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決戰2024年高考考前必過知識清單
教材知識一遍過
一、集合與邏輯
1、區分集合中元素的形式：如：—函數的定義域；—函數的值域；—函數圖象上的點集，
如：（1）設集合，集合N＝，則___ （答：
（2）集合，集合 （答：）
2、條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況
如：（1）若非空集合，，則使得成立的a的集合是______ （答：）
（2）集合M=N =若，則實數a的取值范圍為___________　 （答：）
（3），如果，求的取值。 （答：a≤0）
3、;
CUA={x|x∈U但xA};;真子集怎定義？如：含n個元素的集合的子集個數為2n,真子集個數為2n－1;
如：滿足集合M有______個。　 （答：7）
4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;
5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U
6、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。
如：（1）若關于的不等式的解集是，則的取值范圍是______（答：）
（2）已知函數在區間上至少存在一個實數，使，求實數的取值范圍。　 （答：）
7、若且;則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;
如：寫出“成立”的一個必要而不充分條件_____ （答：比范圍大即可）
二、函數與導數
1、指數式、對數式：， ，當為奇數時，；當為偶數時， .
，，，, ,; ;
如：的值為______（答：） = （答：1）
2、一次函數:y=ax+b(a≠0) b=0時奇函數;
3、二次函數
①三種形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(對稱軸,a≠0,頂點);頂點式f(x)=a(x-h)2+k;零點式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(對稱軸);b=0偶函數;
②區間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區間的相對位置關系;
如：(1) 已知函數在區間上有最小值3，求的值 (答:)
（2）若函數的定義域、值域都是閉區間，則＝ （答：2）
③實根分布:先畫圖再研究①開口、②△>0、③對稱軸與區間關系、④區間端點函數值符號;
4、反比例函數:平移(中心為(b,a)) ，對勾函數是奇函數,，
5、冪、指數、對數函數的圖象和性質：（1）若，，,則的大小關系為 （答：）
（2）設，則使函數的定義域為且為奇函數的所有值為 1或3
（3）不等式的解集是 方程的解是 ）
（4）函數的圖象和函數的圖象的交點個數是 （答：3個）
（5）、冪函數y=，當取不同的正數時，在區間[0，1]上它們的圖像是一族美麗的曲線（如圖）．設點A（1，0），B（0，1），連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y=，y=的圖像三等分，即有BM=MN=NA．那么，=_______ （答：1）
6、單調性①定義法;②導數法.
（1）設那么
上是增函數；
上是減函數.
(2)設函數在某個區間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.
如：（1）已知函數在區間上是增函數，則的取值范圍是___ (答：))；
(2) 函數在上為增函數，則的取值范圍為______（答：）
注意①：能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，∴是為增函數的充分不必要條件。
注意②：函數單調性與奇偶性的逆用嗎 （①比較大小；②解不等式；③求參數范圍）.
如：已知奇函數是定義在上的減函數,若，求實數的取值范圍。（答：）
③復合函數由同增異減判定 ④圖像判定. ⑤作用:比大小,解證不等式.
如：（1）函數的單調遞增區間是________(答：（1,2）)。
（2）若函數在區間內單調遞增，則的取值范圍是____(答： )
7、奇偶性：f(x)是偶函數f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數過原點(f(0)=0);定義域關于原點對稱是為奇函數或偶函數的必要而不充分的條件。
如：（1）若函數（a為常數）在定義域上為奇函數，則k= （答：）
（2）定義在R上的偶函數在上是減函數，若，則的取值范圍是_______________ （答：）
（3）已知函數y=f(x),x∈[－1，1]的圖象是由以原點為圓心的兩段圓弧及原點構成（如圖所示）, 則不等式的的解集為
（答：）
（4）已知函數是定義在R上的奇函數，，
，則不等式的解集是 （答：）
8、周期性。
（1）類比“三角函數圖像”得：
如：已知定義在上的函數是以2為周期的奇函數，則方程在上至少有_________個實數根（答：5）
（2）由周期函數的定義“函數滿足，則是周期為的周期函數”得：
①函數滿足，則是周期為2的周期函數；
②若恒成立，則；
③若恒成立，則.
