資源簡介

9．2　用樣本估計總體
9.2.1　總體取值規(guī)律的估計(1)
1. 結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律．
2. 會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖．
3. 能根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖觀測數(shù)據(jù)的分布規(guī)律．
活動一 背景引入
問題：我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計劃對居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價制度，即確定一戶居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價收費(fèi)，超出a的部分按議價收費(fèi)．如果希望確定一個比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，以使大部分居民用戶的水費(fèi)支出不受影響，你認(rèn)為需要做哪些工作？
假設(shè)通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)(單位：t)：
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
思考1
從這組數(shù)據(jù)中能發(fā)現(xiàn)什么信息？
思考2
為探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，我們通常要怎樣做？
思考3
如果要統(tǒng)計月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶占全市居民用戶的比例，應(yīng)采用什么圖表表示更直觀？
活動二　繪制頻率分布直方圖
繪制頻率分布直方圖的一般步驟：
①求極差，即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；
②決定組距與組數(shù)，組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)，一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)也越多．當(dāng)樣本容量不超過100時，常分成5～12組．為方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”；
③將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)所有組距的總長度超過極差時，我們可以使第一組的左端點(diǎn)略小于數(shù)據(jù)中的最小值，最后一組的右端點(diǎn)略大于數(shù)據(jù)中的最大值；
④列頻率分布表，計算各小組的頻率，第i組的頻率是；
⑤畫頻率分布直方圖，橫軸表示分組，縱軸表示，實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度．
思考4
繪制活動一中問題的頻率分布直方圖，你能從圖表中發(fā)現(xiàn)居民用戶月均用水量的哪些分布規(guī)律？能用適當(dāng)?shù)恼Z言描述嗎？
活動三　頻率分布直方圖的應(yīng)用
例1　一個農(nóng)技站為了考察某種麥穗長的分布情況，在一塊試驗(yàn)地里抽取了100根麥穗，量得長度如下(單位： cm)：
6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6 5.8 5.5 6.0 6.5 5.1
6.5 5.3 5.9 5.5 5.8 6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5
6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4 6.4 5.8 5.9 5.7 6.8
6.6 6.0 6.4 5.7 7.4 6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6
5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0 5.6 6.2 6.1 5.3 6.2
6.8 6.6 4.7 5.7 5.7 5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0
6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表、繪出頻率分布直方圖，并用自己的語言描述一下這批麥穗長的情況．
1. 在列頻率分布表時，極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系：
(1) 若為整數(shù)，則＝組數(shù)；
(2) 若不為整數(shù)，則的整數(shù)部分＋1＝組數(shù)．
2. 組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)力求合適，使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來，組數(shù)太多或太少，都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況．若樣本容量不超過100，則常分為5～12組，一般樣本容量越大，所分組數(shù)也越多．
某制造商3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個進(jìn)行檢查，測量每個乒乓球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表．將頻率分布表補(bǔ)充完整(結(jié)果保留兩位小數(shù))，并在下圖中畫出頻率分布直方圖．
例2　在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)后，將參加考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示，則在該次測驗(yàn)中成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)是(　　)
A. 210　 B. 205　　 C. 200　 D. 195
1. 因?yàn)樾￠L方形的面積＝組距×＝頻率，所以各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小．
2. 在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積之和等于1.
3. ＝樣本量．
4. 在頻率分布直方圖中，各長方形的面積之比等于頻率之比，各長方形的高度之比也等于頻率之比．
如圖所示是由總體的一個樣本繪制的頻率分布直方圖，且在[15，18)內(nèi)的頻數(shù)為8.
(1) 求樣本在[15，18)內(nèi)的頻率；
(2) 求樣本量；
(3) 若在[12，15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，求在[18，33)內(nèi)的頻數(shù)．
1. 在抽查某產(chǎn)品尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b)是其中一組，抽查出的個體數(shù)在該組內(nèi)的頻率為m，該組直方圖的高為h，則|a－b|的值等于(　　)
A. h·m　 B. 　 C. D. 與m，h無關(guān)
2. 某廠對一批電子元件的長度(單位：mm)進(jìn)行抽樣檢測，得到如圖所示的頻率分布直方圖. 若長度在區(qū)間[90，96)內(nèi)的電子元件為合格品，則估計這批元件中合格產(chǎn)品所占的百分比是(　　)
A. 70% B. 75% C. 80% D. 85%
3. (多選)為組織好“市運(yùn)會”，組委會征集了800名志愿者，現(xiàn)對他們的年齡進(jìn)行抽樣統(tǒng)計后，得到如圖所示的頻率分布直方圖，但是年齡在[25，30)內(nèi)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則下列說法中正確的是(　　)
A. 年齡在[25，30)內(nèi)對應(yīng)小長方形的高度為0.04
B. 年齡在[25，30)內(nèi)對應(yīng)小長方形的高度為0.2
C. 這800名志愿者中年齡在[25，35)內(nèi)的人數(shù)為400
D .這800名志愿者中年齡在[25，35)內(nèi)的人數(shù)為440
4. 一個容量為n的樣本，將其觀測數(shù)據(jù)分成若干組，已知甲組的頻數(shù)和頻率分別為36和，則n＝________，頻率為的乙組的頻數(shù)x＝________．
5. (2023長春外國語學(xué)校高一階段練習(xí))某城市100戶居民的月平均用電量(單位：kW·h)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．
(1) 求直方圖中x的值；
(2) 在這100戶居民中，月平均用電量不低于220 kW·h的有多少戶？
(3) 在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
【答案解析】
9．2　用樣本估計總體
9．2.1　總體取值規(guī)律的估計(1)
【活動方案】
思考1：對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，容易發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)據(jù)的最小值是1.3 t，最大值是28.0 t，其他在1.3 t至28.0 t之間.
