資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
目標(biāo)導(dǎo)學(xué)
認(rèn)識(shí)解一元二次方程的基本思想是“降次”，體會(huì)解方程中的轉(zhuǎn)化思想。
能利用直接開(kāi)平方法對(duì)形如與的一元二次方程進(jìn)行求解。
了解配方法的概念，配方的目的、意義。
掌握配方法解一元二次方程的步驟，熟練運(yùn)用配方法解一元二次方程。
新知自學(xué)
知識(shí)點(diǎn)一：直接開(kāi)平方法解一元二次方程（重點(diǎn)）
1、直接開(kāi)平方：利用平方根的意義直接開(kāi)平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。
2、方程的根：
（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，都有，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
3、方程的根
當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，都有，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
典例1：（1）下列方程中可用直接開(kāi)平方法求解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】 解：適宜用因式分解法求解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、適宜用公式法求解，故本選項(xiàng)不合題意；
C、適宜用直接開(kāi)平方法求解，故本選項(xiàng)合題意；
D、適宜用公式法求解，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的特點(diǎn)分別判斷即可．
（2）解方程：
解：移項(xiàng)，得 ．
方程左右兩邊同除以4，得 ．
直接開(kāi)平方，得 ，
即或．
解得，．
【答案】見(jiàn)解析
【解答】解：解方程移項(xiàng)，得；
方程左右兩邊同除以4，得；
直接開(kāi)平方，得，
即或．
解得或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法按照直接開(kāi)平方法的方法解答．
知識(shí)點(diǎn)二：配方法解一元二次方程（重難點(diǎn)）
配方法：把方程的左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式、右邊是一個(gè)常數(shù)的形式，進(jìn)而用直接開(kāi)平方法求解，這種通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解一元二次方程的一般步驟（表格版）
一般步驟 方法 示例
一移 移項(xiàng) 將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊
二化 二次項(xiàng)系數(shù)化為1 左、右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)
三配 配方 左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 即
四開(kāi) 開(kāi)平方 利用平方根的意義直接開(kāi)平方
五解 解兩個(gè)一元一次方程 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)
典例2：用配方法解下列方程：
；；．
【答案】見(jiàn)解析
【解答】(1)解：移項(xiàng)，得，
配方，得，
，
∴，
∴，；
(2)解：移項(xiàng)，得，
配方，得，
，
∴，
∴，；
(3)解：移項(xiàng)，得3x2－6x＝1，
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，
配方，得，
，
∴，
∴，．

范例示學(xué)
題型一：用直接開(kāi)平方法解一元二次方程（★★）
典例3：解一元二次方程：
（1）；
（2）
【答案】(1)
【詳解】（1）解：
或，
解得；
（2）解：或
或
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的方法：直接開(kāi)平方法
解法歸納：
對(duì)形如的一元二次方程，運(yùn)用整體思想，把看作是一個(gè)整體，直接開(kāi)平方降次，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。
跟蹤訓(xùn)練：
1、用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br/>（1）
（2）
【答案】(1)
【詳解】(1)解：或
或
解得
(2)解：
解得
題型二：用配方法解一元二次方程
1、將一元二次方程配方（★★）
典例4：用配方法解方程，配方正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：
移項(xiàng)，得
系數(shù)化為1，得
配方，得
即
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查用配方法解一元二次方程熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．
2、用配方法解一元二次方程（★★★）
典例5：用配方法解方程：
（1） （2） （3）
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)解：移項(xiàng)，得
配方，得
即
由此可得或．
(2)解：系數(shù)化為1，得
配方得，即
由此可得
(3)解：移項(xiàng)，得
系數(shù)化為1，得，
配方，得，
即
由此可得∴
∴
解法歸納：
用配方法解一元二次方程的一般步驟
①把含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；
②如果一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不是1，就先將方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
③在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，這樣使方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的形式；
④用直接開(kāi)平方的方法解這個(gè)一元二次方程
跟蹤訓(xùn)練：
2．用配方法解一元二次方程，可將方程變形為的形式，則的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】解：方程 ，
移項(xiàng)得 ，
配方得 ，
即，
則．
故選 D．
【點(diǎn)睛】本題考查配方法解一元二次方程，掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．
3. 用配方法解方程(1) (2)；
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解；∵，
移項(xiàng)得，
配方得，
即，
由此可得，
解得；
解：，
移項(xiàng)得
系數(shù)化為1得 ，
配方得
即
由此可得 ，
解得；
題型三：配方法的應(yīng)用(易錯(cuò))
1、用配方法求字母或代數(shù)式的值（★★★）
典例6：閱讀下面的材料：
若，求，的值。
解：∵，
∴.
