資源簡介

8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1　平面(1)
1. 借助現實事物，直觀的認識空間的點、線、面的關系．
2. 了解3個基本事實，并能解決一些簡單的問題．
活動一 背景引入
問題：生活中的課桌面、黑板面、平靜的水面，它們呈現出怎樣的形象？
　　　
活動二　平面的概念及表示方法　
1. 平面的概念：光滑的桌面、平靜的水面等都是我們熟悉的平面形象，幾何里所說的平面就是從這樣的一些物體中抽象出來的．
2. 平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄， 平面在空間是無限延伸的．
3. 平面的畫法：
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向，如圖1；當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向，如圖2.
圖1 圖2　
4. 平面的表示：
常用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內；也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱．如圖1、圖2的平面可記作：平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD、平面β.
例1　已知命題：
①10個平面重疊起來，要比5個平面重疊起來要厚；
②有一個平面的長是50m，寬是20m；
③平面沒有大小，沒有厚度，可以無限延展．
其中正確命題的序號是________．
活動三　三個基本事實及應用　
思考1
我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面？
基本事實1　過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面(如圖).
思考2
平面幾何中，兩點可以確定一條直線，那基本事實1，說明了空間中的什么問題？
直線上有無數個點，平面內有無數個點，直線、平面都可以看成是點的集合．點A在直線l上，記作A∈l；點B在直線l外，記作B l；點A在平面α內，記作A∈α；點P在平面α外，記作P α.
思考3
如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內？如果直線l與平面α有兩個公共點呢？
基本事實2　如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內(如圖).
基本事實2用符號表示：
平面內有無數條直線，平面可以看成是直線的集合．如果直線l上所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，記作l α；否則，就說直線l不在平面α內，記作l α.
思考4
基本事實2說明了空間中的什么問題？它可以幫助我們解決哪些幾何問題？
思考5
如圖，把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點B？為什么？
基本事實3　如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線(如圖).
基本事實3用符號表示：
思考6
基本事實3說明了空間中的什么問題？它可以幫助我們解決哪些空間問題？
例2　根據下列符號語言畫出相應圖形．
α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β.
1. 借助集合中的符號，把空間的點看成元素，把直線與平面看成點的集合，但表示兩直線或直線與平面的交點時，點的字母外不加集合的符號．
2. 對于空間中的符號語言和圖形語言及文字語言要靈活轉換．
用數學符號表示圖中的點、直線、平面之間的位置關系．
例3　已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E 兩點．
(1) 求作直線AB 與平面α的交點P；
(2) 求證：D，E，P三點共線．
依據基本事實3，要證明三點共線，只要說明這三個點是兩個平面的公共點即可．
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，點Q在線段A1C上，且點Q在平面ABC1D1 內，求證：B，Q，D1 三點共線．
1. 下列關于平面的說法中，正確的個數為(　　)
①平面是絕對平的且是無限延展的；
②平面的形狀是平行四邊形；
③三角形可以表示平面；
④某一個平面的面積為1 m2；
⑤8個平面重疊起來，要比5個平面重疊起來厚．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2023銅川高一期中)如圖，用符號語言可表達為(　　)
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
3. (多選)下圖中圖形的畫法正確的選項是(　　)
4. 給出下列命題：
①A，B，C三點確定一個平面；
②若直線a∩直線b＝A，則直線a與b能夠確定一個平面；
③已知平面α，直線l和點A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則l α.
其中正確的是________．(填序號)
5. 根據下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形．
(1) A∈α，B α；
(2) l α，A∈α，A l；
(3) 平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.
【答案解析】
8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8．4.1　平面(1)
【活動方案】
問題：略
例1?、?br/>思考1：不共線的三點．
思考2：不共線的三點確定一個平面．
思考3：不一定　一定
基本事實2用符號表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α.
思考4：基本事實2說明平面是平的，并且是無限延展的．基本事實2可以幫助我們判斷直線是否在平面內．
思考5：不是，想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去“穿透”課桌面．可以想象，兩個平面相交于一條直線．
基本事實3用符號表示： α∩β＝l，且P∈l.
