資源簡介

10．1　隨機事件與概率
10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
1. 理解隨機試驗的概念及特點．
2. 理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間．
3. 理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，并會判斷某一事件的性質．
活動一 隨機試驗的概念及特點
　 觀察下列現象：
(1) 將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現的情況；
(2) 從班級中隨機選擇10名學生，統計近視的人數；
(3) 在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；
(4) 從一批發芽的水稻種子中隨機選取一些，觀察分蘗數；
(5) 記錄某地區7月份的降雨量等等．
我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示．
隨機試驗的特點：
(1) 試驗可以在相同條件下重復進行；
(2) 試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；
(3) 每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果．
活動二 有限樣本空間的概念及應用
思考1
體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同、分別標號0，1，2，…，9的球放入搖獎器中，經過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼．這個隨機試驗共有多少個可能結果？如何表示這些結果？
樣本點、樣本空間的概念．
隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點. 我們只討論Ω為有限集的情況．如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1, ω2，…， ωn，那么稱樣本空間Ω＝{ω1, ω2，…， ωn}為有限樣本空間．
思考2
拋擲一對骰子，可建立36個樣本點，則樣本空間Ω1如何表示？每個結果是基本結果嗎？
思考3
在思考2的試驗中，如果建立只包含4個可能結果的樣本空間Ω2＝{(偶，偶)，(偶，奇)，(奇，偶)，(奇，奇)}，每個結果是基本結果嗎？請說明理由．
例1　拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間．
在寫試驗結果時，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發生的條件，根據日常生活經驗，按一定次序列舉，才能保證所列結果沒有重復，也沒有遺漏．當樣本空間中的樣本點是文字表述時，可以用字母或數字簡潔地表示．
　拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數，寫出試驗的樣本空間．
　同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y).
(1) 寫出這個試驗的樣本空間；
(2) 求這個試驗的樣本點的總數；
(3) “x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？
(4) “xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y”呢？
① ②
活動三　隨機事件的理解　
思考4
在體育彩票搖號試驗中，搖出“球的號碼是奇數”是隨機事件嗎？搖出“球的號碼為3的倍數”是否也是隨機事件？如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關系？
1. 由于隨機試驗的所有結果是明確的，從而樣本點也是明確的．
2. 樣本空間與隨機試驗有關，即不同的隨機試驗有不同的樣本空間．
3. 隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系：
隨機試驗―→樣本空間隨機事件．
一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生．Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然事件．而空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱 為不可能事件．必然事件與不可能事件不具有隨機性．為了方便統一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形．這樣，每個事件都是樣本空間Ω的一個子集．
例2　指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件：
(1) 某地1月1日刮西北風；
(2) 當x是實數時， x2≥0；
(3) 手電筒的電池沒電，燈泡發亮；
(4) 一個電影院某天的上座率超過50%；
(5) 如果a＞b，那么a－b＞0；
(6) 從分別標有數字1，2，3，4，5的5張標簽中任取1張，得到4號簽；
(7) 某電話機在1 min內收到2次呼叫；
(8) 隨機選取一個實數x，得|x|<0.
例3　如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效．把這個電路是否為通路看成是一個隨機現象，觀察這個電路中各元件是否正常．
(1) 寫出試驗的樣本空間；
(2) 用集合表示下列事件：M＝“恰好兩個元件正常”；N＝“電路是通路”；T＝“電路是斷路”．
1. 用樣本點表示隨機事件，首先弄清試驗的樣本空間，不重不漏地列出所有樣本點，然后找出滿足隨機事件要求的樣本點，從而用這些樣本點組成的集合表示隨機事件．
2. 隨機事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質，且更便于今后計算事件發生的概率．
某人做摸球試驗，從一個裝有標號為1，2，3，4的小球的盒子中，無放回地取兩個小球，每次取一個，先取的小球的標號為x，后取的小球的標號為y，這樣構成有序實數對(x，y).
(1) 寫出這個試驗的樣本空間；
(2) 用集合表示“第一次取出的小球上的標號為2”這一隨機事件．
1. (2023全國高一專題練習)下列事件中，是隨機事件的是(　　)
A. 所有四邊形的內角和為180°
B. 在標準大氣壓下，水溫達到100 ℃，水會沸騰
C. 袋中有2個黃球，3個綠球，共5個球，隨機摸出一個球是紅球
D. 拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上
2. 若一個家庭有兩個孩子，把第一個孩子的性別寫在前邊，第二個孩子的性別寫在后邊，則所有的樣本點有(　　)
A. (男，女)，(男，男)，(女，女) B. (男，女)，(女，男)
C. (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D. (男，男)，(女，女)
3. (多選)下列事件中，是隨機事件的是(　　)
A. 連續擲一枚硬幣兩次，兩次都出現正面朝上 B. 異性電荷相互吸引
C. 在標準大氣壓下，水在1 ℃結冰 D. 買一注彩票中了特等獎
4. 先后拋擲兩枚質地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數分別為x，y，則事件“log2xy＝1”包含的樣本點有__________________．
5. 在不透明的袋子中有9個大小和質地相同的球，標號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，從中隨機摸出1個球．
(1) 寫出試驗的樣本空間；
(2) 用集合表示事件A＝“摸到球的號碼小于5”，事件B＝“摸到球的號碼大于4”，事件C＝“摸到球的號碼是偶數”．
【答案解析】
10．1　隨機事件與概率
10．1.1　有限樣本空間與隨機事件
【活動方案】
思考1：共有10種可能結果，所有可能結果可用集合表示為{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
思考2：樣本空間Ω1＝{(x，y)|x，y∈{1，2，3，4，5，6}，其中每個結果就是基本結果．
思考3：每個結果不是基本結果，例如在樣本空間Ω2 中無法正確求出“點數之和為5”的概率．
例1　 因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω＝{正面朝上，反面朝上}．如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，那么樣本空間Ω＝{h，t}．
跟蹤訓練1　用i表示朝上面的“點數為i”．因為落地時朝上面的點數有1，2，3，4，5，6共6個可能的基本結果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
跟蹤訓練2　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2) 樣本點的總數為16.