如：(1) 設是上的奇函數，，當時，，則 等于_____(答：)；
（2）若是R上的偶函數，是R上的奇函數，則與的大小關系為_____________________ （答：）
（3）定義在上的偶函數滿足，且在上是減函數，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系為_________ (答：)
9、常見的圖象變換
①函數的圖象是把函數的圖象沿軸向左或向右平移個單位得到的。
如：（1）要得到的圖像，只需作關于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答：；右)；
（2）函數的圖象與軸的交點個數有____個(答：2)
②函數+的圖象是把函數助圖象沿軸向上或向下平移個單位得到的；
③函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。
如：（1）將函數的圖像上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2 個單位，所得圖像對應的函數為_____(答：)；
（2）如若函數是偶函數，則函數的對稱軸方程是_______(答：)．
④函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.
10、函數的對稱性
①滿足條件的函數的圖象關于直線對稱。
如：已知二次函數滿足條件且方程有等根，則＝_____ (答：)；
②點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為；
③點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為；
④點關于原點的對稱點為；函數關于原點的對稱曲線方程為；
⑤點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。
特別地，點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。
如：己知函數,若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數解析式是___________（答：）；
若f(a－x)＝f(b+x),則f(x)圖像關于直線x=對稱;兩函數y=f(a+x)與y=f(b-x)圖像關于直線x=對稱。
提醒：證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；
如：已知函數。求證：函數的圖像關于點成中心對稱圖形。
⑥曲線關于點的對稱曲線的方程為。
如：若函數與的圖象關于點（-2，3）對稱，則＝______（答：）
⑦形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點。
如：已知函數圖象與關于直線對稱，且圖象關于點（2，－3）對稱，則a的值為______ （答：2）
⑧（1）的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；
（2）的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。
如：（1）作出函數及的圖象；
（2）若函數是定義在R上的奇函數，則函數的圖象關于____對稱 （答：軸）
11、求解抽象函數問題的常用方法是：
（1）借鑒模型函數進行類比探究。幾類常見的抽象函數 ：
①正比例函數型： ---------------；
②冪函數型： --------------，；
③指數函數型： ----------，；
④對數函數型： ---，；
⑤三角函數型： ----- 。
如：已知是定義在R上的奇函數，且為周期函數，若它的最小正周期為T，則_（答：0）
12、反函數:①互為反函數的兩函數圖像關于y=x對稱.②互為反函數的兩函數具相同單調性③原函數定義域是反函數的值域,原函數值域是反函數的定義域。
如：已知函數的圖象過點(1,1),那么的反函數的圖象一定經過點_____（答：（1,3））；
13、題型方法總結
（Ⅰ）判定相同函數:定義域相同且對應法則相同
（Ⅱ）求函數解析式的常用方法：
（1）待定系數法――已知所求函數的類型（二次函數的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：）
如：已知為二次函數，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。 （答：）
（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。
如：（1）已知求的解析式 （答：）；
（2）若，則函數=_____ （答：）；
（3）若函數是定義在R上的奇函數，且當時，，那么當時，=________ （答：）.
（3）方程的思想――對已知等式進行賦值，從而得到關于及另外一個函數的方程組。
如：（1）已知，求的解析式 （答：）；
（2）已知是偶函數，是奇函數，且+= ,則= （答：）。
（Ⅲ）求定義域:使函數解析式有意義(如:分母 ;偶次根式被開方數 ;對數真數 ，底數 ;零指數冪的底數 );實際問題有意義;若f(x)定義域為[a,b],復合函數f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域為[a,b],則f(x)定義域相當于x∈[a,b]時g(x)的值域；
如：（1）若函數的定義域為，則的定義域為_____（答：）；
（2）若函數的定義域為，則函數的定義域為___ （答：[1,5]）．
（Ⅳ）求值域:
配方法：如：求函數的值域 （答：[4,8]）；
逆求法（反求法）：如：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍（答：（0,1））；
換元法：如：（1）的值域為_____（答：）；
（2）的值域為_____（答：）（令，。
運用換元法時，要特別要注意新元的范圍；
④三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；
如：的值域 （答：）；
⑤不等式法――利用基本不等式求函數的最值。
如：設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是____________.（答：）。
⑥單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。
如：求，，的值域為______（答：、、）；
⑦數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
如：（1）已知點在圓上，求及的取值范圍（答：、）；
（2）求函數的值域（答：）；
⑧判別式法：
如：（1）求的值域 （答：）；
（2）求的值域（答：）
⑨導數法;分離參數法;
如：求函數，的最小值。（答：－48）
用2種方法求下列函數的值域：①②；③
（V）解應用題:審題(理順數量關系)、建模、求模、驗證.
