資源簡介

8．5　空間直線、平面的平行
8.5.1　直線與直線平行
1. 掌握基本事實4及其應用．
2. 掌握等角定理，并能解決相關問題．
活動一 基本事實4及其應用
思考1
我們知道，在同一平面內，不相交的兩條直線是平行直線，并且當兩條直線都與第三條直線平行時，這兩條直線互相平行．在空間中，是否也有類似的結論？
基本事實4　平行于同一條直線的兩條直線平行．
符號表示：
思考2
經過直線外一點，有幾條直線和這條直線平行？
例1　如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
在空間中，直線的平行性具有傳遞性，同時說明了要證明兩條直線平行，應該把這兩條直線放在同一平面內．
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點，畫出平面D1CE與平面ABB1A1的交線，并說明理由．
活動二　等角定理及其應用　
在平面內，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．在空間中，這一結論是否仍然成立呢？
與平面中的情況類似，當空間中兩個角的兩條邊分別對應平行時，這兩個角有如圖所示的兩種位置．
圖1 圖2　
已知：
求證：
證明：
思考3
如果∠BAC 和∠B1A1C1的邊AB∥A1B1，AC∥A1C1，且 AB，A1B1的方向相同，而AC，A1C1的方向相反，那么∠BAC 和∠B1A1C1之間有何關系？為什么？
定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
例2　如圖，已知E，E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點．求證：∠C1E1B1＝∠CEB.
要說明空間中的兩角相等，不僅要看它們的對應邊是否平行，還要看它們的對應邊的方向問題．若都同向或都反向，則這兩個角相等；若有一組同向一組反向，則這兩個角互補．
如圖，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且＝＝＝.
(1) 求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2) 求的值．
1. 設AA1是正方體的一條棱，在這個正方體中與AA1平行的棱共有(　　)
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
2. (2022·黃岡期中)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是(　　)
A. 平行 B. 異面
C. 相交或平行 D. 平行或異面或相交
3. (多選)設a，b，c是空間中的三條直線，則下列說法中正確的是(　　)
A. 若a∥b，b∥c，則a∥c
B. 若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交
C. 若a，b分別在兩個相交平面內，則這兩條直線可能平行、相交或異面
D. 若a與c相交，b與c異面，則a與b異面
4. (2023全國高一專題練習)如圖，在正方體中，A，B，C，D分別是頂點或所在棱的中點，則A，B，C，D四點共面的圖形是________．(填序號)
5. 如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：
(1) 四邊形MNA1C1是梯形；
(2) ∠DNM＝∠D1A1C1.
【答案解析】
8．5.1　直線與直線平行
【活動方案】
思考1：空間中的平行直線具有與平面內的平行直線類似的性質．
符號表示： a∥c.
思考2：1條
例1　連接BD.
由題意，得EH是△ABD的中位線，
所以EH∥BD，且EH＝BD.
同理FG∥BD，且FG＝BD，
所以EH＝FG，且EH∥FG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形．
跟蹤訓練　如圖，取AB的中點F，連接EF，A1B，CF.
因為E是AA1的中點，所以EF∥A1B.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以E，F，C，D1四點共面．
因為E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF，
所以平面D1CE與平面ABB1A1的交線為EF.
活動二
已知：∠BAC和∠B1A1C1的邊AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同．
求證：∠BAC＝∠B1A1C1.
證明：如圖，分別在∠BAC和∠B1A1C1的兩邊上截取 AD＝A1D1，AE＝A1E1，連接AA1，DD1，EE1，DE，D1E1.
因為AD∥A1D1，AD＝A1D1，
所以四邊形AA1D1D是平行四邊形，
所以AA1∥DD1，且AA1＝DD1.
同理AA1∥EE1，且AA1＝EE1，
所以DD1∥EE1，且DD1＝EE1，
所以四邊形DD1E1E是平行四邊形，
所以DE＝D1E1.
在△ADE和△A1D1E1中，
所以△ADE≌△A1D1E1，
所以∠BAC＝∠B1A1C1.
思考3：互補，理由略．
例2　連接EE1.