(3) “x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4) “xy＝4”包含以下3個樣本點：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
“x＝y”包含以下4個樣本點：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
思考4：“球的號碼為奇數”和“球的號碼為3的倍數”都是隨機事件．我們用A表示隨機事件“球的號碼為奇數”，則A發生，當且僅當搖出的號碼為1，3，5，7，9之一，即事件A發生等價于搖出的號碼屬于集合{1，3，5，7，9}．因此可以用樣本空間Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示隨機事件A.
類似地，可以用樣本空間的子集{0，3，6，9}表示隨機事件“球的號碼為3的倍數”．
例2　隨機事件：(1)(4)(6)(7)，必然事件：(2)(5)，不可能事件：(3)(8).
例3　 (1) 分別用x1，x2 和x3 表示元件A，B和C的可能狀態，則這個電路的工作狀態可用(x1，x2，x3)表示．進一步地，用1表示元件的“正常”狀態，用0表示“失效”狀態，則樣本空間Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．
(2) “恰好兩個元件正常”等價于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有兩個為1，
所以M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．
“電路是通路”等價于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝1，且x2，x3 中至少有一個是1，
所以N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}．
同理，“電路是斷路”等價于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0，或x1＝1，x2＝x3＝0，
所以T＝{(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}．
跟蹤訓練　(1) 試驗的樣本空間是{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
(2) 記“第一次取出的小球上的標號為2”為事件A，則A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
【檢測反饋】
1. D　解析：對于A，因為所有四邊形的內角和為360°，所以所有四邊形的內角和為180°是不可能事件；對于B，在標準大氣壓下，水溫達到100 ℃，水會沸騰，是必然事件；對于C，袋中有2個黃球，3個綠球，共5個球，隨機摸出一個球是紅球，是不可能事件；對于D，拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上，可能發生，也可能不發生，是隨機事件．
2. C　解析：由題意知所有的樣本點是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).
3. AD　解析：根據題意，得A，D是隨機事件，B為必然事件，C為不可能事件．故選AD.
4. (1，2)，(2，4)，(3，6)　解析：先后擲兩枚質地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數有36種結果．解方程log2xy＝1，得y＝2x，則符合條件的樣本點有(1，2)，(2，4)，(3，6).
5. (1) Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2) A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，8，9}，C＝{2，4，6，8}．10．1.2　事件的關系和運算
1. 理解并掌握事件的關系和運算．
2. 能夠將事件的運算關系知識靈活運用到實際事件中．
活動一 背景引入
在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數，可以定義許多隨機事件，例如：
Ci＝“點數為i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“點數不大于3”；D2＝“點數大于3”；
E1＝“點數為1或2”；E2＝“點數為2或3”；
F＝“點數為偶數”；G＝“點數為奇數”．
思考1
請用集合的形式表示這些事件．借助集合與集合的關系和運算，你能發現這些事件之間有幾種關系？可以進行怎樣的運算？
活動二 事件的關系和運算
1. 事件的關系和運算．
定義 表示法 圖示
事件的運算 包含關系 一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，我們就稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B A(或A B)
并事件 一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB)
互斥關系 一般地，若事件A與事件B不能同時發生，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，則A與B互斥
對立關系 一般地，若事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，則稱事件A與事件B互為對立，可記為B＝或A＝ 若A∩B＝ ，A∪B＝Ω，則A與B對立
思考2
(1) 并事件、交事件和集合的并集、交集意義一樣嗎？
(2) 互斥事件和對立事件的關系是怎樣的？
2. 從運算的含義看事件的關系和運算的含義．
事件的關系或運算 含義 符號表示
包含 A發生導致B發生 A B
并事件(和事件) A與B至少一個發生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B＝
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
3. 多個事件的和事件以及積事件．
例如，對于三個事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)發生當且僅當A，B，C中至少一個發生，A∩B∩C(或ABC)發生當且僅當A，B，C同時發生，等等．
例1　一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2)，2個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設事件R1＝“第一次摸到紅球”，R2＝“第二次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩個球顏色相同”，N＝“兩個球顏色不同”．
(1) 用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；
(2) 事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？
(3) 事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關系？
互斥事件、對立事件關系的判斷方法：
(1) 兩個事件是互斥事件還是對立事件，要根據互斥事件與對立事件的定義來判斷，互斥事件是在任何一次試驗中不能同時發生的兩個事件，對立事件除要求兩個事件互斥外，還要求在一次試驗中必有一個事件發生．
(2) 對立事件一定是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件．
