平行于
思考2：圓錐
2. 直角邊
思考3：在圓錐的形成中，旋轉軸叫作圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫作圓錐的底面，直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面叫作圓錐的側面，無論旋轉到什么位置，直角三角形的斜邊都叫作圓錐側面的母線．
3. 平行　截面
思考4：
探究1：可以由直角梯形繞直角腰旋轉一周得到．(答案不唯一)
思考5：球
4. 直徑　球面　圓心　球心　球心
探究2：棱柱、棱錐與棱臺在結構上的相同點：它們都是由平面多邊形圍成的幾何體，它們都有底面且底面都是多邊形；不同點：棱柱和棱臺都有兩個底面，而棱錐只有一個底面，棱柱的兩個底面全等，棱臺的兩個底面相似．它們可以互相轉化，如下圖：
圓柱、圓錐與圓臺在結構上的相同點：它們都是由平面圖形旋轉得到的；不同點：圓柱和圓臺有兩個底面，圓錐只有一個底面，圓柱的兩個底面是半徑相等的圓，圓臺的兩個底面是半徑不相等的圓，它們可以互相轉化，如下圖：
思考6：(1)中物體是兩個圓臺、兩個圓柱拼接而成．
(2)中物體是圓柱、圓臺、球拼接而成．
(3)中物體是正方體截去一個三棱錐．
(4)中物體是長方體截去兩個長方體．
例1　略
跟蹤訓練　圖1中的幾何體是由一個六棱柱挖去一個圓柱所成的．
圖2中的幾何體可以看作是由一個長方體割去一個四棱柱所成的，也可以看作是由一個長方體與兩個四棱柱組合而成的．
例2　這個幾何體是由一個圓錐和一個圓柱組合而成的．
跟蹤訓練　圖1，圖2旋轉360°所得的幾何體是圓錐；圖3旋轉360°所得的幾何體是由兩個圓錐拼接而成的組合體．
圖1 圖2 圖3
【檢測反饋】
1. D　解析：半圓以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫作球面，球面所圍成的旋轉體叫作球體，簡稱球，故A錯誤；當以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉時，得到的幾何體不是圓錐，是由兩個同底面的圓錐組成的幾何體，故B錯誤；當兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的部分不是旋轉體，故C錯誤；將圓錐截去一個小圓錐，則截面必與底面平行，因而剩余部分是圓臺，故D正確．
2. C　解析：當截面平行于正方體的一個側面時得③，當截面過正方體的體對角線時得②，當截面不平行于任何側面也不過體對角線時得①，但無論如何都不能截出④.綜上，截面可能是①②③.
3. BC　解析：空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面，故A錯誤，B正確；由球體的定義知C正確；過球的直徑的兩端點可作無數個大圓，故D錯誤. 故選BC.
4. 　解析：設圓柱底面半徑為r.若矩形的長8為圓柱底面的周長，則2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的寬4為圓柱的底面周長，則2πr＝4，所以r＝.當r＝時，其軸截面的面積為×4＝；當r＝時，其軸截面的面積為×8＝.綜上，圓柱的軸截面的面積為.
5. 設圓臺的高為h，母線長為l，上底面半徑為r，則下底面半徑為3r.
因為軸截面的面積等于10，
所以＝4rh＝10.
因為母線與軸的夾角是，
所以＝tan ，l＝2h，
解得h＝，l＝2.

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