資源簡介

8．6　空間直線、平面的垂直
8.6.1　直線與直線垂直
1. 理解兩條異面直線所成角的定義及兩條異面直線互相垂直的概念．
2. 掌握異面直線所成的角的計算方法．
活動一 鞏固空間兩條直線的位置關系
空間兩條直線的位置關系：
位置關系 共面情況 公共點個數
思考1
分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎？
練習　在兩個相交平面內各畫一條直線，使它們成為：
(1) 平行直線；(2) 相交直線；(3) 異面直線．
活動二 了解異面直線所成的角的概念　　
思考2
如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線A′C′與直線AB，直線A′D′與直線AB都是異面直線，直線A′C′與A′D′相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？
異面直線所成的角：
定義 前提 兩條異面直線a，b
作法 經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b
結論 我們把直線a′與b′所成的角叫作異面直線a與b所成的角(或夾角)
范圍 記異面直線a與b所成的角為θ，則0°< θ ≤90°
特殊情況 當θ＝90°時，異面直線a，b互相垂直，記作a⊥b
例1　已知多面體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體．
(1) 正方體中哪些棱所在的直線與直線BC1是異面直線？
(2) 求異面直線AA1與BC所成的角的大小；
(3) 求異面直線BC1與AC所成的角的大小．
1. 直線a與b所成的角的大小只由a，b的位置關系來確定，與點O的選擇無關，為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上．
2. 兩條異面直線所成的角θ∈.
3. 當兩條異面直線a，b所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b.
4. 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形．
5. 通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．
如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，求AA1的長．
活動三　兩條直線垂直　
例2　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為平面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD.
證明兩條直線垂直的常用方法：
1. 利用平面幾何的結論，如矩形，等腰三角形的三線合一，勾股定理等．
2. 定義法：證明兩條直線的夾角是90°.
3. 利用一些事實：已知a∥b，若a⊥c，則b⊥c.
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，P為A1B的中點，Q為棱C1C的中點，求證：PQ⊥AB.
1. (2023全國高一專題練習)如圖，已知空間四邊形ABCD的四條邊及對角線的長均為1，M，N分別是BC，AD的中點，設AM和CN所成角為α，則cos α的值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. 　 C. D.
2. 和兩條異面直線都垂直的直線(　　)
A. 有無數條 B. 有兩條　 C. 只有一條 D. 不存在
3. (多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結論中正確的是(　　)
A. AC⊥B1D1
B. AC1⊥BC
C. 直線AB1與BC1所成的角為60°
D. 直線AB與AC1所成的角為45°
4. 如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝________．
5. 在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，且EF＝5，AD＝6，BC＝8.求直線AD與BC所成的角的大小．
【答案解析】
8．6　空間直線、平面的垂直
8．6.1　直線與直線垂直
【活動方案】
活動一
位置關系 共面情況 公共點個數
相交 在同一平面內 有且只有一個
平行 在同一平面內 沒有
異面 不同在任何一個平面內 沒有
思考1：不一定，可能異面、平行或相交．
練習：略
思考2：不同，我們可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關系．
例1　(1) 與BC1是異面直線的有AA1，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.
(2) 因為DA∥BC，所以∠A1AD即為異面直線AA1與BC所成的角，
所以異面直線AA1與BC所成的角為90°.
(3) 連接A1C1，A1B.
因為AA1∥BB1∥CC1，AA1＝BB1＝CC1，　
所以四邊形AA1C1C是平行四邊形，
所以AC∥A1C1，
所以異面直線BC1與AC所成的角就是直線BC1與A1C1所成的角.
因為A1B＝A1C1＝BC1，
所以異面直線BC1與AC所成的角為60°.
跟蹤訓練　如圖，連接CD1，AC.
由題意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其補角)為異面直線A1B和AD1所成的角．
因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°，
所以∠AD1C＝90°.
因為在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側面都是矩形，且AD＝DC，
所以△ACD1是等腰直角三角形，
所以AD1＝AC.
因為底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2×sin 60°×2＝6，
所以AD1＝AC＝3，
所以AA1＝＝＝.
例2　 如圖，連接B1D1，AD1，AB1.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，
所以B1D1∥BD，
所以直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角．
易證AB1＝AD1，O1為B1D1的中點，
所以AO1⊥B1D1，所以AO1⊥BD.
跟蹤訓練　如圖，取AB的中點D，連接CD，DP.
因為P為A1B的中點，
所以PD＝AA1，且PD∥AA1.
因為Q為CC1的中點，
所以CQ＝AA1，且CQ∥AA1，
所以PD∥CQ，且PD＝CQ，
所以四邊形CDPQ為平行四邊形，
所以CD∥PQ.
又因為CA＝CB，D為AB的中點，
所以CD⊥AB，所以PQ⊥AB.
【檢測反饋】
1. A　解析：如圖，連接MD，設O為MD的中點，連接ON，OC，則ON＝AM且ON∥AM，所以∠ONC為異面直線AM與CN所成的角(或其補角).由題意，得AM＝CN＝DM＝，所以ON＝AM＝，MO＝DM＝，OC＝＝＝.在△CON中，由余弦定理，得cos ∠ONC＝＝＝，即cos α＝.