判斷下列各事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．
某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，其中：
(1) 恰有1名男生和恰有2名男生；
(2) 至少有1名男生和至少有1名女生；
(3) 至少有1名男生和全是男生；
(4) 至少有1名男生和全是女生．
例2　如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯電路，每個元件可能正常或失效．設事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1) 寫出表示兩個元件工作狀態的樣本空間；
(2) 用集合的形式表示事件A，B 以及它們的對立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并說明它們的含義及關系．
事件運算的規律：
(1) 利用事件間運算的定義，列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．
(2) 利用Venn圖，借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，并進行運算．
盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝“3個球中有1個紅球2個白球”，事件B＝“3個球中有2個紅球1個白球”，事件C＝“3個球中至少有1個紅球”，事件D＝“3個球中既有紅球又有白球”．求：
(1) 事件D與A，B是什么樣的運算關系？
(2) 事件C與A的交事件是什么事件？
1. 某人打靶時連續射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是(　　)
A. 至多一次中靶　 B. 兩次都中靶
C. 只有一次中靶　 D. 兩次都沒有中靶
2. (2023合肥期末)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是(　　)
A. 至少有一個黑球與都是黑球
B. 至少有一個黑球與至少有一個紅球
C. 恰有一個黑球與恰有兩個黑球
D. 至少有一個黑球與都是紅球
3. (多選)若干個人站成排，其中不是互斥事件的是(　　)
A. “甲站排頭”與“乙站排頭” B. “甲站排頭”與“乙不站排尾”
C. “甲站排頭”與“乙站排尾” D. “甲不站排頭”與“乙不站排尾”
4. 拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，事件P＝“向上的點數是1”，事件Q＝“向上的點數是3或4”，M＝“向上的點數是1或3”，則P∪Q＝_________
_____，M∩Q＝______________.
5. (2023全國高一專題練習)從裝有2個紅球和2個白球的口袋中任取兩個球，則下列哪些事件是互斥事件？它們是不是對立事件？
①至少有一個白球與都是白球；②至少有一個白球與至少有一個紅球；③恰有一個白球與都是白球；④至少有一個白球與都是紅球．
【答案解析】
10．1.2　事件的關系和運算
【活動方案】
思考1：略
思考2：(1) 并事件、交事件和集合的并集、交集的意義一樣．
(2) 互斥事件包括對立事件，即對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．
例1　 (1) 用數組(x1，x2)表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
事件R1＝“第一次摸到紅球”，即x1＝1或x1＝2，則R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
事件R2＝“第二次摸到紅球”，即x2＝1或x2＝2，則R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．
同理，有R＝{(1，2)，(2，1)}，
G＝{(3，4)，(4，3)}，
M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2) 因為R R1，所以事件R1包含事件R.
因為R∩G＝ ，所以事件R與事件G互斥．
因為M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M與事件N互為對立事件．
(3) 因為R∪G＝M，所以事件M是事件R與事件G的并事件．
因為R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1與事件R2的交事件．
跟蹤訓練　(1) 是互斥事件，不是對立事件．
在所選的2名同學中，“恰有1名男生”實質是選出“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時發生，所以是一對互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是對立事件．
(2) 不是互斥事件，也不是對立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種結果，它們可同時發生．
(3) 不是互斥事件，也不是對立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，這與“全是男生”可同時發生．
(4) 是互斥事件，也是對立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結果，它與“全是女生”不可能同時發生，其并事件是必然事件，所以是對立事件．
例2　(1) 用x1，x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態，則可以用(x1，x2)表示這個并聯電路的狀態．以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．
(2) A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，
＝{(0，0)，(0，1)}，＝{(0，0)，(1，0)}．
(3) A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，∩＝{(0，0)}；A∪B表示電路工作正常，∩表示電路工作不正常；A∪B和∩互為對立事件．
跟蹤訓練　(1) 對于事件D，可能的結果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球，故D＝A∪B.
(2) 對于事件C，可能的結果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球或3個均為紅球，
所以A C，故C∩A＝A.
【檢測反饋】
1. D　解析：“至少一次中靶”的對立事件是“兩次都沒有中靶”．
2. C　解析：對于A，“至少有一個黑球”與“都是黑球”可以同時發生，所以這兩個事件不是互斥事件，故A錯誤；對于B，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”可以同時發生，所以這兩個事件不是互斥事件，故B錯誤；對于C，“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”不能同時發生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是“兩個都是紅球”，所以兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故C正確；對于D，“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發生，但一定會有一個發生，所以這兩個事件是對立事件，故D錯誤．
