資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題21 同角三角函數的基本關系及誘導公式（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】同角三角函數基本關系式的應用 3
【考點2】誘導公式的應用 5
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 8
【培優篇】 9
考試要求：
1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用單位圓中的對稱性推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.
1.同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數關系：＝tan α.
2.三角函數的誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口訣 奇變偶不變，符號看象限
1.同角三角函數關系式的常用變形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.
3.在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2021·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·全國·高考真題）若，則 ．
5．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則 ．
6．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
【考點1】同角三角函數基本關系式的應用
一、單選題
1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·黑龍江·階段練習）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x、縱坐標y都是角的函數.下面給出這些函數的定義：
①把點P的縱坐標y叫作的正弦函數，記作，即；
②把點P的橫坐標x叫作的余弦函數，記作，即；
③把點P的縱坐標y的倒數叫作的余割，記作，即；
④把點P的橫坐標x的倒數叫作的正割，記作，即.
下列結論正確的有（ ）
A．
B．
C．函數的定義域為
D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）設，則函數的最大值為 ．
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，則 .
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【考點2】誘導公式的應用
一、單選題
1．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·山東棗莊·一模）已知函數，則（ ）
A．的最大值為2
B．在上單調遞增
C．在上有2個零點
D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于原點對稱
4．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經過點，，定義，，則（ ）
A． B．
C．若，則 D．是周期函數
三、填空題
5．（2024·貴州畢節·一模）已知，則 .
6．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個非常優美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯系，在如圖所示的五角星中，以為頂點的多邊形為正邊邊形，設，則 ， ．

反思提升：
(1)誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用
一、單選題
1．（2021·四川達州·一模）中，，，，則邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·模擬預測）設，，則“”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，為其終邊上一點，若角的終邊與角的終邊關于直線對稱，則（ ）
A． B．
C． D．角的終邊在第一象限
三、填空題
5．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則 ．
6．（2024·黑龍江·二模）已知函數滿足：，則 ．
反思提升：
1.利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數值符號的影響.
2.用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有－α與＋α，＋α與－α，＋α與－α等，常見的互補關系有－θ與＋θ，＋θ與－θ，＋θ與－θ等.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·模擬預測） 若角的終邊在第三象限，則下列三角函數值中小于零的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·西藏日喀則·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）已知函數，若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·浙江·模擬預測）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習）計算下列各式的值，其結果為2的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山東·模擬預測）若，且，則（ ）
A．
B．
C．在上單調遞減
D．當取得最大值時，
三、填空題
8．（2024·全國·二模）已知，則 .
9．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則 ．
10．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
四、解答題
11．（21-22高二下·吉林·階段練習）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習）（1）已知角終邊上一點，求的值；
（2）化簡求值：
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河南周口·模擬預測）設，，則下列計算正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則
三、填空題
3．（2024·廣東江門·一模）函數的定義域為，對任意的，，恒有成立.請寫出滿足上述條件的函數的一個解析式 .
四、解答題
4．（2023·河南·模擬預測）已知函數.
(1)若，求的值；
(2)設，求函數的最小值.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧丹東·一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·山東聊城·二模）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．若動直線與的圖象的交點分別為，則的長可為
B．若動直線與的圖象的交點分別為，則的長恒為
C．若動直線與的圖象能圍成封閉圖形，則該圖形面積的最大值為
D．若，則
三、填空題
3．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知為數列的前項和，若，設函數，則
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題21 同角三角函數的基本關系及誘導公式（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 5
【考點1】同角三角函數基本關系式的應用 5
【考點2】誘導公式的應用 9
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用 13
【分層檢測】 16
【基礎篇】 16
【能力篇】 23
【培優篇】 26
考試要求：
1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用單位圓中的對稱性推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.
1.同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數關系：＝tan α.
2.三角函數的誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口訣 奇變偶不變，符號看象限
1.同角三角函數關系式的常用變形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.
3.在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2021·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·全國·高考真題）若，則 ．
5．（2023·全國·高考真題）若為偶函數，則 ．
6．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
參考答案：
1．B
【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.
【詳解】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2．A
【分析】由三角函數的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為可得：
當時，，充分性成立；
當時，，必要性不成立；
所以當，是的充分不必要條件.
故選：A.
3．D
【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：D.
4．
【分析】根據同角三角關系求，進而可得結果.
【詳解】因為，則，
又因為，則，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案為：.
5．2
【分析】利用偶函數的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數，
所以.
故答案為：2.
6．
【分析】先通過誘導公式變形，得到的同角等式關系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數方程，可求出，接下來再求．
【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
[方法二]：直接用同角三角函數關系式解方程
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則.