2. A　解析：因為和兩條異面直線都垂直相交的直線只有一條，所以所有與這條直線平行的直線都與這兩條異面直線垂直，而與這條直線平行的直線有無數條，故和兩條異面直線都垂直的直線有無數條．
3. AC　解析：如圖，因為AC⊥BD，BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，故A正確；因為BC∥B1C1，所以∠AC1B1是異面直線AC1與BC所成的角．因為在△AB1C1中，∠AB1C1＝90°，所以∠AC1B1不是直角，故B錯誤；因為BC1∥AD1，所以∠B1AD1是異面直線AB1與BC1所成的角，而△AB1D1是等邊三角形，所以∠B1AD1為60°，故C正確；在Rt△ABC1中，∠ABC1＝90°，但AB≠BC1，所以Rt△ABC1不是等腰直角三角形，所以AB與AC1所成的角不為45°，故D錯誤．故選AC.
4. 5　解析：取AD的中點P，連接PM，PN，則PM∥BD，PN∥AC，所以∠MPN(或其補角)為異面直線AC與BD所成的角，所以∠MPN＝90°.因為PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，所以MN＝＝5.
5. 取BD的中點H，連接EH，FH.
因為E，F分別為AB，CD的中點，
所以EH∥AD，FH∥BC，
所以∠EHF(或其補角)為直線AD與BC所成的角，且EH＝AD＝3，FH＝BC＝4.
因為在△EFH中，EF＝5，EH＝3，FH＝4，
所以EF2＝EH2＋HF2，
所以∠EHF＝90°，
所以直線AD與BC所成的角為90°.8．6.2　直線與平面垂直(1)
1. 了解直線與平面垂直的定義．
2. 掌握直線和平面垂直的判定定理．
3. 能熟練地運用直線和平面垂直的判定定理解決問題．
活動一 直線與平面垂直的定義
1. 在現實生活中，我們經常看到一些直線與平面垂直的現象，例如“旗桿與地面，大橋的橋柱和水面”等的位置關系，你能舉出一些類似的例子嗎？
2. 在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時間的變化，影子的位置在不斷地變化，在各個時刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線的夾角是否發生變化，為多少？
3. 直線和平面垂直的定義及相關概念(如圖).
(1) 直線l與平面α互相垂直：_________________________________________
_____________________________________________________________________
(2) 平面α的垂線：__________________________________________________
(3) 直線l的垂面：__________________________________________________
(4) 垂足：_________________________________________________________
思考1
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．那么，在空間中：
(1) 過一點有幾條直線與已知平面垂直？
(2) 過一點有幾個平面與已知直線垂直？
4. 垂線段和點到平面的距離的概念．
(1) 垂線段：_______________________________________________________
____________________________________________________________________
(2) 點到平面的距離：_______________________________________________
_____________________________________________________________________
活動二　直線和平面垂直的判定定理　
探究：請同學們準備一塊如圖所示的三角形的紙片ABC，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)，問如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？
思考2
(1) 如果一條直線和一個平面內的一條直線垂直，此直線是否和平面垂直？
(2) 如果一條直線和一個平面內的兩條直線垂直，此直線是否和平面垂直？
(3) 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，此直線是否和平面垂直？
(4) 上述三個問題能得到什么結論？
5. 直線與平面垂直的判定定理：
如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
用符號表示為：
6. 概念辨析：
下列命題中，正確的是________．(填序號)
①若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則l⊥α；　
②若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α；
③若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線；
④若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直；
⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．
活動三 直線與平面垂直的判定定理的應用
例1　求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.
　　
要證明一條直線與一個平面垂直，可以用定義，也可以用判定定理，但在用定義時，平面內的任意一條直線比較難說清楚．
已知直線l和平面α內的兩條直線m，n，則“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)
A. 充要條件
B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件
D. 既不充分也不必要條件
例2　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分別是AD，PC的中點，求證：PC⊥平面BEF.
一般情況下，要證明一條直線垂直于一個平面，都是用線面垂直的判定定理，只要在這個平面內找兩條相交直線和已知直線垂直即可．
如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的任意一點，過點A作AE⊥PC，垂足為E，求證：AE⊥平面PBC.
鞏固直線與平面垂直的定義及判定定理．
(1) 直線與平面垂直的定義：
定義 如果直線a與平面α內的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直
記法 a⊥α
有關概念 直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點P稱為垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
(2) 直線與平面垂直的判定定理：
文字語言 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 若a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝A，則a⊥α
圖形語言
1. 若一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況，則能保證該直線與平面垂直的是(　　)
①三角形的兩邊； ②梯形的兩邊；
③圓的兩條直徑； ④正六邊形的兩條邊．
A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④
2. (2022福州期末)已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直線，給出下列命題：①若m⊥n，m∥α，α∥β，則n⊥β； ②若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n⊥β；③若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n；④若m⊥α，m∥n，α∥β，則n⊥β.其中正確的是(　　)
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
3. (多選)如圖，在下列四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是(　　)
4. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1與AC的位置關系是________，BD1與B1C的位置關系是________，進而可得BD1與平面ACB1的關系是________．(填“垂直”“平行”或“相交”)
5. (2022中山期末)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，D是AB的中點．
(1) 求證：BC1∥平面CA1D；
(2) 若底面ABC是邊長為2的正三角形，BB1＝，求三棱錐B1-A1DC的體積．
【答案解析】
8．6.2　直線與平面垂直(1)
【活動方案】
1～2：略
3. (1) 如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，那么稱直線l與平面α互相垂直．
(2) 直線l叫作平面α的垂線．
(3) 平面α叫作直線l的垂面．
(4) 直線l與平面α垂直時，它們唯一的公共點P叫作垂足．
思考1：(1) 1條　(2) 1個
4. (1) 過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫作這個點到該平面的垂線段．
(2) 垂線段的長度．
探究：當折痕AD是BC邊上的高時，折痕AD與桌面所在平面垂直．
思考2：(1) 不一定　(2) 不一定　(3) 垂直
(4) 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．
5. 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m α，n α，則a⊥α.
