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8．2　立體圖形的直觀圖
能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單幾何體(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖．
活動(dòng)一 水平放置的平面圖形的直觀圖畫法
如圖，矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀？眺望遠(yuǎn)處成塊的農(nóng)田，矩形的農(nóng)田在我們眼里又是什么形狀？
　
問題：對(duì)于水平放置的平面圖形，如何畫出它的直觀圖？其步驟是什么？
例1　用斜二測(cè)畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖．
1. 水平放置的平面圖形的斜二測(cè)畫法的規(guī)則．
2. 根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，結(jié)合“一變兩不變”的原則，即可求解．
如圖，是由正方形ABCE和正三角形CDE所構(gòu)成的平面圖形，請(qǐng)畫出其水平放置的直觀圖．
活動(dòng)二　立體圖形的直觀圖畫法　
例2　已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3 cm，2 cm，1.5 cm，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖．
1. 立體圖形的斜二測(cè)畫法的規(guī)則．
2. 立體圖形的斜二測(cè)畫法與水平放置的平面圖形的斜二測(cè)畫法的聯(lián)系．
畫棱長(zhǎng)為2 cm的正方體的直觀圖．
例3　已知圓柱的底面半徑為1 cm，側(cè)面母線長(zhǎng)3 cm，畫出它的直觀圖．
對(duì)于旋轉(zhuǎn)體中的圓，它們的直觀圖是橢圓，體現(xiàn)它的立體性．
已知一個(gè)圓錐由等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)形成，畫出這個(gè)圓錐的直觀圖．
1. (2022濟(jì)南期末)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時(shí)，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(　　)
①平行的線段在直觀圖中仍然平行；
②相等的線段在直觀圖中仍然相等；
③相等的角在直觀圖中仍然相等；
④正方形在直觀圖中仍然是正方形．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2023茂名高一統(tǒng)考期中)如圖，水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖為△A′B′C′，已知A′O′＝B′O′＝C′O′＝1，則△ABC的周長(zhǎng)為(　　)
A. 6 B. 8
C. 2＋2 D. 2＋4
3. (多選)關(guān)于用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的說法中，正確的是(　　)
A. 原來相交的直線仍相交 B. 原來垂直的直線仍垂直
C. 原來平行的直線仍平行 D. 原來共點(diǎn)的直線仍共點(diǎn)
4. 一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面大小一樣．已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為20 m，5 m，10 m，四棱錐的高為8 m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖(長(zhǎng)方體底面較長(zhǎng)的邊與x軸平行)，則直觀圖中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為____________________．
5. 一個(gè)幾何體，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3 cm，高為4 cm，圓錐的高為3 cm，畫出這個(gè)組合體的直觀圖．
【答案解析】
8．2　立體圖形的直觀圖
【活動(dòng)方案】
背景引入：略
問題：利用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：
①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．
②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．
③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半．
例1　①如圖1，在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，AD的垂直平分線MN為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.在圖2中，畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°.
②在圖2中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝MN.以N′為中點(diǎn)，畫B′C′平行于x′軸，并且等于BC；再以M′為中點(diǎn)，畫F′E′平行于x′軸，并且等于FE.
③連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′(圖3).
跟蹤訓(xùn)練　①如圖1，以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，再畫出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖2所示．
②在圖2中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上截取A′B′＝AB；分別過點(diǎn)A′，B′作y′軸的平行線，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC.在y′軸上截取O′D′＝OD.
③連接E′D′，E′C′，C′D′，得到平面圖形A′B′C′D′E′.
④去掉輔助線，就得到所求的直觀圖如圖3所示．
圖1 圖2 圖3
例2　①畫軸．如圖1，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②畫底面．在x軸正半軸上取線段AB，使AB＝3 cm；在y軸正半軸上取線段AD，使AD＝1 cm.過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)D作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)為C，則 ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD的直觀圖．
③畫側(cè)棱．在z軸正半軸上取線段AA′，使AA′＝1.5 cm，過B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，在這些平行線上分別截取1.5 cm長(zhǎng)的線段BB′，CC′，DD′.