思考2：一般先要用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來．
思考3：頻率分布表或頻率分布直方圖．
思考4：頻率分布直方圖如圖：
可以清晰地看出，樣本觀測數(shù)據(jù)落在各個小組的比例大小，月均用水量在[4.2，7.2)內(nèi)的居民用戶最多．居民用戶月均用水量的樣本觀測數(shù)據(jù)的分布是不對稱的，表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域，尤其在區(qū)間[1.2，7.2)最為集中，少數(shù)居民用戶的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)呈現(xiàn)降低趨勢．
例1　 頻率分布表如圖：
分組 頻數(shù)累計 頻數(shù) 頻率
[3.95，4.25) 1 0.01
[4.25，4.55) 1 0.01
[4.55，4.85) 2 0.02
[4.85，5.15) 正 5 0.05
[5.15，5.45) 正正 11 0.11
[5.45，5.75) 正正正 15 0.15
[5.75，6.05) 正正正正正 28 0.28
[6.05，6.35) 正正 13 0.13
[6.35，6.65) 正正 11 0.11
[6.65，6.95) 正正 10 0.10
[6.95，7.25) 2 0.02
[7.25，7.55] 1 0.01
合計 100 1.00
頻率分布直方圖如圖：
從頻率分布直方圖中可以看出，絕大部分麥穗長集中在[5.15，6.95)內(nèi)，并且[5.75，6.05)占比最大．
跟蹤訓(xùn)練　0.10　0.20　0.50　0.20　1.00
頻率分布直方圖如下：
例2　C　解析：由頻率分布直方圖得，在該次測驗(yàn)中成績不低于100分的學(xué)生的頻率為1－(0.012＋0.018＋0.030)×10＝0.4，所以在該次測驗(yàn)中成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)為500×0.4＝200.
跟蹤訓(xùn)練　由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.
(1) 由樣本頻率分布直方圖得樣本在[15，18)內(nèi)的頻率為×3＝.
(2) 因?yàn)闃颖驹赱15，18)內(nèi)的頻數(shù)為8，
由(1)可知，樣本量為＝8×＝50.
(3) 因?yàn)樵赱12，15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，
所以樣本在[12，15)內(nèi)的頻率為0.06，
所以樣本在[15，33)內(nèi)的頻數(shù)為50×(1－0.06)＝47.
又因?yàn)樵赱15，18)內(nèi)的頻數(shù)為8，
所以在[18，33)內(nèi)的頻數(shù)為47－8＝39.
【檢測反饋】
1. B　解析：小長方形的高＝，所以|a－b|＝＝.
2. C　解析：易知在區(qū)間[90，96)內(nèi)的頻率分布直方圖的面積S＝1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8，故這批元件中合格品所占的百分比是80%.
3. AD　解析：年齡在[25，30)內(nèi)對應(yīng)小長方形的高度為×[1－(5×0.01＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02)]＝0.04，故A正確，B錯誤；年齡在[25，35)內(nèi)的頻率為0.04×5＋0.07×5＝0.55，所以這800名志愿者中年齡在[25，35)內(nèi)的人數(shù)為0.55×800＝440，故C錯誤，D正確．故選AD.
4. 144　24　解析：由題意，得＝，所以n＝36×4＝144，同理＝，解得x＝24.
5. (1) 由直方圖的性質(zhì)可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，
解得x＝0.007 5.
(2) 月平均用電量為[220，240)的用戶有0.012 5×20×100＝25(戶)；
月平均用電量為[240，260)的用戶有0.007 5×20×100＝15(戶)；
月平均用電量為[260，280)的用戶有0.005×20×100＝10(戶)；
月平均用電量為[280，300]的用戶有0.002 5×20×100＝5(戶)，
所以月平均用電量不低于220 kW·h的有25＋15＋10＋5＝55(戶).
(3) 由(2)可知，抽樣比為＝，
所以月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取25×＝5(戶).9．2.1　總體取值規(guī)律的估計(2)
1. 能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表(扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布直方圖)對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述．
2. 體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性．
活動一 條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖的特征
思考
常見的統(tǒng)計圖有哪些？分別適用于統(tǒng)計的數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？
例1　據(jù)《中國統(tǒng)計年鑒(2015)》可知，1990年、2000年和2014年我國人口年齡分布情況(百分比)如下表所示．
年齡 年份
1990 2000 2014
0～14歲 27.7% 22.9% 16.5%
15～64歲 66.7% 70.1% 73.4%
65及65歲以上 5.6% 7.0% 10.1%
(1) 試用扇形統(tǒng)計圖表示2014年三個年齡段的人口所占比；
(2) 試用折線統(tǒng)計圖表示1990年、2000年和2014年65及65歲以上人口占比．
條形統(tǒng)計圖能夠直觀地描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻率和頻數(shù)，扇形統(tǒng)計圖能夠直觀地反應(yīng)各個類別在總體中所占的比例，折線統(tǒng)計圖可以看出變化趨勢．
下圖是A，B兩所學(xué)校藝術(shù)節(jié)期間收到的各類藝術(shù)作品情況的統(tǒng)計圖．
A學(xué)校 B學(xué)校
(1) 從圖中能否看出哪所學(xué)校收到的水粉畫作品數(shù)量多？為什么？
(2) 已知A學(xué)校收到的剪紙作品比B學(xué)校的多20件，收到的書法作品比B學(xué)校的少100件，請問這兩所學(xué)校收到藝術(shù)作品的總件數(shù)分別是多少？
活動二　頻數(shù)分布直方圖　
例2　已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級如下表所示：
空氣質(zhì)量等級(空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)) 頻數(shù) 頻率
優(yōu)(AQI≤50) 83 22.8%
良(50輕度污染(100中度污染(150重度污染(200嚴(yán)重污染(AQI>300) 14 3.8%
合計 365 100%
2022年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)如下：
5月 33 47 61　75　77　52　36　26　32　70　43　30　26　27　28　32
58　44　73　 85　81　83 71　66 29　31 43 84　45　31　51