(VI)①恒成立問題:分離參數法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.
a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
如：（1）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__（答：）
(2)對于任意，函數的值恒大于零，那么的取值范圍是 （答：）
（3）已知：不等式.在上恒成立，則實數的取值范圍是___（答：）
(4)設函數，若時，恒成立，則實數的取值范圍是 _（答;m<1）
(5)已知函數f(x)=,若上恒成立，則t的取值范圍是 （答:）
②存在性問題: ，使得a≥f(x)成立a≥[f(x)]min,; ，使得a≤f(x)成立a≤[f(x)]max;
如：(1) 設，為常數．若存在，使得，則實數a的取值范圍是 ．(答：)
（2）若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+(a－2)x－2＞0成立，則實數x的取值范圍是 （答：）
（3）已知實數a使得只有一個實數x滿足關于x的不等式，則滿足條件的所有的實數a的個數是 （答：2個）
（4）已知函數，，函數，．若對任意，總存在，使成立．則實數的取值范圍是 （答：）
(VII)利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。
如：（1）若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數）；
（2）若，滿足，則的奇偶性是______（答：偶函數）；
（3）已知是定義在上的奇函數，當時，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；
（4）設的定義域為，對任意，都有，且時，，又，①求證為減函數；②解不等式.（答：）．
14、導數幾何物理意義:k=f/(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。
V＝s/(t)表示t時刻即時速度,a=v′(t)表示t時刻加速度。
如：一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_____（答：5米/秒）
15、①常見函數的導數公式: ①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥；
⑦； ⑧。
②導數的四則運算法則：；；
16、導數應用:
⑴過某點的切線不一定只有一條;
如：已知函數過點作曲線的切線，求此切線的方程（答：或）。
⑵研究單調性步驟:分析y=f(x)定義域;求導數;解不等式f/(x)≥0得增區間;解不等式f/(x)≤0得減區間;注意f/(x)=0的點;
如：設函數在上單調函數，則實數的取值范圍______（答：）；
⑶求極值、最值步驟:求導數;求的根;檢驗在根左右兩側符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值.
如：（1）已知函數f(x)= sinx+cosx，則= （答：0）
（2）函數在[0，3]上的最大值、最小值分別是____（5；）；
（3）已知函數在區間[－1,2 ]上是減函數，那么b＋c有最__值__(答：大，)
（4）方程的實根的個數為_ （答：1）
（5）若點P是曲線y=x2－lnx上任意一點，則點P到直線y=x－2的最小距離為_____
（6）已知是三次函數的兩個極值點，且，的取值范圍是 （答：）
特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側導數異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。
（2）給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！
如：函數處有極小值10，則a+b的值為____（答：－7）
三、數列
1、an={ 注意驗證a1是否包含在an 的公式中。
如：(1) 數列｛an｝中,已知 （答：）
2、判斷和證明：（1）
（2）常見結論：①若{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差 ②若{an}、{bn}等比，則{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比； 若{an}等差,則(c>0)成等比； 若{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差。
如：（1）若是等比數列，且，則＝ （答：－1）
（2）已知是等比數列，，，則=____ （答：）
（3）數列滿足
（1）求的值； （答：）
（2）是否存在一個實數t，使得且數列為等差數列？若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由。 （答:）
3、首項正的遞減(或首項負的遞增)等差數列前n項和最大(或最小)問題,轉化為解不等式,或用二次函數處理;(等比前n項積 )，
由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？
如:（1）等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；
若是等差數列，首項，，則使前n項和成立的最大正整數n是 （答：4006）
（3）設為等差數列{}的前n項和，若,則中最小的是____(答)
（4）已知為等差數列，若，且它的前n項和Sn有最大值，那么當Sn取得最小正值時，n=______（答：19）
（5）等差數列{}滿足，且，為{}的前n項和，則Sn中的最大項是 （答：）
4、基本量方法：等差數列中an=a1+(n-1)d; Sn==
等比數列中an= a1 qn-1; 當q=1,Sn=na1 當q≠1,Sn==
如：數列是公差不為零的等差數列，并且，，是等比數列的相鄰三項，若，則等于 （答：）
5、利用等差（比）數列的性質：
等差數列中, （1）an=am+ (n－m)d, ;
（2）當m+n=p+q,am+an=ap+aq；若，則
（3）任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列.
