資源簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)歸納法
【考綱解讀】
理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。
【知識(shí)精講】
一、數(shù)學(xué)歸納法的概念：
【問(wèn)題】認(rèn)真觀察分析下列問(wèn)題，然后回答如下的思考問(wèn)題：
1、設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，推導(dǎo)數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；
2、已知數(shù)列｛｝的前幾項(xiàng)分別是：4，- ，2，- ，-------求數(shù)列｛｝的一個(gè)通項(xiàng)公式；
3、已知數(shù)列｛｝的前幾項(xiàng)分別是：3，5，9，17，33，-------求數(shù)列｛｝的一個(gè)通項(xiàng)公式。
『思考問(wèn)題』
【問(wèn)題】中涉及的幾個(gè)問(wèn)題的共同特點(diǎn)是：①已知一個(gè)問(wèn)題有限的幾個(gè)特殊項(xiàng)的結(jié)果；
②需要得出該問(wèn)題能夠符合各項(xiàng)的一個(gè)表示式；
解答【問(wèn)題】中問(wèn)題時(shí)，為得到問(wèn)題能夠符合各項(xiàng)的一個(gè)表示式的基本方法是：①把已知有限的幾個(gè)特殊項(xiàng)化成相同的結(jié)構(gòu)；②認(rèn)真觀察分析它們的結(jié)構(gòu)，尋找其共同的特征，推測(cè)出項(xiàng)的各部分與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系；③確定各項(xiàng)的符號(hào)特征；④注意運(yùn)用“因數(shù)分解”和“”的技巧。
1、歸納法的定義：
（1）歸納法的定義：由一系列有限特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法；
（2）歸納法的特征：運(yùn)用歸納法得到的結(jié)論不一定正確。
2、數(shù)學(xué)歸納法的定義：
（1）數(shù)學(xué)歸納法的定義：為證明一個(gè)與自然數(shù)n相關(guān)的命題，先證明n取某一個(gè)值時(shí)命題成立，再假設(shè)n=k時(shí)命題成立，只要能夠證明n=k+1時(shí)，命題也成立，就可得出結(jié)論命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立的結(jié)論，這種推理的方法，叫做數(shù)學(xué)歸納法；
（2）數(shù)學(xué)歸納法的特征：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法得到的結(jié)論一定正確，但數(shù)學(xué)歸納法只適用于與自然數(shù)相關(guān)的命題的證明；同時(shí)數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟和格式都是固定的規(guī)范模式。
二、數(shù)學(xué)歸納法的原理：
1、數(shù)學(xué)歸納法的基本方法：
數(shù)學(xué)歸納法的基本方法是：①證明當(dāng)n取某一個(gè)值時(shí)命題成立（這一步是遞推的基礎(chǔ)）；
②假設(shè)n=k（kN，且k≥）時(shí)命題成立（具有已知條件的作用），證明n=k+1時(shí)，命題成立（這一步是關(guān)鍵，需要“一湊假設(shè)”，“二湊結(jié)論”）；③ 得出結(jié)論命題對(duì)一切自然數(shù)n（nN，且n≥）都成立；
2、數(shù)學(xué)歸納法第二步的基本方法：
（1）數(shù)學(xué)歸納法第二步采用“進(jìn)”的基本方法是：①把假設(shè)n=k命題成立作為已知條件；②將n=k換成n=k+1，通過(guò)“一湊假設(shè)”，“二湊結(jié)論”的基本方法證明結(jié)論成立；
（2）數(shù)學(xué)歸納法第二步采用“退”的基本方法是：①把假設(shè)n=k命題成立作為已知條件；②將n=k換成n=k+1，再把命題式子中n=k的部分換成假設(shè)式，從而證明結(jié)論成立。
【探導(dǎo)考點(diǎn)】
考點(diǎn)1數(shù)學(xué)歸納法的定義：熱點(diǎn)①給出命題的證明過(guò)程，判斷證明方法是不是數(shù)學(xué)歸納法；
熱點(diǎn)②給出用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的過(guò)程，判斷證明方法是否正確；
考點(diǎn)2數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用：熱點(diǎn)①直接給出命題，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題；熱點(diǎn)②給出問(wèn)題的幾個(gè)特殊項(xiàng)，從而得出一般的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)結(jié)論的正確性進(jìn)行證明。
【典例解析】
【問(wèn)題1】解答下列問(wèn)題：
用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“（n）當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)”時(shí)，在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要（ ）
A 在假設(shè)n=k(k是3的倍數(shù)）成立后，證明n=k+1時(shí)命題也成立
B 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+1時(shí)命題也成立
C 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+2時(shí)命題也成立
D 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+3時(shí)命題也成立
2、判斷下面的證明過(guò)程是否正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)。
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，右邊=1×（2×1+1）=1×3=3=左邊，命題成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即3+7+-----+(4k-1)=k(2k+1)，當(dāng)n=k+1時(shí)，3+7+-----+(4k-1)+(4k+3)=(k+1)
(4k+3+3)=(k+1)(2k+3)，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立,根據(jù)①②得到，對(duì)一切自然數(shù)n，3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)成立。
3、比較與的大?。╪）。
『思考問(wèn)題1』
【問(wèn)題1】是與數(shù)學(xué)歸納法定義相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題，需要理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理；
理解數(shù)學(xué)歸納法定義，掌握數(shù)學(xué)歸納法原理時(shí)，一點(diǎn)注意數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟和正確的推理過(guò)程。
某個(gè)命題與自然數(shù)n相關(guān)，若n=k(k）時(shí)該命題成立，那么可以推出n=k+1時(shí)該命題成立，現(xiàn)在驗(yàn)證當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可以推出（ ）
A 當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B 當(dāng)n=6時(shí)該命題成立
C 當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立 D 當(dāng)n=4時(shí)該命題成立
