資源簡介

8．3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題．
活動一 棱柱、棱錐、棱臺的表面積的概念
1. 閱讀課本，了解多面體的表面積的概念：
思考1
棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖是什么？如何計算它們的表面積？
活動二 棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算
例1　如圖，四面體P-ABC的各棱長均為a，求它的表面積．
多面體的表面積轉化為各面面積之和．解決有關棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關知識來解決．
如圖，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個側面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6 m，底面外接圓的半徑是0.46 m，則制造這個滾筒需要________m2鐵板．(精確到0.1 m2)
活動三　棱柱、棱錐、棱臺體積的概念　
2. 了解棱柱、棱錐、棱臺的體積
(1) 我們以前已經學習了特殊的棱柱——正方體、長方體的體積公式，它們分別是
V正方體＝a3(a是正方體的棱長)，
V長方體＝abc(a，b，c分別是長方體的長、寬、高).
一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個棱柱的體積V棱柱＝Sh.
(2) 如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么棱柱的體積是棱錐的體積的 3倍.因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么該棱錐的體積V棱錐＝Sh.
(3) 由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式
V棱臺＝h(S′＋＋S)，
其中S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高．
注意：棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足(垂線與底面的交點)之間的距離．
棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離．
棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離．
思考2
觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式V棱柱＝Sh，V棱錐＝Sh，V棱臺＝h(S′＋＋S)，它們之間有什么關系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎？
活動四　棱柱、棱錐、棱臺體積的計算　
例2　如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是 0.5 m，公共面ABCD是邊長為1 m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01 m3)
　　
1. 常見的求幾何體體積的方法：
①公式法：直接代入公式求解；②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可；③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．
2. 求幾何體體積時需注意的問題：
柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．
如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A-DED1 的體積為________．
1. 已知一個正四棱柱體的對角線的長是9cm，表面積等于144cm2，則這個棱柱的側面積為(　　)
A. 112 cm2 B. 72 cm2
C. 112 cm2或72 cm2 D. 78 cm2
2. 若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側面AA1C1C的中心為O，E是側棱BB1上的一個動點，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直三棱柱的側面積是4＋2
B. 直三棱柱的體積是
C. 三棱錐E-AA1O的體積為定值
D. AE＋EC1的最小值為2
4. (2023寶雞中學高一階段練習)已知正四棱臺的上、下底面邊長分別是2 cm和6 cm，側棱長為2 cm，則它的表面積為________cm2.
5. (2023襄陽高一階段練習)如圖，在正四棱錐P-ABCD中，AB＝2，PA＝4，M是PB上的點且PM＝2MB，N是PD的中點．求：
(1) 四棱錐P-ABCD的表面積；
(2) 三棱錐N-MCD的體積．
【答案解析】
8．3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
【活動方案】
1. 多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．
思考1：棱柱的側面展開圖是幾個平行四邊形，棱錐的側面展開圖是幾個三角形，棱臺的側面展開圖是幾個梯形．它們的表面積是上、下底面面積與側面展開圖的面積的和．
例1　因為△PBC是正三角形，其邊長為a，
所以S△PBC＝a2，
所以四面體P-ABC的表面積SPABC＝4×a2＝a2.
跟蹤訓練　5.6　解析：因為此正六棱柱底面外接圓的半徑為0.46 m，所以底面正六邊形的邊長是0.46 m，所以S側＝6×0.46×1.6＝4.416 (m2)，所以S表＝S側＋S上底＋S下底＝4.416＋2××0.462×6≈5.6(m2).故制造這個滾筒需要5.6 m2鐵板．
思考2：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系V棱柱＝ShV棱臺＝h(S′＋＋S)V棱錐＝Sh.
例2　 由題意，知V長方體ABCD-A′B′C′D′＝1×1×0.5＝(m3)，
V棱錐P-ABCD＝×1×1×0.5＝(m3)，
所以這個漏斗的容積V＝＋＝≈0.67(m3).
跟蹤訓練　　解析：V三棱錐A-DED1＝V三棱錐E-DD1A＝××1×1×1＝.
【檢測反饋】
1. C　解析：設底面邊長、側棱長分別為a cm，l cm，則解得或所以S側＝4×4×7＝112(cm2)或S側＝4×6×3＝72(cm2).
2. B　解析：所求八面體的體積是兩個底面邊長為1，高為的正四棱錐的體積和，一個正四棱錐的體積V1＝×1×＝，故八面體的體積V＝2V1＝.
3. ACD　解析：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，則△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，側面全是矩形，所以其側面積為1×2×2＋×2＝4＋2，故A正確；直三棱柱的體積為V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正確；因為E是側棱BB1上的一個動點，所以三棱錐E-AA1O的高為定值，S△AA1O＝××2＝，所以V三棱錐E-AA1O＝××＝，故C正確；連接AE，A1E，C1E.設BE＝x∈[0，2]，則B1E＝2－x，在Rt△ABE和Rt△EB1C1中，AE＋EC1＝＋.由其幾何意義，即平面內動點(x，1)與兩定點(0，0)，(2，0)距離和，由對稱可知，當E為BB1的中點時，其最小值為2，故D正確．故選ACD.
4. 40＋32　解析：由題意知正四棱臺的側面為上、下底分別是2 cm和6 cm，腰為2 cm的等腰梯形，故梯形的高為＝2，則該正四棱臺的表面積為4××(2＋6)×2＋22＋62＝40＋32(cm2).
5. (1) 作PE⊥BC，垂足為E.
由正四棱錐性質可知，E為BC的中點，
所以PE＝＝＝，
所以S表面積＝4＋4××2×＝4＋4.
(2) 連接BD，BN，作PO⊥平面ABCD交BD于點O，由正四棱錐性質可知O為BD的中點．
因為OB＝BD＝＝，
所以PO＝＝.
又PM＝2MB，N是PD的中點，
所以V三棱錐N-MCD＝V三棱錐M-NCD＝V三棱錐B-NCD＝V三棱錐N-BCD＝V三棱錐P-BCD＝V四棱錐P-ABCD＝××4×＝.

展開更多......

收起↑