6月 44　78　89　49　37　25　31　48　47　60　51　38　30　36　43　66
78 84　75　85 100　74　41 27 89　58　43 27 22　30
選擇合適的統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問題：
(1) 分析該市2022年6月的空氣質(zhì)量情況；
(2) 比較該市2022年5月和6月的空氣質(zhì)量，哪個月的空氣質(zhì)量較好？
(3) 比較該市2022年6月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量，2022年6月的空氣質(zhì)量是否好于2015年？
不同的統(tǒng)計圖在表示數(shù)據(jù)上有不同的特點(diǎn)．如扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率，折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢．不同的統(tǒng)計圖適用的數(shù)據(jù)類型也不同．如條形圖適用于描述離散型的數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)型數(shù)據(jù)等．
家庭過期藥品屬于“國家危險廢物”，處理不當(dāng)將會污染環(huán)境，危害健康．某市藥監(jiān)部門為了解市民家庭處理過期藥品的方式，決定對全市家庭作一次簡單隨機(jī)抽樣調(diào)查．
(1) 下列選取樣本的方法：①在市中心某個居民區(qū)以家庭為單位隨機(jī)抽取；②在全市醫(yī)務(wù)工作者中以家庭為單位隨機(jī)抽取；③在全市常住人口中以家庭為單位隨機(jī)抽取，其中最合理的一種是________；(填序號)
(2) 本次抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，接受調(diào)查的家庭都有過期藥品，現(xiàn)將有關(guān)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)如圖：
　　
①m＝________，n＝________；
②補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
③根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是什么？
④家庭過期藥品的正確處理方式是送回收站，若該市有180萬戶家庭，請估計大約有多少戶家庭處理過期藥品的方式是送回收站．
1. (2023邢臺高一聯(lián)考)已知某地A，B，C三個村的人口戶數(shù)及貧困情況分別如圖1 和圖2 所示，為了解該地三個村的貧困原因，當(dāng)?shù)卣疀Q定采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20%的戶數(shù)進(jìn)行調(diào)查，則抽取A，B兩村貧困戶的戶數(shù)比是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 7∶9 B. 7∶27 C. 1∶3 D. 1∶7
2. (2023宜賓高二統(tǒng)考)下圖是我國2012～2018年眼鏡及其零件出口金額條形圖及同比增速折線圖，則下列說法中正確的是(　　)
A. 2012～2018年我國眼鏡及其零件出口金額逐年增加
B. 2012～2018年我國眼鏡及其零件出口金額的極差為16.41
C. 2013～2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速逐年減少
D. 2013～2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速最大的是2013年
3. (多選)如圖分別是某班全體學(xué)生上學(xué)時乘車、步行、騎車人數(shù)的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(兩圖都不完整)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 該班總?cè)藬?shù)為50
B. 步行人數(shù)為30
C. 乘車人數(shù)是騎車人數(shù)的2.5倍
D. 騎車人數(shù)占該班總?cè)藬?shù)的20%
　　　　　
　　　　　　 (第3題)　　　　　　　　　　　　　　　(第4題)
4. 2023年6月6日是第28個全國愛眼日．某校為了做好學(xué)生的眼睛保護(hù)工作，對全體學(xué)生的裸眼視力進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示．根據(jù)學(xué)生視力合格標(biāo)準(zhǔn)，裸眼視力大于或等于5.0的為正常視力，那么估計該校正常視力的學(xué)生占全體學(xué)生的________．
5. 為了解某校初中各年級學(xué)生每天的平均睡眠時間(單位：h，精確到1 h)，抽樣調(diào)查了部分學(xué)生，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請你根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題．
(1) 扇形統(tǒng)計圖中百分?jǐn)?shù)a的值為________，所抽查的學(xué)生人數(shù)為________；
(2) 求出平均睡眠時間為8 h的人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
(3) 求出這部分學(xué)生平均睡眠時間的眾數(shù)和平均數(shù)；
(4) 如果該校共有學(xué)生 1 200 名，請你估計睡眠不足(少于8 h)的學(xué)生數(shù)．
　
【答案解析】
9．2.1　總體取值規(guī)律的估計(2)
【活動方案】
思考：常見的統(tǒng)計圖有頻率分布直方圖、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖．扇形統(tǒng)計圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；條形統(tǒng)計圖和頻率分布直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；折線統(tǒng)計圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢．
例1　(1)
(2)
跟蹤訓(xùn)練　(1) 不能．因?yàn)閮伤鶎W(xué)校收到藝術(shù)作品的總數(shù)不知道．
(2) 設(shè)A學(xué)校收到藝術(shù)作品的總件數(shù)為x，B學(xué)校收到藝術(shù)作品的總件數(shù)為y，
則解得
即A學(xué)校收到藝術(shù)作品的總件數(shù)為500，B學(xué)校收到藝術(shù)作品的總件數(shù)為600.
例2　(1) ①根據(jù)該市2022年6月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量等級分級標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出該市這個月的不同空氣質(zhì)量等級的頻數(shù)與頻率分布表如下：
空氣質(zhì)量等級 合計
優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染
天數(shù) 17 13 0 0 0 0 30
頻率 56.67% 43.33% 0 0 0 0 100%
從表中可以看出，6月的空氣質(zhì)量都為“優(yōu)”或“良”，“優(yōu)”“良”的天數(shù)分別為17天和13天，各占整月的56.67%和43.33%.