思考6：基本事實3使我們進一步認識了平面的“平”和“無限延展”．兩個相交平面只有一條交線．基本事實3可以幫助我們證明兩個平面相交和點在直線上．
例2　
跟蹤訓練　α∩β＝l，a β，a∩l＝A，A∈l.
例3　(1) 如圖，連接DE并延長，交AB的延長線于點P，則P為直線AB與平面α的交點．
(2) 因為D∈平面ABC，E∈平面ABC，
所以DE 平面ABC.
因為D∈α，E∈α，所以DE α，
所以平面α∩平面ABC＝DE.
又P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，
所以點P在平面α與平面ABC的交線DE上，
所以D，E，P三點共線．
跟蹤訓練　如圖，連接A1B，CD1.
因為B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
所以BD1 平面A1BCD1.
同理BD1 平面ABC1D1，
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
因為A1C 平面A1BCD1，Q∈A1C，
所以Q∈平面A1BCD1.
又因為Q∈平面ABC1D1，
所以Q∈BD1，即B，Q，D1三點共線．
【檢測反饋】
1. B　解析：對于①，由平面的概念可得平面是絕對平的且是無限延展的，故①正確；對于②，由平面的概念可判斷②錯誤；對于③，可以用三角形表示平面，故③正確；對于④，平面是無限延展的，故④錯誤；對于⑤，平面沒有厚度，故⑤錯誤．綜上，說法正確的有2個．
2. A　解析：由圖可知兩個平面α與β相交于直線m，直線n在平面α內，直線m和直線n相交于點A，故用符號語言可表達為α∩β＝m，n α，m∩n＝A.
3. ACD　解析：A，D顯然正確；直線l應畫在表示平面的平行四邊形內，故B錯誤，C正確．故選ACD.
4. ②③　解析：對于①，只有不共線的三點才可以確定一個平面，故①錯誤；對于②，因為兩條直線相交，所以必然確定一個平面，故②正確；對于③，因為點A，B既在直線l上又在平面α內，即直線l上的兩點在平面α內，所以直線l在平面α內，即l α，故③正確．綜上，正確命題的序號是②③.
5. (1) 點A在平面α內，點B不在平面α內，如圖1.
(2) 直線l在平面α內，點A在平面α內，且點A不在直線l上，如圖2.
(3) 平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖3.
　
圖1　　　　圖2　　　　　圖38．4.1　平面(2)
1. 了解由基本事實1和基本事實2得到的3個推論．
2. 能運用3個基本事實及其推論解決一些簡單的問題．
活動一 了解確定平面的依據
過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面，即不共線的三點確定一個平面．
用圖形表示：
過不共線的三點A，B，C的平面通常記作“平面ABC”．
思考1
自行車的撐腳一般安裝在自行車的什么位置？能不能安裝在前后輪一條直線的地方？
思考2
照相機支架需要幾條腿？兩條行不行？
回顧基本事實1，體會確定一個平面的條件．
思考3
分別經過三點、四點能確定唯一的平面嗎？為什么？
思考4
過一條直線l和直線l外一點A的平面有幾個？
推論1　經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．
已知：直線l，點A l.
求證：過直線l和點A有且只有一個平面．
證明：
推論2　經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
已知：直線a，b相交．
求證：過直線a，b有且只有一個平面．
證明：
推論3　經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
已知：直線a∥b.
