資源簡介

10．3　頻率與概率
1. 通過試驗讓學生理解當試驗次數較大時，試驗頻率穩定在某一常數附近，并據此能估計出某一事件發生的概率．
2. 理解隨機模擬試驗出現的意義．
3. 利用隨機模擬試驗求概率．
活動一 頻率與概率的關系
問題：拋擲一枚質地不均勻的骰子，或者拋擲一枚圖釘，樣本點是否等可能？是否還可以通過古典概型公式計算有關事件的概率？
思考1
當遇到樣本點不是等可能事件時，應該采用什么方法解決它的概率問題？
探究：重復做同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣的試驗，設事件A＝“一個正面朝上，一個反面朝上”，統計A出現的次數并計算頻率，再與其概率進行比較，我們研究一下有什么規律？
將硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0，則這個試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，A＝{(1，0)，(0，1)}，所以P(A)＝.
利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A＝“一個正面朝上，一個反面朝上”發生的頻數nA和頻率fn(A)的記錄如下表：
序號 n＝20 n＝100 n＝500
頻數 頻率 頻數 頻率 頻數 頻率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
思考2
(1) 同一組的試驗結果一樣嗎？為什么會出現這種情況？
(2) 隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率有什么變化規律？為了說明以上兩個問題，借助折線圖表示頻率的波動情況．
　　　　　　
思考3
從以上的試驗結果看，你能得出什么結論？
活動二　頻率與概率的應用　
例1　新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數．通過抽樣調查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.
(1) 分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；
(2) 根據估計結果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？
1. 概率是隨機事件發生可能性大小的度量，是隨機事件A的本質屬性，隨機事件A發生的概率是大量重復試驗中事件A發生的頻率的近似值．
2. 正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區別與聯系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件．
(多選)給出下列四個命題，其中正確的命題有(　　)
A. 做100次拋硬幣的試驗，結果51次出現正面朝上，因此，出現正面朝上的概率是
B. 隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率
C. 拋擲骰子100次，得點數是1的結果有18次，則出現1點的頻率是
D. 隨機事件發生的頻率不一定是這個隨機事件發生的概率
例2　一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規定事件A發生則甲獲勝，事件B發生則乙獲勝．判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發生的概率是否相等.
在游戲過程中甲發現：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到 1 000 次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次．據此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的．你更支持誰的結論？為什么？
1. 游戲規則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規則公平，否則就是不公平的．
2. 具體判斷時，可以按所給規則，求出雙方的獲勝概率，再進行比較．
如圖，有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A，B，轉盤A被平均分成3等份，分別標上1，2，3三個數字；轉盤B被平均分成4等份，分別標上3，4，5，6四個數字．現為甲、乙兩人設計游戲規則：自由轉動轉盤A和B，轉盤停止后，指針指向一個數字(直到指針指向一個數字，停止轉動)，將指針所指的兩個數字相加，若和是6，則甲獲勝，否則乙獲勝，你認為這個規則公平嗎？
A B
　　
活動三　隨機模擬　
思考4
用頻率估計概率，需要做大量的重復試驗，有沒有其他方法可以替代試驗呢？
例3　在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽．羽毛球的比賽規則是3局 2勝制，假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.利用計算機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率．
用計算器或計算機產生1～5之間的隨機數，當出現隨機數1，2或3時，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽3局，所以每3個隨機數為一組．例如，產生20組隨機數：423，123，423，344，114，453，525，332，152，342，534，443，512，541，125，432，334，151，314，354.