②我們可以用條形圖和扇形圖對數(shù)據(jù)作出直觀的描述，如圖1和圖2.從條形圖中可以看出，空氣質(zhì)量等級只有“優(yōu)”和“良”兩種，空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)比“良”的天數(shù)多，后四個等級的天數(shù)為零．從扇形圖中可以看出，空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)超過總天數(shù)的一半，其余的為“良”．因此，整體上6月的空氣質(zhì)量很好．
我們還可以用折線圖展示空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間的變化情況，容易發(fā)現(xiàn)，6月的空氣質(zhì)量指數(shù)在50附近波動．
(2)根據(jù)該市2022年5月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量分級標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出該市這個月的不同空氣質(zhì)量等級的頻數(shù)和頻率分布表如下：
頻數(shù)、頻率 空氣質(zhì)量等級 合計
優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染
天數(shù) 17 14 0 0 0 0 31
頻率 54.84% 45.16% 0 0 0 0 100%
為了便于比較，我們選用復(fù)合條形圖，將兩組數(shù)據(jù)同時反映到一個條形圖上．通過條形圖中柱的高低，可以更直觀地進(jìn)行兩個月的空氣質(zhì)量的比較．
可以發(fā)現(xiàn)，5月和6月空氣質(zhì)量基本相同．“優(yōu)”的天數(shù)相同，均為17天，5月“良”的天數(shù)比6月多1天，兩個月均沒有為輕度污染及以上的天數(shù)．
(3) 把2022年6月和2015年全年的空氣質(zhì)量進(jìn)行比較，由于一個月和一年的天數(shù)差別很大，所以直接通過頻數(shù)比較沒有意義，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成頻率分布進(jìn)行比較．可以通過二者的空氣質(zhì)量指數(shù)的頻率分布直方圖或空氣質(zhì)量等級的頻率分布條形圖進(jìn)行比較．
可以看出，2022年6月的空氣質(zhì)量為“優(yōu)”或“良”的頻率都明顯高于2015年，而且2022年6月空氣質(zhì)量為污染的天數(shù)頻率為0，明顯低于2015 年，所以從整體上看，2022年6月的空氣質(zhì)量要明顯好于2015年全年的空氣質(zhì)量．
跟蹤訓(xùn)練　(1) ③　(2) ①20　6
②C類戶數(shù)為1 000－(80＋510＋200＋60＋50)＝100，
條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充如下：
③根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，即可知道該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是B類．
④180×10%＝18(萬戶).
若該市有180萬戶家庭，估計大約有18萬戶家庭處理過期藥品的方式是送回收站．
【檢測反饋】
1. B　解析：在A村抽取的戶數(shù)為20%×350＝70，所以抽取A村貧困戶的戶數(shù)為10%×70＝7；在B村抽取的戶數(shù)為20%×450＝90，所以抽取B村貧困戶的戶數(shù)為30%×90＝27，則抽取A，B兩村貧困戶的戶數(shù)比是7∶27.
2. D　解析：根據(jù)出口金額條形圖及同比增速折線圖，可看出我國眼鏡及其零件出口金額在2016年出現(xiàn)減少，故A錯誤；2012～2018年我國眼鏡及其零件出口金額的極差為54.52－37.19＝17.33，故B錯誤；2013～2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速先減少，再增加，后又減少，故C錯誤；從圖中可知，2013～2018年我國眼鏡及其零件出口金額同比增速最大的是2013年，為15%，故D正確.
3. ACD　解析：對于A，總?cè)藬?shù)是25÷50%＝50，故A正確；對于B，步行的人數(shù)是50×30%＝15，故B錯誤；因?yàn)轵T車人數(shù)占該班總?cè)藬?shù)的1－50%－30%＝20%，所以乘車人數(shù)對于騎車人數(shù)的倍數(shù)是50%÷20%＝2.5，故C，D正確．故選ACD.
4. 20%　解析：該校正常視力的學(xué)生占全體學(xué)生的＝0.2＝20%.
5. (1) 45%　60
(2) 平均睡眠時間為8 h的人數(shù)為60×30%＝18，平均睡眠時間為7 h的人數(shù)為60×45%＝27.
條形統(tǒng)計圖如圖所示：
(3) 這部分學(xué)生平均睡眠時間的眾數(shù)是7 h，
平均數(shù)是＝7.2(h).
(4) 1 200名學(xué)生中，睡眠不足(少于8 h)的學(xué)生數(shù)約為×1 200＝780.9．2.2　總體百分位數(shù)的估計
1. 理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義．
2. 會求樣本數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)．
活動一 背景引入
根據(jù)9.2.1(1)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費(fèi)支出不受影響，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的建議嗎？
思考1
這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？
思考2
如何具體操作？
思考3
根據(jù)市政府的要求，居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為多少合適？
活動二　第p百分位數(shù)的含義　
1. 第p百分位數(shù)的定義：
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
思考4
第p百分位數(shù)有什么含義？
2. 四分位數(shù)
常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)、第50百分位數(shù)、第75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．
活動三　第p百分位數(shù)的實(shí)際應(yīng)用　
例1　有一樣本的數(shù)據(jù)為3 310，3 355，3 450，3 480，3 490，3 520，3 540，3 550，3 650，3 730，3 925，求這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)．
計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：
第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
第2步：計算i＝n×p%.
第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
某中學(xué)高二(2)班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來，各次數(shù)學(xué)考試成績情況如下：
甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107.
乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.
甲、乙數(shù)學(xué)考試成績的第25，50百分位數(shù)分別是多少？
例2　為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位： cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，估計這60株樹木底部周長的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)．
頻率分布直方圖計算百分位數(shù)的規(guī)律：
求總體百分位數(shù)的估計，首先要從小到大排列數(shù)據(jù)，頻率分布直方圖看作數(shù)據(jù)均勻分布在直方圖上，然后計算出i＝n×p%，當(dāng)i不是整數(shù)要取整，頻率分布直方圖要計算出比例值．
根據(jù)下面的頻率分布表，估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的第80和95百分位數(shù)．
分組 頻數(shù)累積 頻數(shù) 頻率
[1.2，4.2) 正正正正 23 0.23
[4.2，7.2) 正正正正正正 32 0.32
[7.2，10.2) 正正 13 0.13
[10.2，13.2) 正 9 0.09
[13.2，16.2) 正 9 0.09
[16.2，19.2) 正 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合計 100 1.00
1. (2023呂梁高一聯(lián)考)已知參加數(shù)學(xué)競賽決賽的14人的成績?nèi)缦拢?8，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，83，90，91，則這14人成績的第70百分位數(shù)是(　　)
A. 84 B. 85 C. 86 D. 87
2. 數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位數(shù)是4.5，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　)
A. [4.5，＋∞) B. [4.5，6.6)
C. (4.5，＋∞) D. [4.5，6.6]
3. (多選)已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法中不正確的是(　　)
A. 這100個數(shù)據(jù)中至少有75個數(shù)小于或等于9.3
B. 把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)
C. 把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)
D. 把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)
4. 數(shù)據(jù)27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36的第一四分位數(shù)是________．
5. (2023滁州高一聯(lián)考)黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”．黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一．明代旅行家、地理學(xué)家徐霞客兩游黃山，贊嘆說：“登黃山，天下無山，觀止矣！”又留“五岳歸來不看山，黃山歸來不看岳”的美譽(yù)．為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇了100名游客對景區(qū)進(jìn)行滿意度評分(滿分100分)，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1) 根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；
(2) 估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)(得數(shù)保留兩位小數(shù))；
(3) 若2022年黃山景區(qū)累計接待進(jìn)山游客約140萬人，試估計滿意度評分不低于70分的人數(shù)．
【答案解析】
9．2.2　總體百分位數(shù)的估計
【活動方案】
思考1：就是要尋找一個數(shù)a，使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%.