∴.
∴
∴
根據(jù)你的觀察，探究下列問(wèn)題：
已知等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)，都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長(zhǎng)。
已知，求的值。
【答案】（1）16或17（見(jiàn)解析） （2）8
【解析】解：（1）因?yàn)椋?br/>∴.
∴.
∴
∴.
∵△ABC是等腰三角形，
所以當(dāng)為腰，則為底時(shí)，滿足三角形三邊關(guān)系，故△ABC的周長(zhǎng)為；
當(dāng)為腰，則為底時(shí)，滿足三角形三邊關(guān)系，故△ABC的周長(zhǎng)為。
（2）因?yàn)椋?br/>∴.
∴
∴.
∴
∴.
∴.
∴.
∴.
2、用配方法求代數(shù)式的最值（★★★）
典例7：若，則M的最小值為 ．
【答案】2
【詳解】解：，
，
，
當(dāng)時(shí)，原式取最小值2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和配方法，將原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式進(jìn)行進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．
解法歸納：
用配方法求代數(shù)式的最值
求多項(xiàng)式的最值時(shí)，要先把多項(xiàng)式配方成的形式。
若，需要提出二次項(xiàng)系數(shù)，對(duì)括號(hào)中的式子進(jìn)行配方，配方時(shí)，括號(hào)內(nèi)先加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
若，代數(shù)式有最小值；若，代數(shù)式有最大值
跟蹤訓(xùn)練：
4. 已知，求的值。
【答案】
【解答】解：∵，
∴，
。
∴，
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值，也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)。
5. 用配方的方法證明的值恒大于0.
【答案】見(jiàn)解析
【解答】證明：.
∵無(wú)論x取何值，總有(x－3)2≥0，
∴(x－3)2＋1＞0.
∴代數(shù)式的值恒大于0.
【點(diǎn)睛】此類題目一半都是利用配方法將代數(shù)式配方出現(xiàn)平方的形式，再利用平方的非負(fù)性判斷代數(shù)式的取值范圍。
層練固學(xué)
一、基礎(chǔ)鞏固
1． 有下列方程：；；；其中能用直接開(kāi)平方法求解的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，即，能用直接開(kāi)平方法求解；
，不能用直接開(kāi)平方法求解；
，不能用直接開(kāi)平方法求解；
，即，能用直接開(kāi)平方法求解；
故選C。
2．用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：
移項(xiàng)得：
配方得：
即
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握配方法求解一元二次方程的步驟．根據(jù)配方法的步驟，求解即可．
3．用配方法解方程時(shí)，變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解；
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，接著把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方即可得到答案．
4．方程配方后可化成的形式，則的值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】C
【詳解】解：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程的方法—配方法．先將常數(shù)移項(xiàng)到右邊，再在左邊配成完全平方即可．
5．用配方法解方程時(shí)，配方后得到的方程為 .