6. ④⑤　解析：當直線l與平面α內的無數條平行直線垂直時，l與α不一定垂直，所以①不正確；當l與α內的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內的無數條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確．
例1　已知：如圖，a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.
證明：如圖，在平面α內取兩條相交直線m，n.
因為直線a⊥α，所以a⊥m，a⊥n.
因為b∥a，所以b⊥m，b⊥n.
又m α，n α，m，n是兩條相交直線，
所以b⊥α.
跟蹤訓練　C　解析：充分性：因為l⊥α，所以l必垂直于平面α內的所有直線，所以l⊥m且l⊥n；必要性：由l⊥m且l⊥n，若m∥n，則l不一定垂直于平面α.綜上可得，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要條件．
例2　如圖，連接PE，EC.
因為PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.
在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
因為F是PC的中點，所以EF⊥PC.
在Rt△ABP中，BP＝＝2＝BC.
又F是PC的中點，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF 平面BEF，EF 平面BEF，所以PC⊥平面BEF.
跟蹤訓練　因為PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
因為AB是⊙O的直徑，所以BC⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
因為AE 平面PAC，所以BC⊥AE.
因為PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC.
【檢測反饋】
1. A　解析：由線面垂直的判定定理可知，①③能判定直線與平面垂直；②中梯形的兩邊不一定相交，所以無法判定直線與平面垂直；④中正六邊形的兩邊不一定相交，所以無法判定直線與平面垂直．
2. D　解析：若m⊥n，m∥α，α∥β，則n∥β或n與β相交或n β，故①錯誤；若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β或n β，故②錯誤；若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n，故③正確；若m⊥α，m∥n，α∥β，則n⊥β，故④正確．
3. BD　解析：對于A，由AB與CE所成的角為45°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，CE∩ED＝E，CE 平面CDE，DE 平面CDE，可得AB⊥平面CDE；對于C，由AB與CE所成的角為60°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于D，連接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB.又ED∩EC＝E，DE 平面CDE，EC 平面CDE，所以AB⊥平面CDE.故選BD.
4. 垂直　垂直　垂直
5. (1) 如圖，連接AC1交A1C于點E，連接DE.
因為多面體ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以四邊形AA1C1C是矩形，則E為AC1的中點．
因為D是AB的中點，所以DE∥BC1.
又DE 平面CA1D，BC1 平面CA1D，
所以BC1∥平面CA1D.
(2) 因為AC＝BC，D是AB的中點，
所以AB⊥CD.
又因為AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以AA1⊥CD.
因為AA1∩AB＝A，AA1 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
所以CD⊥平面AA1B1B，
所以三棱錐C-B1A1D的底面B1A1D上的高為CD＝.
因為BD＝1，BB1＝，
所以A1D＝B1D＝A1B1＝2，所以S△B1A1D＝，
所以三棱錐B1-A1DC的體積V三棱錐B1-A1DC＝V三棱錐C-B1A1D＝××＝1.8．6.2　直線與平面垂直(2)
1. 了解直線和平面所成角的概念和范圍．
2. 能熟練地運用直線和平面垂直的定義和判定定理解決問題．
活動一 了解直線和平面所成的角
填表：
有關概念
斜線
斜足
射影
直線與平面所成的角
直線與平面所成角的取值范圍
思考
斜線與平面內過斜足的其他直線所成的角和斜線與這個平面所成的角的大小關系如何？
活動二　線面垂直的應用　
例1　如圖，已知AC，AB分別是平面α的垂線和斜線，C，B分別是垂足和斜足，a α，a⊥BC.求證：a⊥AB.
要證明兩條直線垂直，通常是把其中的一條直線放在一個平面內，然后證明另一條直線垂直于這個平面，再用線面垂直的定義即可證得．
求證：如果平面內的一條直線與這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和斜線在這個平面內的射影垂直．
已知A為△BCD所在平面外的一點，點O為點A在平面BCD上的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求證：AB⊥CD.
例2　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AA1，A1D1的中點，求：
(1) 直線D1B與平面ABCD所成的角的余弦值；
(2) 直線EF與平面A1B1C1D1所成的角的大小．
空間中的線面角，還是轉化為平面中的角來解決，利用線面角的定義即可．
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD.
(1) 指出圖中有哪些三角形是直角三角形，并說明理由；
(2) 若PA＝AD＝AB，試求直線PC與平面ABCD所成角的正切值．
1. (2022漳州期末)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為(　　)
A. 8 B. 6 C. 8 D. 8
2. 下列說法：①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ<90°；②直線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ≤90°；③若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行；④若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個平面所成的角相等．其中正確的是(　　)
A. ①④ B. ①②④ C. ③④ D. ②③④
3. (多選)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，E，F，P，Q分別為棱AB，AD，DD1，BB1的中點，則下列結論中正確的是(　　)
A. AC⊥BP
B. B1D⊥平面EFPQ
C. BC1∥平面EFPQ
D. 直線A1D和AC所成的角的余弦值為
4. 一條與平面α相交的線段AB，其長度為10 cm，兩端點到平面的距離分別是3 cm，2 cm，則線段AB與平面α所成角的大小是________．
5. (2022天津東麗區期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是棱PD，CD的中點．
(1) 求證：EF∥平面PAC；
(2) 求證：EF⊥BD.