思考2：把得到的100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第80個和81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間(13.6，13.8)內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分. 一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)＝13.7，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)或80%分位數(shù)．
思考3：建議市政府把月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為14 t，或者把年用水量標(biāo)準(zhǔn)定為168 t.
思考4：總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p%.
例1　因?yàn)閕1＝50%×11＝5.5，
所以第50百分位數(shù)是第6項(xiàng)的值 3 520.
因?yàn)閕2＝75%×11＝8.25，
所以第75百分位數(shù)是第9項(xiàng)的值 3 650.
綜上，第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)分別為 3 520，3 650.
跟蹤訓(xùn)練　將甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績從小到大排序，可得
甲：65，71，75，76，81，86，88，89，91，94，95，107，110.
乙：78，79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，106，114.
由13×25%＝3.25，13×50%＝6.5，
可得數(shù)據(jù)的第25，50百分位數(shù)分別為第4項(xiàng)和第7項(xiàng)數(shù)據(jù)，
即學(xué)生甲數(shù)學(xué)成績的第25，50百分位數(shù)分別為76，88；學(xué)生乙數(shù)學(xué)成績的第25，50百分位數(shù)分別為86，98.
例2　因?yàn)榈撞恐荛L低于100 cm的所占比例為(0.015＋0.025)×10×100%＝40%，
底部周長低于110 cm的所占比例為40%＋0.030×10×100%＝70%，
底部周長低于120 cm的所占比例為70%＋0.020×10×100%＝90%，
所以第50百分位數(shù)一定位于[100，110)內(nèi)，第75百分位數(shù)一定位于[110，120)內(nèi)，
則100＋10×≈103.3，110＋10×＝112.5.
綜上可知，估計這60株樹木底部周長的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)分別為103.3 cm，112.5 cm.
跟蹤訓(xùn)練　由頻率分布表可知，月均用水量在13.2 t 以下的居民用戶所占比例為23%＋32%＋13%＋9%＝77%，　
在16.2 t以下的居民用戶所占的比例為77%＋9%＝86%，
所以80%分位數(shù)一定位于[13.2，16.2)內(nèi)．
由13.2＋3×＝14.2，
可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為14.2.
類似地，由22.2＋3×＝22.95，
可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)約為22.95.
【檢測反饋】
1. C　解析：把成績按從小到大的順序排列為56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，因?yàn)?4×70%＝9.8，所以這14人成績的第70百分位數(shù)是86.
2. A　解析：因?yàn)?×65%＝5.2，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6項(xiàng)數(shù)據(jù)4.5，所以應(yīng)有5個數(shù)不大于4.5，則x≥4.5.
3. BD 　解析：因?yàn)?00×75%＝75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)9.3，所以A正確，B不正確，C正確，D不正確．故選BD.
4. 29.5　解析：數(shù)據(jù)從小到大排列為27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38，12×25%＝3，故該組數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)是＝29.5.
5. (1) 由圖知，10×(0.005＋0.01＋0.015＋x＋0.04)＝1，解得x＝0.03.
(2) 由10×(0.005＋0.01＋0.015)＝0.3<0.4<10×(0.005＋0.01＋0.015＋0.03)＝0.6，
可知40%分位數(shù)在區(qū)間[80，90)內(nèi)，令其為m，則0.3＋0.03×(m－80)＝0.4，
所以m＝80＋≈83.33.
(3) 由題意，估計滿意度評分不低于70分的人數(shù)為140×[1－10×(0.005＋0.01)]＝119.9．2.3　總體集中趨勢的估計
1. 結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)).
2. 會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．
3. 理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．
活動一 理解平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的概念
為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律，但有時候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征．例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等．
思考1
求52，49，48，54，47，48，55，52 的平均數(shù)．
方法一：
方法二：
1. 一般地，我們將一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫作該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排成一列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)，那么排在正中間的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么排在正中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
2. 關(guān)于平均數(shù)有如下結(jié)論：
(1) 若a1，a2，…，an的平均數(shù)為，則ba1＋a，ba2＋a，…，ban＋a的平均數(shù)為b＋a；
(2) 在n個數(shù)據(jù)中有k1個a1，k2個a2，…，km個am，則這n個數(shù)的平均數(shù)為(k1a1＋k2a2＋…＋kmam)(其中k1＋…＋km＝n)；
(3) 在一組數(shù)據(jù)中，a1的頻率是p1，a2的頻率為p2，…，an的頻率為pn，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a1p1＋a2p2＋…＋anpn.