3. BCD　解析：排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時發生，因此它們都不互斥．故選BCD.
4. {向上的點數是1或3或4}　{向上的點數是3}
5. 把2個紅球分別記為a和b，2個白球分別記為c和d，任取兩球，樣本空間Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
設事件A＝“至少有一個白球”，則A＝{ac，ad，bc，bd，cd}；
設事件B＝“至少有一個紅球”，則B＝{ab，ac，ad，bc，bd}；
設事件C＝“都是白球”，則C＝{cd}；
設事件D＝“都是紅球”，則D＝{ab}；
設事件E＝“恰有一個白球”，則E＝{ac，ad，bc，bd}．
對于①，因為A∩C＝{cd}，所以“至少有一個白球”與“都是白球”不是互斥事件；
對于②，因為A∩B＝{ac，ad，bc，bd}，所以“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”不是互斥事件；
對于③，因為E∩C＝ ，E∪C≠Ω，所以“恰有一個白球”與“都是白球”是互斥事件，但不是對立事件；
對于④，因為A∩D＝ ，A∪D＝Ω，所以“至少有一個白球”與“都是紅球”是互斥事件，且為對立事件．
綜上，③④是互斥事件，其中④是對立事件．10．1.3　古典概型(1)
1. 了解隨機事件概率的含義及表示．
2. 理解古典概型的特點和概率公式．
3. 了解古典概型的一般求解思路和策略．
活動一 理解隨機事件概率的意義及古典概型的特征
1. 隨機事件概率的定義．
對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
思考1
拋擲一枚質地均勻硬幣的試驗中的正面情況及擲一枚質地均勻骰子的試驗中的朝上的面的點數，它們的樣本點分別是什么？樣本點有哪些共同特征？
當試驗的樣本空間的樣本點只有有限個，且每個樣本點發生的可能性相等時，我們將這個試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
問題1：從所有整數中任取一個數的試驗中“抽取一個整數”是古典概型嗎？
問題2：一個班級中有18名男生、22名女生．采用抽簽的方式，從中隨機選擇1名學生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A發生的可能性大小？
問題3：拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，事件B＝“恰好一次正面朝上” ，如何度量事件B發生的可能性大小？
2. 古典概型的概率公式．
思考2
用以上的問題2和問題3，你能總結求古典概型概率的方法嗎？
活動二　深化理解古典概型，初步掌握運用枚舉法求古典概型的概率　
例1　拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果．
(1) 寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；
(2) 求下列事件的概率：A＝“兩個點數之和是5”；B＝“兩個點數相等”；C＝“Ⅰ號骰子的點數大于Ⅱ號骰子的點數”．
求解古典概型問題的一般思路：
(1) 明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當的符號(字母、數字、數組等)表示試驗的可能結果(可借助圖表)；
(2) 根據實際問題情景判斷樣本點的等可能性；
(3) 計算樣本點總個數及事件A包含的樣本點個數，求出事件A的概率．
某校夏令營有3名男同學A，B，C和3名女同學X，Y，Z，其年級情況如下表：
一年級 二年級 三年級
男同學 A B C
女同學 X Y Z
現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).
(1) 用表中字母列舉出所有可能的結果；
(2) 設事件M為“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發生的概率．
例2　一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.
(1) 寫出所有的基本事件；
(2) 求摸出的2只球都是白球的概率．
先列出樣本空間，再列出事件A中包含的樣本點，最后根據古典概型的計算公式即可解得．
豌豆的高矮性狀的遺傳由它的一對基因決定，其中決定高的基因記為D，決定矮的基因記為d，則雜交所得第一子代的一對基因為Dd.若第二子代的D，d基因的遺傳是等可能的，求第二子代為高莖的概率．(高莖可以為DD，Dd，矮莖只能為dd)
一個不透明的口袋中有形狀、大小均相同的6只小球，其中有2只白球，2只紅球，2只黃球，從中一次摸出2只球，求：
(1) 2只球都是紅球的概率；
(2) 2只球同色的概率；
(3) 恰有1只球是白球的概率是2只球都是白球概率的多少倍？
1. 若書架上放有5本數學書、3本物理書和2本化學書，則隨機抽出一本是物理書的概率為(　　)
A. B. C. D.
2. 某部三冊的小說，任意排放在書架上，則各冊從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊的概率為(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)下列概率模型中，是古典概型的是(　　)
A. 從6名同學中選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性大小
B. 同時擲兩枚質地均勻的骰子，點數和為6的概率
C. 近三天中有一天降雨的概率
D. 10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率
4. (2023上海高二期末)同時拋擲兩顆骰子，得到的點數分別記為a，b，則|a－b|≤2的概率是________．
5. (2023榆林高二階段練習)2022年3月22日是第三十屆“世界水日”，我國將3月22日～3月28日確定為“中國水周”，并將“推進地下水超采綜合治理，復蘇河湖生態環境”作為相關宣傳活動的主題．某地區為了制定更加合理的節水方案，通過隨機抽樣，調查了上一年度200戶居民的月均用水量(單位：t)，并將數據分成以下9組：[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1) 求a的值，并估計該地區居民的月均用水量(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)；
(2) 若該地區有居民20萬戶，估計該地區月均用水量不低于14 t的居民戶數；
(3) 為了進一步了解居民的節水、用水情況，在月均用水量為[2，4)和[14，16)的兩組中，按月均用水量用分層隨機抽樣的方法抽取6戶居民，再從這6戶居民中隨機抽取2戶進行問卷調查，求抽取的這2戶居民來自不同組的概率．
【答案解析】
10．1.3　古典概型(1)
【活動方案】
思考1：拋擲一枚質地均勻硬幣的試驗，樣本點有兩個，正面朝上和正面朝下，由于質地均勻，因此樣本點出現的可能性是相等的．
擲一枚質地均勻骰子的試驗，樣本點有6個，出現的點數為1，2，3，4，5，6，由于質地均勻，因此樣本點出現的可能性是相等的．
所以共同特征是：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
問題1：不是，因為有無數個樣本點．
問題2：班級中共有40名學生，從中選擇1名學生，因為是隨機選取的，所以選到每個學生的可能性都相等，這是一個古典概型．
顯然，這個隨機試驗的樣本空間中有40個樣本點，而事件A＝“抽到男生”包含18個樣本點，因此，事件A發生的可能性大小為＝0.45.