（4）等差數列{an},項數2n時,S偶-S奇＝nd;項數2n-1時,S奇-S偶＝an ; 項數為 時，則;項數為奇數時，
等比數列中，（1）;
（2）若，則;若，則；
（3）等比數列的任意連續項的和且不為零時構成的數列仍為等比數列. 如：公比為-1時，、-、-、…不成等比數列。
如：（1）在等比數列中，，公比q是整數，則=___（答：512）；
（2）各項均為正數的等比數列中，若，則 （答：10）。
（3） 一個等差數列共n項，其和為90，這個數列的前10項的和為25，后10項的和為75，則項數為____ （答：18）
（4）等比數列中，前四項之和為240，第二、第四項之和為180，則首項為 （答：6）
（5） 等差數列的前12項的和是98，前98項的和是12，則的前110項的和為__________ （答：）
（6）設等比數列的公比為，前n項和為，若成等差數列，則的值為_________________（注意在運用等比求和公式時對公比進行討論） （答：）
（7）設等差數列的前項和為，已知
，則下列結論正確的是______________
（1） （2）
（3） （4）
6、 等差三數為a-d,a,a+d;四數a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三數可設a/q,a,aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)
如：有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。 （答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
7、求數列{an}的最大、最小項的方法（函數思想）：
①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= 答：
③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an= （答：）
8、求通項常法: （1）已知數列的前n項和,求通項，可利用公式:
如：數列滿足，求（答：）
（2）先猜后證
（3）遞推式為＝＋f(n) (采用累加法)；＝×f(n) (采用累積法)；
如：已知數列滿足，，則=________（答：）
（4）構造法形如、（為常數）的遞推數列
如：已知，求 （答：）；
（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決，適當注意以下3個公式的合理運用
an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an＝
如：數列｛an｝中,已知,,則=________ （答：）
（6）倒數法形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。
如：（1）已知，求 （答：）；
（2）已知數列滿足=1，，求 （答：）
9、數列的求和
數列求和的常用方法：―――關鍵找通項公式，確定項數。
公式法：⑴ 等差數列的求和公式，⑵ 等比數列的求和公式
分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含因式，周期數列等等）
如：已知數列,滿足an=，求
倒序相加法：在數列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，那么常可考慮選用倒序相加法，（等差數列求和公式）
如：（1）設，，則=_____
（2）已知，則＝___
錯位相減法：（“差比數列”的求和）
如：已知數列,滿足an=(2n-1)2n ，求
裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和，常用裂
項形式有：（1）
（2）
（3） （4）
如：求和： （答：）
四、三角函數
1、三角函數的基本概念
⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧長公式：；扇形面積公式：。
如：已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。 （答：2）
2、函數y=b（） ①五點法作圖;
②振幅 相位 初相 周期T=,頻率 φ=kπ時奇函數;φ=kπ+時偶函數.單調增（減）區間，如增區間可有（）來求出的范圍
③對稱軸處y取最值,對稱中心處值為0;余弦正切可類比.