思考2
平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個量都是反映一組數(shù)據(jù)的什么趨勢？
例1　利用下面100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)(單位：t)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)．
9.0　 13.6　 14.9　 5.9　 4.0　 7.1　 6.4
5.4　 19.4　 2.0　 2.2　 8.6　 13.8　 5.4
10.2　 4.9　 6.8　 14.0　 2.0　 10.5　 2.1
5.7　 5.1　 16.8　 6.0　 11.1　 1.3　 11.2
7.7　 4.9　 2.3　 10.0　 16.7　 12.0
12.4　 7.8　 5.2　 13.6　 2.6　 22.4　 3.6
7.1　 8.8　 25.6　 3.2　 18.3　 5.1　 2.0
3.0　 12.0　 22.2　 10.8　 5.5　 2.0　 24.3
9.9　 3.6　 5.6　 4.4　 7.9　 5.1　 24.5
6.4　 7.5　 4.7　 20.5　 5.5　 15.7　 2.6
5.7　 5.5　 6.0　 16.0　 2.4　 9.5　 3.7
17.0　 3.8　 4.1　 2.3　 5.3　 7.8　 8.1
4.3　 13.3　 6.8　 1.3　 7.0　 4.9　 1.8
7.1　 28.0　 10.2　 13.8　 17.9　 10.1　 5.5
4.6　 3.2　 21.6
該市某個小區(qū)有2 000戶，你能估計該小區(qū)的月用水總量嗎？
小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．
思考3
將例1與跟蹤訓(xùn)練的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？
平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感．
思考4
在下圖的三種頻率分布直方圖的形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？
　
活動二　平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的簡單應(yīng)用　
例2　某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格．據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示．
校服規(guī)格 155 160 165 170 175 合計
頻數(shù) 39 64 167 90 26 386
如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性．
思考5
你能根據(jù)居民用水的頻率分布直方圖提供的信息，估計出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)嗎？
平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形面積乘以各個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和．
中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成面積相等的左右兩部分．
眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
例3　某高中教師從高一學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的成績，分成六段：[40，50)，[50，60)…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)a的值；
(2)估計這40名學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．
目前用外賣網(wǎng)點(diǎn)餐的人越來越多，現(xiàn)在對大眾等餐所需時間情況進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，其中等餐所需時間的范圍是[0，120]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，[100，120].
(1) 求頻率分布直方圖中x的值；
(2) 利用頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)．
1. 從某中學(xué)抽取100名學(xué)生進(jìn)行閱讀調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每位同學(xué)的年閱讀量都在50篇至350篇之間，頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. a的值為0.004
B. 平均數(shù)約為200
C. 中位數(shù)大約為183.3　
D. 眾數(shù)約為350　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2. 已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是3，3，5，3，6，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為(　　)
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
3. (多選)對于一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，6，8，8，8，下列說法中正確的是(　　)
A. 中位數(shù)為4 B. 平均數(shù)為5
C. 眾數(shù)為8 D. 第40百分位數(shù)是4
4. 某學(xué)校為了調(diào)查高一年級學(xué)生的體育鍛煉情況，從甲、乙、丙3個班中，按分層隨機(jī)抽樣的方法獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間(單位：h)，數(shù)據(jù)如下：
甲 6 6.5 7 7.5 8
乙 6 7 8 9 10 11 12
丙 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
估計這個學(xué)校高一年級學(xué)生一周的平均鍛煉時間為________．
5. (2023通遼高一階段練習(xí))某實(shí)驗(yàn)中學(xué)對選擇生物學(xué)學(xué)科的200名學(xué)生的高一下學(xué)期期中考試成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知成績均在區(qū)間[40，100]內(nèi)，不低于90分視為優(yōu)秀，低于60分視為不及格．同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表值．
(1) 根據(jù)此次成績采用分層隨機(jī)抽樣法從中抽取40人開座談會，求在區(qū)間[70，80)內(nèi)應(yīng)抽取多少人？
(2) 根據(jù)頻率分布直方圖，估計這次考試成績的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．
【答案解析】
9．2.3　總體集中趨勢的估計
【活動方案】
思考1：方法一：＝＝50.625.
方法二：＝×(2×52＋49＋2×48＋54＋47＋55)＝50.625.
思考2：集中趨勢．
例1　 ＝＝8.79，
即100戶居民的月均用水量的平均數(shù)為8.79 t.
將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得知第50個數(shù)和第51個數(shù)分別為6.8，6.8，由中位數(shù)的定義，可得＝6.8，即100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.8 t，所以估計全市居民用戶的月均用水量約為8.79 t，其中位數(shù)約為6.8 t．
8．79×2 000＝17 580(t)，故該小區(qū)的月用水總量為17 580 t.
跟蹤訓(xùn)練　＝＝9.483(t)，中位數(shù)沒有變化，還是6.8 t.
思考3：平均數(shù)由原來的8.79 t變?yōu)?.483 t，中位數(shù)沒有變化，還是6.8 t．平均數(shù)的值變化更大．這是因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變．
思考4：一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說：①直方圖形狀對稱：平均數(shù)≈中位數(shù)；②直方圖右邊“拖尾”：平均數(shù)>中位數(shù)；③直方圖左邊“拖尾”：平均數(shù)<中位數(shù)，
結(jié)論：和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊．
例2　為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)，如下圖．可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適．
由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理．
思考5：平均數(shù)的近似值為＝0.077×3×＋0.107×3×＋…＋0.007×3×()≈8.96.
中位數(shù)即第50百分位數(shù)，由于0.077×3＝0.231，(0.077＋0.107)×3＝0.552，因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)．
設(shè)中位數(shù)為x，
由0.077×3＋0.107×(x－4.2)＝0.5，
得x≈6.71，所以中位數(shù)約為6.71.在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計值．
例3　(1) a＝(1÷10)－(0.005＋0.01＋0.02＋0.025＋0.01)＝0.030.
(2) ＝0.05×45＋0.1×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.1×95＝74；
眾數(shù)為75；
設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)榍叭齻€矩形面積之和為0.35，第四個矩形面積為0.3，0.35＋0.3＝0.65>0.5，
所以中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，
所以0.35＋0.03(x－70)＝0.5，
所以x＝75，即中位數(shù)為75.
跟蹤訓(xùn)練　(1)由頻率分布直方圖，得(0.02＋x＋0.008＋0.004＋0.002＋0.002)×20＝1，
解得x＝0.014.
(2)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為＝70.
因?yàn)?0.002＋0.004＋0.014)×20＝0.4<0.5，
所以中位數(shù)位于[60，80).
設(shè)中位數(shù)為x，則(0.002＋0.004＋0.014)×20＋(x－60)×0.02＝0.5，
解得x＝65，故中位數(shù)為65.
