資源簡介

課件82張PPT。義務教育課程標準實驗教科書 數學八年級上冊簡 介 課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心全冊共5章，約需62課時第11章全等三角形 11 課時
第12章軸對稱 13課時
第13章 實數 8課時
第14章一次函數 17 課時
第15章 整式的乘除與因式分解 13 課時第十一章 “全等三角形”簡介　本章的學習目標
　　1．了解全等三角形的概念和性質，能夠
準確地辨認全等三角形中的對應元素。
　　2．探索三角形全等的條件，能利用三角
形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式。
　　3．了解角的平分線的性質，能利用三角
形全等證明角的平分線的性質，會利用角
的平分線的性質進行證明。
本章教學時間約需11課時
11.1 全等三角形 1課時
11.2 三角形全等的判定 6課時
11.3 角的平分線的性質 2課時
數學活動
小結 2課時
本章知識結構框圖本章編寫特點　（一）注重探索結論
安排一系列探究欄目（探究1~8），逐步深入地討論三角形的全等問題。
　　　學完一般三角形全等的條件，讓學生將這些條件運用于直角三角形，討論得出直角三角形全等的條件。對于新出現的問題，又需要學生進一步加以實驗探索。
（二）注重推理能力的培養　 1．注意減緩坡度，循序漸進。
小步前進，每一步都為下一步作準備，下一步又注意復習前一步訓練的內容。
通過精心選擇全等三角形的證明問題，減緩學生學習幾何證明的坡度。
2．在不同的階段，安排不同的練習內容，突出一個重點。
先讓學生會證明兩個三角形全等，然后安排通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等的問題，從而熟悉證明的步驟和方法。
在此之后安排的問題還會涉及以前學過的平行線等內容，重點培養學生會分析思路，會根據需要選擇有關的結論去證明。
3．注重分析思路，讓學生學會思考問題，注重書寫格式，讓學生學會清楚地表達思考的過程。
（三）?? 注重聯系實際 教科書從實際例子引入全等形的概念，并讓學生舉出一些例子。這樣做既可以使學生易于理解相關概念，也可以調動它們學習的積極性。
從分析平分角的儀器的原理引入角的平分線的畫法。
通過確定集貿市場的位置的問題引出“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”的結論，使學生看到理論來自實際的需要。
用三角形全等可以說明實際測量方法的道理，例如，測量池塘兩端的距離，測量河兩岸相對兩點的距離，用卡鉗測量工件的內槽寬。還安排了利用三角形全等測量旗桿高度的數學活動。
幾個值得關注的問題（一）關于內容之間的聯系
在“全等三角形”一節，讓學生通過觀察、思考得出平移、翻折、旋轉前后的圖形全等的結論。這樣處理一方面可以復習鞏固全等三角形的概念，另一方面也使學生在某些情況下容易找到全等三角形的對應元素。
在“全等三角形的判定”一節，三角形的畫法與三角形全等條件的探索相結合，也就是說，三角形全等條件不是直接給出的，而是讓學生畫出與已知三角形某些元素對應相等的三角形，畫完以后，再剪剪量量，在這個基礎上啟發學生想一想，判定兩個三角形全等需要什么條件。這樣讓學生自己動手畫圖實驗，就會對相關結論印象深刻。將三角形的畫法與三角形全等條件的探索相結合，也比單獨講三角形的畫法效果好，單講容易單調枯燥。
作圖內容在本章中是分散安排的，小結時應注意復習本章中涉及的下面幾種作圖：
(1) 作一個角等于已知角;
（2）?已知三邊作三角形；
（3） 已知兩邊和它們的夾角作三角形；
（4）?已知兩角和它們的夾邊作三角形；
（5）?已知斜邊和一條直角邊作直角三角形；
（6）作角的平分線。
本套教科書按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“符號表示推理”的層次逐步培養推理能力。本章集中安排“符號表示推理”的內容。教學中應注意通過書寫三段論格式的證明過程，讓學生感悟推理的必要性，養成良好的推理習慣,掌握推理方法。
（二）關于證明　　證明一個幾何中的命題有以下步驟：
?。?）?根據題意，畫出圖形；
?。?）根據題設、結論，結合圖形，寫　　　 出已知、求證。
?。?）經過分析，找出由已知推出求證的　　 途徑，寫出證明的過程。
在一般情況下，分析的過程不要求寫出來。有些題目中，已經畫好了圖形，寫好了已知、求證，這時只要寫出“證明”一項就可以了。
分析證明命題的途徑，這一步學生比較困難，需要在學習中逐步培養學生的分析能力。
證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”。這些根據，可以是已知條件，也可以是定義、公理、已經學過的重要結論。