因為E1，E分別為A1D1，AD的中點，
所以A1E1∥AE，A1E1＝AE，
所以四邊形A1E1EA是平行四邊形，
所以A1A∥E1E，A1A＝E1E.
又因為A1A∥B1B，A1A＝B1B，
所以E1E∥B1B，E1E＝B1B，
所以四邊形EE1B1B是平行四邊形，
所以E1B1∥EB，同理可得E1C1∥EC.
又因為∠C1E1B1與∠CEB的兩邊方向相同，
所以∠C1E1B1＝∠CEB.
跟蹤訓練　(1) 因為AA′∩BB′＝O，且＝＝，∠AOB＝∠A′OB′，所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO＝∠A′B′O，
所以AB∥A′B′.同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2) 因為A′B′∥AB，A′C′∥AC，且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，
所以∠BAC＝∠B′A′C′.
同理，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′，所以＝＝，
所以＝＝.
【檢測反饋】
1. C
2. D　解析：如圖，可知直線AB與CD相交或平行或異面．
　　
3. AC　解析：由平行線的傳遞性知A正確；若a與b相交，b與c相交，則a與c可能平行、相交或異面，故B錯誤；C顯然正確；若a與c相交，b與c異面，則a與b可能相交、平行或異面，故D錯誤．故選AC.
4. ①③④　解析：對于①，如圖1，取GD的中點F，連接BF，EF，因為B，F均為相應邊的中點，所以BF∥HG，且BF＝HG.又HG∥AE，HG＝AE，所以BF∥AE，BF＝AE，即四邊形ABFE為平行四邊形，所以AB∥EF，同理可得CD∥EF，則AB∥CD，即A，B，C，D四點共面，故①正確；對于②，顯然AB與CD異面，故②不正確；對于③，如圖2，連接AC，BD，EF，因為BE∥DF，BE＝DF，即四邊形BDFE為平行四邊形，所以BD∥EF.又因為A，C分別為相應邊的中點，所以AC∥EF，所以BD∥AC，即A，B，C，D四點共面，故③正確；對于④，如圖3，連接AC，BD，EF，GH，因為GE∥HF，GE＝HF，所以四邊形GEFH為平行四邊形，則GH∥EF，又A，C分別為相應邊的中點，所以AC∥EF.同理可得BD∥GH，所以BD∥AC，即A，B，C，D四點共面，故④正確．綜上，滿足題意的是①③④.
5. (1) 連接AC.
在△ACD中，因為M，N分別是CD，AD的中點，
所以MN是△ACD的中位線，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方體的性質，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
所以四邊形MNA1C1是梯形．
(2) 因為MN∥A1C1，ND∥A1D1，且∠DNM與∠D1A1C1的兩邊的方向相同，所以∠DNM＝∠D1A1C1.8．5.2　直線與平面平行(1)
1. 了解直線與平面的位置關系．
2. 掌握直線與平面平行的判定定理及其簡單應用．
活動一 背景引入
如圖1，門扇的兩邊是平行的．當門扇繞著一邊轉動時，另一邊與墻面有公共點嗎？此時門扇轉動的一邊與墻面平行嗎？
如圖2，將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC轉動，在轉動的過程中(AB離開桌面)，DC的對邊AB與桌面有公共點嗎？邊AB與桌面平行嗎？
　　
圖1　　　　　　　　　　圖2
活動二 直線與平面平行的判定定理
探究：如圖，平面α外的直線a平行于平面α內的直線b，那么這兩條直線共面嗎？直線a與平面α相交嗎？
思考
如何判定一條直線與一個平面平行？
直線與平面平行的判定定理：
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直線與 平面平 行的判 定定理
活動三　直線與平面平行的判定定理的應用　
例　求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊的平面．
要證明一條直線與一個平面平行，只要在這個平面內找出一條直線與已知直線平行，當然這兩條直線應該同在另外一個平面內．
如圖，已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：
(1) E，F，G，H四點共面；
(2) BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
如圖，已知M，N分別是底面為矩形的四棱錐P-ABCD 的棱AB，PC的中點，求證：MN∥平面PAD.