問題3：我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8個樣本點，且每個樣本點是等可能發生的，所以這是一個古典概型．
因為B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B發生的可能性大小為＝0.375.
思考2：一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．
例1　 (1) 用數字m表示Ⅰ號骰子出現的點數是m，數字n表示Ⅱ號骰子出現的點數是n，則數組(m，n)表示這個試驗的一個樣本點．因此該試驗的樣本空間Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36個樣本點．
由于骰子的質地均勻，所以各個樣本點出現的可能性相等，因此這個試驗是古典概型．
(2) 因為A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
所以n(A)＝4，所以P(A)＝＝＝.
因為B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以n(B)＝6，所以P(B)＝＝＝.
因為C＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，
所以n(C)＝15，所以P(C)＝＝＝.
跟蹤訓練　(1) 從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}，共15種．
(2) 選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的樣本空間為{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}，共6種，
所以事件M發生的概率P(M)＝＝.
例2　(1) 可用枚舉法找出所有的樣本點．
分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，樣本點(1，2)表示“摸到1，2號球”(其余類推)，則樣本空間Ω為
Ω＝ {(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有10個樣本點．
(2) 記“摸出的2只球都是白球”為事件A，則A＝ {(1，2)，(1，3)，(2，3)}，所以P(A)＝.
跟蹤訓練1　由于第二子代的D，d基因的遺傳是等可能的，而Dd與Dd的搭配方式有4種：DD，Dd，dD，dd，其中只有第四種表示為矮莖，所以第二子代為高莖的概率為＝0.75.
跟蹤訓練2　從6只球中一次摸2只球的所有基本事件有15個．
(1) 2只球都是紅球的基本事件有1個，
所以2只球均為紅球的概率為.
(2) 2球同色的概率為＝.
(3) 恰有1只球是白球的概率為＝，2只球都是白球的概率為，故恰有1只球是白球的概率是2只球都是白球的概率的8倍．
【檢測反饋】
1. B　解析：基本事件總數為10，“抽出一本是物理書”包含3個基本事件，所以其概率為.
2. B　解析：所有樣本點為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1).其中從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊包含2個樣本點，所以其概率為＝.
3. ABD　解析：古典概型的特點：①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等．顯然A，B，D符合古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C選項，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型．故選ABD.
4. 　解析：同時拋擲兩枚骰子共有6×6＝36(個)等可能的樣本點，其中滿足|a－b|≤2的樣本點有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)，(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)，共24個，所以|a－b|≤2的概率為＝.
5. (1) 由頻率分布直方圖的性質可知，
(0.005＋0.015＋0.030＋0.055＋a＋0.120＋0.160＋0.030＋0.005)×2＝1，
解得a＝0.080，
所以估計該地區居民的月均用水量
＝1×0.01＋3×0.03＋5×0.06＋7×0.11＋9×0.16＋11×0.24＋13×0.32＋15×0.06＋17×0.01＝10.48(t).
(2) 月均用水量不低于14 t的居民的頻率為2×(0.030＋0.005)＝0.07，
又20×0.07＝1.4，所以估計20萬戶居民中月均用水量不低于14 t的居民戶數為1.4萬．
(3) [2，4)的頻率為0.015×2＝0.03，有200×0.03＝6(戶)，
[14，16)的頻率為0.030×2＝0.06，有200×0.06＝12(戶)，
在月均用水量為[2，4)和[14，16)的兩組中，共18戶，
所以在[2，4)組中抽取×6＝2(戶)，記為a1，a2，
在[14，16)組中抽取×6＝4(戶)，記為b1，b2，b3，b4，
則從中抽取2戶有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15個等可能的樣本點，
抽取的這2戶居民來自不同組有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8個等可能的樣本點，
所以抽取的這2戶居民來自不同組的概率為.10．1.3　古典概型(2)
1. 強化古典概型概率的求解，學會運用樹形圖、列表等方法解決問題．
2. 能正確區分有放回抽樣與無放回抽樣，并能解決與之相關的問題．
活動一 運用枚舉法求解古典概型的概率
例1　從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人．
(1) 分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間．
(2) 在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率．
先寫出樣本空間中的樣本點，再寫出具體事件所包含的樣本點，利用古典概型的計算公式即可求得結果．
書架上放有三套不同的小說，每套均分上、下冊，共六本，從中任取兩本，求下列事件的概率：
(1) 取出的書不成套；
(2) 取出的書均為上冊；
(3) 取出的書上、下冊各一本，但不成套．
活動二　運用樹形圖求解古典概型的概率　
例2　用3種不同的顏色給下圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，求：
(1) 3個矩形顏色都相同的概率；
(2) 3個矩形顏色都不同的概率．
樹形圖直觀反映了基本事件的狀況，為解決古典概型的問題提供了又一條途徑．
甲、乙、丙、丁四位同學分別寫了一張新年賀卡，然后放在一起，現在四人均從中抽取一張．求：
(1) 這四位同學恰好都抽到別人的賀卡的概率；
(2) 這四位同學恰好都抽到自己寫的賀卡的概率．
活動三　正確區分有序抽樣與無序抽樣、有放回抽樣與無放回抽樣　
例3　某人有4把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機地取1把鑰匙試著開門，把試過的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率有多大？如果試過的鑰匙又混進去，第二次能打開門的概率又有多大？
“放回”和“不放回”的樣本空間是不一樣的，解題時一定要分清．
袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個，每次從中任取1個，有放回地抽取3次．求：
(1) 3次全是紅球的概率；
(2) 3次顏色全相同的概率；
(3) 3次顏色不全相同的概率．
1. 一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行．若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會得到父母的獎勵，那么孩子受到獎勵的概率為(　　)