(3) 已知正方形ABCD的邊長為2，PA＝1，求：
①異面直線AD，PC所成角的余弦值；
②直線CP與平面PAD所成角的正弦值．
【答案解析】
8．6.2　直線與平面垂直(2)
【活動方案】
填表略
思考：斜線與平面所成的角小于這條斜線與平面內過斜足的其他直線所成的角．
例1　因為AC⊥α，a α，所以AC⊥a.
因為BC⊥a，AC∩BC＝C，BC 平面ABC，AC 平面ABC，所以a⊥平面ABC.
因為AB 平面ABC，所以a⊥AB.
跟蹤訓練1　已知：AC⊥平面α，直線a α，AB∩平面α＝B，AB⊥a，求證：BC⊥a.
證明：因為AC⊥平面α，a α，所以AC⊥a.
因為AB⊥a，AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以a⊥平面ABC.
因為BC 平面ABC，所以a⊥BC.
跟蹤訓練2　如圖，連接OA，OC，OB.
因為點O為點A在平面BCD上的射影，
所以AO⊥平面BCD，
所以AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD.
因為AC⊥BD，AC∩AO＝A，AC 平面OAC，AO 平面OAC，所以BD⊥平面OAC.
又CO 平面OAC，所以BD⊥CO.
同理由AD⊥BC，可證BC⊥DO，
所以點O為△BCD的垂心，所以CD⊥OB.
又OB∩AO＝O，OB 平面AOB，AO 平面AOB，所以CD⊥平面AOB.
因為AB 平面AOB，所以AB⊥CD.
例2　(1) 連接DB.
易知D1D⊥平面ABCD，
所以DB是D1B在平面ABCD上的射影，
則∠D1BD即為D1B與平面ABCD所成的角．
因為DB＝AB，D1B＝AB，
所以cos ∠D1BD＝＝，
即直線D1B與平面ABCD所成的角的余弦值為.
(2) 因為A1A⊥平面A1B1C1D1，
所以∠EFA1是EF與平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△EA1F中，
因為F是A1D1的中點，E是A1A的中點，
所以A1E＝A1F，
所以△EA1F為等腰直角三角形，
所以∠EFA1＝45°，
即直線EF與平面A1B1C1D1所成的角為45°.
跟蹤訓練　(1) △PAB，△PAD，△PBC，△PCD是直角三角形．理由如下：
因為PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CD，PA⊥BC，
所以△PAB，△PAD均為直角三角形．
因為四邊形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.
因為PA⊥BC，PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因為PB 平面PAB，所以BC⊥PB，
所以△PBC為直角三角形．
同理可得△PCD為直角三角形．
(2) 連接AC.
因為PA⊥平面ABCD，
所以AC是PC在平面ABCD上的射影，
所以∠PCA即為PC與平面ABCD所成的角．
因為PA＝AB＝AD，所以AC＝AB，
所以tan ∠PCA＝＝，
即直線PC與平面ABCD所成角的正切值為.
【檢測反饋】
1. C　解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，連接BC1，根據線面角的定義可知∠AC1B＝30°.因為AB＝2，所以BC1＝2，所以CC1＝2，所以該長方體的體積為V＝2×2×2＝8.
2. A　解析：①正確；②直線與平面所成角的取值范圍是0°≤θ≤90°，故②錯誤；③中這兩條直線可能平行，也可能相交或異面，故③錯誤；④正確．
3. ACD　解析：對于A，如圖1，連接BD1.因為AB＝BC＝1，所以四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因為幾何體為長方體，所以DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1.因為BD∩DD1＝D，BD 平面BDD1，DD1 平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.又因為BP 平面BDD1，所以AC⊥BP，故A正確；對于B，如圖2，假設B1D⊥平面EFPQ，因為PQ 平面EFPQ，所以B1D⊥PQ，顯然B1D⊥PQ不成立，故假設錯誤，故B錯誤；對于C，如圖3，連接AD1.由條件可知FP∥AD1，AD1∥BC1，所以FP∥BC1.又因為FP 平面EFPQ，BC1 平面EFPQ，所以BC1∥平面EFPQ，故C正確；對于D，如圖4，連接CB1，AB1.因為DA1∥CB1，所以A1D和AC所成的角即為∠B1CA或其補角．由條件可知B1C＝2，AB1＝2，AC＝，所以cos ∠B1CA＝＝，故D正確．故選ACD.
圖1 圖2 圖3 圖4
4. 30°　解析：如圖，作AC⊥α，BD⊥α，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于點O.因為AB＝10，AC＝3，BD＝2，所以AO＝6，BO＝4，所以∠AOC＝∠BOD＝30°，即線段AB與平面α所成的角是30°.
5. (1) 因為E，F分別是棱PD，CD的中點，
所以EF∥PC.
又EF 平面PAC，PC 平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
(2) 因為底面ABCD為正方形，所以AC⊥BD.
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
因為PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
又由(1)得EF∥PC，所以EF⊥BD.
(3) ①因為底面ABCD為正方形，
所以AD∥BC，BC⊥AB，
所以∠PCB為異面直線AD，PC所成的角．
因為PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AC，PA⊥BC.
因為PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.
因為正方形ABCD的邊長為2，PA＝1，
所以AC＝2，PC＝＝3，
所以cos ∠PCB＝＝.
②因為底面ABCD為正方形，所以CD⊥AD.
因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥PA.
因為PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
所以∠CPD為直線CP與平面PAD所成的角，
所以sin ∠CPD＝＝.8．6.2　直線與平面垂直(3)
1. 鞏固直線與平面垂直的定義及判定定理．
2. 掌握直線和平面垂直的性質定理．
3. 能熟練地運用直線和平面垂直的判定定理和性質定理解決問題．
活動一 探究直線與平面垂直的性質定理
思考
(1) 在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿. 一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關系是什么？
(2) 命題“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請說明理由．
1. 直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
符號語言：
圖形語言：
2. 概念辨析：
已知直線l，m，n與平面α，指出下列命題是否正確，并說明理由：
(1) 若l⊥α，則l與α相交；
(2) 若m α，n α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；
(3) 若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.