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+++------+>的過(guò)程中，由k推到k+1時(shí)，不等式左邊增加了（ ）
A B +- C + D -
用數(shù)學(xué)歸納法證明>+1，對(duì)n≥的正整數(shù)n都成立，則第一步證明中的起始值應(yīng)?。?）
A 1 B 3 C 5 D 6
【問(wèn)題2】解答下列問(wèn)題：
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：+++------+=。
2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+------+（2n-1）=。
3、證明命題：若a、b∈，n∈N,則≤。
4、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+++-------+＜2（n∈）。
5、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈時(shí)，f(n)= -8n-9能被64整除。
6、用數(shù)學(xué)歸納法證明：- 能被x+y整除。
『思考問(wèn)題2』
【問(wèn)題2】是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的基本方法；
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的基本方法是：①驗(yàn)證當(dāng)n取某一個(gè)值時(shí)命題成立；②假設(shè)n=k成立時(shí)，推證n=k+1時(shí)命題也成立；③ 得出結(jié)論命題對(duì)一切自然數(shù)n（nN，且n≥）都成立；
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的過(guò)程中，假設(shè)n=k成立時(shí)，推證n=k+1時(shí)命題也成立是關(guān)鍵的一步，解決的主要方法有兩種：①采用“進(jìn)”的基本方法；②采用“退”的基本方法；有時(shí)還需要運(yùn)用“一湊假設(shè)”，“二湊結(jié)論”的解題技巧。
〔練習(xí)2〕解答下列問(wèn)題：
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：+++-------+=n(4-1)。
2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2+2×3+3×4+-------+n(n+1)= n(n+1)(n+2)。
3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+≤1+++------+≤+n。
4、已知a，b為正實(shí)數(shù)，且+=1，試證明對(duì)每一個(gè)n∈，都有--≥
-。
5、用數(shù)學(xué)歸納法證明：兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積能被2整除；
6、用數(shù)學(xué)歸納法證明-（n∈）能被x-y整除；
【問(wèn)題3】解答下列問(wèn)題：
1、設(shè)數(shù)列｛｝滿足：=-n+1，n=1，2，3-------。
（1）當(dāng)=2，求，，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1，有：① ≥n+2；
②++-------+≤。
2、數(shù)列｛｝滿足：=2n-（n∈）。
（1）計(jì)算，，，并由此猜想通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。
3、是否存在常數(shù)a、b，使等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)對(duì)一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論。
『思考問(wèn)題3』
（1）【問(wèn)題3】是通過(guò)猜想得出命題，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解歸納法的定義，理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的基本方法；
（2）歸納法是由一系列有限特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，在解答問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)已知的有限特殊事件，尋找出共同的特征與規(guī)律，從而得出一般的結(jié)論。
〔練習(xí)3〕解答下列問(wèn)題：
已知首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列。
猜想等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的結(jié)論。
2、平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等于；
3、已知x（0，+），觀察下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++
≥4，---類比得x+≥n+1（n∈），則a= 。
【雷區(qū)警示】
【問(wèn)題4】解答下列問(wèn)題：
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“（n）當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)”時(shí)，在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要（ ）
A 在假設(shè)n=k(k是3的倍數(shù)）成立后，證明n=k+1時(shí)命題也成立
B 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+1時(shí)命題也成立
C 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+2時(shí)命題也成立
D 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+3時(shí)命題也成立
2、已知｛｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足=0，=3，.=（+3）（+2），n=3，4，5，------
（1）求；
（2）證明：=+2，n=3，4，5，------
（3）求｛｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和。
3、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的a，bR，都滿足f(a+b)=af(b)+bf(a)。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f(2)=2，=（nN），求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。
『思考問(wèn)題4』
【問(wèn)題4】是解答與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)問(wèn)題時(shí)，容易觸碰的雷區(qū)。該類問(wèn)題的雷區(qū)主要包括：①忽視正確理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，導(dǎo)致解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤；②忽視數(shù)學(xué)歸納法的原理及運(yùn)用，導(dǎo)致解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤；
解答與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)問(wèn)題時(shí)，為避免忽視正確理解數(shù)學(xué)歸納法定義的雷區(qū)，需要正確理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，注意數(shù)學(xué)歸納法的特征及適用范圍；
解答與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)問(wèn)題時(shí)，為避免忽視數(shù)學(xué)歸納法的原理及運(yùn)用的雷區(qū)，需要理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法原理運(yùn)用的基本方法。