A. B. C. D.
2. (2023湖北高三聯考)從長度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，則這3條線段能構成一個三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)一個袋子中裝有3件正品和1件次品，若按以下要求抽取2件產品，則下列結論中正確的是(　　)
A. 任取2件，則取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件，不放回地抽取兩次，樣本點總數為16
C. 每次抽取1件，不放回地抽取兩次，則取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件，有放回地抽取兩次，樣本點總數為16
4. 現有7名數理化成績優秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數學成績優秀，B1，B2的物理成績優秀，C1，C2的化學成績優秀．從中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．
5. 質量監督局檢測某種產品的三個質量指標x，y，z，用綜合指標Q＝x＋y＋z核定該產品的等級．若Q≤5，則核定該產品為一等品．現從一批該產品中，隨機抽取10件產品作為樣本，其質量指標列表如下：
產品編號 A1 A2 A3 A4 A5
質量指標(x，y，z) (1，1，2) (2，1，2) (2，2，2) (1，3，1) (1，2，3)
產品編號 A6 A7 A8 A9 A10
質量指標(x，y，z) (1，2，2) (2，3，1) (3，2，1) (1，1，1) (2，1，1)
(1) 利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率；
(2) 在該樣品的一等品中，隨機抽取2件產品，設事件B為“在取出的2件產品中，每件產品的綜合指標均滿足Q≤4”，求事件B的概率．
【答案解析】
10．1.3　古典概型(2)
【活動方案】
例1　設第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數組(x1，x2)表示樣本點．
(1) 根據相應的抽樣方法可知：
有放回簡單隨機抽樣的樣本空間
Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回簡單隨機抽樣的樣本空間
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間
Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
(2) 設事件A＝“抽到兩名男生”，則對于有放回簡單隨機抽樣，A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．
因為抽樣的樣本空間Ω1中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型，
所以P(A)＝＝0.25.
對于不放回簡單隨機抽樣，
A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}．
因為抽樣的樣本空間Ω2中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型，
所以P(A)＝＝≈0.167.
因為按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以A＝ ，所以P(A)＝0.
跟蹤訓練　將第一套書的上、下冊分別記為A1，A2，第二套書的上、下冊分別記為B1，B2，第三套書的上、下冊分別記為C1，C2.
不區分取出的兩本書的順序，依題意可知樣本空間
Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)}，共含有15個樣本點，可以認為這15個樣本點出現的可能性是相等的，從而用古典概型來計算概率．
(1) 設事件A＝“取出的書不成套”，則A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)}，樣本點有12個，故P(A)＝＝.
(2) 設事件B＝“取出的書均為上冊”，則B＝{(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，C1)}，樣本點有3個，故P(B)＝＝.
(3) 設事件C＝“取出的書上、下冊各一本，但不成套”，則C＝{(A1，B2)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)}，樣本點有6個，故P(C)＝＝.
例2　用R，Y，G表示三種顏色，則由下圖可知，本題的基本事件共27個．
因為對3個矩形涂色時，選用顏色是隨機的，所以這27個基本事件是等可能的．
(1) 記事件A＝“3個矩形顏色都相同”．由圖可知，事件A包含的基本事件有1×3＝3(個)，
故P(A)＝＝.
(2) 記事件B＝“3個矩形顏色都不同”，由圖可知，事件B包含的基本事件有2×3＝6(個)，
故P(B)＝＝.
跟蹤訓練　設甲、乙、丙、丁寫的賀卡分別記為a，b，c，d，則當甲取a時，有如下情況：
同理甲取b，c，d分別對應6種，故共有24種可能．
(1) 四位同學恰好都抽到別人的賀卡的基本事件有(b，a，d，c)，(b，c，d，a)，(b，d，a，c)，(c，a，d，b)，(c，d，a，b)，(c，d，b，a)，(d，a，b，c)，(d，c，a，b)，(d，c，b，a)，共9種，故P＝＝.
(2) 四位同學都抽到自己寫的賀卡的情況為(a，b，c，d)，故P＝.
例3　用1，2表示能打開門的鑰匙，用3，4表示不能打開門的鑰匙，事件“第二次才能打開門”包含的樣本點有(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，共4個．
若把試過的鑰匙扔掉，則該試驗的樣本空間可表示為Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12個樣本點，所以此時的概率P＝＝；
若試過的鑰匙又混進去，則樣本空間可表示為Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16個樣本點，所以此時的概率為P＝＝.