在本章中還會遇到通過舉反例說明兩個三角形滿足某些條件不一定全等。判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例。找反例對學生來說是比較困難的，學生在一般情況下不容易發現反例。教師要根據學生的情況進行指導，盡量多發現幾個反例，使學生學會舉反例。
第十二章 軸對稱內容安排本章教學時間約需13課時
12.1 軸對稱 3課時
12.2 作軸對稱圖形 3課時
12.3 等腰三角形 5課時
數學活動
小結 2課時
12.1 軸對稱
軸對稱圖形
兩個圖形成軸對稱
線段的垂直平分線 性質 判定
作對稱軸（線段的垂直平分線） 12.2作軸對稱圖形
作軸對稱圖形
利用軸對稱設計圖案
利用作軸對稱圖形解決實際問題
用坐標表示軸對稱
信息技術應用 探索軸對稱的性質 12.3 等腰三角形
等腰三角形的性質
等邊對等角 三線合一
等腰三角形的判定
等角對等邊
等邊三角形
性質 判定
30°角的直角三角形的性質
實驗與探究 三角形中邊與角之間的不等關系
數學活動 藝術字與軸對稱
鏡子、倒影與軸對稱
等腰三角形中的相等線段 重點
軸對稱的性質
等腰三角形的性質和判定
難點
推理證明
主要編寫特點有機地整合“空間與圖形”領域的相關內容，利用軸對稱研究圖形的性質
利用軸對稱的有關知識研究等腰三角形的性質，再利用全等三角形的知識證明
注意聯系實際
軸對稱圖形
利用軸對稱解釋生活中的現象
利用軸對稱設計圖案
利用軸對稱解決實際問題 注意讓學生經歷觀察、實驗、歸納 論證的過程
將實驗幾何與論證幾何有機結合
觀察 思考 討論 探究 歸納 數學活動
畫圖 折紙 剪紙 度量 做試驗
推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結 論的自然延續
等邊對等角 三線合一幾個值得關注的問題注意知識間的聯系
軸對稱圖形 兩個圖形成軸對稱
區別：一個圖形 兩個圖形
聯系：都有對稱軸
二者可以互相轉化
用坐標表示軸對稱
滿足學生多樣化的學習需求，為學生提供個性化學習的時間和空間
欣賞軸對稱圖案
利用軸對稱進行圖案設計
探究坐標系下軸對稱的特點
發現等腰三角形中相等的線段
注意推理證明的教學
不僅要求學生通過觀察、實驗、探究得出一些有關圖形的結論，還要求學生對這些結論進行證明，使推理證明成為學生探究得出結論的自然延續，進一步體會證明的必要性。
加強證明題前分析的教學
糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，學會選擇簡便方法。
添加輔助線的問題
重視現代信息技術工具的應用
利用計算機軟件探索軸對稱的性質
探索軸對稱的點的坐標的特點
探索線段垂直平分線的性質
利用計算機軟件進行圖案設計 第十三章 實數本章教學時間約需8課時
13．1　平方根 3課時　　　
13．2 立方根 2課時　　　　　
13．3　實數　　　　　　　　　　　　2課時　　　　　　　　　　　　　　　　
數學活動
小　結 1課時　本章的學習目標
　1．了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根；
2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用立方運算求某些數的立方根，會用計算器求平方根和立方根；
3．了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，有序實數對與平面上的點一一對應；了解數的范圍由有理數擴大到實數后，一些概念、運算等的一致性及其發展變化；
4．能用有理數估計一個無理數的大致范圍．本章編寫特點?。ㄒ唬┘訌娕c實際的聯系
算術平方根是從已知正方形的面積求它的邊長、立方根是從已知立方體的體積求它的邊長等典型的實際問題引出的． （二）加強知識間的聯系　對于絕對值和相反數的概念，實數的運算法則和運算性質，平方與開平方、立方與開立方的互為逆運算關系等都是在有理數的基礎上展開的。
（三）??留給學生探索的空間根據本章內容的特點，對于一些重要的概念和結論，編寫時注意了讓學生通過思考、探究得出結論． 幾個值得關注的問題（一）把握教學要求
本章通過一個例題學習了實數的簡單運算，安排這個例題的目的是要說明有理數的運算法則和運算性質等在實數范圍內仍然成立，關于實數的運算在后面的“二次根式”一章中還要繼續研究．（二）發揮計算器的作用，加強估算能力的培養　本章專門安排了利用計算器求數的平方根和立方根以及利用有理數估計無理數的大致范圍等內容． （三）重視人文教育 可以結合無理數的發現，挖掘數學知識的文化內涵，使學生感受豐富的數學文化的熏陶，開闊他們的眼界，增長他們的見識。第十四章“一次函數”簡介 全章共包括三節：
14．1 變量與函數 (基礎部分）
14．2 一次函數 (重點部分）
14．3 用函數觀點看方程
（組）與不等式 (引申部分）
14.4 課題學習 選擇方案

函數的概念是數學中極為重要的基本概念，它的抽象性較強，接受并理解它有一定難度，這也是本章的難點.