〔練習(xí)4〕解答下列問(wèn)題：
1、某個(gè)命題與自然數(shù)n相關(guān)，若n=k(k）時(shí)該命題成立，那么可以推出n=k+1時(shí)該命題成立，現(xiàn)在驗(yàn)證當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可以推出（ ）
A 當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B 當(dāng)n=6時(shí)該命題成立
C 當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立 D 當(dāng)n=4時(shí)該命題成立
已知數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，=1，+++------+=145。
求數(shù)列｛｝的圖像公式；
設(shè)數(shù)列｛｝的通項(xiàng)=（1+）（其中b>0，b1），記是數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論。
【追蹤考試】
【問(wèn)題5】解答下列問(wèn)題：
1、第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日在成都舉行，比賽項(xiàng)目包括15個(gè)必選項(xiàng)目和武術(shù)，賽艇，射擊3個(gè)自選項(xiàng)目，共18個(gè)大項(xiàng)，269個(gè)小項(xiàng)，小張，小王，小李三位大學(xué)生在談?wù)撟约菏欠駮?huì)武術(shù)，賽艇，射擊3個(gè)自選項(xiàng)目時(shí)，小張說(shuō)，我和小王都不會(huì)賽艇；小王說(shuō)，我會(huì)的自選項(xiàng)目比小張多一個(gè)；小李說(shuō)，三個(gè)自選項(xiàng)目中我們都會(huì)的自選項(xiàng)目只有一個(gè)，但我不會(huì)射擊，假如他們?nèi)硕颊f(shuō)的是真話，則由此可判斷小張會(huì)的自選項(xiàng)目是 （填寫(xiě)具體項(xiàng)目名稱）（成都市高2021級(jí)高三零診）
2、已知數(shù)列{}滿足=.（n），且=2，=16。
（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)=（2n-1），求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為；
（3）設(shè)=，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，證明： <2（成都市高2020級(jí)2020-2021學(xué)年度下期期末名校聯(lián)盟考試）
『思考問(wèn)題5』
（1）【典例5】是近幾年高考（或成都市高三診斷考試或成都市高一期末考試）試卷中涉及數(shù)學(xué)歸納法的問(wèn)題，歸結(jié)起來(lái)主要包括：①數(shù)學(xué)歸納法定義及運(yùn)用；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用；③運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的推理方法解答數(shù)學(xué)問(wèn)題等幾種類型；
（2）解答問(wèn)題的基本方法是：①根據(jù)問(wèn)題結(jié)構(gòu)特征，判斷問(wèn)題屬于哪一種類型；②運(yùn)用解答該種類型問(wèn)題的解題思路和解答方法對(duì)問(wèn)題實(shí)施解答；③得出問(wèn)題的解答結(jié)果。
〔練習(xí)5〕解答下列問(wèn)題：
1、我國(guó)南北朝時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖桓提出體積的計(jì)算原理（祖桓原理）：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“勢(shì)”即是高，“冪”是面積。意思是：如果兩等高的幾何體在同高出截得的兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，類比祖桓原理，（理）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個(gè)上底為1的梯形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t?。?，3］上任意值時(shí)，直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長(zhǎng)始終相等，則圖1的面積為 （文）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個(gè)矩形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t取［0，4］上任意值時(shí)，直線y=t被圖1和圖2所截得的線段長(zhǎng)始終相等，則圖1的面積為 （2017成都市高三一珍）
（理科圖） （文科圖）
2、已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足2=3-3。
（1）證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{ }滿足= ，記數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，證明： <（成都市高2019級(jí)2019-2010學(xué)年度下期期末調(diào)研考試）
數(shù)學(xué)歸納法
【考綱解讀】
理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。
【知識(shí)精講】
一、數(shù)學(xué)歸納法的概念：
【問(wèn)題】認(rèn)真觀察分析下列問(wèn)題，然后回答如下的思考問(wèn)題：
1、設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，推導(dǎo)數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；
2、已知數(shù)列｛｝的前幾項(xiàng)分別是：4，- ，2，- ，-------求數(shù)列｛｝的一個(gè)通項(xiàng)公式；
3、已知數(shù)列｛｝的前幾項(xiàng)分別是：3，5，9，17，33，-------求數(shù)列｛｝的一個(gè)通項(xiàng)公式。
『思考問(wèn)題』
【問(wèn)題】中涉及的幾個(gè)問(wèn)題的共同特點(diǎn)是：①已知一個(gè)問(wèn)題有限的幾個(gè)特殊項(xiàng)的結(jié)果；
②需要得出該問(wèn)題能夠符合各項(xiàng)的一個(gè)表示式；
解答【問(wèn)題】中問(wèn)題時(shí)，為得到問(wèn)題能夠符合各項(xiàng)的一個(gè)表示式的基本方法是：①把已知有限的幾個(gè)特殊項(xiàng)化成相同的結(jié)構(gòu)；②認(rèn)真觀察分析它們的結(jié)構(gòu)，尋找其共同的特征，推測(cè)出項(xiàng)的各部分與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系；③確定各項(xiàng)的符號(hào)特征；④注意運(yùn)用“因數(shù)分解”和“”的技巧。
1、歸納法的定義：
（1）歸納法的定義：由一系列有限特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法；
（2）歸納法的特征：運(yùn)用歸納法得到的結(jié)論不一定正確。
2、數(shù)學(xué)歸納法的定義：
（1）數(shù)學(xué)歸納法的定義：為證明一個(gè)與自然數(shù)n相關(guān)的命題，先證明n取某一個(gè)值時(shí)命題成立，再假設(shè)n=k時(shí)命題成立，只要能夠證明n=k+1時(shí)，命題也成立，就可得出結(jié)論命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立的結(jié)論，這種推理的方法，叫做數(shù)學(xué)歸納法；
（2）數(shù)學(xué)歸納法的特征：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法得到的結(jié)論一定正確，但數(shù)學(xué)歸納法只適用于與自然數(shù)相關(guān)的命題的證明；同時(shí)數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟和格式都是固定的規(guī)范模式。
