資源簡介

第十章 概率 復(fù) 習(xí)
構(gòu)建《概率》知識網(wǎng)絡(luò)．
活動(dòng)一 單元框架
活動(dòng)二　基本知識回顧
在本章，我們在明確概率的研究對象的基礎(chǔ)上，引進(jìn)了樣本點(diǎn)和有限樣本空間的概念，并把隨機(jī)事件定義為樣本空間的子集，再類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，研究了隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算；然后，我們重點(diǎn)研究了古典概型的特征、古典概率的定義及計(jì)算，探究了概率的基本性質(zhì)；接著，利用概率討論了事件之間的一種特殊關(guān)系，即事件的獨(dú)立性，并利用獨(dú)立性簡化某些概率計(jì)算；最后，我們研究了隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性，以及用頻率估計(jì)概率時(shí)很實(shí)用的隨機(jī)模擬．
活動(dòng)三　進(jìn)一步掌握常見概率問題的求法　
例1　從含有2件正品a1，a2 和1件次品b1 的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次．
(1) 求取出的2件產(chǎn)品中恰有1件次品的概率；
(2) 若將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的2件產(chǎn)品中恰有1件次品的概率是多少？
古典概型的問題，經(jīng)常用枚舉法列出樣本空間，再找出所求事件的樣本空間，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
有標(biāo)號為1，2，3的3只小球及標(biāo)號為1，2，3的3只盒子，現(xiàn)在隨機(jī)地將3只小球放入3只盒子中，每盒一球，求球的編號與盒子的編號完全不同的概率．
例2　根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購買乙種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主至多購買一種保險(xiǎn)．
(1) 求該地的1位車主購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率；
(2) 求該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的概率．
若一個(gè)事件可以分解成若干個(gè)互斥事件，則根據(jù)互斥事件的概率公式計(jì)算即可；若一個(gè)事件的對立事件的概率比較方便解決，則先計(jì)算它的對立事件的概率，再用公式計(jì)算．
一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．求：
(1) 摸出的都是白球的概率；
(2) 摸出的至少有1只白球的概率．
例3　某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng)．求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率．
甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率是，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率是.
(1) 分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
(2) 從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．
1. (2023重慶模擬)對于一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D，其中n(Ω)＝60，n(A)＝30，n(B)＝10，n(C)＝20，n(D)＝30，n(A∪B)＝40，n(A∩C)＝10，n(A∪D)＝60，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. A與B不互斥 B. A與D互斥但不對立
C. C與D互斥 D. A與C相互獨(dú)立
2. 某省新高考實(shí)行“3＋1＋2”模式，“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、英語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生需在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科．某考生已經(jīng)確定“首選科目”為物理，如果他從“再選科目”中隨機(jī)選擇兩科，那么思想政治被選中的概率為(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表：
血型 A B AB O
該血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同種血型的人可以輸血，O型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可以給AB型血的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 任找一個(gè)人，其血可以輸給B型血的人的概率是0.64
B. 任找一個(gè)人，B型血的人能為其輸血的概率是0.29
C. 任找一個(gè)人，其血可以輸給O型血的人的概率為1
D. 任找一個(gè)人，其血可以輸給AB型血的人的概率為1
4. 甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕蕿椋瑑扇撕推宓母怕蕿椋瑒t甲獲勝的概率為________．
5. 某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”“詩詞”“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.2023年某新生入學(xué)，已知他通過考核選拔進(jìn)入該校的“書法”“詩詞”“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m，，n，三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且m>n.
(1) 求m與n的值；
(2) 該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的安排情況，對進(jìn)入“書法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對進(jìn)入“詩詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進(jìn)入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率．
【答案解析】
第十章 概率 復(fù) 習(xí)
【活動(dòng)方案】
例1　(1) 每次取1件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的樣本空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．Ω由6個(gè)基本事件組成，而且可以確定這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．
記事件A＝“取出的2件中，恰好有1件次品”，則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，事件A由4個(gè)基本事件組成，
所以P(A)＝＝.