求證：過直線a，b有且只有一個平面．
證明：
思考5
下圖是一張倒置的課桌，你能用所學的知識檢查一下桌子的四條腿的底端是否在同一個平面內嗎？
活動二　平面的基本事實及其推論的簡單應用　
例1　已知A∈l，B∈l，C∈l，D l.求證：直線AD，BD，CD共面．
確定一個平面，只要根據基本事實1和基本事實2及其3個推論即可．
如圖，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內．
例2　如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c，l共面．
在證明共面問題時，先根據條件確定平面，再證明其他的點或線在這個平面內．
如圖，在空間四邊形ABCD中，已知H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別是邊AB，BC上的點，且＝＝.求證：
(1) E，F，G，H四點共面；
(2) 直線EH，BD，FG相交于同一點．
1. 下列說法中，正確的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①一條直線和一個點確定一個平面；　　 ②三角形一定是平面圖形；
③空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面；④梯形一定是平面圖形．
A. ①④　　 B. ①②　　 C. ②④　　 D. ③④
2. 已知平面α∩平面β＝l，M∈α，N∈α，P∈β，且P l，又MN∩l＝R，過M，N，P三點所確定的平面記為γ，則β∩γ等于(　　)
A. PR B. MR C. PM D. NR
3. (多選)下列說法中，正確的是(　　)
A. 不共面的四點中，其中任意三點不共線
B. 若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面
C. 若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面
D. 過直線外一點和直線上三點的三條直線共面
4. 如圖，A，B，C，D為不共面的四點，點E，F，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上.
(1) 如果EH∩FG＝P，那么點P在直線________上；
(2) 如果EF∩GH＝Q，那么點Q在直線________上．
5. 已知平面α，β，γ兩兩相交于三條直線l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求證：l1，l2，l3相交于一點．
【答案解析】
8.4.1　平面(2)
【活動方案】
思考1：略
思考2：3條　不行
思考3：不能．因為如果這三點、四點在同一條直線上就不能確定一個平面．
思考4：一個
推論1證明：在直線l上任取兩點B，C.因為點A不在直線l上，根據基本事實1，經過不共線三點A，B，C有一個平面α.
因為B∈l，C∈l，且B∈α，C∈α，所以根據基本事實2，得l α，即平面α 經過直線l和點A.
因為點B，C在直線l上，所以經過直線l和點A的平面一定經過點A，B，C.
再根據基本事實1，經過不共線的三點A，B，C的平面有且只有一個，所以經過直線l和點A的平面只有一個．
推論2證明：設直線a，b相交于點C，在直線a上取不同于點C的點A，點A在直線b外．由推論1，得過直線b和點A有一個平面α.因為直線a上的兩點A，C在α內，所以a α，因此經過a，b有一個平面α.
經過a，b的平面一定經過點A和直線b，由推論1，這樣的平面只有一個，所以經過兩條相交直線a，b的平面有且只有一個．
推論3證明：根據平行線的定義(同一平面內沒有公共點的兩條直線)可知，直線a和直線b一定在同一個平面內．
在直線a上任取一點A，因為a∥b，所以點A不在直線b上，由推論1可知，經過點A和直線b的平面只有一個．
因為經過直線a和直線b的平面一定經過點A和直線b，所以經過直線a和直線b的平面只有一個．
思考5：用兩根細繩沿桌子四條腿的對角拉直，若這兩根細繩相交，則說明桌子四條腿的底端在同一平面內，否則就不在同一平面內，說明桌子有問題，依據的是推論2.
例1　因為D l，所以直線l與點D可以確定平面α.
因為A∈l，所以A∈α.
因為D∈α，所以AD α.同理BD α，CD α，
所以直線AD，BD，CD在同一平面α 內，即它們共面．
跟蹤訓練　因為l1∩l2＝A，
所以l1和l2確定一個平面α.
因為l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因為l2 α，所以B∈α.同理可證C∈α.
又因為B∈l3，C∈l3，所以l3 α，
所以直線l1，l2，l3在同一平面內．
例2　因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.
因為l∩a＝A，l∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又因為A∈l，B∈l，所以l α.
因為b∥c，所以b，c確定一個平面β.
同理可證l β.
于是b α，l α，b β，l β，即α∩β＝b，α∩β＝l.
又因為b與l不重合，所以α與β重合，
所以a，b，c，l共面．
跟蹤訓練　(1) 如圖，連接EF，HG.
因為在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，
所以HG∥AC，且HG＝AC.
又＝＝，
所以EF∥AC，且EF＝AC，
所以EF∥HG，即E，F，G，H四點共面．
(2) 由(1)知EF∥HG，且EF≠HG，
所以設EH與FG交于點P，如圖，延長EH，FG相交于點P.
因為EH 平面ABD，P∈EH，
所以P∈平面ABD.