如：（1）函數的奇偶性是______ （答：偶函數）；
（2）已知函數為常數），且，則___－5___
（3）函數的圖象的對稱中心和對稱軸分別是__________、____________ 、；
（4）已知為偶函數，求的值。
（5）函數為增函數的區間是__ _____（錯因不注意內層函數的單調性。）（答：）
(6) 已知函數,設為常數，若在區間上是增函數，求的取值范圍 (答：)
④變換:φ正左移負右移；b正上移負下移;
（1）要得到函數的圖像，只需將的圖像向左平移 個單位 （答：）
（2）將函數的圖像沿軸向右平移個單位（）所得的圖像關于軸對稱，求的最小值是 （答：）
3、同角基本關系：，=，.
如：已知，則＝____；＝____（；）；
4、正弦、余弦的誘導公式，誘導公式簡記:奇變偶不變,符號看象限．(注意：公式中始終視為銳角)
如：若，，則角的終邊在第_______________象限。
5、（1）和（差）角公式
① ②
③.
如：已知tan tan是方程x2+3x+4=0的兩根，若，(-)，則+=_________ （答：）
錯因：沒有準確限制角的范圍。
（2）二倍角公式
①；②；
③
變形公式：
如：（1）函數的單調遞增區間為___________（答：）
（2）＝　　 （答：2）
（3）已知，那么的最大值和最小值分別是_______ （答：7或）
（4）已知,則的取值范圍是______ （答：）
巧變角：如，，，，等），
如：（1）已知，，那么的值是_____ （答：）；
（2）已知為銳角，，，則與的函數關系為______
（答：）
6、輔助角公式中輔助角的確定：(其中)
如：如果是奇函數，則= (答：－2)；
7、正弦定理:2R===; （是外接圓直徑）
①；
②； 內切圓半徑r=
余弦定理：a=b+c-2bc;； ABC中，
三角形內角和定理 ：在△ABC中，有
.
術語:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準方向為起點（一般為北方），依順時針方式旋轉至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱之。方位角α的取值范圍是：0°≤α＜360°
如：（1）已知銳角三角形中，邊長滿足，且，則另一邊長= 答：
（2）在中，分別是的對邊長，已知.
(Ⅰ)若,求實數的值; （答：）
(Ⅱ)若,求面積的最大值. （答：）
五、平面向量
1、向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)、共線向量、相等向量如：與向量平行的單位向量________________，垂直的單位向量________________。（答：（）；（））
2、向量加法與減法運算
①代數運算：(1) ;；
(2)若=（）, =（）則=（）．
②幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。
以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量=+,
=－,=－.且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
如：已知在平面直角坐標系中，O (0,0), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 動點P (x,y)滿足： 0≤≤1,0≤≤1,則的最大值為 （答：4）
3、實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量。
①︱︱=︱︱·︱︱；
(1) 當＞0時，與的方向相同；當＜0時，與的方向相反；當=0時，=．
(2)若=（），則·=（）．
②兩個向量共線的充要條件：
(1) 向量與非零向量共線的充要條件是：有且僅有一個實數，使得=．
(2) 若=（）, =（）則∥
4、向量的數量積
①向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, = ,則∠AOB= （）叫做向量與 的夾角（兩個向量必須有相同的起點）。
②兩個向量的數量積：兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos．
其中向量在方向上的投影為︱︱cos．且︱︱cos＝
③向量的數量積的性質：若=（）, =（）
（1）·=·=︱︱cos (為單位向量)；
（2）⊥·=0；
（3）︱︱= ； （4）cos= =．
④向量的數量積的運算律：
·= ·； ()·=(·)=·()； (＋)·=·+ ·．
注意：①與向量垂直且模相等的向量為或；
②在平分線上的向量可以記為
③向量與向量夾角為銳角·且、不共線；
④向量與向量夾角為鈍角·且、不共線。
如：已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是
（答：或且）；
5、平面向量基本定理
（1）若、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，，使得=+ ．
（2）有用的結論：若、是同一平面內的兩個不共線向量，若一對實數，，使得 + =，則==0.