故答案為：；.
【考點1】同角三角函數基本關系式的應用
一、單選題
1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·黑龍江·階段練習）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x、縱坐標y都是角的函數.下面給出這些函數的定義：
①把點P的縱坐標y叫作的正弦函數，記作，即；
②把點P的橫坐標x叫作的余弦函數，記作，即；
③把點P的縱坐標y的倒數叫作的余割，記作，即；
④把點P的橫坐標x的倒數叫作的正割，記作，即.
下列結論正確的有（ ）
A．
B．
C．函數的定義域為
D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）設，則函數的最大值為 ．
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，則 .
參考答案：
1．A
【分析】先根據平方關系求出，再根據結合兩角差的正弦公式即可得解.
【詳解】因為，所以，有，
所以
.
故選；A.
2．D
【分析】由兩角差的余弦公式結合二倍角的余弦公式化簡可得出的值，再利用可求得的值.
【詳解】因為，則，，所以，，
由可得，
所以，，
所以，，故.
故選：D.
3．BD
【分析】先根據三角函數的定義求出的三角函數值，再結合二倍角的余弦公式和兩角和的正切公式逐一計算即可.
【詳解】因為角的終邊過點，所以，
所以，，，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確．
故選：BD．
4．ABD
【分析】根據正余弦函數及余割正割的定義逐一判斷即可.
【詳解】，A正確；
，B正確；
函數的定義域為，C錯誤；
，
當時，等號成立，D正確.
故選：ABD.
5．
【分析】平方后，設，得到，，根據函數單調性得到最值，得到答案.
【詳解】設，，兩邊平方得．
設，兩邊平方得，
則，
由于，，則，，
又由于在區間上單調遞增，
所以當時,的最大值為，
則在區間上的最大值為．
故答案為：
6．/0.875
【分析】根據弦切互化可得，平方得，即可根據完全平方求解.
【詳解】由得，平方可得，
故，
，
故答案為：
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【考點2】誘導公式的應用
一、單選題
1．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·山東棗莊·一模）已知函數，則（ ）
A．的最大值為2
B．在上單調遞增
C．在上有2個零點
D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于原點對稱
4．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經過點，，定義，，則（ ）
A． B．
C．若，則 D．是周期函數
三、填空題
5．（2024·貴州畢節·一模）已知，則 .
6．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個非常優美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯系，在如圖所示的五角星中，以為頂點的多邊形為正邊邊形，設，則 ， ．

參考答案：
1．D
【分析】設，則，根據誘導公式及二倍角公式可得，根據誘導公式和弦切互化得，代入并利用同角三角函數關系求解即可.
【詳解】設，則，，
所以，，
所以.
故選：D
2．D
【分析】由降冪公式求出，再結合誘導公式求解即可．
【詳解】由已知得，，即，
則，
故選：D．
3．AC
【分析】根據誘導公式化簡，則可判斷A選項；整體代入法計算的范圍可判斷BC選項；由圖象的平移可判斷D選項.
【詳解】函數
．
選項A：，，故最大值為2，A正確；
選項B：時，，不單調遞增，故B錯誤；
選項C：時，，可知當以及時，即以及時，在上有2個零點，故C正確；
選項D：的圖象向左平移個單位長度，得到，不關于原點對稱，故D錯誤.
故選：AC．
4．ACD
【分析】根據題意分別求出，，則，，從而可對A判斷求解，利用換元法令可對B判斷求解，由求出，并結合從而可對C判斷求解，由可對D判斷求解.
【詳解】由題意得在角的終邊上，且，所以，，
則，，
對A：，故A正確；
對B：，令，
所以，故B錯誤；
對C：，解得，
又由，故C正確；
對D：，因為為周期函數，故D正確.
故選：ACD.
5．/
【分析】利用誘導公式和余弦和兩角和公式可得.
【詳解】因為
，
所以.
故答案為：
6． 0 /0.0625
【分析】由正五角星的性質，求得，進而根據誘導公式及二倍角公式計算即可.
【詳解】正五角星可分割成5個3角形和1個正五邊形,五個3角形各自角度之和
正五邊形的內角和；每個角為，
三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為，
三角形內角和為，那么三角形頂角，即五角星尖角，
即.
;
因為,
所以.
故答案為：；.
反思提升：
(1)誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用
一、單選題
1．（2021·四川達州·一模）中，，，，則邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·模擬預測）設，，則“”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，為其終邊上一點，若角的終邊與角的終邊關于直線對稱，則（ ）
A． B．
C． D．角的終邊在第一象限
三、填空題
5．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則 ．
6．（2024·黑龍江·二模）已知函數滿足：，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】先根據余弦定理求出，然后利用等面積法即可求出邊上的高.