二、數(shù)學(xué)歸納法的原理：
1、數(shù)學(xué)歸納法的基本方法：
數(shù)學(xué)歸納法的基本方法是：①證明當(dāng)n取某一個(gè)值時(shí)命題成立（這一步是遞推的基礎(chǔ)）；
②假設(shè)n=k（kN，且k≥）時(shí)命題成立（具有已知條件的作用），證明n=k+1時(shí)，命題成立（這一步是關(guān)鍵，需要“一湊假設(shè)”，“二湊結(jié)論”）；③ 得出結(jié)論命題對(duì)一切自然數(shù)n（nN，且n≥）都成立；
2、數(shù)學(xué)歸納法第二步的基本方法：
（1）數(shù)學(xué)歸納法第二步采用“進(jìn)”的基本方法是：①把假設(shè)n=k命題成立作為已知條件；②將n=k換成n=k+1，通過(guò)“一湊假設(shè)”，“二湊結(jié)論”的基本方法證明結(jié)論成立；
（2）數(shù)學(xué)歸納法第二步采用“退”的基本方法是：①把假設(shè)n=k命題成立作為已知條件；②將n=k換成n=k+1，再把命題式子中n=k的部分換成假設(shè)式，從而證明結(jié)論成立。
【探導(dǎo)考點(diǎn)】
考點(diǎn)1數(shù)學(xué)歸納法的定義：熱點(diǎn)①給出命題的證明過(guò)程，判斷證明方法是不是數(shù)學(xué)歸納法；
熱點(diǎn)②給出用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的過(guò)程，判斷證明方法是否正確；
考點(diǎn)2數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用：熱點(diǎn)①直接給出命題，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題；熱點(diǎn)②給出問(wèn)題的幾個(gè)特殊項(xiàng)，從而得出一般的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)結(jié)論的正確性進(jìn)行證明。
【典例解析】
【問(wèn)題1】解答下列問(wèn)題：
用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“（n）當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)”時(shí)，在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要（ ）
A 在假設(shè)n=k(k是3的倍數(shù)）成立后，證明n=k+1時(shí)命題也成立
B 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+1時(shí)命題也成立
C 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+2時(shí)命題也成立
D 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+3時(shí)命題也成立
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件確定出在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要的步驟就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“（n）當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)”時(shí)，在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3（k+1）=3k+3時(shí)命題也成立，D正確，選D。
2、判斷下面的證明過(guò)程是否正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)。
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，右邊=1×（2×1+1）=1×3=3=左邊，命題成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即3+7+-----+(4k-1)=k(2k+1)，當(dāng)n=k+1時(shí)，3+7+-----+(4k-1)+(4k+3)=(k+1)
(4k+3+3)=(k+1)(2k+3)，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立,根據(jù)①②得到，對(duì)一切自然數(shù)n，3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)成立。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)證明過(guò)程的正確性進(jìn)行判斷，就可得出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，證明n=k+1時(shí)，命題成立的過(guò)程中，沒(méi)有運(yùn)用n=k時(shí)，命題成立的條件，用數(shù)學(xué)歸納法證明3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)的推理是錯(cuò)誤的。
比較與的大小（n）。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用；③ 比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用實(shí)數(shù)比較大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件可以驗(yàn)證n=1時(shí)，>，n=2或n=4時(shí)，=，n=3時(shí)，<，利用數(shù)學(xué)歸納法的原理，可以證明當(dāng)n≥5時(shí)，>恒成立，從而就可得出與的大小關(guān)系。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，=2，=1，2>1，>；當(dāng)n=2或n=4時(shí)，=4，=4，或=16，=16，=；n=3時(shí)，=8，=9，<，當(dāng)n=5時(shí)，=32，=25，32>25，>成立，假設(shè)n=k(k，且k>5）時(shí)，>成立，即>，當(dāng)n=k+1(k，且k>5）時(shí)，=2=+>+，2-，=-2k-1
=-2>16-2>14，>成立，即對(duì)一切n≥5的自然數(shù)，都有>成立，綜上所述，n=3時(shí)，<；當(dāng)n=2或n=4時(shí)，=；當(dāng)n=1或n≥5時(shí)，>。
『思考問(wèn)題1』
【問(wèn)題1】是與數(shù)學(xué)歸納法定義相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題，需要理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理；
理解數(shù)學(xué)歸納法定義，掌握數(shù)學(xué)歸納法原理時(shí)，一點(diǎn)注意數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟和正確的推理過(guò)程。
某個(gè)命題與自然數(shù)n相關(guān)，若n=k(k）時(shí)該命題成立，那么可以推出n=k+1時(shí)該命題成立，現(xiàn)在驗(yàn)證當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可以推出（ ）（答案：C）
A 當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B 當(dāng)n=6時(shí)該命題成立
C 當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立 D 當(dāng)n=4時(shí)該命題成立
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+++------+>的過(guò)程中，由k推到k+1時(shí)，不等式左邊增加了（ ）（答案：B）
A B +- C + D -
用數(shù)學(xué)歸納法證明>+1，對(duì)n≥的正整數(shù)n都成立，則第一步證明中的起始值應(yīng)?。?）（答案：C）
