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第八章 立體幾何初步 復 習
1. 整合知識結構，梳理知識網絡，進一步鞏固、深化所學知識．
2. 能熟練畫出幾何體的直觀圖，能熟練地計算空間幾何體的表面積和體積，體會通過展開圖、截面化空間為平面的方法．
活動一 知識梳理
1. 幾何體的表(側)面積和體積的有關計算．
柱體、錐體、臺體和球體的表(側)面積和體積的公式：
表面積或側面積 體積
圓柱 S圓柱表＝2πr(r＋l) V＝Sh＝πr2h
圓錐 S圓錐表＝πr(r＋l) V＝Sh＝πr2h＝πr2
圓臺 S圓臺表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) V＝πh(r′2＋r′r＋r2)
棱柱 S直棱柱側＝ch(h是棱柱的高) V＝Sh
棱錐 S正棱錐側＝ch′(h′是斜高) V＝Sh
棱臺 S正棱臺側＝(c＋c′)h′(h′是斜高) V＝h(S′＋＋S)
球 S球表＝4πR2 V＝πR3
2. 四個基本事實．
基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
3. 直線與直線的位置關系．
4. 平行的判定與性質．
(1) 線面平行的判定與性質：
判定 性質
定義 定理
圖形
條件 a∩α＝ a α， b α， a∥b a∥α a∥α， a β， α∩β＝b
結論 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b
(2) 面面平行的判定與性質：
判定 性質
定義 定理
圖形
條件 α∩β＝ a β，b β， a∩b＝P， a∥α，b∥α α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b α∥β，a β
結論 α∥β α∥β a∥b a∥α
(3) 空間中的平行關系的內在聯系：
5. 垂直的判定與性質．
(1) 線面垂直的判定與性質：
圖形 條件 結論
判定 a⊥b，b α(b為α內的任意直線) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α b⊥α
性質 a⊥α，b α a⊥b
a⊥α，b⊥α a∥b
(2) 面面垂直的判定與性質：
文字語言 圖形語言 符號語言
判定 定理 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 α⊥β
性質 定理 兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直 l⊥α
(3) 空間中垂直關系的內在聯系：
6. 空間角．
(1) 異面直線所成的角：
①定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角).
②范圍：設兩條異面直線所成的角為θ，則0°<θ≤90°.
(2) 直線和平面所成的角：
①平面的一條斜線與它在平面上的射影所成的角，叫作這條直線和這個平面所成的角．
②如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是90°；如果一條直線與平面平行，或在平面內，那么稱它們所成的角是0°.
(3) 二面角的有關概念：
①二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角．
②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一點為垂足，在兩個面內分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．
活動二　典型例題探究　
類型一　空間幾何體的表面積與體積
例1　如圖，從底面半徑為2a，高為a的圓柱中，挖去一個底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比．
空間幾何體的體積與表面積的計算方法．
(1) 等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個面都可作為底面來處理，恰當地進行換底等積變換便于問題的求解．
(2) 割補法：像求平面圖形的面積一樣，割補法是求幾何體體積的一個重要方法．“割”就是將幾何體分割成幾個熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體；“補”就是通過補形，使它轉化為熟悉的幾何體．總之，割補法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉化為熟悉的幾何體來解決問題．
(3) 展開法：將簡單的幾何體沿一條側棱或母線展開成平面圖形，這樣便于將空間問題轉化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側面上(球除外)兩點間的距離問題．
(4) 構造法：當探究某些幾何體性質較困難時，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質．
如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求三棱錐A1-AB1D1的高．
類型二　空間中的平行關系
例2　如圖，E，F，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點．求證：
(1) GE∥平面BB1D1D；
(2) 平面BDF∥平面B1D1H.
(1) 判斷線面平行的兩種常用方法：
①利用線面平行的判定定理．
②利用面面平行的性質，即當兩平面平行時，其中一平面內的任一直線平行于另一平面．
(2) 判斷面面平行的常用方法：
①利用面面平行的判定定理．
②利用線面垂直的性質定理(l⊥α，l⊥β α∥β).
如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．
類型三　空間中的垂直關系
例3　如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，點B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點，且BC＝AA1.求證：
(1) 平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2) BC1⊥AB1.
空間垂直關系的判定方法．
(1) 判定線線垂直的方法：
①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角).
②線面垂直的性質(若a⊥α，b α，則a⊥b).
(2) 判定線面垂直的方法：
①線面垂直的定義(一般不易驗證任意性).
②線面垂直的判定定理(若a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c＝M，則a⊥α).
③面面垂直的性質定理(若α⊥β，α∩β＝l，a β，a⊥l，則a⊥α).
④面面平行的性質(若a⊥α，α∥β，則a⊥β).
⑤面面垂直的性質(若α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ，則l⊥γ).
(3) 面面垂直的判定方法：
①根據定義(作兩平面構成二面角的平面角，計算其為90°).
②面面垂直的判定定理(若a⊥β，a α，則α⊥β).
如圖，A，B，C，D為空間四點. 在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB為軸運動．
(1) 當平面ADB⊥平面ABC時，求CD的長；
(2) 當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論.