【答案】
根據(jù)即可求解．
【詳解】解：，
移項(xiàng)得，，
等式兩邊同時(shí)加上1得，，
∴，
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
6．把關(guān)于的一元二次方程 配方，得 ，則 ．
【答案】
【詳解】解：
配方，得
∴，
∴
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程；把常數(shù)項(xiàng)c移項(xiàng)后，在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)8的一半的平方得，進(jìn)而得出，即可求解．
7．若x、y均為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值是 ．
【答案】
【詳解】解：可轉(zhuǎn)換為，
當(dāng)時(shí)，原式取到最小值，為1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題考查了配方法，將轉(zhuǎn)化為，即可得到原式的最小值，熟練掌握配方法是解本題的關(guān)鍵．
8．用直接開(kāi)平方法解下列方程：
；
；
；
．
【分析】先把方程變形為，再利用直接開(kāi)平方法求解即可；
先把方程變形為，再利用直接開(kāi)平方法求解即可；
先把方程變形為，再利用直接開(kāi)平方法求解即可；
先把方程變形為，再利用直接開(kāi)平方法求解即可．
【答案】解：，
，
解得：；
，
，
解得：；
，
，
解得：；
，
，
解得．
【解析】本題考查的是直接開(kāi)平方法解一元二次方程先把方程轉(zhuǎn)化成或的形式，再利用開(kāi)平方法即可解答．
9．用配方法解下列方程：
．
【分析】先配方，再直接開(kāi)平方，即可求出該一元二次方程的解；
先配方，再直接開(kāi)平方，即可求出該一元二次方程的解；
先配方，再直接開(kāi)平方，即可求出該一元二次方程的解．
【答案】解：
，
，
，．
，
，
，．
．
，
，
，．
【解析】此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
10．小明在學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程后，解方程的過(guò)程如下：
(1)小明的解題過(guò)程從第__________步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)利用配方法正確地解方程．
【答案】(1)二 (2)，
【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)判斷②錯(cuò)誤；
（2）移項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化成1，配方，開(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）解：上述過(guò)程中，從第二步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，
故答案為：二；
（2）解：，
移項(xiàng)，得，
，
配方，得，即，
∴，
∴，．
11．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若該方程的一個(gè)根是1，求a的值；
(2)在（1）的條件下，用配方法解該方程．
【答案】(1) (2)，
【分析】（1）把代入方程得出關(guān)于的方程，再求解即可；
（2）把（1）問(wèn)中求的值代入方程，再求解即可．
【詳解】（1）解：將代入原方程得．
整理得．
解得．
∵，
∴．
所以的值為．
（2）將代入方程得．
即．
配方得．
開(kāi)方得．
所以方程的解為，．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解和配方法解一元二次方程；
二、拓展提高
12．在利用配方法解方程時(shí)，小慧和小穎的解題過(guò)程如下，對(duì)于兩人的做法，說(shuō)法正確的是( )
A. 都對(duì)，小穎的易懂 B. 都對(duì)，小慧的易懂
C. 小穎對(duì)，小慧不對(duì) D. 小慧對(duì)，小穎不對(duì)
【答案】B
【解析】根據(jù)配方法的定義可知，兩人的做法都正確，小慧的做法是常用做法，易懂．
13．解方程：．
【答案】
【詳解】解：，
移項(xiàng)，得，
配方，得，
，
開(kāi)方，得，
或，
，
舍去，
即，
方程兩邊平方得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，
所以原方程的解是．
【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．移項(xiàng)后配方，再開(kāi)方，求出，再求，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
14．配方法解一元二次方程：．
【答案】，
【詳解】解：
兩邊同除以，得，
移項(xiàng)，得，
配方，得，即，
開(kāi)平方，得，
∴，或，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．
15．（1）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最小值為_(kāi)_________．
（2）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最大值為_(kāi)_________．
（3）當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式取最小值？并求出這個(gè)最小值．
【答案】（1）3，3
（2）1，
（3），，最小值是10
【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出的值，然后進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出的值，然后進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出和的取值，然后進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式取最小值，且最小值為3；
故答案為：3，3
（2）
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式取最大值，且最大值為；
故答案為：1，；
（3）
，
當(dāng)且，即時(shí)，多項(xiàng)式取最小值，并且最小值為．
，，最小值是10．
16．下面是小聰同學(xué)用配方法解方程：的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀后，解答下面的問(wèn)題．
解：移項(xiàng)，得
二次項(xiàng)系數(shù)化為，得
配方，得
即．
，
，
第步二次項(xiàng)系數(shù)化為的依據(jù)是什么？
整個(gè)解答過(guò)程是否正確？若不正確，說(shuō)出從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并直接寫(xiě)出此方程的解．