1. “直線l與平面α平行”是“直線l在平面α外”的(　　)
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2. 下列命題：①如果一條直線不在平面內，那么這條直線就與這個平面平行；②過直線外一點有無數個平面與這條直線平行；③過平面外一點有無數條直線與這個平面平行，其中正確的個數是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. (多選)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是(　　)
4. (2022全國高一專題練習)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分別為BC，CD的中點，則下列結論中正確的是________．(填序號)
①BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形
②EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
③HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形
④EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形
5. (2023全國高一專題練習)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是線段BC，CC1的中點．
(1) 在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC
(2) 在問題(1)中，若存在點M，則點M在什么位置？試證明你的結論？
【答案解析】
8．5　空間直線、平面的平行
8．5.2　直線與平面平行(1)
【活動方案】
活動一　
可以發現，無論門扇轉動到什么位置，因為轉動的一邊與固定的一邊總是平行的，所以它與墻面沒有公共點，且與墻面是平行的；硬紙板的邊AB與DC平行，只要邊DC緊貼著桌面，邊AB轉動時就不可能與桌面有公共點，所以它與桌面平行．
探究：直線a，b共面，直線 a和平面α不相交．
思考：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．
小結：
表示 定理 圖形 文字 符號
直線與平面平 行的判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a α，b α， 且a∥b a∥α
例　已知：如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，連接EF.
求證：EF∥平面BCD.
證明：連接BD.
因為E，F分別是AB，AD的中點，
所以EF∥BD.
因為EF 平面BCD，BD 平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
跟蹤訓練1　(1) 因為E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，
所以EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH，所以E，F，G，H四點共面．
(2) 因為E，H分別為AB，AD的中點，
所以EH∥BD.
因為BD 平面EFGH，EH 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
同理可證AC∥平面EFGH.
跟蹤訓練2　取PD的中點E，連接AE，NE.
因為N是PC的中點，
所以EN∥DC，EN＝DC.
因為在矩形ABCD中，M為AB的中點，
所以AM∥CD，AM＝CD，
所以EN∥AM，EN＝AM，
所以四邊形AMNE是平行四邊形，
所以MN∥AE.
又因為AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
【檢測反饋】
1. A　解析：由“直線l與平面α平行”可推出“直線l在平面α外”．若“直線l在平面α外”，則直線l與平面α平行或相交，故“直線l在平面α外”不能推出“直線l與平面α平行”，故“直線l與平面α平行”是“直線l在平面α外”的充分不必要條件．
2. C　解析：如果一條直線不在平面內，那么這條直線與這個平面平行或相交，故①錯誤；過直線外一點有無數個平面與這條直線平行，故②正確；過平面外一點有無數條直線與這個平面平行，且這無數條直線都在過該點與這個平面平行的平面內，故③正確．
3. BCD　解析：對于A，如圖1，連接BC，取BC的中點D，連接QD.因為Q是AC的中點，所以QD∥AB.因為QD∩平面MNQ＝Q，所以QD與平面MNQ相交，所以AB與平面MNQ相交，故A錯誤；對于B，如圖2，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D選項中均有AB∥平面MNQ.故選BCD.
圖1 圖2
4. ②　解析：因為E，F分別為AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，所以EF∥BD，EF＝BD.因為H，G分別為BC，CD的中點，所以GH∥BD，GH＝BD，所以EF∥GH，EF≠GH，所以四邊形EFGH為梯形．因為EF∥BD，EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD.若EH∥平面ADC，則由線面平行的性質可得EH∥FG，而EH與FG不平行，所以EH與平面ADC不平行．
5. (1) 存在，M為線段AB的中點．
(2) M為線段AB的中點，如圖，取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1.
設O為A1C與AC1的交點，則O為AC1的中點．
連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，所以MD∥OE，MD＝OE.
連接OM，則四邊形MDEO為平行四邊形，
所以DE∥MO.
