資源簡介

10．2　事件的相互獨立性
1. 理解兩個事件相互獨立的概念．
2. 能進行一些與事件獨立性有關的概念的計算．
3. 通過對實例的分析，會進行簡單的應用．
活動一 背景引入
試驗1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”．
試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異．采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球．設A＝“第一次摸到球的標號小于3”，B＝“第二次摸到球的標號小于3”．
在試驗1中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4個等可能的樣本點．
因為A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)} .由古典概型概率計算公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B).
積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積．
在試驗2中，樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
因為A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}，
B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
AB ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以也有P(AB)＝P(A)P(B).
活動二 相互獨立事件的定義
1. 相互獨立事件的定義：
2. A，B相互獨立事件的充要條件是什么？
思考
如果事件A與事件B相互獨立，以試驗2為例，分別驗證A與，與B，與是否獨立？
　　
活動三 相互獨立事件的應用
例1　一個袋子中有標號分別為1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異．采用不放回方式從中任意摸球兩次．設事件A＝“第一次摸出球的標號小于3”，事件B＝“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立？
判斷兩個事件是否相互獨立，可以利用概率公式檢驗P(AB)與P(A)P(B)是否相等．
一個不透明的口袋內(nèi)裝有大小相同，顏色分別為紅、黃、藍的3個球．
(1) 記事件A＝“從口袋內(nèi)有放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”，B＝“從口袋內(nèi)有放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”；
(2) 記事件A＝“從口袋內(nèi)無放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”，B＝“從口袋內(nèi)無放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”．
試分別判斷(1)(2)中的A，B是否為相互獨立事件．
例2　甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：
(1) 兩人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 兩人都脫靶；
(4) 至少有一人中靶．
相互獨立事件同時發(fā)生的概率．
解決此類問題要明確互斥事件和相互獨立事件的意義，若A，B相互獨立，則A與，與B，與也是相互獨立的，代入相互獨立事件的概率公式求解．
甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率．
1. 下列事件A，B是獨立事件的是(　　)
A. 一枚硬幣拋擲兩次，事件A＝“第一次正面向上”，B＝“第二次反面向上”
B. 袋中有兩個白球和兩個黑球，不放回地摸兩球，事件A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C. 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A＝“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”
D. 事件A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”
2. (2022三明期末)甲、乙兩個氣象站同時作氣象預報，如果甲站、乙站預報的準確率分別為0.8和0.7，那么在一次預報中兩站恰有一站準確預報的概率為(　　)
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38
3. (多選)如圖所示的電路中，5個盒子表示保險匣，設5個盒子分別被斷開為事件A，B，C，D，E.盒中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. A，B兩個盒子串聯(lián)后暢通的概率為
B. D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為
C. A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為
D. 當開關合上時，整個電路暢通的概率為
4. 設某批電子手表的正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子手表進行檢測，每次抽取一個電子手表，假設每次檢測相互獨立，則第3次首次測到次品的概率為________．
5. 互不相識的張三與李四兩位年輕人先后到同一家商城購買手機，張三與李四購買某品牌手機的概率分別為0.7，0.5，購買價位在5 000元以上的手機的概率分別為0.4，0.6，假設張三與李四購買什么款式的手機相互獨立．
(1) 求恰好有一人購買該品牌手機的概率；
(2) 求至少有一人購買價位在5 000元以上的該品牌手機的概率．
【答案解析】
10．2　事件的相互獨立性
【活動方案】
1. 對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，那么稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立．
2. P(AB)＝P(A)P(B)
思考：對于A與 ，因為A＝AB∪A，AB與A互斥，
所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，
所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P().
由事件的獨立性定義，A與相互獨立．
同理可證事件與B，與也都相互獨立．
例1　因為樣本空間Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n}，
A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，B＝{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝＝，P(AB)＝＝.此時P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A與事件B不獨立．
跟蹤訓練　(1) 記紅、黃、藍色球的號碼分別為1，2，3，則樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}．
由題意得A＝ {(1，1)，(1，2)，(1，3)}，
B＝ {(1，2)，(2，2)，(3，2)}，AB＝{(1，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
即P(AB)＝P(A)P(B)，所以A，B是相互獨立事件．
(2) 記紅、黃、藍色球的號碼分別為1，2，3，則樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}．
由題意得A＝ {(1，2)，(1，3)}，
B＝ {(1，2)，(3，2)}，AB＝{(1，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，
所以A，B不是相互獨立事件．
例2　設A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，則＝“甲脫靶”，＝“乙脫靶”．
由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，所以A與B相互獨立，A與，與B，與都相互獨立．
由已知可得，P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.1.
(1) AB＝ “兩人都中靶”，由事件獨立性的定義，得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2) “恰好有一人中靶” ＝A∪B，且A與B互斥，根據(jù)概率的加法公式和事件獨立性定義，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
(3) 事件“兩人都脫靶”＝，
所以P()＝P()P()＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02.
(4) 方法一：事件“至少有一人中靶”＝AB∪A∪B，且AB，A與B兩兩互斥，
所以P(AB∪A∪B)＝P(AB)＋P(A)＋P(B)＝P(AB)＋P(A∪B)＝0.72＋0.26＝0.98.
方法二：由于事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶”，
根據(jù)對立事件的性質(zhì)，得事件“至少有一人中靶”的概率為1－P()＝1－0.02＝0.98.
跟蹤訓練　設A1，A2分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，B1，B2分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件．根據(jù)獨立性假定，得
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝＝.
P(B1)＝2××＝，P(B2)＝＝.
設A＝“ 兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”，則A＝A1B2∪A2B1，且A1B2與A2B1互斥，A1與B2，A2與B1分別相互獨立，
所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝.
故“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是.
【檢測反饋】
1. A　解析：對于A，A，B兩個事件發(fā)生，沒有關系，故是相互獨立事件；對于B，A事件發(fā)生時，影響到B事件，故不是相互獨立事件；對于C，由于擲的是一枚骰子，A，B是對立事件，所以不是相互獨立事件；對于D，能活到50歲的，一定能活到20歲，故A，B不是相互獨立事件．
2. D　解析：因為甲、乙兩個氣象站同時作氣象預報，甲站、乙站預報的準確率分別為0.8和0.7，所以在一次預報中兩站恰有一站準確預報的概率為P＝0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.
3. ACD　解析：由題意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B兩個盒子暢通的概率為×＝，故A正確；D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為1－×＝，故B錯誤；A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為1－×＝1－＝，故C正確；根據(jù)上述分析可知，當開關合上時，整個電路暢通的概率為×＝，故D正確．故選ACD.
4. 　解析：因為第3次首次測到次品，所以第1次和第2次測到的都是正品，第3次測到的是次品，所以第3次首次測到次品的概率為××＝.
5. (1) 設事件A＝“張三購買該品牌手機”，事件B＝“李四購買該品牌手機”，
則恰好有一人購買該品牌手機的概率P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.7×0.5＋0.3×0.5＝0.5.
(2) 設事件C＝“張三購買5 000元以上的手機”，事件D＝“李四購買5 000元以上的手機”，事件E＝“張三購買5 000元以上的該品牌手機”，事件F＝“李四購買5 000元以上的該品牌手機”，
則P(E)＝P(AC)＝0.7×0.4＝0.28，P(F)＝P(BD)＝0.5×0.6＝0.3，
所以至少有一人購買價位在5 000元以上的該品牌手機的概率P＝P(F)＋P(E)＋P(EF)＝0.72×0.3＋0.28×0.7＋0.28×0.3＝0.496.

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