A 1 B 3 C 5 D 6
【問(wèn)題2】解答下列問(wèn)題：
用數(shù)學(xué)歸納法證明：+++------+=。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明+++------+=。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，=1，=1，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即+++------+=，當(dāng)n=k+1時(shí)，+++------
++=+=
=結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有+++------
+=成立。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+------+（2n-1）=。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明1+3+5+------+（2n-1）=。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=2-1=1，=1，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1+3+5+------+（2,k-1）=，當(dāng)n=k+1時(shí)，1+3+5+------+（2k-1）+[2（k+1）-1]=+（2k+1）]=+2k+1=結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有1+3+5+------+（2n-1）=成立。
證明命題：若a，b∈，n∈N,則≤。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明若a，b∈，n∈N,則≤。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，=，=，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即≤，當(dāng)n=k+1時(shí)，=≤
（）≤≤結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有若a，b∈，n∈N,則≤。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+++-------+＜2（n∈）。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明1+++-------+＜2（n∈）。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，=1，2=2，1<2，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1+++-------+＜2（k∈），當(dāng)n=k+1時(shí)，1+++-------++＜2+＜<<2
（k∈），對(duì)一切自然數(shù)n，都有1+++-------+＜2（n∈）。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈時(shí)，f(n)= -8n-9能被64整除。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明當(dāng)n∈時(shí)，f(n)= -8n-9能被64整除。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，f(1)= 81-8-9=64能被64整除；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即f(k)=-8k-9=64m（k，m∈），當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=9-8k-8-9=9（-8k-9）+64k+64=9×64m+64(k+1）=64（9m+k+1）（k，m∈）能被64整除，對(duì)一切自然數(shù)n，都有f(n)= -8n-9能被64整除。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：- 能被x+y整除。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明- 能被x+y整除。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，- =-=（x+y）（x-y）能被x+y整除；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即-=m（x+y）（k，m∈），當(dāng)n=k+1時(shí)，- =（-）+（-）=（x+y）（m+x-）能被x+y整除，對(duì)一切自然數(shù)n，都有- 能被x+y整除。
『思考問(wèn)題2』
【問(wèn)題2】是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的基本方法；
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的基本方法是：①驗(yàn)證當(dāng)n取某一個(gè)值時(shí)命題成立；②假設(shè)n=k成立時(shí)，推證n=k+1時(shí)命題也成立；③ 得出結(jié)論命題對(duì)一切自然數(shù)n（nN，且n≥）都成立；
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的過(guò)程中，假設(shè)n=k成立時(shí)，推證n=k+1時(shí)命題也成立是關(guān)鍵的一步，解決的主要方法有兩種：①采用“進(jìn)”的基本方法；②采用“退”的基本方法；有時(shí)還需要運(yùn)用“一湊假設(shè)”，“二湊結(jié)論”的解題技巧。
〔練習(xí)2〕解答下列問(wèn)題：
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：+++-------+=n(4-1)（提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理）
2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2+2×3+3×4+-------+n(n+1)= n(n+1)(n+2)（提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理）
3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+≤1+++------+≤+n（提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理）
4、已知a，b為正實(shí)數(shù)，且+=1，試證明對(duì)每一個(gè)n∈，都有--≥
-（提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理）
5、用數(shù)學(xué)歸納法證明：兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積能被2整除（提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理）
6、用數(shù)學(xué)歸納法證明-（n∈）能被x-y整除（提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理）
【問(wèn)題3】解答下列問(wèn)題：
1、設(shè)數(shù)列｛｝滿足：=-n+1，n=1，2，3-------。
（1）當(dāng)=2，求，，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1，有：① ≥n+2；
②++-------+≤。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式定義與性質(zhì)；③數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；④數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列和數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出，，的值；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明對(duì)所有的n≥1，有：① ≥n+2；②++-------+≤。