類型四　線面位置關系的綜合應用
例4　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝AD＝CD＝2，E為棱PD上的一點，且DE＝2EP＝2.
(1) 求證：PB∥平面AEC；
(2) 求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．
　　
空間中的線線角、線面角、二面角的大小，應先根據這些角的定義，找到相應的平面中的角，然后在三角形中解決問題．
已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，PB⊥平面ABCD，且PB＝1，點E在棱PD上，且BE⊥PD.
(1) 求證：BE⊥平面PCD；
(2) 求銳二面角B-PC-D的余弦值．
1. (2022天津和平區部分學校期末)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　)
A. 若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β　 B. 若m∥n，m α，n β，則α∥β
C. 若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β　 D. 若m∥n，m∥α，則n∥α
2. 《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1＝AB＝2，則下列說法中錯誤的是(　　)
A. 四棱錐B-A1AC-C1為“陽馬”
B. 四面體A1C1CB為“鱉臑”
C. 四棱錐B-A1ACC1體積的最大值為
D. 過點A分別作AE⊥A1B于點E，AF⊥A1C于點F，則EF⊥A1B
3. (多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動，則下列結論中正確的是(　　)
A. 平面PB1D⊥平面ACD1
B. A1P∥平面ACD1
C. 異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是
D. 三棱錐D1-APC的體積不變
4. 已知圓錐的母線長為10cm，側面積為60πcm2，則此圓錐的體積為________cm3.
5. 如圖，已知PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的圓O上，E為線段PB的中點，點M在上，且OM∥AC.求證：
(1) 平面MOE∥平面PAC；
(2) 平面PAC⊥平面PCB.
【答案解析】
第八章 立體幾何初步 復 習
【活動方案】
例1　由題意，知S1＝2π×2a×a＋2π×(2a)2＝(4＋8)πa2，　
S2＝S1＋πa·－πa2＝(4＋9)πa2，所以S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9).
跟蹤訓練　設三棱錐A1-AB1D1的高為h，
則VA1-AB1D1＝h××(a)2＝.
又VA1-AB1D1＝VB1-AA1D1＝a×a2＝，
所以＝，解得h＝a，
所以三棱錐A1-AB1D1的高為a.
例2　(1) 取B1D1的中點O，連接GO，OB.
易證OG∥B1C1，OG＝B1C1.
又BE∥B1C1，且BE＝B1C1，
所以OG∥BE，且OG＝BE，
所以四邊形BEGO為平行四邊形，
所以OB∥GE.
又因為OB 平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，
所以GE∥平面BB1D1D.
(2) 由正方體的性質得B1D1∥BD.
因為B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
所以B1D1∥平面BDF.
連接HB，D1F.
易證四邊形HBFD1是平行四邊形，
所以HD1∥BF.
又因為HD1 平面BDF，BF 平面BDF，
所以HD1∥平面BDF.
因為B1D1∩HD1＝D1，B1D1 平面B1D1H，HD1 平面B1D1H，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
跟蹤訓練　當F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD.
證明如下：連接BD交AC于點O，連接FO.
因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以O是BD的中點．
因為F是PB的中點，所以OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
所以OF∥平面PMD.
又MA∥PB，MA＝PB，
所以PF∥MA，且PF＝MA，
所以四邊形AFPM是平行四邊形，
所以AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
所以AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD.
例3　(1) 設BC的中點為M，連接B1M.
因為點B1在底面ABC上的射影恰好是點M，
所以B1M⊥平面ABC.
因為AC 平面ABC，所以B1M⊥AC.
因為BC⊥AC，B1M∩BC＝M，BC 平面B1C1CB，B1M 平面B1C1CB，
所以AC⊥平面B1C1CB.
又因為AC 平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2) 連接B1C.
因為AC⊥平面B1C1CB，BC1 平面B1C1CB，
所以AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
因為BC＝AA1＝CC1，
所以四邊形B1C1CB是菱形，所以B1C⊥BC1.
又因為B1C∩AC＝C，B1C 平面ACB1，AC 平面ACB1，所以BC1⊥平面ACB1.
因為AB1 平面ACB1，所以BC1⊥AB1.
跟蹤訓練　(1) 取AB的中點E，連接DE，CE.
因為△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB.
當平面ADB⊥平面ABC時，
因為平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ADB，所以DE⊥平面ABC.
因為CE 平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知可得DE＝，EC＝1，
所以在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2) 當△ADB以AB為軸轉動時，總有AB⊥CD.
證明如下：
①當點D在平面ABC內時，因為AC＝BC，AD＝BD，
所以點C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD；
②當點D不在平面ABC內時，
由(1)知AB⊥DE.
因為AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，DE 平面CDE，CE 平面CDE，所以AB⊥平面CDE.
因為CD 平面CDE，所以AB⊥CD.
綜上所述，當△ADB以AB為軸轉運時，總有AB⊥CD.
例4　(1) 如圖，連接BD，交AC于點O，連接EO.
因為AB∥CD，AB＝CD，所以＝＝.
在△BDP中，DE＝2EP，則＝，
所以＝，所以BP∥OE.
