資源簡介

8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
1. 了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計算公式．
2. 能用公式解決簡單的實際問題．
活動一 圓柱、圓錐、圓臺的表面積
思考1
圓柱OO′及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？
思考2
圓錐SO及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？
思考3
圓臺OO′及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？
名稱 圖形 表面積公式
旋轉體 圓柱 S圓柱＝2πr(r＋l)
圓錐 S圓錐＝πr(r＋l)
圓臺 S圓臺＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
思考4
圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間有什么關系？你能用圓柱、圓錐、圓臺的結構特征來解釋這種關系嗎？
例1　若一個圓錐的軸截面是邊長為4 cm 的等邊三角形，則這個圓錐的側面積為________cm2，表面積為________cm2.
圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖，是求其側面積的基本依據．
圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為(　　)
A. 81π　 B. 100π
C. 168π D. 169π
活動二　圓柱、圓錐、圓臺的體積　
1. 圓柱、圓錐、圓臺的體積
我們以前學習過圓柱、圓錐的體積公式，即
V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓錐＝πr2h(r是底面半徑，h是高).
由于圓臺是由圓錐截成的，因此可以利用圓錐的體積公式推導出圓臺的體積公式
V圓臺＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高).
思考5
圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關系？結合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，你能將它們統一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有怎樣的關系？
V柱體＝Sh(S為底面積，h為柱體高)；
V錐體＝Sh(S為底面積，h為錐體高)；
V臺體＝(S′＋＋S)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為臺體高).
當S′＝S時，臺體變為柱體，臺體的體積公式也就是柱體的體積公式；當S′＝0時，臺體變為錐體，臺體的體積公式也就是錐體的體積公式．
例2　有一堆相同規格的六角螺帽毛坯共重6kg.已知毛坯底面正六邊形的邊長是12mm，高是10mm，內孔直徑是10mm.那么這堆毛坯約有多少個？(鐵的密度是7.8g/cm3)
　　
柱、錐、臺的體積中，解決高的問題是關鍵．
用一張長12cm，寬8cm的矩形紙片圍成圓柱形的側面，求這個圓柱的體積．
活動三　球的表面積和體積　
2. 球的表面積公式：S＝4πR2(R為球的半徑).
例3　如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3 m，圓柱高0.6 m，如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么給1 000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
思考6
在小學，我們學習了圓的面積公式，你記得是如何求得的嗎？類比這種方法，你能由球的表面積公式推導出球的體積嗎？
3. 球體截面的特點：
球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓．
例4　如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．
利用球的表面積與體積公式去計算．
已知平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　 )
A. π　　　　　B. 4π
C. 4π　 D. 6π
拓展：
1. 正方體的內切球．
球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，此時球的半徑為r1＝，過在一個平面上的四個切點作截面，如圖1.
圖1
2. 球與正方體的各條棱相切．
球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面，有r2＝a，如圖2.
圖2
3. 長方體的外接球．
長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑．若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面，有球的半徑為r3＝，如圖3.
圖3
4. 正方體的外接球．
正方體棱長a與外接球半徑R的關系為2R＝a.
當多面體與球組成組合體后，一定要分清是內切還是外接，然后可以畫出幾何體的截面圖，有利于一些長度的計算．
1. 若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側面積之比為(　　)
A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. ∶2
2. (2023貴陽三模)已知一圓錐內接于球，圓錐的表面積是其底面面積的3倍，則圓錐與球的體積之比是(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)下列命題中，正確的是(　　)
A. 圓柱的母線與它的軸可以不平行
B. 圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形
C. 若在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線
D. 圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的
4. (2022保定期末)某圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，5，且該圓臺的體積為139π，則該圓臺的高為________.
5. 沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計).
(1) 若該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的細沙，則該沙漏的一個沙時為多少秒(精確到1 s)
(2) 細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度(精確到0.1 cm).