變化與對應的思想體現在函數 概念之中，用運動變化的眼光，以函數為工具，從數量關系和圖象兩方面動態地分析問題，是本章學習的特點.本章知識結構框圖
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課程學習目標 1．以探索實際問題中的數量關系和變化規律為背景，經歷“找出常量和變量，建立并表示函數模型，討論函數模型，解決實際問題”的過程，體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型.
2．結合實例，了解常量、變量和函數的概念，體會“變化與對應”的思想，了解函數的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數形結合地分析簡單的函數關系.
3．理解正比例函數和一次函數的概念，會畫它們的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質，能利用這些函數分析和解決簡單實際問題.
4． 通過討論一次函數與方程（組）及不等式的關系，從運動變化的角度，用函數的觀點加深對已學內容的認識，構建和發展相互聯系的知識體系.
課時安排 全章約需17課時
14.1 變量與函數 約 5課時
14.2 一次函數 約 5課時
14.3 用函數觀點看方程（組）與不等式
約 3課時

14.4 課題學習 選擇方案 約 2課時
數學活動 小結 約 2課時
本章的編寫特點 （一）重視數學概念中蘊涵的數學思想，注意從運動變化和聯系對應的角度認識函數。
（二）從特殊到一般地認識問題，從正比例函數討論一次函數。 （三）用函數觀點回顧與審視相關內容，加強知識體系的構建。
（四）注重聯系實際問題，體現數學建模的作用 。

安排這些問題的目的在于：
進一步突出函數這種數學模型應用的廣泛性和有效性；
在解決實際問題的情境中運用所學數學知識，進一步提高分析問題和解決問題的綜合能力. 　?。ㄒ唬┲匾晹敌谓Y合的研究方法

通過坐標系中的曲線上點的坐標反映變量之間的對應關系.這種表示方法的產生，將數量關系直觀化、形象化，提供了數形結合地研究問題的重要方法，這在數學發展中具有重要地位. 三、幾個值得關注的問題 （二）注重對于基礎知識和基本技能的掌握，提高基本能力
函數的基本概念，函數的一般表示法和一次函數的概念、圖象、性質等是基礎知識
會畫一次函數（包括正比例函數）的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質等是基本技能
能利用這些函數分析和解決簡單數學問題和實際問題是基本能力第十五章 整式的乘除與 因式分解 本章主要內容
本章的主要內容是整式的乘除運算、乘法公式以及因式分解。
這些知識是以后學習分式、根式運算以及函數等知識的基礎。同時也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可或缺的數學工具。
全章共包括四節：
15.1 整式的乘法
15.2 乘法公式
15.3 整式的除法
15.4 因式分解 思想方法：
借助對數的認識學習整式內容
類比的思想方法
整式乘法和除法中蘊涵的
轉化思想課程學習目標
1. 使學生掌握正整數冪的乘除運算性質，能用代數式和文字語言正確地表述這些性質，并能運用它們熟練地進行運算。
2．使學生會進行整式的乘、除、乘方的運算，并能運用運算律與乘法公式簡化運算。
3．理解因式分解的意義并感受分解因式與整式乘法是相反方向的變形，讓學生掌握什么是公因式，掌握提公因式和運用公式法這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。
課時安排約需13課時
15.1 整式的乘法 4課時
15.2 乘法公式 2課時
15.3 整式的除法 2課時
15.4 因式分解 3課時
數學活動
小結 2課時本章編寫特點（一）強調重要的數學思想方法的滲透 1. 根據數與式之間的聯系，教材通過“類比”的思想方法，由數的運算引出式的運算規律。體現了數學知識間具體與抽象的內在聯系和數學的內在統一性，強調整式乘法與因式分解是相反方向的變形。
2. 在整式除法的教學中也要注意“轉化”的思想方法。例如，多項式與單項式相除的法則，第一步是“轉化”為單項式與單項式相除，第二步則是“轉化”為有理數的除法與同底數冪的除法。 3. 在整式的乘除法的學習中，只有打好基礎，才能夠熟練地進行后面的運算；只有在熟練運用“轉化”方法的前提下，才能夠順利地取得較好的效果。
4. 在編寫本章教材時，注意了代數與幾何之間的聯系，在整式乘法和乘法公式部分，采用給出幾何圖形的方式來驗證運算法則及公式的正確性，這充分體現了代數與幾何之間的內在聯系和統一。 （二）充分體現從具體到抽象再到具體的認知過程
從具體的實際問題出發，歸納出相關的數學概念，或抽象出隱含在具體問題中的數學思想和規律，這是本章的一個突出特點。密切聯系實際，體現知識的形成和應用過程，這是編寫本章時高度重視的一個中心課題。
幾個值得關注的問題
（一）發揮整式承前啟后的作用
（二）充分發揮學生的積極性和主動性
（三）把握好教學要求
（四）把握并突破知識的重點、難點 和關鍵