【檢測反饋】
1. C　解析：由(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋a＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得a＝0.004 4，故A錯誤；由a＝0.004 4，得平均數(shù)為0.002 4×50×75＋0.003 6×50×125＋0.006 0×50×175＋0.004 4×50×225＋0.002 4×50×275＋0.001 2×50×325＝186，故B錯誤；閱讀量在[50，150)的頻率為(0.002 4＋0.003 6)×50＝0.3，閱讀量在[150，200)的頻率為0.006 0×50＝0.3，所以這100名學(xué)生的閱讀量的中位數(shù)大約為150＋≈183.3，故C正確；由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)大約為175，故D錯誤．
2. C　解析：設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為x，則這七個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，眾數(shù)是3.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍．若x≤3，則中位數(shù)為3，此時＋3＝2×3，解得x＝－10；若33. BCD　解析：對于A，中位數(shù)為＝5，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋?，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，故B正確；對于C，眾數(shù)為8，故C正確；對于D，由于40%×8＝3.2，所以第40百分位數(shù)為第4個數(shù)即4，故D正確．故選BCD.
4. 8.2 h 　解析：樣本中甲、乙、丙三個班級的平均鍛煉時間分別為×(6＋6.5＋7＋7.5＋8)＝7(h)，×(6＋7＋8＋9＋10＋11＋12)＝9(h)，×(3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5)＝8.25(h)，則樣本平均數(shù)為＝8.2(h).估計該校高一年級學(xué)生一周的平均鍛煉時間為8.2 h.
5. (1) 成績在區(qū)間[70，80)內(nèi)的頻率為0.03×10＝0.3，
所以在區(qū)間[70，80)內(nèi)應(yīng)抽取40×0.3＝12(人).
(2) 成績在區(qū)間[40，50)內(nèi)的頻率為0.01×10＝0.1；
區(qū)間[50，60)內(nèi)的頻率為0.015×10＝0.15；
區(qū)間[60，70)內(nèi)的頻率為0.02×10＝0.2；
區(qū)間[70，80)內(nèi)的頻率為0.03×10＝0.3；
區(qū)間[80，90)內(nèi)的頻率為0.015×10＝0.15；
區(qū)間[90，100]內(nèi)的頻率為0.01×10＝0.1，
估計這次考試成績的平均數(shù)為
45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5.
由成績在區(qū)間[70，80)內(nèi)的頻率最大，
估計這次考試成績的眾數(shù)為75.
因?yàn)?.1＋0.15＋0.2＝0.45<0.5，0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75>0.5，
所以中位數(shù)m∈[70，80).
由0.1＋0.15＋0.2＋(m－70)×0.03＝0.5，
解得m＝，
估計這次考試成績的中位數(shù)為.9．2.4　總體離散程度的估計
1. 結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差).
2. 理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義．
活動一 極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念
有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：
甲　7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙　9　5　7　8　7　6　8　 6　7　7
如果你是教練，你如何對兩位運(yùn)動員的射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？
通過簡單的排序和計算，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個角度看，兩名運(yùn)動員之間沒有差別．但從下圖看，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，即甲的成績波動幅度比較大，而乙的成績比較穩(wěn)定．可見，他們的射擊成績是存在差異的．那么，如何度量成績的這種差異呢？
甲 乙
思考
極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度，但只用了數(shù)據(jù)最大、最小兩個值，如要考慮兩個運(yùn)動員的成績的穩(wěn)定性，應(yīng)該用什么去衡量？
方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義及公式：
在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫作這組數(shù)據(jù)的方差，常用s2表示，即s2＝xi－)2.方差的算術(shù)平方根叫作這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用s表示，即s＝.
練習(xí)　求52，49，48，55，47，48，56，53 的方差及標(biāo)準(zhǔn)差．
總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差與樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：
(1) 如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為，則稱S2＝Y(jié)i－)2為總體方差，S＝為總體標(biāo)準(zhǔn)差．與總體均值類似，總體方差也可以寫成加權(quán)的形式．如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝Y(jié)i－)2.
(2) 如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為，則稱s2＝y(tǒng)i－)2為樣本方差，s＝為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．
活動二　掌握極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用　
例1　在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計嗎？
1. 標(biāo)準(zhǔn)差代表數(shù)據(jù)的離散程度，考慮數(shù)據(jù)范圍時需要加減標(biāo)準(zhǔn)差．
2. 計算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形和整體代換．
在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和方差．
例2　為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換. 已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下：
使用天數(shù) 151～180 181～210 211～240 241～270 271～300 301～330 331～360 361～390
日光燈數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2
試估計這種日光燈使用壽命的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.
對一組數(shù)據(jù)的評價，有多個角度，平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)值都是反映這組數(shù)據(jù)的客觀情況，根據(jù)實(shí)際需要確定求哪些數(shù)值．
有一種魚的身體吸收汞，身體中汞的含量超過其體重的1.00 ppm(即百萬分之一)的魚被人食用后，就會對人體產(chǎn)生危害．在30條魚的樣本中發(fā)現(xiàn)的汞含量(單位：ppm)如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31
(1) 請用合適的統(tǒng)計圖描述上述數(shù)據(jù)，并分析這30條魚的汞含量的分布特點(diǎn)；
(2) 求出上述樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；
(3) 從實(shí)際情況看，許多魚的汞含量超標(biāo)的原因是這些魚在出售之前沒有被檢測過，你認(rèn)為每批這種魚的平均汞含量都比1.00 ppm大嗎？
(4) 在上述樣本中，有多少條魚的汞含量在以平均數(shù)為中心、距離平均數(shù)為2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)？
1. (2022葫蘆島一模)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零實(shí)數(shù)，則下列關(guān)于這兩組樣本數(shù)據(jù)的結(jié)論中正確的是(　　)
A. 平均數(shù)相同 B. 眾數(shù)相同　 C. 中位數(shù)相同 D. 極差相同
2. 樣本量為9的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是5，條形圖如圖所示，則標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(　　)
A. 第一組 B. 第二組 C. 第三組 D. 第四組
3. (多選)某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員各6場比賽得分情況如下表：
場次 1 2 3 4 5 6
甲得分 31 16 24 34 18 9
乙得分 23 21 32 11 35 10
則下列說法中正確的是(　　)
A. 甲運(yùn)動員得分的極差小于乙運(yùn)動員得分的極差
B. 甲運(yùn)動員得分的中位數(shù)小于乙運(yùn)動員得分的中位數(shù)
C. 甲運(yùn)動員得分的平均值大于乙運(yùn)動員得分的平均值
D. 甲運(yùn)動員的成績比乙運(yùn)動員的成績穩(wěn)定
4. 若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，方差為s2.
