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模塊二: 不等式的性質及基本不等式
1、不等關系與不等式
1) 在客觀世界中, 量與量之間的不等關系是普遍存在的, 用數學 們之間的不等關系. 含有這些不等號的式子叫做不等式.
2) 用“<” 或“>” 連接的不等式叫嚴格不等式,用“ ” 或 “ ” 連 接的不等式叫非嚴格不等式.
3) 常見的文字語言轉化為符號語言的對應關系:
文字 大于,高于, 小于,低于, 大于或等于， 小于或等于，
語言 超過 少于 至少,不低于 至多，不超過
符號 語言 > <
2、實數大小比較的依據
關于實數 大小的比較,有以下基本事實:
如果 是正數,那么 ; 如果 等于 0,那么 ; 如果 是負數, 那么 . 反過來也對.
這個基本事實可以表示為
從上述基本事實可知, 要比較兩個實數的大小, 可以轉化為比較它們的差與 0 的大小.
3、等式的性質
性質 1 如果 ,那么 ;
性質 2 如果 ,那么 ;
性質 3 如果 ,那么 ;
性質 4 如果 ,那么 ;
性質 5 如果 ,那么 .
4、不等式的性質
名稱 性質內容 注意
性質 1 對稱性 可逆
性質 2 傳遞性 同向
性質 3 可加性 可逆
移項法則 可逆
性質 4 可乘性 - 的符號
○ 溫馨提示
性質 4 不可逆
名稱 性質內容
性質 5 同向可加性 同向
性質 6 同向同正可乘性 同向同正
性質 7 可乘方性 同正
1. 倒數法則
(1)如果 ,那么 ;
(2)如果 ,那么 .
2、基本不等式
(1) 重要不等式:
對任意實數 ,都有 ,當且僅當 時,等號成立.
證明:
(2) 基本不等式
如果 ,則 ,當且僅當 是,等號成立.
其中 叫做正數 的算術平均數, 叫做正數 的幾何平均數.
基本不等式表明: 兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.
探究
在圖 2.2-1 中, 是圓的直徑,點 是 上一點,
圖 2.2-1
. 過點 作垂直于 的弦 ,連接 , . 你能利用這個圖形,得出基本不等式的幾何解釋嗎
(3) 基本不等式與重要不等式的區別與聯系
用 代替 ,
1) 基本不等式可由重要不等式通過代換推導出來. 用 代替 .
2) 成立的條件是 ,而 成立的條件是 ,其中 不僅可以是實數,也可以是代數式. 使用以 上兩種不等式時, 要明確每個不等式成立的前提.(4) 基本不等式變形
1) . (基本不等式鏈)
○ 基本不等式鏈的幾何意義
若 ,
則 由 易
求),由圖形易知 .
2) ,即 .
3) . 調和平均數 幾何平均數 平方平均數.
當且僅當 時,以上各式中等號成立.
(5) 最值定理
已知 都是正數, .
1. 如果積 等于定值 ,那么當 時,和 有最小值 .
2. 如果和 等于定值 ,那么當 時,積 有最大值 .
最值定理簡記：積定和最小, 和定積最大.
(6) 基本不等式拓展
1) 三元基本不等式
當且僅當 時,等號成立.
2) 元基本不等式
均為正實數 ,
當且僅當 時,等號成立.
【課本優質習題匯總】
新人教 A 版必修一 P43
10. 已知 克糖水中含有 克糖 ,再添加 克糖 (假設全部溶解),糖水變 甜了. 請將這一事實表示為一個不等式, 并證明這個不等式成立.
11. 已知 ,求證 .
12. 火車站有某公司待運的甲種貨物 ,乙種貨物 . 現計劃用 兩種型號的貨廂共 50 節運送這批貨物. 已知 甲種貨物和 乙種貨物可裝滿一節 型貨廂, 甲種貨物和 乙種貨物可裝滿一節 型貨廂,據此安排 兩種貨廂的節數,共有幾種方案 若每節 型貨廂的運費是 0.5 萬元, 每節 B 型貨廂的運費是 0.8 萬元, 哪種方案的運費較少
新人教 A 版必修一 P49
7. 一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金. 一位顧客到店里購買 黃金,售貨員先將 的砝碼放在天平左盤中,取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡; 再將 的砝碼放在天平 右盤中, 再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡; 最后將兩次稱得的黃金交給顧客. 你認 為顧客購得的黃金是小于 ,等于 ,還是大于 為什么
8. 設矩形 的周長為 ,把 沿 向 折疊, 折過去后 交 于點 . 設 ,求 的最大面積及相應 的值.
新人教 A 版必修一 P58
5. 若 ,且 ,求 的取值范圍. 新人教 B 版必修一 P60
求方程 的解集.
(2) 已知 求 的值.
(3) 已知關于 的方程 的兩根為 與 ,若 ,求實數 的值.
(4) 求關于 的方程 的解集,其中 是常數.
(5) 求關于 的方程 的解集,其中 是常數.
新人教 B 版必修一 P80
(1) 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值時 的值.
(2) 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值時 的值.
(3) 已知 都是正數,求證: .
(4) 用一段長為 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形萊地（墻的長大于 ),矩形 的長、寬各為多少時, 萊地的面積最大 并求出這個最大值.
新人教 B 版必修一 P81
(1) 已知 都是正實數,求證: .
(2) 已知使不等式 成立的任意一個 ,都滿足不等式 , 求實數 的取值范圍.新人教 B 版必修一 P81
(3) 已知 ,求 的最小值,以及 取得最小值時 的值.
(4) 設矩形 (其中 ) 的周長為 24,如圖所示,把它沿對角線 對折后, 交 于點 . 設 ,求 的最大面積.
(第 4 題)
(5) 已知 都是正數,且 ,求 的最小值.
(3) 設桌面上有一個由鐵絲圍成的封閉曲線,周長是 . 回答下面的問題:
(1) 當封閉曲線為平行四邊形時,用直徑為 的圓形紙片是否能完全覆蓋這 個平行四邊形 請說明理由.
(2) 求證: 當封閉曲線是四邊形時, 正方形的面積最大. 新人教 B 版必修一 P84
9. (1) 比較 與 1 的大小,并證明;
(2) 已知 都是正實數,且 ,試比較 與 的大小,并 證明.
新人教 B 版必修一 P85
6. 已知 ,求 的最大值,以及 取得最大值時 的值.
7. 已知點 是以 為直徑的圓上任意一點,求 的最大值. 新人教 B 版必修一 P86
14. 有一支隊伍長 ,以速率 勻速前進. 排尾的傳令兵因傳達命令趕 赴排頭, 到達排頭后立即返回, 往返速率不變. 回答下列問題:
(1) 如果傳令兵行進的速率為整個隊伍行進速率的 2 倍, 求傳令兵回到排尾時 所走的路程;
(2) 如果傳令兵回到排尾時,全隊正好前進了 ,求傳令兵行走的路程.新人教 B 版必修一 P86
1. 已知 ,求證: .
2. 求證: 是 的充要條件.
3. 某電話號碼可以看成一個八位數, 將前四位數組成的數與后四位數組成的數 相加得 14741, 將前三位數組成的數與后五位數組成的數相加得 59453, 求此電話 號碼對應的八位數.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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