活動二　直線與平面垂直的性質定理的應用
例1　已知l∥α，求證：直線l上各點到平面α的距離相等．
1. 一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線到這個平面的距離．
2. 如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫作這兩個平行平面間的距離．
3. 直線與平面之間的距離及平行平面之間的距離，歸結為點面之間的距離，其實就是找過點到平面的垂線，點和垂足之間的距離就是所求線面、面面之間的距離．
已知長方體ABCD-A1B1C1D1.
(1) 求證：A1A∥平面BB1D1D；
(2) 若AB＝4，AD＝3，求直線A1A和平面BB1D1D間的距離．
推導棱臺的體積公式V棱臺＝h(S′＋＋S)，其中S′，S分別是棱臺的上、下底面面積，h是高．
例2　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上的一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.
利用線面垂直的性質定理，如果兩條直線垂直于同一個平面，可以得到兩直線平行，反之，若兩條平行直線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，結論正確，但不可以作為定理使用．
若本例的條件不變，求證：M是AB的中點．
1. 從圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是(　　)
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 異面
2. (2022襄陽期末)如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，M為線段PB的中點．現有結論：①BC⊥PC；②OM∥平面PAC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長，其中正確的是(　　)
A. ①② B. ①②③
C. ① D. ②③
3. (多選)已知a，b表示兩條不重合的直線，α表示平面，則下列結論中正確的是(　　)
A. 若a⊥α，b∥α，則a⊥b B. 若a⊥α，a⊥b，則b∥α
C. 若a∥α，a⊥b，則b⊥α D. 若a⊥α，b⊥α，則a∥b
4. 已知矩形ABCD的邊AB＝a，BC＝3，PA⊥平面ABCD.若BC邊上有且只有一點M，使PM⊥DM，則a的值為________．
5. (2022東莞期末)如圖，在圓柱O1O2中，AB是圓O2的直徑，CD和EF分別是圓柱軸截面上的母線．
(1) 求證：O1D∥平面ABF；
(2) 若DE＝EF＝4，AF＝BF，證明：AB⊥平面CDEF，并求點D到平面ABF的距離．
【答案解析】
8．6.2　直線與平面垂直(3)
【活動方案】
思考：(1) 平行　(2) 正確，證明略
1. 符號語言： a∥b.
圖形語言：
2. (1) 正確，理由略．　(2) 不正確，理由略．　(3) 正確，理由略．
例1　如圖，過直線l上任意兩點A，B分別作平面α的垂線AA′，BB′，垂足分別為A′，B′.
因為AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′.
設直線AA′和BB′確定的平面為β，
則α∩β＝A′B′.
因為l∥α，所以l∥A′B′，
所以四邊形A′B′BA是矩形，所以AA′＝BB′，
由A，B是直線l上任取的兩點，可知直線l上各點到平面α的距離相等．
跟蹤訓練1　(1) 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，
AA1∥BB1.
因為BB1 平面BB1D1D，AA1 平面BB1D1D，
所以A1A∥平面BB1D1D.
(2) 由(1)知A1A∥平面BB1D1D，
則直線A1A上任意一點到平面BB1D1D的距離都相等，
所以只需求直線A1A上任意一點到平面BB1D1D的距離．
在平面ABCD中過點A，作AH⊥BD交BD于點H.
因為BB1⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
所以BB1⊥AH.
因為BB1∩BD＝B，BB1 平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，
所以AH⊥平面BB1D1D，
即線段AH的長為直線A1A和平面BB1D1D間的距離．
在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，則BD＝5.
由等面積法得AH＝＝＝，
所以直線A1A和平面BB1D1D間的距離為.
跟蹤訓練2　如圖，延長棱臺各側棱交于點P，得到截得棱臺的棱錐．過點P作棱臺的下底面的垂線，分別與棱臺的上、下底面交于點O′，O，則PO垂直于棱臺的上底面，從而O′O＝h.
設截得棱臺的棱錐的體積為V，去掉的棱錐的體積為V′，高為h′，則PO′＝h′，于是V′＝S′h′，V＝S(h′＋h)，
所以棱臺的體積V棱臺＝V－V′＝S(h′＋h)－S′h′＝[Sh＋(S－S′)h′].①
由棱臺的上、下底面平行，可以證明棱臺的上、下底面相似，并且＝，
所以h′＝.
代人①，得V棱臺＝h[S＋(S－S′)]＝h(S′＋＋S).
例2　因為四邊形ADD1A1為正方形，
所以AD1⊥A1D.
因為CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因為A1D∩CD＝D，A1D 平面A1DC，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
跟蹤訓練　連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，
所以ON∥CD∥AB，ON＝CD＝AB，
所以ON∥AM.
由例2可得MN∥OA，
所以四邊形AMNO為平行四邊形，
所以ON＝AM.
因為ON＝AB，所以AM＝AB，
所以M是AB的中點．
【檢測反饋】
1. B
2. B　解析：對于①，因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因為AB為⊙O的直徑，所以BC⊥AC.因為PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又PC 平面PAC，所以BC⊥PC，故①正確；對于②，因為M為線段PB的中點，O為AB的中點，所以OM∥PA.因為PA 平面PAC，OM 平面PAC，所以OM∥平面PAC，故②正確；對于③，由①知BC⊥平面PAC，所以線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故③正確．
3. AD　解析：若a⊥α，b∥α，由線面垂直的性質得a⊥b，故A正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或b α，故B不正確；若a∥α，a⊥b，則b α或b∥α或b與α相交，故C不正確；D顯然成立．故選AD.