因為直線DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，所以直線DE∥平面A1MC，
所以線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE∥平面A1MC.8．5.2　直線與平面平行(2)
1. 鞏固直線與平面的位置關系及直線與平面平行的判定定理．
2. 掌握直線與平面平行的性質定理及其簡單應用．
活動一 鞏固直線與平面的位置關系及直線與平面平行的判定定理
1. 直線與平面的位置關系：
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 無數個 有且只有1個 0個
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
2. 直線與平面平行的判定定理：
表示 定理 圖形 文字 符號
直線與平面平行的判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 若a α，b α，a∥b，則a∥α
活動二　探究直線與平面平行的性質定理　
思考1
如圖，l∥α，a α，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？
思考2
如圖，a∥α，a β，α∩β＝b，滿足以上條件的平面β有多少個？直線a，b有什么位置關系？
思考3
假設a與平面α內的直線b平行，那么由基本事實的推論3，過直線a，b有唯一的平面β.這樣，我們可以把直線b看成是過直線a的平面β與平面α的交線．于是可得如下結論：過直線a的平面β與平面α相交于b，則a∥b.
下面來證明這一結論．
已知：
求證：
證明：
直線與平面平行的性質定理：
表示 定理 圖形 文字 符號
直線與平面平行的性質定理
練習　下列命題中，正確的個數是________．
①若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α；
②若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都平行；
③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行．
活動三　直線與平面平行的性質定理的應用　
例　在如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′C′.
(1) 要經過平面A′C′內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？
(2) 所畫的線與平面AC是什么位置關系？
要得到兩條直線平行，可以用基本事實4，也可以用線面平行的性質定理，在用線面平行的性質定理時，務必要注意過已知的那條直線作(或找)一個輔助平面，使得這個輔助平面與已知平面相交，所得的交線才和已知直線平行．
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過點G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，H分別為棱A1B1，D1C1上的點，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G，求證：FG∥平面ADD1A1.
1. 若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線(　　)
A. 只有一條，不在平面α內 B. 有無數條，不一定在平面α內
C. 只有一條，且在平面α內 D. 有無數條，一定在平面α內
2. 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，AC交BD于點O，E為AD的中點，點F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，則λ的值為(　　)
A. 1
B.
C. 2
D. 3
3. (多選)若直線a平行于平面α，則下列結論中正確的是(　　)
A. 直線a與平面α無交點
B. 直線a平行于平面α內的所有直線
C. 平面α內有無數條直線與直線a平行
D. 平面α內存在無數條直線與直線a為異面直線
4. (2023銅仁統考)如圖，圓錐SO的軸截面SAB是邊長為4的等邊三角形，過OB的中點N作弦CD⊥OB，過CD作平面CDM∥SA，交SB于點M，已知此平面與圓錐側面的交線是以M為頂點的拋物線的一部分，則·＝________．
5. (2022煙臺期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點，點M在側棱PC上，且PM＝tPC，若PA∥平面MQB，試確定實數t的值．
【答案解析】
8．5.2　直線與平面平行(2)
【活動方案】
思考1：不一定，還可能是異面直線．
思考2：無數個，a∥b.
思考3：已知：a∥α，a β，α∩β＝b.
求證：a∥b.
證明：因為α∩β＝b，所以b α.
因為a∥α，所以a與b無公共點．
又a β，b β，所以a∥b.
表示 定理 圖形 文字 符號
直線與平面平 行的性質定理 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 若a∥α，a β， α∩β＝b，則a∥b
練習：0　解析：對于①，當l∩α＝A時，除點A以外所有的點均不在α內，故①錯誤；對于②，當l∥α時，α中有無數條直線與l是異面的關系，故②錯誤；對于③，另一條直線可能在這個平面內．
例　(1) 如圖，在平面A′C′內，過點P作直線EF，使EF∥B′C′，并分別交棱A′B′，D′C′于點E，F.連接BE，CF，則EF，BE，CF就是應畫的線．
(2) 因為BC∥平面A′C′，平面BC′∩平面A′C′＝B′C′，所以BC∥B′C′.
由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.
又BC 平面AC，EF 平面AC，
所以EF∥平面AC.
顯然，BE，CF都與平面AC相交．
跟蹤訓練1　連接MO.
因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以O是AC的中點．
因為M是PC的中點，所以AP∥OM.
因為AP 平面BDM，OM 平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因為AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH.