相當于做了20次重復試驗．
用隨機模擬試驗來估計概率，一般有如下特點的事件可以用這種方法來估計：
(1) 對于滿足“有限性”但不滿足“等可能性”的概率問題，我們可采取隨機模擬方法來估計概率．
(2) 對于一些基本事件的總數比較大而導致很難把它列舉得不重復、不遺漏的概率問題或對于基本事件的等可能性難于驗證的概率問題，可用隨機模擬方法來估計概率．
袋子中有四個小球，分別寫有“中、華、民、族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止．用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“中、華、民、族”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232　321　230　023　123　021　132　220　001
231　130　133　231　031　320　122　103　233
由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為(　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
1. 在一次拋硬幣的試驗中，同學甲用一枚質地均勻的硬幣做了100次試驗，發現正面朝上出現了45次，那么出現正面朝上的頻率和概率分別為(　　)
A. 0.45，0.45 B. 0.5，0.5　　C. 0.5，0.45 D. 0.45，0.5
2. 不透明的袋中有2個黑球，3個白球，除顏色外其余完全相同，從中有放回地取出一球，連取三次，觀察球的顏色．用計算機產生0到9的數字進行模擬試驗，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列隨機數中表示結果為兩白一黑的組數為(　　)
160　288　905　467　589　239　079　146　351
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (多選)某超市隨機選取 1 000 位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．
商品 顧客人數 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根據表中數據，下列結論中正確的是(　　)
A. 顧客購買乙商品的概率最大
B. 顧客同時購買乙和丙的概率約為0.2
C. 顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率約為0.3
D. 顧客僅購買1種商品的概率不大于0.3
4. 假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：
93　28　12　45　85　69　68　34　31　25
73　93　02　75　56　48　87　30　11　35
據此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為________．
5. 某教授為了測試A地區和B地區的同齡兒童的智力，出了10個智力題，每個題10分，然后做了統計，下表是統計結果．
A地區
參加測試的人數 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人數 16 27 52 104 256 402
得60分以上的頻率
B地區
參加測試的人數 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人數 17 29 56 111 276 440
得60分以上的頻率
(1) 利用計算器計算兩地區參加測試的兒童中得60分以上的頻率；(結果精確到0.001)
(2) 估計兩個地區參加測試的兒童得60分以上的概率．
【答案解析】
10．3　頻率與概率
【活動方案】
問題：不等可能，不能用古典概型公式計算有關事件的概率．
思考1：利用最原始的方法，通過大量重復試驗，用頻率去估計概率．
思考2：(1) 不一樣．試驗次數n相同，頻率fn(A)可能不同，這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性．
(2) 從整體來看，頻率在概率0.5附近波動．當試驗次數較少時，波動幅度較大；當試驗次數較大時，波動幅度較小．但試驗次數多的波動幅度并不全都比次數少的小，只是波動幅度小的可能性更大．
思考3：隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
例1　(1)2014年男嬰出生的頻率為≈0.537，
2015年男嬰出生的頻率為≈0.532.
由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.
(2) 由于調查新生兒人數的樣本非常大，根據頻率的穩定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度．因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結論．
跟蹤訓練　CD　解析：對于A，B，混淆了頻率與概率的區別，故A，B錯誤；對于C，拋擲骰子100次，得點數是1的結果有18次，則出現1點的頻率是，符合頻率定義，故C正確；對于D，頻率是概率的估計值，故D正確．故選CD.
例2　當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當游戲玩了 1 000 次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.根據頻率的穩定性，隨著試驗次數的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小．相對10次游戲，1 000 次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信 1 000 次時的頻率離概率更近，而游戲玩到 1 000 次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認為游戲是不公平的，因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷．
跟蹤訓練　列表如下：
B A 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知，可能的結果有12種，和為6的結果只有3種，所以甲獲勝的概率為＝，乙獲勝的概率為＝，
故甲、 乙獲勝的概率不相等，所以這個游戲規則不公平．
思考4：可以根據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了．
例3　設事件A＝“甲獲得冠軍”，事件B＝“單局比賽甲勝”，則P(B)＝0.6.
事件A發生了13次，對應的數組分別是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用頻率估計事件A的概率的近似值為＝0.65.
跟蹤訓練　C　解析：由隨機產生的隨機數可知恰好抽取三次就停止的有021，001，130，031，共4組隨機數，則恰好抽取三次就停止的概率約為＝.
【檢測反饋】
1. D　解析：根據頻率和概率的概念，可知出現正面朝上的頻率是45÷100＝0.45，出現正面朝上的概率是0.5.
2. B　解析：由題意可知，288，905，079，146表示兩白一黑，所以有4組．
3. BCD　解析：對于A，根據表中數據，可知購買甲商品的顧客有685位，購買乙商品的顧客有515位，故A錯誤；對于B，因為從統計表可以看出，在這 1 000 位顧客中，有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為0.2，故B正確；對于C，因為從統計表可以看出，在這 1 000 位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為＝0.3，故C正確；對于D，因為從統計表可以看出，在這 1 000 位顧客中，有183位顧客僅購買1種商品，所以顧客僅購買1種商品的概率可以估計為0.183<0.3，故D正確．故選BCD.
4. 　解析：兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1，2，3，4中的之一．它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10個，因此所求的概率約為＝.
5. (1) 根據頻率計算公式，可得如下表所示：
A地區
參加測試的人數 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人數 16 27 52 104 256 402
得60分以上的頻率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503
B地區
參加測試的人數 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人數 17 29 56 111 276 440
得60分以上的頻率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550
(2) 隨著測試人數的增加，兩個地區參加測試的兒童得60分以上的頻率逐漸趨近于0.5和0.55，故估計A地區和B地區參加測試的兒童得60分以上的概率分別為0.5和0.55.

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