4. 　解析：如圖，因為PA⊥平面ABCD，DM 平面ABCD，所以PA⊥DM.因為BC邊上存在點M，使PM⊥DM，且PM∩PA＝P，PM 平面PAM，PA 平面PAM，所以DM⊥平面PAM.因為AM 平面PAM，所以DM⊥AM，所以以AD為直徑的圓和BC有公共點．因為AD＝BC＝3，所以圓的半徑為.因為點M是唯一的，所以BC和半徑為的圓相切，所以AB＝，即a＝.
5. (1) 連接CF，DE，FO2.
因為CD和EF是圓柱軸截面上的母線，
所以四邊形CDEF是平行四邊形，
所以CF∥DE且CF＝DE.
因為CF，DE分別經過圓心O1，O2，
所以O1F∥O2D且O1F＝O2D，
所以四邊形O1DO2F是平行四邊形，
所以O1D∥O2F.
因為O1D 平面ABF，O2F 平面ABF，
所以O1D∥平面ABF.
(2) 因為EF是圓柱的母線，
所以EF⊥平面AEBD.
因為AB 平面AEBD，所以AB⊥EF.
因為AF＝BF，O2是AB的中點，所以AB⊥O2F.
因為O2F∩EF＝F，O2F 平面CDEF，EF 平面CDEF，所以AB⊥平面CDEF.
因為DE 平面CDEF，所以AB⊥DE，
所以S△ABD＝·AB·O2D＝×4×2＝4.
因為AB＝DE＝EF＝4，
所以O2F＝＝＝2，
所以S△ABF＝·AB·O2F＝×4×2＝4，
由等體積法可得VD-ABF＝VF-ABD，
設點D到平面ABF的距離為d，則·S△ABF·d＝·S△ABD·EF，
所以d＝＝＝，
即點D到平面ABF的距離為.8．6.3　平面與平面垂直(1)
1. 了解二面角及其平面角的概念，能確定二面角的平面角．
2. 初步掌握面面垂直的定義．
活動一 了解二面角的概念
問題1：平面幾何中“角”是怎樣定義的？
問題2：在立體幾何中，“異面直線所成的角”與“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？
思考1
觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．數學上，如何刻畫門所在的平面與墻面所在的平面所成的角？
思考2
在日常生活中，我們常說“把門開大一些”，是指哪個角大一些？受此啟發，你認為應該怎樣刻畫二面角的大小呢？
1. 二面角及其平面角的概念．
(1) 二面角：
①定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面．
②畫法：
直立式 平臥式
③記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
(2) 二面角的平面角：
①定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫作二面角的平面角．
②表示方法：若O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l，則二面角αlβ的平面角是∠AOB.
(3) 二面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫作直二面角．
活動二 掌握簡單幾何體中二面角的求解方法
例1　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求：
(1) 二面角A1-AB-D的大小；
(2) 二面角D1-AB-D的大小．
根據二面角的平面角的定義，在圖形中先找到此平面角，然后放在三角形中解決．
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值．
活動三　理解兩個平面垂直的定義
2. 平面與平面垂直．
(1) 定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2) 畫法：
(3) 記作：α⊥β.
例2　如圖，邊長為2的正三角形ABC以它的高AD為折痕，折成一個二面角B′-AD-C.
(1) 指出這個二面角的面、棱、平面角；
(2) 若二面角B′-AD-C為直二面角，求B′，C兩點之間的距離；
(3) 求AB′與平面B′CD所成的角；
(4) 若二面角B′-AD-C的平面角為120°，求二面角A-B′C-D的正切值.
當圖形中不能直接找到二面角的平面角時，一般先找一個平面的垂線，再過垂足在另一個平面內作兩個平面交線的垂線，根據連線從而證得平面角．
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD.
(1) 求證：BD⊥PC；
(2) 若∠BAD＝∠BPA＝60°，求二面角P-CD-A的余弦值．
1. (2022聊城期末)下列條件中，不能確定兩個平面垂直的是(　　)
A. 兩個平面相交，所成二面角是直二面角
B. 一個平面垂直于另一個平面內的一條直線
C. 一個平面經過另一個平面的一條垂線
D. 平面α內的直線a與平面β內的直線b是垂直的
2. 在二面角α-l-β的一個平面α內有一條直線AB，若AB與棱l的夾角為45°，AB與平面β所成的角為30°，則此二面角的大小是(　　)
A. 30° B. 30°或150°
C. 45° D. 45°或135°
3. (多選)(2022寧德期末)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列說法中正確的是(　　)
A. 直線BD1⊥平面A1C1D
B. 二面角B1-CD-B的大小為
C. 三棱錐P-A1C1D的體積為定值
D. 異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是
4. 在Rt△ABC中，兩直角邊AC＝b，BC＝a，CD⊥AB，垂足為D，將△ABC沿CD折成直二面角A-CD-B，則∠ACB的余弦值為________．
5. 已知A為正三角形BCD所在平面外的一點，且點A到△BCD三個頂點的距離都等于正三角形BCD的邊長，求二面角A-BC-D的余弦值．
【答案解析】
8．6.3　平面與平面垂直(1)
【活動方案】
問題1：在平面幾何中，有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角．
問題2：若a與b是異面直線，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫作異面直線a與b所成的角．
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫作這條直線與這個平面所成的角．
共同特征：均是轉化為平面上直線與直線所成的角．
思考1：略　思考2：略
例1　(1) 因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥AB，AD⊥AB，
所以∠A1AD就是二面角A1-AB-D的平面角，則大小為90°.