(2) 有放回地連續(xù)取出2件，其一切可能的結(jié)果組成的樣本空間為Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，由9個(gè)基本事件組成．由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等，因此可以確定這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．
記事件B＝“取出的2件中，恰有1件次品”，則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，事件B由4個(gè)基本事件組成，所以P(B)＝.
跟蹤訓(xùn)練　基本事件有6個(gè)，編號完全不同的事件有2個(gè)，所以P＝＝.
例2　記事件A＝“該地的1位車主購買甲種保險(xiǎn)”；
事件B＝“該地的1位車主購買乙種保險(xiǎn)”；
事件C＝“該地的1位車主購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種”；
事件D＝“該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買”．
(1) 由題意可知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2) D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 摸出2只球的基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，白3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白3，黑1)，(白3，黑2)，(黑1，黑2)，共10個(gè)，其中都是白球的事件有3個(gè)，所以P＝.
(2) 至少摸出1只白球的事件有9個(gè)，故P＝.
例3　記事件A1＝“從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球”，
A2＝“從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球”，
B1＝“顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)”，
B2＝“顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)”，
C＝“顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)”．
由題意知A1與A2相互獨(dú)立，A12與1A2互斥，B1與B2互斥，
且B1＝A1A2，B2＝(A12)∪(1A2)，C＝B1∪B2.
因?yàn)镻(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12∪1A2)＝P(A12)＋P(1A2)
＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝×＋×＝，
故所求概率為P(C)＝P(B1∪B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
跟蹤訓(xùn)練　(1)設(shè)A，B，C分別表示甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，那么
即
解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
即甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別為，，.
(2) 設(shè)事件D＝“從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品”，則P(D)＝1－P()＝1－(1－P(A))(1－P(B))·(1－P(C))＝1－××＝，
即從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率是.
【檢測反饋】
1. D　解析：由n(A)＝30，n(B)＝10，n(A∪B)＝40，得n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，所以A與B互斥，故A錯(cuò)誤；由n(A)＝30，n(D)＝30，n(A∪D)＝60，n(Ω)＝60，得n(A∪D)＝n(A)＋n(D)＝n(Ω)＝60，所以A與D互斥且對立，故B錯(cuò)誤；又n(C)＝20，n(A∩C)＝10，則n(D∩C)＝10，所以C與D不互斥，故C錯(cuò)誤；由P(A)＝＝，P(C)＝＝，P(A∩C)＝＝，得P(A∩C)＝P(A)P(C)，所以A與C相互獨(dú)立，故D正確．
2. B　解析：化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科的情況有(化學(xué)，生物學(xué))，(化學(xué)，思想政治)，(化學(xué)，地理)，(生物學(xué)，思想政治)，(生物學(xué)，地理)，(思想政治，地理)，共6種．兩科中包括思想政治的情況有(化學(xué)，思想政治)，(生物學(xué)，思想政治)，(思想政治，地理)，共3種，所以他從“再選科目”中隨機(jī)選擇兩科，思想政治被選中的概率為.
3. AD　解析：任找一個(gè)人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別記為A′，B′，C′，D′，它們兩兩互斥．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，所以“可以輸給B型血的人”＝B′∪D′，根據(jù)概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A正確；B型血的人能為B型、AB型的人輸血，其概率為0.29＋0.08＝0.37，故B錯(cuò)誤；由O型血只能接受O型血的人輸血，知C錯(cuò)誤；由任何人的血都可以輸給AB型血的人，知D正確．故選AD.
4. 　解析：設(shè)事件A＝“甲不輸”，B＝“兩人和棋”，C＝“甲獲勝”，則P(A)＝，P(B)＝，所以P(C)＝P(A)－P(B)＝.
5. (1) 由題意，得
解得
(2) 設(shè)該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為i(i＝0，1，2，3，4，5，6)，
獲得課本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分為事件A，
則P(i＝4)＝××＝；
P(i＝5)＝××＝；
P(i＝6)＝××＝，
故P(A)＝＋＋＝.

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