④成圖．如圖2.順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖了．
圖1 圖2
跟蹤訓(xùn)練　①畫軸．如圖1，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②畫底面．在x軸正半軸上取線段AB，使AB＝2 cm；在y軸正半軸上取線段AD，使AD＝1 cm.過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)D作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)為C，則 ABCD就是正方體的底面ABCD的直觀圖．
③畫側(cè)棱．在z軸正半軸上取線段AA′，使AA′＝2 cm，過B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，在這些平行線上分別截取2 cm長(zhǎng)的線段BB′，CC′，DD′.
④成圖．如圖2.順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖了．
　　　
圖1　　　　　　　　圖2
例3　①畫軸．如圖1，畫x軸、z軸，使∠xOz＝90°.
②畫下底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段AB，使OA＝OB＝1 cm.利用橢圓模板畫橢圓，使其經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．這個(gè)橢圓就是圓柱的下底面．
③畫上底面．在Oz上截取點(diǎn)O′，使OO′＝3 cm，過點(diǎn)O′作平行于軸Ox的軸O′x′.類似下底面的作法作出圓柱的上底面．
④成圖．如圖2.連接AA′，BB′，整理得到圓柱的直觀圖．
跟蹤訓(xùn)練　①畫軸．如圖1，畫x軸、z軸，使∠xOz＝90°.
②畫底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段AB，使OA，OB與等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)度相等．利用橢圓模板畫橢圓，使其經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．這個(gè)橢圓就是圓錐的底面．
③畫頂點(diǎn)．在Oz上截取點(diǎn)S，使OS與等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)度相等．
④成圖．連接SA，SB，整理得到圓錐的直觀圖．
　　　
圖1　　　　　　　　　　圖2
【檢測(cè)反饋】
1. A　解析：對(duì)于①，平行的線段在直觀圖中仍然是平行線段，所以①正確；對(duì)于②，相等的線段在直觀圖中不一定相等， 如平行于x軸的線段，長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，變?yōu)樵瓉淼模寓阱e(cuò)誤；對(duì)于③，相等的角在直觀圖中不一定相等， 如直角坐標(biāo)系內(nèi)兩個(gè)相鄰的直角，在斜二測(cè)畫法內(nèi)是45°和135°，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，正方形在直觀圖中不是正方形，是平行四邊形，所以④錯(cuò)誤．綜上，正確的命題序號(hào)是①，共1個(gè)．
2. C　解析：根據(jù)題意，作出原圖△ABC，由斜二測(cè)畫法，得在原圖中，CO＝2C′O′＝2，AO＝BO＝1，所以BC＝AC＝，故△ABC的周長(zhǎng)為2＋2.
3. ACD　解析：根據(jù)斜二測(cè)畫法知，原來垂直的直線在其直觀圖中未必垂直，因此B錯(cuò)誤，A，C，D顯然正確，故選ACD.
4. 4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm　解析：由比例可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高，應(yīng)分別為4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再結(jié)合直觀圖，與x軸，z軸平行的直線長(zhǎng)度不變，與y軸平行的直線長(zhǎng)度為原圖的，故直觀圖中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高分別為4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
5. ①畫軸．如圖1，畫x軸、z軸，使∠xOz＝90°.
②畫圓柱的兩底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段AB，使OA＝OB＝1.5 cm.利用橢圓模板畫橢圓，使其經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，這個(gè)橢圓就是圓柱的下底面．在Oz上截取點(diǎn)O′，使OO′＝4 cm，過點(diǎn)O′作Ox的平行線O′x′，類似下底面的作法作出圓柱的上底面．
③畫圓錐的頂點(diǎn)．在Oz上截取點(diǎn)P，使PO′＝3 cm.
④成圖．如圖2.連接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到這個(gè)組合體的直觀圖．
圖1 圖2

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