跟蹤訓練2　因為EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
所以EH∥B1C1.
因為EH 平面BCC1B1，B1C1 平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
因為EH 平面FGHE，平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，所以FG∥A1D1.
因為FG 平面ADD1A1，A1D1 平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
【檢測反饋】
1. C　解析：由線面平行的性質定理知，過點P平行于直線a的直線只有一條，且在平面α內．
2. D　解析：如圖，設AO交BE于點G，連接FG.因為E為AD的中點，所以AE＝AD＝BC.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以△AEG∽△CBG，所以＝＝，所以＝.因為PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，所以λ＝＝＝3.
3. ACD　解析：由題意知，直線a平行于平面α.對于A，直線a與平面α無交點，故A正確；對于B，直線a與平面α內的直線可能平行或異面，故B不正確；對于C，平面α內有無數條直線與直線a平行，故C正確；對于D，平面α內存在無數條直線與直線a為異面直線，故D正確．故選ACD.
4. －2　解析：如圖，連接CO.根據題意知ON＝1，OC＝2，CD⊥OB，所以CN＝DN＝.因為SA∥平面CDM，且SA 平面SAB，平面SAB∩平面CDM＝MN，所以SA∥MN，所以△BMN∽△BSA，所以＝＝.又SA＝4，所以MN＝1.因為N為CD的中點，所以＋＝2.又－＝，所以(＋)2－(－)2＝4·＝42－2.又MN＝1，CN＝，所以·＝2－×2＝|2－|2＝1－3＝－2.
5. 如圖，連接BD，AC，AC交BQ于點N，交BD于點O，連接MN，易知O為BD的中點．
因為BQ，AO分別為正三角形ABD的邊AD，BD上的中線，
所以點N為正三角形ABD的中心．
設菱形ABCD的邊長為a，
則AN＝a，AC＝a.
因為PA∥平面MQB，PA 平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，
所以PA∥MN，
所以＝＝＝，
即PM＝PC，所以實數t的值為.8．5.3　平面與平面平行
1. 理解并掌握兩個平面平行與兩個平面相交的定義．
2. 掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理，并能運用其解決一些具體問題．
活動一 背景引入
如圖1，a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎？如圖2，c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎？從中你可以得出什么結論？
圖1 圖2
　　
活動二　兩個平面平行的判定定理　
實例：你知道工人師傅是怎樣用水平儀來檢測桌面是否水平的？
問題1：如果平面β內有一條直線與平面α平行，那么α，β平行嗎？
問題2：如果平面β內有兩條直線與平面α平行，那么α，β平行嗎？
兩個平面平行的判定定理：
表示 定理 圖形 文字 符號
兩個平面平行 的判定定理
例1　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面AB1D1∥平面BC1D.
要得到兩個平面平行，只能根據面面平行的判定定理，注意要證明一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，堅決不能由線線平行得到面面平行．
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別在PA，BD，PD上(不與端點重合)，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.
活動三　兩個平面平行的性質定理　
觀察長方體ABCD-A1B1C1D1中的兩個平面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1
平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？
思考2
若m 平面ABCD，n 平面A1B1C1D1，則m∥n嗎？
思考3
過BC的平面交平面A1B1C1D1于B2C2，B2C2與BC是什么關系？
思考4
如果兩個平面平行，那么
(1) 一個平面內的直線是否平行于另一個平面？
(2) 分別在兩個平面內的兩條直線是否平行？
(3) 如果第三個平面與這兩個平面相交，那么所得的交線平行嗎？
探究：兩個平面平行的性質定理：
已知：
求證：
證明：
例2　求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．
由面面平行不僅可以得到線面平行，也可以直接得到線線平行．
1. 設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(　　)
A. α內有無數條直線與β平行 B. α，β平行于同一條直線
C. α內有兩條相交直線與β平行 D. α，β垂直于同一平面
2. (2023銀川賀蘭縣第一中學高一期末)已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列結論中正確的是(　　)
A. 若a α，b β，α∥β，則a∥b
B. 若a α，b β，a∥b，則α與β相交
C. 若α∩β＝a，b β，則a與b平行
D. 若a α，b β，α∥β，則a，b不可能相交
3. (多選)如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法正確的是(　　)
A. BM∥平面ADE B. CN∥平面BAF
C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF
4. (2022濱州期末)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則＝________．
5. (2023銅川高一期中)如圖，在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC與BD相交于點O，E為PD的中點．
(1) 求證：EO∥平面PBC；
(2) PA上是否存在點F，使平面OEF∥平面PBC.若存在，請指出并給予證明；若不存在，請說明理由．
【答案解析】
8．5.3　平面與平面平行
【活動方案】
活動一
不平行　平行　如果一個平面內有兩條平行直線與另一個平面平行，那么這兩個平面不一定平行；如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面是平行的．
實例：工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，那么就能判斷桌面是水平的．
問題1：如果平面β內有一條直線與平面α平行，那么α，β不一定平行．
問題2：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
如果一個平面內有兩條平行直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面不一定平行．
填表：圖形：
文字：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．
符號：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α.