同理點P∈平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以點P在直線BD上，
所以直線EH，BD，FG相交于一點．
【檢測反饋】
1. C　解析：因為一條直線和該直線上的一個點可確定無數個平面，所以①不正確；因為三角形的三個頂點確定一個平面，所以②正確；因為長方體中經過同一頂點的三條棱所在的直線可確定三個平面，所以③不正確；因為梯形上下底平行，而兩平行線確定一個平面，所以④正確．綜上，正確的是②④.
2. A　解析：如圖，由題意，得MN γ，R∈MN，所以R∈γ.因為R∈l，l β，所以R∈β.因為P∈γ，P∈β，所以β∩γ＝PR.
3. AD　解析：在A中，假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，故A正確；在B中，如圖，兩個相交平面有三個公共點A，B，C，且點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，但點A，B，C，D，E不共面，故B不正確；選項C顯然不正確；在D中，過直線與直線外一點可確定一個平面，設為α，因此這三條直線都在平面α內，即三條直線共面，故D正確．故選AD.
4. (1) BD　解析：連接BD.若EH∩FG＝P，則P∈平面ABD，且P∈平面BCD.因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.
(2) AC　解析：連接AC.若EF∩GH＝Q，則Q∈平面ABC，且Q∈平面ACD.因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.
5. 如圖，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
因為l1 β，l2 β，且l1，l2不平行，
所以l1與l2必相交．
設l1∩l2＝P，則P∈l1，P∈l2.
因為l1 α，所以P∈α.
因為l2 γ，所以P∈γ.
因為α∩γ＝l3，所以P∈l3，
所以l1，l2，l3相交于一點P.8．4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
借助長方體，直觀認識空間點、直線、平面之間的位置關系．
活動一 背景引入
1. 我們知道，長方體有8個頂點，12條棱，6個面.12條棱對應12條棱所在的直線，6個面對應6個面所在的平面．觀察如圖所示的長方體ABCD-A′B′C′D′，你能發現這些頂點、直線、平面之間的位置關系嗎？
2. 觀察你所在的教室，你能找到上述位置關系的一些實例嗎？你能再舉出一些表示這些位置關系的其他實例嗎？
活動二 空間中直線與直線的位置關系
3. 異面直線的定義：我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線．
4. 空間兩條直線的位置關系有三種：
空間中兩條直線平行和我們學過的平面上兩條直線平行的意義是一致的，即首先這兩條直線在同一平面內，其次是它們不相交．如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示．
　
注：如無特殊說明，“兩條直線”指不重合的兩條直線，“兩個平面”指不重合的兩個平面．
例1　在長方體ABCD-A1B1C1D1中．
(1) 與AB平行的直線有哪些？
(2) 與AB相交的直線有哪些？
(3) 直線AA1和C1D1平行嗎？相交嗎？
如圖，AB∩α＝B，A α，a α，B a，直線AB與a具有怎樣的位置關系？為什么？
思考
如何判定兩條直線是否異面？
判斷異面直線的方法：
方法 內容
定義法 不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線
圖象法 過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是異面直線
反證法 判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就是異面直線
活動三　空間中直線與平面的位置關系　
問題1：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，線段BC1所在的直線與長方體的六個面所在的平面分別有哪些位置關系？
直線與平面的位置關系有且只有三種：
(1) 直線在平面內——有無數個公共點；
(2) 直線與平面相交——有且只有一個公共點；
(3) 直線與平面平行——沒有公共點．
當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內，也稱為直線在平面外．
直線與平面的三種位置關系如下：
注：直線在平面外，記為a α；直線a與平面α相交于點A，記作a∩α＝A；直線a與平面α平行，記作a∥α.
例2　下列說法：①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條也和這個平面相交；②一條直線和另一條直線平行，它就和經過另一條直線的任何平面平行；③若直線a在平面α外，則a∥α.其中正確的個數是(　　)
A. 0　 B. 1　 C. 2　 D. 3
解決此類問題首先要搞清楚直線與平面各種位置關系的特征，利用其定義作出判斷，要有畫圖意識，并借助空間想象能力進行細致的分析．
活動四 空間中平面與平面的位置關系
問題2：請同學們觀察下圖，這是一個二層樓房的簡易圖，在其中的四個平面中，兩個平面可能有哪幾種位置關系？你能根據公共點的情況進行分類嗎？
兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種：
(1) 兩個平面平行——沒有公共點；
(2) 兩個平面相交——有一條公共直線．
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行，如圖所示：
平面α與平面β平行，記作α∥β.