【詳解】在中，設，，，則，，
，且，，
，，，
,,
設邊上的高為，在中利用等面積法，則,
,.
故選:C
2．B
【分析】由可得或，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】由可知，或，，
所以“”是“，”的必要不充分條件．
故選：B．
3．AD
【分析】根據條件求出，由兩角和余弦公式判斷A，由兩角差的余弦公式及同角三角函數基本關系判斷B，再根據角的變換及兩角和的余弦公式求出判斷C，由及余弦函數的單調性判斷D.
【詳解】因為
，，
所以，
所以，故A正確；
所以，
又因為，所以，
所以，故B錯誤；
因為，所以，
所以，
，故C錯誤；
因為，所以，而，
所以，即，由在單調遞減知，，故D正確.
故選：AD
4．ACD
【分析】
根據三角函數的定義，可求角的三角函數，結合誘導公式判斷A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函數值，結合三角函數的概念指出角的終邊與單位圓的交點，由對稱性確定角終邊與單位圓交點，從而判斷BCD的真假.
【詳解】因為角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，
所以：，所以，，所以，故A對；
又，
，
所以的終邊與單位圓的交點坐標為：，
因為角的終邊與角的終邊關于直線對稱，所以角的終邊與單位圓的交點為，
所以，且的終邊在第一象限，故CD正確；
又因為終邊在直線的角為：，角的終邊與角的終邊關于對稱，
所以，故B錯誤.
故選：ACD
5．/
【分析】變形后得到，利用輔助角公式得到，得到，兩邊平方后得到，利用同角三角函數關系求出.
【詳解】由題可知，所以，
所以，
因為，所以，
又，所以，故，
所以，
兩邊平方后得，故，
．
故答案為：
6．
【分析】借助三角恒等變換公式可得，即可得解.
【詳解】，
則，
則
.
故答案為：.
反思提升：
1.利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數值符號的影響.
2.用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有－α與＋α，＋α與－α，＋α與－α等，常見的互補關系有－θ與＋θ，＋θ與－θ，＋θ與－θ等.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·模擬預測） 若角的終邊在第三象限，則下列三角函數值中小于零的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·西藏日喀則·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）已知函數，若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·浙江·模擬預測）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習）計算下列各式的值，其結果為2的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山東·模擬預測）若，且，則（ ）
A．
B．
C．在上單調遞減
D．當取得最大值時，
三、填空題
8．（2024·全國·二模）已知，則 .
9．（2024·全國·模擬預測）已知函數，則 ．
10．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
四、解答題
11．（21-22高二下·吉林·階段練習）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習）（1）已知角終邊上一點，求的值；
（2）化簡求值：
參考答案：
1．C
【分析】利用切化弦可得，再由兩角和差公式先求，最后由同角基本關系式求解.
【詳解】因為，則，則，
所以，
而，則，
所以.
故選：C
2．D
【分析】根據三角函數定義和誘導公式化簡三角函數式，從而判斷選項的正負.
【詳解】因為角的終邊在第三象限，所以
對于A，
對于B，
對于C，；
對于D，
故選：D
3．D
【分析】應用倍角公式化簡得，兩邊平方即可得結果.
【詳解】由，則，
所以，故.
故選：D
4．B
【分析】先利用導數證得在上單調遞增，再利用條件得到，結合單調性即知，最后代入求值即可.
【詳解】因為，所以.
所以在上單調遞增.
因為，
所以
，
結合在上單調遞增，知，即.
所以.
故選：B.
5．AD
【分析】根據函數圖象平移結論逐項檢驗可得結論.
【詳解】把函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數的圖象，A正確；
把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數的圖象，B錯誤；
把函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數的圖象，C錯誤；
把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數的圖象，D正確；
故選：AD.
6．ABC
【分析】利用和角公式可求值驗證A項，運用輔助角公式和誘導公式可得B項，運用兩角和的正切公式可以驗證C項，利用倍角公式和誘導公式可以判定D項.
【詳解】對于選項A，，故A項正確；
對于選項B，，故B項正確；
對于選項C，
，故C項正確；
對于選項D，
，故D項錯誤．
故選：ABC．
7．AC
【分析】根據同角關系即可求解，，即可判斷AB,根據三角函數的性質即可求解CD.
【詳解】由可得，所以，故，
對于A, ，故A正確，
對于B，，故B錯誤，
對于C，，則，由于，，
所以在上單調遞減，故C正確，
對于D，，當時取最大值，
故，故D錯誤，
故選：AC
8．/0.28
【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式計算即可.