(2) 因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面A1D1DA，D1A 平面A1D1DA，
所以AB⊥D1A.
又因為AB⊥AD，所以∠D1AD就是二面角D1-AB-D的平面角．
又因為∠D1AD＝45°，
所以二面角D1-AB-D的大小為45°.
跟蹤訓練　連接AC交BD于點O，連接OC1.
因為BC1＝DC1，BC＝DC，BO＝DO，
所以C1O⊥BD，CO⊥BD，
所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角．
設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1.
在Rt△C1OC中，tan ∠C1OC＝＝，
所以二面角C1-BD-C的正切值為.
例2　(1) 面：平面AB′D和平面ACD；棱：AD；
平面角：∠B′DC.
(2) B′C＝　(3) 60°
(4) 由題意，得∠B′DC＝120°.
取B′C的中點E，連接AE，DE.
因為AB′＝AC，B′D＝CD，B′E＝CE，
所以DE⊥B′C，AE⊥B′C，
所以∠AED為二面角A-B′C-D的平面角．
因為∠B′CD＝30°，所以DE＝CD＝，
所以tan ∠AED＝＝＝2，
故二面角A-B′C-D的正切值為2.
跟蹤訓練　(1) 連接AC.
因為PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥PA.
因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又因為PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
(2) 如圖，作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，連接PE.
因為AE⊥CD，PA⊥CD，AE∩PA＝A，AE 平面PAE，PA 平面PAE，
所以CD⊥平面PAE.
因為PE 平面PAE，所以PE⊥CD，
所以二面角P-CD-A的平面角是∠PEA.
設PA＝1，
因為∠BAD＝∠BPA＝60°，且底面ABCD是菱形，所以BA＝AD＝，∠DAE＝30°，
所以AE＝AD＝，PE＝＝，
所以cos ∠PEA＝＝，
所以二面角P-CD-A的余弦值為.
【檢測反饋】
1. D　解析：A，B，C可以確定兩個平面垂直；對于D，如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD內的直線A1B1垂直于平面ABCD內的一條直線BC，但平面A1B1CD與平面ABCD顯然不垂直，故D錯誤．
2. D　解析：如圖，作AD⊥β，交平面β于點D，連接BD，過點A作AC⊥BC，交l于點C，連接CD.因為AB與棱l的夾角為45°，AB與平面β所成的角為30°，所以∠ABC＝45°，∠ABD＝30°.設AD＝1，則AB＝2，AC＝，BC＝.因為△ACD為直角三角形，所以CD＝1，所以∠ACD＝45°，與它互補的角為135°，所以二面角α-l-β的大小為45°或135°.
3. AC　解析：對于A，因為A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1 平面BB1D1，BB1 平面BB1D1，所以A1C1⊥平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，因為A1C1∩DC1＝C1，A1C1 平面A1C1D，DC1 平面A1C1D，所以直線BD1⊥平面A1C1D，故A正確；對于B，由正方體可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B錯誤；對于C，因為A1D∥B1C，A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，所以B1C∥平面 A1C1D，因為點P在線段B1C上運動，所以點P到平面A1C1D的距離為定值，又△A1C1D的面積是定值，所以三棱錐P-A1C1D的體積為定值，故C正確；對于D，當點P與線段B1C的端點重合時， 異面直線AP與A1D所成角取得最小值為，故異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是[，]，故D錯誤．故選AC.
4. 　解析：在Rt△ACB中，由題意得AB＝，所以CD＝，所以在幾何體ABCD中，AB2＝AD2＋BD2＝AC2－CD2＋BC2－CD2＝a2＋b2－＝，所以根據余弦定理可得cos ∠ACB＝＝.
5. 設正三角形BCD的邊長為2，
則AB＝AC＝AD＝2.
取BC的中點E，連接AE，DE.
因為AB＝AC，所以AE⊥BC.
因為BD＝CD，所以ED⊥BC，
所以∠AED即為二面角ABCD的平面角．
因為AB＝2，BE＝BC＝1，所以AE＝.
同理可知DE＝，
在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，
由余弦定理可得cos ∠AED＝＝，
故二面角ABCD的余弦值為.8．6.3　平面與平面垂直(2)
1. 進一步理解兩個平面垂直的定義．
2. 掌握兩個平面垂直的判定與性質定理及其應用．
活動一 鞏固二面角的概念及兩個平面垂直的定義
1. 二面角的概念．
(1) 定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面．
(2) 畫法：
直立式 平臥式
(3) 記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P- l-Q 或P-AB-Q.
2. 二面角的平面角．
(1) 定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫作二面角的平面角．
(2) 畫法：
(3) 表示方法：若O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
3. 平面與平面垂直．
(1) 定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2) 畫法：
(3) 記作：α⊥β.
活動二 探究兩個平面垂直的判定定理與性質定理
思考1
如圖，建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細線緊貼墻面，工人師傅就認為墻面垂直于地面，否則他就認為墻面不垂直于地面．這種方法說明了什么道理？
4. 平面與平面垂直的判定定理：
文字語言
符號語言
圖形語言
思考2
如圖，設α⊥β，α∩β＝a，則β內任意一條直線b與a有什么位置關系？相應地，b與α
有什么位置關系？
5. 平面與平面垂直的性質定理：
文字語言
符號語言
圖形語言
活動三 兩個平面垂直的判定定理與性質定理的應用
例1　如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求證：平面A′BD⊥平面ACC′A′.