【詳細(xì)解答】（1）=2，=-n+1，n=1，2，3------，=4-2+1=3，=9-6+1=4，=16-12+1=5，------由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式=n+1（n∈）；（2）①當(dāng)n=1時(shí)，≥3≥1+2，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即≥k+2成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，=（-k）+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥2(k+1)+1≥2k+5≥k+1+2結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有 ≥n+2；②當(dāng)n=1時(shí)，≥3,≤≤≤結(jié)論成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即++-------+≤成立，≥3，=（-k）+1≥（k+2-k）+1≥2+1，=≥-1，1+≥，++-------+≤（1++-----+）≤×（2-）≤×2≤結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有 ++-------+≤。
2、數(shù)列｛｝滿足：=2n-（n∈）。
（1）計(jì)算，，，并由此猜想通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式定義與性質(zhì)；③數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；④數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列和數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出，，的值；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明（1）中的猜想。
【詳細(xì)解答】（1）①當(dāng)n=1時(shí)，=2n-（n∈），=2-，=1，
+=4-，=，++=6-，=，+++=8-，=，
由此猜想通項(xiàng)公式=2-；（2）當(dāng)n=1時(shí)，=2-=2-1=1，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即=2-，當(dāng)n=k+1時(shí)，+++----++=2（k+1）-，
2=2（k+1）-2k+（1+++------+）=2+2-=4-，=2-=2-結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有=2-。
3、是否存在常數(shù)a、b，使等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)對(duì)一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①解答探索性問(wèn)題的基本方法；②數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；③數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)解答探索性問(wèn)題的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組就可求出a，b的值，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)和原理就可證明結(jié)論。
【詳細(xì)解答】假設(shè)存在常數(shù)a、b，等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)對(duì)一切自然數(shù)n都成立，當(dāng)n=1時(shí)，1×1=1=(1+a)(1+b)①，當(dāng)n=2時(shí)，1×1+2×1+1×1=4=(2+a)(2+b)②，聯(lián)立①②解得：a=1，b=2，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+1)(n+2)對(duì)一切自然數(shù)n都成立，當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×1=1，右邊=(1+1)(1+2)=1，等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1×k+2(k-1)+3(k-2)+-------+(k-2)×3+(k-1)×2+k×1=k(k+1)(k+2)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1×（k+1）+2(k+1-1)+3(k+1-2)+-------+(k+1-2)×3+(k+1-1)×2+(k+1)×1=1×k+2(k-1)+3(k-2)+-------+(k-2)×3+(k-1)×2+k×1+（1+2+3+----+k+k+1）=
k(k+1)(k+2)+=(k+1)(k+2)(k+3)=右邊，對(duì)一切自然數(shù)n，都有1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+1)(n+2)成立。
『思考問(wèn)題3』
（1）【問(wèn)題3】是通過(guò)猜想得出命題，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解歸納法的定義，理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立的基本方法；
（2）歸納法是由一系列有限特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，在解答問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)已知的有限特殊事件，尋找出共同的特征與規(guī)律，從而得出一般的結(jié)論。
〔練習(xí)3〕解答下列問(wèn)題：
1、已知首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列。
（1）猜想等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的結(jié)論（答案：（1）猜想等比數(shù)列的通項(xiàng)公式=；（2）提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理。）
2、平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等于（提示：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理）
3、已知x（0，+），觀察下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++
≥4，---類比得x+≥n+1（n∈），則a= （答案：a=）
【雷區(qū)警示】
【問(wèn)題4】解答下列問(wèn)題：
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“（n）當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)”時(shí)，在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要（ ）
A 在假設(shè)n=k(k是3的倍數(shù)）成立后，證明n=k+1時(shí)命題也成立
B 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+1時(shí)命題也成立
C 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+2時(shí)命題也成立
D 在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3k+3時(shí)命題也成立
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件確定出在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要的步驟就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“（n）當(dāng)n是3的倍數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)”時(shí)，在驗(yàn)證n=3時(shí)命題成立之后要判定命題成立，還需要在假設(shè)n=3k(k）成立后，證明n=3（k+1）=3k+3時(shí)命題也成立，D正確，選D。