特別：＝則是三點P、A、B共線的充要條件如平面直角坐標系中，為坐標原點
如：已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_____ __ （答：直線AB）
6、三角形中一些向量結論：在中，
①為的重心，特別地為的重心；②為的垂心；
③向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
如：（1）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為_ ___
（答：直角三角形）
（2）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為_ __ （答：2）
（3）設點O在△ABC的內部且滿足:，現將一粒豆子隨機撒在△ABC中，則豆子落在△OBC中的概率是______________ （答：）
（4）若點是的外心，且，則的內角為__ __ （答：）
（5）O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足,則P的軌跡一定通過△ABC的 心 （答：內心）
（6）為平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，若( -)·(+-2)=0，則ABC是 三角形 （答:等腰三角形）
（7）已知是平面上不共線三點，設為線段垂直平分線上任意一點，若，，則的值為 （答：12）
（8）等邊三角形ABC中，P在線段AB上,且，若，則實數的值是_______ （答：）
7、 P分的比為,則=,＞0內分;＜0且≠-1外分.
若λ＝1 則＝(+);設P(x,y),P1(x1,y1)，中點（x,y） 重心（x,y）
8、點按平移得,則＝ 或 函數按平移得函數方程為：
如：（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點_____（答：（－８，３））；
（2）函數的圖象按向量平移后，所得函數的解析式是，則＝________（答：）
六、不等式
1、注意課本上的幾個性質，另外需要特別注意：
①若ab>0，則。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數，不等號方向要改變。
②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。
如：已知，，則的取值范圍是______（答：）；
2、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數指數冪的代數式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數的單調性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法 ；(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。
如：（1）設，比較的大小 （答：當時，（時取等號）；當時，（時取等號））；
（2）設，，，試比較的大小 （答：）
3、常用不等式：若，（1）（當且僅當時取等號） ；
（2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）；
（3）若，則（糖水的濃度問題）。
如：如果正數、滿足，則的取值范圍是_________ （答：）
基本變形：① ； ；
注意：①一正二定三取等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方；
如：①函數的最小值 （答：8）
②若若，則的最小值是______ （答：）；
③正數滿足，則的最小值為______ （答：）；
4、(何時取等？)；|a|≥a；|a|≥－a
5、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分配方)--定號.另:商比 ②綜合法--由因導果; ③分析法--執果索因; ④反證法--正難則反。 ⑤放縮法方法有：
⑴添加或舍去一些項，如：；
⑵將分子或分母放大（或縮小）
⑶利用基本不等式，如：；
⑷利用常用結論：
Ⅰ、；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
⑥換元法：常用的換元有三角換元和代數換元。如：
已知，可設；
已知，可設()；
已知，可設；
已知，可設；
⑦最值法,如：a>fmax(x),則a>f(x)恒成立.
6、解絕對值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法);③兩邊平方
④公式法：|f(x)|>g(x) ;|f(x)|7、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號.奇穿偶回
如：（1）解不等式。（答：或）；
（2）解不等式（答：時，；時，或；時，或）
七、立幾幾何
1、 位置和符號 ①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法
②直線與平面: a∥α、a∩α=A (aα) 、aα
③平面與平面:α∥β、α∩β=a
2、常用定理:①線線平行:;; ;
②線面平行：;;
③面面平行:;
④線線垂直:;直線所成角；
⑤線面垂直:;;
⑥面面垂直：二面角成; ;
3、求空間角
①異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：平移法
如：（1）正四棱錐的所有棱長相等，是的中點，那么異面直線與所成的角的余弦值等于____（答：）；
（2）在正方體AC1中，M是側棱DD1的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點，則OP與AM所成的角的大小為___ _ （答：90°）；
②直線和平面所成的角：（1）范圍；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。：（3）求法：作垂線找射影或求點線距離
如：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角正弦值為______（答：）；
（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；
4、平行六面體→直平行六面體→長方體→正四棱柱→正方體間聯系
三棱錐中:側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底面射影為底面外心;側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底面射影為底面垂心;斜高相等(側面與底面所成相等)頂點在底面射影為底面內心;
正三角形四心（內心、外心、垂心、重心） 內切、外接圓半徑 正三棱錐與正四面體的關系
5、平面圖形翻折(展開):注意翻折(展開)后在同一平面圖形中角度、長度不變; 如：
如圖甲，在直角梯形中，，，，是的中點. 現沿把平面折起，使得（如圖乙所示），、分別為、邊的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）在上找一點，使得平面.