證明面面垂直的方法：
(1) 利用兩平面垂直的定義，作出兩相交平面所成二面角的平面角，并證明其大小為90°；
(2) 利用判定定理，在一個平面內找一條直線垂直于另一個平面．
如圖，在圓錐PO中，AB是⊙O的直徑，C是上的點，D為AC的中點．求證：平面POD⊥平面PAC.
例2　如圖，已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，a α，判斷a與α的位置關系．
在線線垂直、線面垂直、面面垂直的位置關系中，只要添加一些其他條件，都可以得到線線、線面等平行關系．
求證：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內．
例3　在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.
利用面面垂直的性質定理，證明線面垂直的問題時的三要素：(1)兩個平面垂直；(2)所求證的直線必須在其中一個平面內；(3)該直線必須垂直于它們的交線．
如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點．求證：
(1) BG⊥平面PAD；
(2) AD⊥PB.
1. (2022臨湘期末)已知兩條不同直線l，m，兩個不同平面α，β，則下列命題中正確的是(　　)
A. 若α∥β，l α，m β，則l∥m B. 若α∥β，m∥α，l⊥β，則l⊥m
C. 若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l∥m D. 若α⊥β，l∥α，m∥β，則l⊥m
2. 如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則下列結論中正確的是(　　)
A. BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B. BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C. BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D. BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
3. (多選)如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列說法中正確的有(　　)
A. 平面PAD⊥平面PAB　 B. 平面PAD⊥平面PCD
C. 平面PBC⊥平面PAB　 D. 平面PBC⊥平面PCD
4. 如圖，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________．
5. (2022平江期末)如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.
(1) 求證：平面PAC⊥平面PBC；
(2) 若AC＝PA＝2，BC＝3，求AB與平面PBC所成角的正弦值．
【答案解析】
8．6.3　平面與平面垂直(2)
【活動方案】
思考1：這種方法告訴我們，如果墻面經過地面的垂線，那么墻面與地面垂直．
4. 填表略
思考2：b與a平行或相交．當b∥a時，b∥α；當b與a相交時，b與α也相交，特別地當b⊥a時，b⊥α.
5. 填表略
例1　因為ABCD-A′B′C′D′是正方體，
所以AA′⊥平面ABCD.
因為BD 平面ABCD，所以AA′⊥BD.
又BD⊥AC，A′A∩AC＝A，A′A 平面ACC′A′，AC 平面ACC′A′，所以BD⊥平面ACC′A′.
又BD 平面A′BD，所以平面A′BD⊥平面ACC′A′.
跟蹤訓練　連接OC.
因為OA＝OC，D是AC的中點，
所以AC⊥OD.
又PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以AC⊥PO.
因為OD∩PO＝O，PO 平面POD，OD 平面POD，所以AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC.
例2　在平面α內作垂直于α與β交線的直線b.
因為α⊥β，所以b⊥β.
又a⊥β，所以a∥b.
又a α，b α，所以a∥α，
即直線a與平面α平行．
跟蹤訓練　已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.
求證：a α.
證明：設α∩β＝l.
過點P在平面α內作直線b⊥l，
根據平面與平面垂直的性質定理，有b⊥β.
因為經過一點有且只有一條直線與平面β垂直，所以直線a應與直線b重合，即a α.
例3　如圖，在平面PAB內作AD⊥PB于點D.
因為平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，
所以AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC.
因為PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為PA∩AD＝A，PA 平面PAB，AD 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
跟蹤訓練　(1) 因為四邊形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形．
因為G為AD的中點，所以BG⊥AD.
因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，
所以BG⊥平面PAD.
(2) 因為△PAD是正三角形，G是AD的中點，所以PG⊥AD.
因為BG⊥AD，BG∩PG＝G，BG 平面PBG，PG 平面PBG，所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
【檢測反饋】
1. B　解析：對于A，若α∥β，l α，m β，則l∥m或l，m異面，故A錯誤；對于B，若α∥β，l⊥β，則l⊥α.因為m∥α，所以l⊥m，故B正確；對于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l⊥m，故C錯誤；對于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，則l∥m或l，m相交或l，m異面，故D錯誤．
2. B　解析：如圖，連接BD，過點E作EO⊥CD于點O，連接ON，過點M作MF⊥OD于點F，連接BF.因為平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO⊥CD，EO 平面ECD，所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥ON.同理MF⊥FB，所以△MFB與△EON均為直角三角形．設正方形ABCD的邊長為2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，MF＝，BF＝，所以BM＝，所以BM≠EN.又因為BM與EN都是△EBD的中線，所以直線BM與EN相交．
3. ABC　解析：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥BC.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因為CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故選ABC.
4. 13　解析：取AB的中點E，連接PE，EC.因為∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以AE＝CE＝5.因為PA＝PB＝13，E是AB的中點，所以PE⊥AB，所以PE＝＝12.因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE 平面PAB，PE⊥AB，所以PE⊥平面ABC.因為CE 平面ABC，所以PE⊥CE，所以在Rt△PEC中，PC＝＝13.
5. (1) 因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因為PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
(2) 取PC的中點O，連接AO，BO.
因為PA＝AC，所以AO⊥PC.
因為平面PBC⊥平面PAC，平面PBC∩平面PAC＝PC，AO 平面PAC，
所以AO⊥平面PBC，
所以∠ABO為AB與平面PBC所成的角．
在Rt△AOB中，AB＝，AO＝，
所以sin ∠ABO＝＝.

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