(1) ax1，ax2，…，axn的方差是________；
(2) ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差是________．
5. 一個小商店從一家有限公司購進(jìn)21袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500 g，為了了解這些白糖的質(zhì)量情況，稱出各袋白糖的質(zhì)量(單位：g)如下：486，495，496，498，499，493，493，498，484，497，504，489，495，503，499，503，509，498，487，500，508.
(1) 21袋白糖的平均質(zhì)量是多少？標(biāo)準(zhǔn)差s是多少？
(2) 質(zhì)量位于－s與＋s之間有多少袋白糖？所占的百分比是多少？
【答案解析】
9．2.4　總體離散程度的估計
【活動方案】
思考：如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn)．因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度．
練習(xí)：＝×(52＋49＋48＋55＋47＋48＋56＋53)＝51，
s2＝[(52－)2＋(49－)2＋(48－)2＋…＋(53－)2]×＝(12＋22＋32＋42＋42＋32＋52＋22)×＝10.5，
s＝＝≈3.24.
例1　把男生樣本記為x1，x2，…，x23，其平均數(shù)記為，方差記為s；把女生樣本記為y1，y2，…，y27，其平均數(shù)記為，方差記為s；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為s2.
根據(jù)方差的定義，總樣本方差為
s2＝[xi－)2＋yj－)2]
＝[xi－＋－)2＋yj－＋－)2].
由xi－)＝－23＝0，可得
(xi－)(－)＝2(－)xi－)＝0.
同理可得(yj－)(－)＝0，
所以s2＝[xi－)2＋－)2＋yj－)2＋－)2]＝{23[s＋(－)2]＋27[s＋(－)2]}．①
由＝170.6，＝160.6，根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為
＝＋＝＝165.2.
把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入①，可得s2＝{23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2]}＝51.486 2.
我們可以計算出總樣本的方差為51.486 2，并據(jù)此估計高一年級學(xué)生身高的總體方差為51.486 2.
跟蹤訓(xùn)練　把專業(yè)人士打分樣本記為x1，x2，…，x8，其平均數(shù)記為，方差記為s；把觀眾代表打分樣本記為y1，y2，…，y12，其平均數(shù)為，方差記為s；把總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為s2，
則總樣本平均數(shù)為＝×47.4＋×56.2＝52.68，
總樣本方差為
s2＝{8[s＋(－)2]＋12[s＋(－)2]}
＝{8×[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12×[11.82＋(56.2－52.68)2]}≈107.6，
所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6.
例2　各區(qū)間的組中值分別為165.5，195.5，225.5，255.5，285.5，315.5，345.5，375.5，
由此算得平均數(shù)約為165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268.
這些組中值的方差為×[1×(165.5－268.4)2＋11×(195.5－268.4)2＋18×(225.5－268.4)2＋20×(255.5－268.4)2＋25×(285.5－268.4)2＋16×(315.5－268.4)2＋7×(345.5－268.4)2＋2×(375.5－268.4)2]＝2 128.59，
故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約為≈46，
故估計這種日光燈使用壽命的平均數(shù)為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天．
跟蹤訓(xùn)練　(1) 頻率分布表如下：
分組 頻數(shù) 頻率
[0.00，0.50) 3 0.10
[0.50，1.00) 10 0.33
[1.00，1.50) 12 0.40
[1.50，2.00) 4 0.13
[2.00，2.50] 1 0.03
合計 30 1.00
作出如圖所示的統(tǒng)計圖：
汞含量的分布偏向于1.00 ppm的方向，即多數(shù)魚的汞含量分布在大于1.00 ppm的區(qū)域．
(2) 樣本平均數(shù)≈0.25×0.1＋0.75×0.33＋1.25×0.4＋1.75×0.13＋2.25×0.03≈1.07 (ppm)，
樣本方差s2≈(0.25－1.07)2×0.1＋(0.75－1.07)2×0.33＋(1.25－1.07)2×0.4＋(1.75－1.07)2×0.13＋(2.25－1.07)2×0.03≈0.22，
標(biāo)準(zhǔn)差s＝≈0.47.
(3) 不一定，因?yàn)槲覀儾恢榔渌髋~的汞含量分布是否都和這批魚相同，即使其他各批魚的汞含量分布與這批魚相同，上面的數(shù)據(jù)也只能為這個分布作出估計，不能保證每批魚的平均汞含量都大于1.00 ppm.
(4) 由題意得，該范圍為(0.13，2.01)，所以有28條魚的汞含量在以平均數(shù)為中心、距離平均數(shù)為2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)．
【檢測反饋】
1. D　解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，眾數(shù)為m，中位數(shù)為a，極差為b＝xmax－xmin，則新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)為＋c，眾數(shù)為m＋c，中位數(shù)為a＋c，極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝b，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相等．
2. D　解析：第一組中，樣本數(shù)據(jù)都為5，數(shù)據(jù)沒有波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差為0；第二組中，樣本數(shù)據(jù)為4，4，4，5，5，5，6，6，6，標(biāo)準(zhǔn)差為；第三組中，樣本數(shù)據(jù)為3，3，4，4，5，6，6，7，7，標(biāo)準(zhǔn)差為；第四組中，樣本數(shù)據(jù)為2，2，2，2，5，8，8，8，8，標(biāo)準(zhǔn)差為2，故標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是第四組．
3. BD　解析：由題意，得甲的極差為34－9＝25，中位數(shù)是21，均值為22，方差為s＝75，同樣乙的極差為35－10＝25，中位數(shù)是22，均值為22，方差為s≈89.3.故選BD.
4. (1) a2s2　(2) a2s2　
5. (1) 平均質(zhì)量為≈496.9，s2≈×[(486－496.9)2＋(495－496.9)2＋…＋(508－496.9)2]≈42.89，
所以s＝≈6.55.
(2) 質(zhì)量位于－s與＋s之間等于在區(qū)間(490.35，503.45)上的白糖的袋數(shù)，共有14袋，
所占的百分比為×100%≈66.67%.

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