2、已知｛｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足=0，=3，.=（+2）（+2），n=3，4，5，------
（1）求；
（2）證明：=+2，n=3，4，5，------
（3）求｛｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列遞推公式定義與性質(zhì)；③數(shù)列通項(xiàng)公式定義與性質(zhì)；④數(shù)列前n項(xiàng)和公式定義與性質(zhì)；⑤數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；⑥數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列和數(shù)列遞推公式的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出的值；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明=+2，n=3，4，5，------；（3）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和。
【詳細(xì)解答】（1）=0，=3，.=（+3）（+2），.=（+2）（+2）
=5×2=10，數(shù)列｛｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，可能的值為1，2，5，10，當(dāng)
=1時(shí)，=10，==不是整數(shù)；當(dāng)=2時(shí)，=5，==4是整數(shù)；當(dāng)=5時(shí)，=2，==不是整數(shù)；當(dāng)=10時(shí)，=1，=（10+2）（3+2）=60是整數(shù)，==不是整數(shù)，=2；（2）當(dāng)n=3時(shí)，=+2=0+2=2，結(jié)論成立，假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即=+2，當(dāng)n=k+1時(shí)，==+2=+2結(jié)論成立，
對(duì)一切自然數(shù)n，都有=+2n=3，4，5，------；（3）=+2=+2，=+2=+2，=0，=3，=2(k-1)，=2k+1，k=1，2，3，------，=n+，n=1，2，3，------，=n（n+1），n為偶數(shù)，
n（n+1）-1，n為奇數(shù)。
3、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的a，bR，都滿足f(a.b)=af(b)+bf(a)。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f(2)=2，=（nN），求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①抽象函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；③求抽象函數(shù)值的基本方法；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；⑤數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；⑥數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用；⑦數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用求抽象函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出f(0)，f(1)的值；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；（3）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的原理，結(jié)合問(wèn)題條件得到f()=nf(a)，從而得到數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列前n項(xiàng)和公式就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。
【詳細(xì)解答】（1）f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的a，bR，都滿足f(a.b)=af(b)+bf(a)，令a=b=0有f(0.0)=0f(0)+0f(0)，f(0)=0，令a=b=1有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1)，f(1)=0；（2）令a=b=-1有f(-1×（-1）)=-1×f(-1)-1×f(-1)，f(-1)=0，令a=-1，b=x有f(-1×x)=-1×f(x)+xf(-1)，f(-x)=-f(x)，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（3）f(a×a)=f()=af(a)
+af(a)=2af(a)，f(a×)=f()=f(a)++af()==3f(a)，----由此猜想f()=nf(a)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論是正確的：當(dāng)n=1時(shí)，f(a)=1×1×f(a)=f(a)成立，，假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即f()=kf(a)，當(dāng)n=k+1時(shí)，f()=f(a×)=f(a)+af()=f(a)
+akf(a)=(k+1)f(a)結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有f()=nf(a)成立，
==f()（nN），f(1)=f(2×)=×f(2)+2×f()=0，f()=-×f(2)
=-，=×(-）（nN），==-1（nN）
『思考問(wèn)題4』
【問(wèn)題4】是解答與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)問(wèn)題時(shí)，容易觸碰的雷區(qū)。該類問(wèn)題的雷區(qū)主要包括：①忽視正確理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，導(dǎo)致解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤；②忽視數(shù)學(xué)歸納法的原理及運(yùn)用，導(dǎo)致解答問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤；
解答與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)問(wèn)題時(shí)，為避免忽視正確理解數(shù)學(xué)歸納法定義的雷區(qū)，需要正確理解數(shù)學(xué)歸納法的定義，注意數(shù)學(xué)歸納法的特征及適用范圍；
解答與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)問(wèn)題時(shí)，為避免忽視數(shù)學(xué)歸納法的原理及運(yùn)用的雷區(qū)，需要理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法原理運(yùn)用的基本方法。
〔練習(xí)4〕解答下列問(wèn)題：
1、某個(gè)命題與自然數(shù)n相關(guān)，若n=k(k）時(shí)該命題成立，那么可以推出n=k+1時(shí)該命題成立，現(xiàn)在驗(yàn)證當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可以推出（ ）（答案：C）
A 當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B 當(dāng)n=6時(shí)該命題成立
C 當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立 D 當(dāng)n=4時(shí)該命題成立
2、已知數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，=1，+++------+=145。