【答案解析】
8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
【活動方案】
思考1：S圓柱側＝2πrl，
S圓柱表＝2πr(r＋l).
思考2：S圓錐側＝πrl，
S圓錐表＝πr(r＋l).　
思考3：S圓臺側＝π(r＋r′)l，
S圓臺表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl).
思考4：S圓柱＝2πr(r＋l)S圓臺＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S圓錐＝πr(r＋l).
例1　 8π　12π　解析：如圖，因為圓錐的軸截面是邊長為4 cm的等邊三角形，所以OB＝2 cm，PB＝4 cm，所以圓錐的側面積S側＝π×2×4＝8π(cm2)，表面積S表＝8π＋π×22＝12π(cm2).
跟蹤訓練　C　解析：圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8，故S側＝π(R＋r)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S表＝S側＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
思考5：V柱體＝ShV臺體＝h(S＋＋S′)V錐體＝Sh.
例2　因為V六棱柱＝×122×6×10≈3 741(mm3)，
V圓柱＝π×52×10≈785(mm3)，
所以V螺帽＝3 741－785＝2 956(mm3)＝2.956(cm3)，
≈260(個)，
故這堆毛坯約有260個．
跟蹤訓練　設圓柱的底面半徑為R.
當圓柱的高為8cm時，則2πR＝12，所以R＝，
所以V＝π××8＝ (cm3)；
當圓柱的高為12cm時，則2πR＝8，所以R＝，
所以V＝π××12＝ (cm3).
故圓柱的體積為 cm3或 cm3.
例3　一個浮標的表面積為2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.847 8(m2)，
所以給1 000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg).
思考6：類比利用圓周長求圓面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積．如圖，把球O的表面分成n個小網格，連接球心O和每個小網格的頂點，整個球體就被分割成n個“小錐體”．
當n越大，每個小網格越小時，每個“小錐體”的底面就越平，“小錐體”就越近似于棱錐，其高越近似于球半徑R.設OABCD是其中一個“小錐體”，它的體積是VOABCD≈SABCDR.
由于球的體積就是這n個“小錐體”的體積之和，而這n個“小錐體”的底面積之和就是球的表面積．因此，球的體積V球＝S球R＝×4πR2·R＝πR3.
由此，我們得到球的體積公式V球＝πR3.
例4　設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.
因為V球＝πR3，V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，
所以V球∶V圓柱＝πR3∶2πR3＝2∶3.
跟蹤訓練　B　解析：如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上的任意一點，則OO′＝，O′M＝1，所以OM＝＝，即球的半徑為，所以V球＝π×()3＝4π.
【檢測反饋】
1. C　解析：設圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，所以其母線長l＝r，所以S側＝πrl＝πr2，S底＝πr2，所以S底∶S側＝1∶.
2. B　解析：如圖，設圓錐的底面圓圓心為D，延長AD與球面交于點B.設圓錐底面的半徑為r，母線為l，則πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，所以圓錐的高h＝＝r.設球的半徑為R.在Rt△ABC中，因為CD⊥AB，所以CD2＝AD·BD，即r2＝h·(2R－h)，即r2＝r·(2R－r)，所以R＝，故＝＝.
3. BD　解析：圓柱的母線與它的軸是平行的，故A錯誤；圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形，故B正確；在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是圓臺的母線，故C錯誤，D顯然正確．故選BD.
4. 12　解析：設該圓臺的高為h，則由圓臺的體積V＝(S＋＋S′)h＝πh＝139π，得h＝12.
5. (1) 開始時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為H＝×8＝(cm)，底面半徑為r＝×4＝(cm)，
V＝πr2H＝××＝ (cm3)≈39.72(cm3)，
所以一個沙時為39.72÷0.02＝1 986(s)，
所以該沙漏的一個沙時約為1 986 s.
(2) 細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為4 cm，設高為H′ cm，
則V＝π×42×H′＝，
解得H′＝≈2.4，
故此錐形沙堆的高度約為2.4 cm.

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