6、等積法關鍵是要找到與面垂直的直線，即底面上的高如：如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a， P為AB的中點.
（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面體PCEF的體積.
7、外接球、內切球半徑求法： 模型法、等積法與直接求法：已知球O點面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O體積等于____ （）注：三棱錐是長方體或正方體的一部分（）
8、 常用轉化思想: ①構造四邊形、三角形把問題化為平面問題 ②將空間圖展開為平面圖
③等體積轉化 ④線線平行線面平行面面平行
⑤線線垂直線面垂直面面垂直
八、解析幾何
(一)直線
1、傾斜角α∈[0,π與斜率：任何直線都有傾斜角，但只有傾斜角不等于直角的直線才有斜率。 α=900斜率不存在; 時,斜率k=tanα=
如：（1）直線過定點，且與以為端點的線段PQ相交，則的斜率的取值范圍是 （答：）
（2）若，則直線的傾斜角的取值范圍是____（答：）
2、直線方程:點斜式 y-y1=k(x-x1); 斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0
兩點式:; 截距式:(a≠0;b≠0);
確定直線的幾何要素（兩個點、一點和方向），求直線方程時要防止由于零截距和無斜率造成丟解, 直線Ax+By+C=0的方向向量為=(A,-B)，直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為零，直線在兩軸上的截距相等直線的斜率為或直線過原點；
如：（1）過點A（1，2）作直線，使它在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則滿足條件的直線的條數是 （答：3）
（2）一條直線過點且在兩坐標軸上的截距相等，則滿足條件的直線方程為_________________
（答：）
（3）直線 l 經過點（-2，3），且原點到直線l的 距離是2，直線l的方程
（答：）
（4）若一條直線經過點，且與兩點的距離相等，則該直線的方程為___________
（答：）
（5）過點（1，2）的直線與x軸的正半軸、y的正半軸分別交于A,B兩點，當的面積取最小值時，直線的方程是___________________ （寫成截距式） （答：）
3、兩直線平行和垂直
①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 則l1∥l2k1∥k2,b1≠b2; l1⊥l2k1k2=-1
②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1⊥l2A1A2+B1B2=0；
③若A1、A2、B1、B2都不為零l1∥l2;
如：設直線和，當 時，； （答：）
4、點線距d=;兩平行線之間的距離：
如：已知兩點到直線的距離均等于，且這樣的直線可作4條，則的取值范圍是 （答：）
(二)圓
1、圓的方程:標準方程(x－a)2+(y－b)2=r2; 一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
直徑式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
確定圓的幾何要素（圓心和半徑、不在同一條直線上的三個點等）
2、點與圓，直線與圓以及圓與圓的位置關系：
（1）P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2內(上、外)(x0-a)2+(y0-b)2r2) 設圓的直徑為AB，則
（2）直線與圓相交（相切，相離）有兩（一，零）個公共點
（3）圓與圓的位置關系轉化為圓心距與半徑的關系。設圓心距為d,兩圓半徑分別為r,R,則d>r+R兩圓相離;d＝r+R兩圓相外切;|R－r|把兩圓x2+y2+D1x+E1y+C1=0與x2+y2+D2x+E2y+C2=0方程相減即得相交弦所在直線方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;
3、圓的切線方程，切線長公式，切點弦方程，直線和圓相交的弦長，與圓相關的幾何性質直線與圓關系,常化為線心距與半徑關系，如：用垂徑定理,構造Rt△解決弦長問題，過圓x2+y2=r2上點P(x0,y0)的切線為:x0x+y0y=r2;過圓x2+y2=r2外點P(x0,y0)作切線后切點弦方程:x0x+y0y=r2;過圓外點作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.