（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；
設(shè)數(shù)列｛｝的通項(xiàng)=（1+）（其中b>0，b1），記是數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論（答案：（1）數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為=3n-2；（2）=（1+1）（1+）----（1+），運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理可以證明（1+1）（1+）----（1+）>，當(dāng)b>1時(shí)，>；當(dāng)0【追蹤考試】
【問(wèn)題5】解答下列問(wèn)題：
第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日在成都舉行，比賽項(xiàng)目包括15個(gè)必選項(xiàng)目和武術(shù)，賽艇，射擊3個(gè)自選項(xiàng)目，共18個(gè)大項(xiàng)，269個(gè)小項(xiàng)，小張，小王，小李三位大學(xué)生在談?wù)撟约菏欠駮?huì)武術(shù)，賽艇，射擊3個(gè)自選項(xiàng)目時(shí)，小張說(shuō)，我和小王都不會(huì)賽艇；小王說(shuō)，我會(huì)的自選項(xiàng)目比小張多一個(gè)；小李說(shuō)，三個(gè)自選項(xiàng)目中我們都會(huì)的自選項(xiàng)目只有一個(gè)，但我不會(huì)射擊，假如他們?nèi)硕颊f(shuō)的是真話，則由此可判斷小張會(huì)的自選項(xiàng)目是 （填寫(xiě)具體項(xiàng)目名稱）（成都市高2021級(jí)高三零診）
【解析】
【考點(diǎn)】①邏輯推理定義與性質(zhì)；②邏輯推理的基本方法。
【解題思路】根據(jù)邏輯推理的性質(zhì)，運(yùn)用邏輯推理的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可得出小張會(huì)的自選項(xiàng)目。
【詳細(xì)解答】他們?nèi)硕颊f(shuō)的是真話，小張和小王都不會(huì)賽艇，小李不會(huì)射擊，三個(gè)自選項(xiàng)目中我們都會(huì)的自選項(xiàng)目只有一個(gè)，三個(gè)人都會(huì)的自選項(xiàng)目是武術(shù)，小王會(huì)的自選項(xiàng)目比小張多一個(gè)，小張會(huì)的自選項(xiàng)目只有武術(shù)。
2、已知數(shù)列{}滿足=.（n），且=2，=16。
（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)=（2n-1），求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為；
（3）設(shè)=，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，證明： <2（成都市高2020級(jí)2020-2021學(xué)年度下期期末名校聯(lián)盟考試）
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)及運(yùn)用；③求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法；④數(shù)學(xué)歸納法定義與性質(zhì)；⑤數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)用。
【解答思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列{ }前n項(xiàng)和的值；（3）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理，由（1）得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，得到<，運(yùn)用求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法求出的表示式就可證明<2。
【詳細(xì)解答】（1）數(shù)列{}滿足=.（n），數(shù)列{}是等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{}的公比為q，=2，=16，2=16，q=2，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為
=2=；（2）=（2n-1）==（2n-1），=2+3+5+-----
+（2n-3）. +（2n-1）①，2=+3+5+-----+（2n-3）. +（2n-1）②，①-②得：-=2+2（++------+）-（2n-1）=2+2-（2n-1）
=2-8+2-（2n-1）=-6-（2n-3），=6+（2n-3）；（3）=
=<，當(dāng)n=1時(shí)，-=-==<2成立，假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即=<+++----+<2-2<2成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，<，<+++-------++<2-（2-）<2-2<2結(jié)論成立，對(duì)一切自然數(shù)n，都有 <2。
『思考問(wèn)題5』
（1）【典例5】是近幾年高考（或成都市高三診斷考試或成都市高一期末考試）試卷中涉及
數(shù)學(xué)歸納法的問(wèn)題，歸結(jié)起來(lái)主要包括：①數(shù)學(xué)歸納法定義及運(yùn)用；②數(shù)學(xué)歸納法原理及運(yùn)
用；③運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的推理方法解答數(shù)學(xué)問(wèn)題等幾種類型；
（2）解答問(wèn)題的基本方法是：①根據(jù)問(wèn)題結(jié)構(gòu)特征，判斷問(wèn)題屬于哪一種類型；②運(yùn)用解答該種類型問(wèn)題的解題思路和解答方法對(duì)問(wèn)題實(shí)施解答；③得出問(wèn)題的解答結(jié)果。
〔練習(xí)5〕解答下列問(wèn)題：
1、我國(guó)南北朝時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖桓提出體積的計(jì)算原理（祖桓原理）：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“勢(shì)”即是高，“冪”是面積。意思是：如果兩等高的幾何體在同高出截得的兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，類比祖桓原理，（理）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個(gè)上底為1的梯形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t?。?，3］上任意值時(shí)，直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長(zhǎng)始終相等，則圖1的面積為 （文）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個(gè)矩形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t?。?，4］上任意值時(shí)，直線y=t被圖1和圖2所截得的線段長(zhǎng)始終相等，則圖1的面積為 （2017成都市高三一珍）
（理科圖） （文科圖）（答案：理；文8。）
2、已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足2=3-3。
（1）證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{ }滿足= ，記數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，證明： <（成都市高2019級(jí)2019-2010學(xué)年度下期期末調(diào)研考試）（答案：（1）=；（2）提示：先用錯(cuò)項(xiàng)相減法求出關(guān)于n的表示式，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法原理證明）

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