跟蹤訓練　(1) 　(2) 　(3)
【檢測反饋】
1. A　解析：由題意得，樣本空間為{(1，1，3，4)，(1，1，4，3)，(1，3，1，4)，(1，3，4，1)，(1，4，1，3)，(1，4，3，1)，(3，1，1，4)，(3，1，4，1)，(3，4，1，1)，(4，1，3，1)，(4，1，1，3)，(4，3，1，1)}，共有12種不同排法，而卡片排成“1314”只有1種情況，故所求事件的概率P＝.
2. A　解析：由題意，得樣本空間Ω＝{(2，4，6)，(2，4，8)，(2，4，10)，(2，6，8)，(2，6，10)，(2，8，10)，(4，6，8)，(4，6，10)，(4，8，10)，(6，8，10)}，共有10種等可能的樣本點，其中，能構成三角形的樣本點為(4，6，8)，(4，8，10)，(6，8，10)，共3個，所以能構成一個三角形的概率為.
3. ACD　解析：記4件產品分別為1，2，3，a，其中a表示次品．對于A，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有1件次品”的樣本點為(1，a)，(2，a)，(3，a)，所以其概率P＝＝，故A正確；對于B，每次抽取1件，不放回抽取兩次，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)(a，2)，(a，3)}，所以n(Ω)＝12，故B錯誤；對于C，“取出的2件中恰有1件次品”的樣本點數為6，其概率為，故C正確；對于D，每次抽取1件，有放回抽取兩次，樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，所以n(Ω)＝16，故D正確．故選ACD.
4. 　解析：從這7人中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，所有可能的結果組成的12個樣本點為(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，則“A1和B1全被選中”有2個樣本點(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，則“A1和B1不全被選中”共有10個樣本點，概率為＝.
5. (1) 計算10件產品的綜合指標Q，如下表：
產品編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Q 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4
其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，
從而估計該批產品的一等品率為0.6.
(2) 在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品，該試驗的樣本點有{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A6}，{A1，A9}，{A1，A10}，{A2，A4}，{A2，A6}，{A2，A9}，{A2，A10}，{A4，A6}，{A4，A9}，{A4，A10}，{A6，A9}，{A6，A10}，{A9，A10}，共15個．
在該樣本的一等品中，綜合指標滿足Q≤4的產品編號分別為A1，A9，A10，則事件B發生的所有可能結果為{A1，A9}，{A1，A10}，{A9，A10}，共3種，所以P(B)＝＝.10．1.4　概率的基本性質
1. 理解互斥事件、對立事件的含義．
2. 理解概率的6條基本性質，重點掌握性質．
3. 掌握性質4、性質6及公式的應用條件．
4. 能靈活運用這幾條重要性質解決相關的實際問題，培養數學建模和數學化歸能力．
活動一 背景引入
一般而言，給出了一個數學對象的定義，就可以從定義出發研究這個數學對象的性質．例如，在給出指數函數的定義后，我們從定義出發研究了指數函數的定義域、值域、單調性、特殊點的函數值等性質，這些性質在解決問題時可以發揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來研究概率的基本性質．
活動二　概率的基本性質　
思考
你認為可以從哪些角度研究概率的性質？
問題1：概率P(A)的取值范圍是什么？
由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負的；在每次試驗中，必然事件一定發生，不可能事件一定不會發生，一般地，概率有如下性質：
性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質2：必然事件的概率為1, 不可能事件的概率為0, 即P(Ω)＝1，P( )＝0.
問題2：在擲骰子試驗中，事件A＝“出現1點”，B＝“出現2點”，C＝“出現的點數小于3”，事件C的概率與事件A、事件B的概率之間具有怎樣的關系？當兩個事件是互斥事件時，它們的和事件的概率公式應該怎樣？
性質3：如果事件A與事件B互斥， 那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
引申　如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).　
問題3：若事件A與事件B互為對立事件，則事件A與事件B的概率之間有什么關系？
性質4：如果事件A與事件B互為對立事件， 那么P(B)＝1－P(A), P(A)＝1－P(B).
問題4：一般地，對于事件A與事件B，如果A B，即事件A發生，則事件B一定發生，那么事件A的概率與事件B的概率的大小關系是什么？說明理由．
性質5：如果A B，那么P(A)≤P(B).
由性質5可得，對于任意事件A，因為 A Ω，所以 0 ≤ P(A) ≤1.
問題5：一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅球(標號為1和2)，2個綠球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設事件R1＝“第一次摸到紅球”，R2＝“第二次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”， “兩個球中有紅球”＝R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)＋P(R2)相等嗎？如果不相等，請你說明原因，并思考如何計算P(R1∪R2).