例1　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，
所以AD1∥BC1.
因為BC1 平面BC1D，AD1 平面BC1D，
所以AD1∥平面BC1D.
因為AD∥B1C1，AD＝B1C1，
所以四邊形ADC1B1是平行四邊形，
所以AB1∥C1D.
因為C1D 平面BC1D，AB1 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
因為AD1∩AB1＝A，AD1 平面AB1D1，AB1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D.
跟蹤訓練　因為PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
因為BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因為底面ABCD為平行四邊形，
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
因為BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，MQ 平面MNQ，NQ 平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PBC.
思考1：平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD.
思考2：不一定，m與n平行或異面．
思考3：BC∥B2C2.
思考4：(1) 根據兩個平面平行及直線和平面平行的定義可知，兩個平面平行，其中一個平面內的直線必定平行于另一個平面．
(2) 分別在兩個平行平面內的兩條直線必定沒有公共點，所以只能判定它們平行或異面．
(3) 如果第三個平面與這兩個平行平面相交，那么所得的兩條交線平行．
探究：已知：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.
求證：a∥b.
證明：因為α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a α，b β.
又α∥β，所以a，b沒有公共點．
又a，b同在平面γ內，所以a∥b.
例2　已知：如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.
求證：AB＝CD.
證明：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD.
因為α∥β，所以BD∥AC.
又AB∥CD，
所以四邊形ABDC是平行四邊形，
所以AB＝CD.
【檢測反饋】
1. C　解析：對于A，當α與β相交時，α內也有無數條直線與β平行，所以A不正確；對于B，當α，β平行于同一條直線時，α與β可能相交，所以B不正確；對于C，根據面面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，所以C正確；對于D，當α，β垂直于同一平面，則α與β可能垂直，例如墻角的三個面，所以D不正確．
2. D　解析：若a α，b β，α∥β，則a與b可能平行或異面，故A錯誤，D正確；若a α，b β，a∥b，則α與β平行或相交，故B錯誤；若α∩β＝a，b β，則a與b可能平行或相交，故C錯誤．
3. ABCD　解析：以ABCD為下底還原正方體，如圖所示，則BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，故A，B正確；在正方體ABCDEFMN中，BD∥FN，FN 平面AFN，BD 平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN.又BM∩BD＝B，BM 平面BDM，BD 平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，故C，D正確．故選ABCD.
4. 　解析：因為平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性質定理可得EN∥CB1，EM∥AB1.又E為BB1的中點，所以M，N分別為AB，BC的中點，所以MN＝AC，所以＝.
5. (1) 因為O，E分別是BD，PD的中點，
所以EO∥PB.
又EO 平面PBC，PB 平面PBC，
所以EO∥平面PBC.
(2) 存在，F是PA的中點，連接EF，OF.
因為O，F分別是AC，AP的中點，
所以OF∥PC.
又OF 平面PBC，PC 平面PBC，
所以OF∥平面PBC.
由(1)可知，EO∥平面PBC，且OF∩EO＝O，且OF 平面OEF，EO 平面OEF，
所以平面OEF∥平面PBC，
所以PA上存在中點F，使平面OEF∥平面PBC.

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