【詳解】，
得，
解得或（舍）
所以.
故答案為：.
9．5
【分析】由分段函數的性質，先確定自變量的范圍，層層代入化簡即可.
【詳解】．
故答案為：
10．/
【分析】利用三角恒等變換化簡算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得結果.
【詳解】，，
所以，
而，
因此原式.
故答案為：.
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據角的范圍確定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根據弦切齊次式即可求解.
【詳解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
12．（1）；（2）2
【分析】（1）根據三角函數的定義得到，利用誘導公式化簡后，代入，求出答案；
（2）利用對數運算法則計算出結果.
【詳解】（1）因為角終邊上一點，
所以，
所以
（2）
.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河南周口·模擬預測）設，，則下列計算正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則
三、填空題
3．（2024·廣東江門·一模）函數的定義域為，對任意的，，恒有成立.請寫出滿足上述條件的函數的一個解析式 .
四、解答題
4．（2023·河南·模擬預測）已知函數.
(1)若，求的值；
(2)設，求函數的最小值.
參考答案：
1．C
【分析】根據結合可得與，進而可得.
【詳解】則，
即，
又因為，故，，，
故，因為，則，
結合可得，，則.
故.
故選：C
2．AD
【分析】由兩角和差的余弦公式判斷A，利用二倍角公式及同角三角函數關系判斷B，化弦為切，結合兩角和差的正余弦公式求解判斷C，利用二倍角公式及三角恒等變換化簡求解判斷D.
【詳解】對于A，因為，，則，，故，
所以，正確；
對于B，因為，所以，
而，所以，又，所以，，
所以，錯誤；
對于C，由得，，所以，
即，因為，，所以，
則或，即或（不合題意，舍去），錯誤；
對于D，，
因為，所以，
即，即，
所以，即，
因為，所以，
所以，所以，正確.
故選：AD
3．（答案不唯一）
【分析】本題屬于開放性問題，只需找到符合題意的函數解析式即可，不妨令，根據兩角和的正弦公式及誘導公式證明即可.
【詳解】依題意不妨令，
則，
又
，
所以，故符合題意.
同理可證明，，，也符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
4．(1)
(2)
【分析】（1）先把函數化成的形式，在結合誘導公式和兩角和與差的三角函數公式求值；
（2）先化簡得表達式，用換元法把問題轉化成二次函數在給定區間上的值域問題求解.
【詳解】（1）因為.
.
.
（2）因為：，.
所以：.
設，則，且，
所以：，
當時，.
所以的最小值為.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧丹東·一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·山東聊城·二模）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．若動直線與的圖象的交點分別為，則的長可為
B．若動直線與的圖象的交點分別為，則的長恒為
C．若動直線與的圖象能圍成封閉圖形，則該圖形面積的最大值為
D．若，則
三、填空題
3．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知為數列的前項和，若，設函數，則
參考答案：
1．A
【分析】首先結合二倍角公式、半角公式以及角的范圍將已知等式變形為，解得，兩邊平方即可求解.
【詳解】因為，所以，所以，
所以
，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得出，由此即可順利得解.
2．BCD
【分析】先判斷函數的單調性及值域，由條件確定的范圍，設點的坐標分別為，列方程化簡可得，由此判斷AB，判斷直線與的圖象能圍成封閉圖形的形狀，結合面積公式判斷C,由條件，結合兩角差余弦公式可求，根據二倍角公式可求，由此判斷D.
【詳解】由，可得，
所以在區間上單調遞減，
且，，
所以，
由，可得，
所以函數在區間上單調遞減，
且，，
所以，
由已知，
所以直線與函數都只有一個交點，
設點的坐標分別為，
則，
，，
因為函數在上單調遞減，
所以，
所以，
所以，A錯誤，B正確，
設直線與函數的交點為，
則，又，
所以四邊形為平行四邊形，其面積，C正確；
對于D，因為，
所以，，
所以，，即，
又，
所以，
所以，又，
所以
所以，D正確；
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：本題AB選項的關鍵是利用正弦型函數的性質得到點橫坐標之間的關系，即.
3．1011
【分析】根據，作差即可求出的通項公式，再由的解析式及誘導公式得到，再利用湊項法求和即可.
【詳解】由于，①，
當時，，所以，
當時，，②，
①②得：，
所以，顯然時，也成立，
當時，，
當時，也滿足上式，所以；
因為，
所以，
所以；
又，
所以
．
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是通過對所求式子的觀察，分析出要研究的和，由此得解.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