性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
活動三 概率的基本性質的應用
例1　從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件A＝“抽到紅心”，事件B＝“抽到方塊”，P(A)＝P(B)＝，求下列事件的概率：
(1) C＝“抽到紅花色”；
(2) D＝“抽到黑花色”．
1. 運用概率加法公式解題的步驟：
(1) 確定各事件彼此互斥；
(2) 先求各事件分別發生的概率，再求其和．
2. 求復雜事件的概率通常有兩種方法：
(1) 將所求事件轉化成彼此互斥的事件的并；
(2) 先求對立事件的概率，進而再求所求事件的概率．
袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，求得到黑球、黃球、綠球的概率分別是多少？
例2　為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料．若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？
1. 對于一個較復雜的事件，一般將其分解為幾個簡單的事件．當這些事件彼此互斥時，即可用概率加法公式．
2. 運用事件的概率加法公式解題的步驟：
(1) 確定題中哪些事件彼此互斥；
(2) 將待求事件拆分為幾個互斥事件之和；
(3) 先求各互斥事件分別發生的概率，再求和．
經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數及相應的概率如下：
排隊人數 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
(1) 至多2人排隊等候的概率是多少？
(2) 至少3人排隊等候的概率是多少？
1. 口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7
2. (2023河池高一統考)從裝有若干個紅球和白球(除顏色外其余均相同)的黑色布袋中，隨機不放回地摸球兩次，每次摸出一個球．若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩個球顏色不同”的概率為(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)在一個試驗模型中，設A表示一個隨機事件，表示A的對立事件，則下列結論中正確的是(　　)
A. P(A)＝P() B. P (A∪)＝1
C. 若P(A)＝1，則P()＝0 D. P(A)＝0
4. (2022莆田期末)一商店有獎促銷活動中，有一等獎與二等獎兩個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率是0.25，則不中獎的概率是________．
5. 某服務電話，打進的電話響第1聲時被接通的概率是0.1，響第2聲時被接通的概率是0.2，響第3聲時被接通的概率是0.3，響第4聲時被接通的概率是0.35.
(1) 打進的電話在響5聲之前被接通的概率是多少？
(2) 打進的電話響4聲而不被接通的概率是多少？
【答案解析】
10．1.4　概率的基本性質
【活動方案】
思考：①概率的取值范圍；②特殊事件的概率；③事件有某些特殊關系時，它們的概率之間的關系等等．
問題1：P(A)≥0.
問題2：P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.因為事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，這等價于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
問題3：1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
問題4：如果A B，那么n(A)≤n(B)，所以≤，即P(A)≤P(B).
問題5：因為n(Ω)＝12，n(R1)＝n(R2)＝6，n(R1∪R2)＝10，所以P(R1)＝P(R2)＝＝，P(R1∪R2)＝＝，
所以P(R1∪R2)≠P(R1)＋P(R2).
這是因為R1∩R2＝{(1，2)，(2，1)}≠ ，即事件R1，R2 不是互斥的，容易得到P(R1∪R2)＝P(R1)＋P(R2)－P(R1∩R2).
例1　 (1) 因為C＝A∪B，且A與B不會同時發生，所以A與B是互斥事件．
根據互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2) 因為C與D互斥，且C∪D是必然事件，
所以C與D互為對立事件，
所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
跟蹤訓練　設得到黑球、黃球的概率分別為x，y，由題意，得解得
所以得到綠球的概率為1－－－＝.
綜上，得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.
例2　 設事件A＝“中獎”，事件A1＝“第一罐中獎”，事件A2＝“第二罐中獎”，
那么事件A1A2＝“兩罐都中獎”，A12＝“第一罐中獎，第二罐不中獎”，1A2＝“第一罐不中獎，第二罐中獎”，且A＝A1A2∪A12∪1A2.
因為A1A2，A12，1A2兩兩互斥，
所以根據互斥事件的概率加法公式，
可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A12)＋P(1A2).
我們借助樹狀圖(如下圖)來求相應事件的樣本點數，
可以得到，樣本空間包含的樣本點個數為n(Ω)＝6×5＝30，且每個樣本點都是等可能的．
因為n(A1A2)＝2，n(A12)＝8，n(1A2)＝8，
所以P(A)＝＋＋＝＝，
故中獎的概率為.
跟蹤訓練　記事件A＝“無人排隊等候”，B＝“1人排隊等候”，C＝“2人排隊等候”，D＝“3人排隊等候”，E＝“4人排隊等候”，F＝“5人及5人以上排隊等候”，則事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1) 記事件G＝“至多2人排隊等候”，
則G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2) 記事件H＝“至少3人排隊等候”，
則H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
【檢測反饋】
1. C　解析：因為摸出紅球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
2. C　解析：設“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，則P(A)＝，P(B)＝，且＝A∪B.因為A，B，C兩兩互斥，所以P(C)＝1－P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－－＝.
3. BCD 　解析：對于A，由對立事件的性質P(A)＋P()＝1得P(A)＝P()不一定正確，故A錯誤；由對立事件的概念得A∪＝Ω，即P(A∪)＝P(Ω)＝1，故B正確；由對立事件的性質P(A)＋P()＝1，知P(A)＝1－P()，若P(A)＝1，則P()＝0，故C正確；由對立事件的概念得A＝ ，即P(A)＝P( )＝0，故D正確．故選BCD.
4. 0.65　解析：中獎的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎與不中獎為對立事件，所以不中獎的概率為1－0.35＝0.65.
5. (1) 設事件“電話響第k聲時被接”為Ak(k∈N)，
那么事件Ak彼此互斥，設“打進的電話在響5聲之前被接”為事件A，
根據互斥事件概率加法公式，
得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2) 事件“打進的電話響4聲而不被接”是事件A“打進的電話在響5聲之前被接”的對立事件，記為.
根據對立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.

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