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)求解即可；
先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，最后開(kāi)方即可．
【答案】解：第步二次項(xiàng)系數(shù)化為的依據(jù)是：等式兩邊同除以同一個(gè)不為的數(shù)，等式仍然成立．
從第步開(kāi)始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，
正確過(guò)程如下：
移項(xiàng)，得，
二次項(xiàng)系數(shù)化為，得，
配方，得，
即，
，
，
，．
【解析】本題考查解一元二次方程配方法，解題的關(guān)鍵是掌握配方法的步驟．
17．閱讀與思考：
【閱讀材料】我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方公式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)．使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．
例如：求代數(shù)式的最小值．
，可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．
再例如：求代數(shù)式的最大值．
，可知當(dāng)時(shí)，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值為_(kāi)____，的最小值為_(kāi)____；
(2)若多項(xiàng)式，試求M的最小值；
(3)如圖，學(xué)校打算用長(zhǎng)米的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的菜地，菜地的一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))，求圍成的菜地的最大面積．
【答案】(1)6；
(2)
(3)圍成的菜地的最大面積是
【分析】
（1）由，可知時(shí)，有最小值6；由，可知當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為；
（2）根據(jù)，求解作答即可；
（3）設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為米，依題意得：，然后求解作答即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值6；
∵，
∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為，
故答案為：6，；
（2）解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，M有最小值，最小值為；
（3）解：設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為米，
依題意得：，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值是，
∴圍成的菜地的最大面積是．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵
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21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
目標(biāo)導(dǎo)學(xué)
認(rèn)識(shí)解一元二次方程的基本思想是“降次”，體會(huì)解方程中的轉(zhuǎn)化思想。
能利用直接開(kāi)平方法對(duì)形如與的一元二次方程進(jìn)行求解。
了解配方法的概念，配方的目的、意義。
掌握配方法解一元二次方程的步驟，熟練運(yùn)用配方法解一元二次方程。
新知自學(xué)
知識(shí)點(diǎn)一：直接開(kāi)平方法解一元二次方程（重點(diǎn)）
1、直接開(kāi)平方：利用 直接開(kāi)平方，求一元二次方程的解的方法叫做 。
2、方程的根：
（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有 的實(shí)數(shù)根，；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有 的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，都有，所以方程 實(shí)數(shù)根。
3、方程的根
當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有 的實(shí)數(shù)根，；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有 的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，都有，所以方程 實(shí)數(shù)根。
典例1：（1）下列方程中可用直接開(kāi)平方法求解的是（ ）
A. B. C. D.
（2）解方程：
解：移項(xiàng)，得 ．
方程左右兩邊同除以4，得 ．
直接開(kāi)平方，得 ，
即或．
解得，．
知識(shí)點(diǎn)二：配方法解一元二次方程（重難點(diǎn)）
配方法：把方程的左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式、右邊是一個(gè)常數(shù)的形式，進(jìn)而用直接開(kāi)平方法求解，這種通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解一元二次方程的一般步驟（表格版）
一般步驟 方法 示例
一移 移項(xiàng) 將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊
二化 二次項(xiàng)系數(shù)化為1 左、右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)
三配 配方 左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 即
四開(kāi) 開(kāi)平方 利用平方根的意義直接開(kāi)平方
五解 解兩個(gè)一元一次方程 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)
典例2：用配方法解下列方程：
；；．

范例示學(xué)
題型一：用直接開(kāi)平方法解一元二次方程（★★）
典例3：解一元二次方程：
（1）；
（2）
解法歸納：
對(duì)形如的一元二次方程，運(yùn)用整體思想，把看作是一個(gè)整體，直接開(kāi)平方降次，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。
跟蹤訓(xùn)練：
1、用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br/>（1）
（2）
題型二：用配方法解一元二次方程
1、將一元二次方程配方（★★）
典例4：用配方法解方程，配方正確的是( )