例3　已知平面α與平面β平行，且a α，則下列四種說法：①a與β內的所有直線都平行；②a與β平行；③a與β內的無數條直線平行，其中正確的個數是(　　)
A. 0　 B. 1　 C. 2　 D. 3
判斷線線、線面、面面的位置關系，要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫圖的意識，結合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題，作出判斷．常借助長方體模型進行判斷．
1. 一條直線與兩條平行線中的一條直線是異面直線，則它與另一條直線(　　)
A. 相交 B. 異面 C. 相交或異面 D. 平行
2. (2023懷化高一階段練習)設α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是(　　)
A. 若m∥α，n∥α，則m∥n　 B. 若α∥β，則α內的任何直線都與β平行
C. 若α∥β，m∥α，則m∥β　 D. 若m∥n，n∥α，則m∥α
3. (多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線AM與CC1是相交直線
B. 直線AM與BN是平行直線
C. 直線BN與MB1是異面直線
D. 直線AM與DD1是異面直線
4. (2022廊坊期中)在底面為正六邊形的六棱柱中，共有________對互相平行的面，與其中一個側面相交的面共有________個．
5. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，分別指出直線B1C，D1B與正方體六個面所在平面的關系.
【答案解析】
8．4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
【活動方案】
1～2：略
例1　(1) A1B1，CD，C1D1　(2) AD，AA1，BB1，BC
(3) 既不平行也不相交
跟蹤訓練　直線AB與a是異面直線．理由如下．
若直線AB與直線a不是異面直線，則它們相交或平行．設它們確定的平面為β，則B∈β，a β.由于經過點B與直線a有且僅有一個平面α，因此平面α與β重合，從而AB α，進而A∈α，這與A α矛盾，所以直線AB與a是異面直線．
思考：與一個平面相交的直線和這個平面內不經過交點的直線是異面直線．
問題1：直線BC1與平面ABCD、平面A1B1C1D1、平面ABB1A1、平面CDD1C1相交，直線BC1與平面ADD1A1平行，直線BC1在平面BCC1B1內．
例2　B　解析：由直線與平面的位置關系可知①正確；這條直線可能在經過另一條直線的平面內，故②不正確，對于③，包括兩種情形，直線a∥α或直線a與α相交，故③不正確．故正確的個數為1.
問題2：兩個平面有兩種位置關系：相交、平行．
α與β沒有公共點，則α與β平行；γ與δ有公共點A，B，則γ與δ相交．
例3　C　解析：因為α∥β，a α，所以a與β無公共點，所以a∥β，所以a與β內的所有直線都沒有公共點，所以a與β內的直線平行或異面，故①不正確，②③正確．故正確的個數為2.
【檢測反饋】
1. C　解析：一條直線與兩條平行線中的一條直線異面，則它與另一條直線可能相交，也可能異面．
2. B　解析：若m∥α，n∥α，則m∥n或m，n相交或m，n異面，故A錯誤；由面面平行的性質可知，若α∥β，則α內的任何直線都與β平行，故B正確；若α∥β，m∥α，則m∥β或m β，故C錯誤；若m∥n，n∥α，則m∥α或m α，故D錯誤.
3. CD　解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN是異面直線，故A，B錯誤；直線BN與MB1是異面直線，直線AM與DD1是異面直線，故C，D正確．故選CD.
4. 4　6　解析：六棱柱的兩個底面互相平行，每個側面與其相對的側面平行，故共有4對互相平行的面．六棱柱共有8個面，與其中一個側面平行的面有1個，其余6個面與該側面均相交．
5. 直線B1C 平面B1BCC1，直線B1C∥平面A1ADD1，直線B1C與正方體其余四個面相交；直線D1B與正方體六個面均相交．

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