又因為OE 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2) 在平面ABCD中，過點A作AH⊥CD，垂足為H，連接EH.
因為PD⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
所以PD⊥AH.
又因為AH⊥CD，CD∩PD＝D，CD 平面PCD，PD 平面PCD，所以AH⊥平面PCD，
所以∠AEH為直線AE與平面PCD所成的角．
在直角三角形ADH中，AD＝2，∠HDA＝∠BAD＝60°，所以AH＝.
因為PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
在直角三角形ADE中，AD＝2，DE＝2，
所以AE＝2.
在直角三角形AHE中，sin ∠AEH＝＝＝，
所以直線AE與平面PCD所成角的正弦值為.
跟蹤訓練　(1) 如圖，取BC的中點F，連接DF.
因為AD＝1，BC＝2，所以AD∥BF，AD＝BF，
所以四邊形ABFD為平行四邊形，
所以DF＝AB＝1，則DF＝CF＝BF＝1，
所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.
因為PB⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PB⊥CD.
因為BD 平面PBD，BP 平面PBD，BD∩BP＝B，所以CD⊥平面PBD.
又BE 平面PBD，所以CD⊥BE.
又BE⊥PD，PD 平面PCD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以BE⊥平面PCD.
(2) 在△PCB中，過點B作BM⊥PC垂足為M，連接EM.
由(1)知，BE⊥平面PCD，PC 平面PCD，
所以BE⊥PC.
因為BE 平面BEM，BM 平面BEM，BE∩BM＝B，所以PC⊥平面BEM.
又EM 平面BEM，所以PC⊥EM，
所以∠BME即為二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△PCB中，BM＝＝；
在Rt△PBD中，BE＝＝，
所以sin ∠BME＝＝，
則cos ∠BME＝＝，
所以銳二面角B-PC-D的余弦值為.
【檢測反饋】
1. C　解析：若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β或γ與β相交，故A錯誤；若m∥n，m α，n β，則α與β平行或相交，故B錯誤；若m∥n，m⊥α，則n⊥α.因為n⊥β，所以α∥β，故C正確；若m∥n，m∥α，則n∥α或n在平面α內，故D錯誤．
2. C　解析：由題意，得側棱AA1⊥平面ABC，CC1⊥平面A1B1C1，因為BC 平面ABC，所以AA1⊥BC.對于A，因為AA1⊥BC，AC⊥BC，AA1∩AC＝A，AA1 平面A1ACC1，AC 平面A1ACC1，所以BC⊥平面A1ACC1.因為四邊形A1ACC1為矩形，所以四棱錐B-A1ACC1為“陽馬”，故A正確；對于B，由A知BC⊥平面A1ACC1，因為A1C 平面A1ACC1，所以A1C⊥BC，即△A1BC為直角三角形．因為CC1⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1 平面B1BCC1，B1C1 平面B1BCC1，所以A1C1⊥平面B1BCC1.因為CC1 平面B1BCC1，BC1 平面B1BCC1，所以A1C1⊥CC1，A1C1⊥BC1，即△A1CC1，△A1C1B為直角三角形，易知△CC1B為直角三角形，所以四面體A1C1CB為“鱉臑”，故B正確；對于C，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，則4≥2AC·BC，即AC·BC≤2，當且僅當AC＝BC時取等號，則VB-A1ACC1＝SA1ACC1×BC＝AA1×AC×BC＝AC×BC≤，故C錯誤；對于D，由BC⊥平面A1ACC1，得BC⊥AF.因為AF⊥A1C，A1C∩BC＝C，A1C 平面A1BC，BC 平面A1BC，所以AF⊥平面A1BC.因為A1B 平面A1BC，所以AF⊥A1B，又AE⊥A1B，AF∩AE＝A，AF 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1B⊥平面AEF.因為EF 平面AEF，所以A1B⊥EF，故D正確．
3. ABD　解析：對于A，根據正方體的性質，有DB1⊥平面ACD1.因為DB1 平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，故A正確；對于B，連接A1B，A1C1，易證明平面BA1C1∥平面ACD1.因為A1P 平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正確；對于C，當點P與線段BC1的兩端點重合時，A1P與AD1所成的角取最小值；當點P與線段BC1的中點重合時，A1P與AD1所成的角取最大值，故A1P與AD1所成角的取值范圍是，故C錯誤；對于D，V三棱錐D1-APC＝V三棱錐C-AD1P，點C到平面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變，所以三棱錐D1-APC的體積不變，故D正確．故選ABD.
4. 96π　解析：圓錐的側面積為πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，則h＝＝＝8，所以圓錐的體積為πr2h＝×62×8＝96π(cm3).
5. (1) 因為E為PB的中點，O為AB的中點，
所以OE∥PA.
因為PA 平面PAC，OE 平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因為OM∥AC，AC 平面PAC，OM 平面PAC，所以OM∥平面PAC.
因為OE∩OM＝O，OE 平面MOE，OM 平面MOE，所以平面MOE∥平面PAC.
(2) 因為點C在以AB為直徑的圓O上，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因為PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為PA∩AC＝A，AC 平面PAC，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
因為BC 平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.

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