A. B. C. D.
2、用配方法解一元二次方程（★★★）
典例5：用配方法解方程：
（1） （2） （3）
解法歸納：
用配方法解一元二次方程的一般步驟
①把含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；
②如果一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不是1，就先將方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
③在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，這樣使方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的形式；
④用直接開(kāi)平方的方法解這個(gè)一元二次方程
跟蹤訓(xùn)練：
2．用配方法解一元二次方程，可將方程變形為的形式，則的值是( )
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程:(1) (2)；
題型三：配方法的應(yīng)用(易錯(cuò))
1、用配方法求字母或代數(shù)式的值（★★★）
典例6：閱讀下面的材料：
若，求，的值。
解：∵，
∴.
∴.
∴
∴
根據(jù)你的觀察，探究下列問(wèn)題：
已知等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)，都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長(zhǎng)。
已知，求的值。
2、用配方法求代數(shù)式的最值（★★★）
典例7：若，則M的最小值為 ．
解法歸納：
用配方法求代數(shù)式的最值
求多項(xiàng)式的最值時(shí)，要先把多項(xiàng)式配方成的形式。
若，需要提出二次項(xiàng)系數(shù)，對(duì)括號(hào)中的式子進(jìn)行配方，配方時(shí)，括號(hào)內(nèi)先加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。
若，代數(shù)式有最小值；若，代數(shù)式有最大值
跟蹤訓(xùn)練：
4. 已知，求的值。
5. 用配方的方法證明的值恒大于0.
層練固學(xué)
一、基礎(chǔ)鞏固
1． 有下列方程：；；；其中能用直接開(kāi)平方法求解的是( )
A. B. C. D.
2．用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程時(shí)，變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程配方后可化成的形式，則的值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
5．用配方法解方程時(shí)，配方后得到的方程為 .
6．把關(guān)于的一元二次方程 配方，得 ，則 ．
7．若x、y均為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值是 ．
8．用直接開(kāi)平方法解下列方程：
；
；
；
．
9．用配方法解下列方程：
．
10．小明在學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程后，解方程的過(guò)程如下：
(1)小明的解題過(guò)程從第__________步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)利用配方法正確地解方程．
11．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若該方程的一個(gè)根是1，求a的值；
(2)在（1）的條件下，用配方法解該方程．
二、拓展提高
12．在利用配方法解方程時(shí)，小慧和小穎的解題過(guò)程如下，對(duì)于兩人的做法，說(shuō)法正確的是( )
A. 都對(duì)，小穎的易懂 B. 都對(duì)，小慧的易懂
C. 小穎對(duì)，小慧不對(duì) D. 小慧對(duì)，小穎不對(duì)
13．解方程：．
14．配方法解一元二次方程：．
15．（1）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最小值為_(kāi)_________．
（2）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最大值為_(kāi)_________．
（3）當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式取最小值？并求出這個(gè)最小值．
16．下面是小聰同學(xué)用配方法解方程：的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀后，解答下面的問(wèn)題．
解：移項(xiàng)，得
二次項(xiàng)系數(shù)化為，得
配方，得
即．
，
，
第步二次項(xiàng)系數(shù)化為的依據(jù)是什么？
整個(gè)解答過(guò)程是否正確？若不正確，說(shuō)出從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并直接寫(xiě)出此方程的解．
17．閱讀與思考：
【閱讀材料】我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方公式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)．使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．
例如：求代數(shù)式的最小值．
，可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．
再例如：求代數(shù)式的最大值．
，可知當(dāng)時(shí)，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值為_(kāi)____，的最小值為_(kāi)____；
(2)若多項(xiàng)式，試求M的最小值；
(3)如圖，學(xué)校打算用長(zhǎng)米的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的菜地，菜地的一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))，求圍成的菜地的最大面積．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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