如：(1)過點與圓切于點B的圓的方程為
（答：）
(2) 當實數滿足時，變量的取值范圍是________ （答：）
（3）曲線有兩個交點，則k的取值范圍為 （答：）
（4）設過點的直線的斜率為，若圓上恰有三點到直線的距離等于1，則的值為 （答：1或7）
(三)圓錐曲線
1、橢圓 ①方程(a>b>0);參數方程
②定義:=e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2c ③e=,a2=b2+c2 ④長軸長為2a，短軸長為2b
⑤焦半徑左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦點弦,右焦點弦
⑥準線x=、通徑(最短焦點弦),焦準距p=
⑦=,當P為短軸端點時∠PF1F2最大, 近地a-c 遠地a+c;
如：（1）中心在原點，離心率為，焦點到相應準線距離是3的橢圓方程是 （答：）
（2）橢圓的焦點為F1,F2，若P在橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么是 的 倍 （答：7）
（3）P為曲線上一動點，F為右焦點，設點A，則的最小值為 ___ （答：21）
（4）若直線與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是 （答：）
（5）直線與圓，相交于。若，則的值為 （答：）
（6）已知分別是橢圓的左、右焦點，過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點，若為銳角三角形，則橢圓的離心率的范圍是___________（答:）
（7）設分別是橢圓的左頂點與右焦點，若在其右準線上存在點，使得線段 的垂直平分線恰好經過點，則該橢圓的離心率的取值范圍是__________ （答：）
2、雙曲線：①方程(a,b>0) ②定義:=e>1;|PF1-PF2|=2a<2c
③e=,c2=a2+b2 ④四點坐標？x,y范圍 實虛軸、漸近線交點為中心
⑤焦半徑、焦點弦用第二定義推(注意左右支及左右焦點不同);到焦點距離常化為到準線距離
⑥準線x=、焦準距p= ⑦漸近線或;焦點到漸近線距離為b;
如：（1）過雙曲線的左焦點的直線與雙曲線的左支交于P、Q兩點，且弦長|PQ|=7，是雙曲線的右焦點，則的周長是 （答：）
（2）已知兩點A（－3，0）B（3，0），若|PA|－|PB|=2，則點P的軌跡方程為 （答：）
（3）雙曲線的離心率,則實數的取值范圍是 （答：）
（4）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是 （答：）
3、拋物線：①方程y2=2px ②焦半徑;焦點弦＝x1+x2+p;y1y2=－p2,x1x2=其中A(x1,y1)、B(x2,y2)
4、相交弦問題： ①用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后,注意用判別式、韋達定理、弦長公式;注意二次項系數為0的討論;注意對參數分類討論和數形結合、設而不求思想的運用;注意焦點弦可用焦半徑公式,其它用弦長公式
②涉及弦中點與斜率問題常用“點差法”.
7、解題注意:①考慮圓錐曲線焦點位置,拋物線還應注意開口方向,以避免錯誤
②求圓錐曲線方程常用待定系數法、定義法、軌跡法
③焦點、準線有關問題常用圓錐曲線定義來簡化運算或證明過程
④運用假設技巧以簡化計算.如:中心在原點,坐標軸為對稱軸的橢圓(雙曲線)方程可設為Ax2+Bx2＝1;共漸進線的雙曲線標準方程可設為為參數,≠0);拋物線y2=2px上點可設為(,y0);直線的另一種假設為x=my+a;
⑤解焦點三角形常用正余弦定理及圓錐曲線定義.
8、解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：
（1） 給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過的中點;
（3）給出,等于已知是的中點;
（4）給出,等于已知與的中點三點共線;
（5）給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等于已知三點共線.
（6） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,
（7）給出,等于已知是的平分線/
（8）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（10）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（11） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
（12）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
（13）在中，給出等于已知通過的內心；
（14）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；
（15） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;
九、概率、統計與統計案例部分
1、概率公式：
⑴互斥事件（有一個發生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：；
如：（1）一只螞蟻在邊長為4的正三角形內爬行，某時刻此螞蟻距三角形三個頂點的距離均超過1的概率為 （答：）
(2)一枚半徑為1的硬幣隨機落在邊長為3的正方形所在平面內，且硬幣一定落在正方形內部或與正方形有公共點，則硬幣與正方形沒有公共點的概率是 （答：）
2、抽樣方法
⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。
注：①每個個體被抽到的概率為；②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數法。
⑵系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預先制定的
規則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣。
注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號；
④按預先制定的規則抽取樣本。
⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。
注：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數
3、總體特征數的估計：
⑴樣本平均數；
⑵樣本方差 ；
⑶樣本標準差= ；
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