謝謝大家！課件91張PPT。
義務教育課程標準實驗教科書 數學八年級下冊簡 介 課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心一、 內容安排
二、 編寫特點
三、幾個值得關注的問題
一、 內容安排
從分數到分式16.1 分式分式的基本性質　類比分數得到分式的
基本性質、約分、通分16.2　　分式的運算
分式的乘除
分式的加減
整數指數冪
16.3　分式方程分式方程的概念、解法
為什么x＝5不是下面方程的解？ 17.1 反比例函數反比例函數：圖象是雙曲線
兩個函數的圖象關于x軸、y軸對稱描點畫圖


17.2 實際問題與反比例函數數學模型

18.1 勾股定理 　等腰直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和
命題1：如果直角三角形中的兩條直角邊分別為a，b，斜邊長為c，那么　 .
(1)(3)(2)勾股定理的證明
勾股定理的應用
　探究1　　
　探究2
　探究3
18.2 勾股定理的逆定理 命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足 a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形?！　≡}　　　逆命題 勾股定理的逆定理的證明a2+b2=c2 逆定理
勾股定理的逆定理
應用19.1　平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形　　是平行四邊形平行四邊形的性質平行四邊形的對邊相等
平行四邊形的對角相等由實驗幾何到論證幾何
　培養探究能力、推理能力證明：平行四邊形的對角線相互平分平行四邊形的判定三角形中位線定理平行線間距離19.2 特殊的平行四邊形矩形　　菱形　　正方形
　　
　　性質　　　　判定菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形　　　是菱形性質性質：菱形的四條邊都相等。菱形的兩條對角線相互垂直并且每一條對角線平分一組對角。判定：
對角線相互垂直的平行四邊形是菱形；
四邊都相等的四邊形是菱形。19.3　　梯　　形梯形
等腰梯形
直角梯形　　　等腰梯形是軸對稱圖形
性質：等腰梯形同一底上的兩個角相等
　　　等腰梯形的兩條對角線相等
判定：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形線段的重心19.4　　課題學習　重心平行四邊形的重心　三角形的重心任意多邊形的重心
20.1　數據的代表加權平均數 “權”的意義例1聽說讀寫　3：3：2：2　錄取甲
　　　　　　2：2：3：3　錄取乙算術平均數與加權平均數的關系用樣本平均數估計總體平均數中位數　　眾數　　選擇平均數、中位數、眾數刻畫數據的集中趨勢20.2　數據的波動極差方差方差越大，數據的波動越大
方差越小，數據的波動越小利用計算器的統計功能計算方差
用樣本方差估計總體方差 20.3　課題學習 收集數據1.確定樣本
2.確定抽取樣本的方法體質健康測試中的數據分析整理數據描述數據分析數據分析統計圖表
計算各種統計量：
平均數、中位數、眾數、極差、方差撰寫調查報告加強與實際的聯系，體現知識的形成和應用
揭示數學的本質，突出數學思想方法
為學生創設探索和交流的機會，加大學生思維空間二、編寫特點分式概念的引入
分式運算的應用容積
工作效率
耕作面積
工程進度
增長率 整數指數冪的應用分式方程是解決實際問題的數學模型反比例函數概念的引入
反比例函數是解決實際問題的數學模型勾股定理的發現勾股定理的逆定理的發現勾股定理及其逆定理的應用平行四邊形、矩形、菱形、梯形概念引入判定、性質的應用
重心的確定統計案例分式與分數類比
數式通性分式方程的增根分式方程是解決實際問題的數學模型解分式方程時，將分式方程轉化為整式方程，體現化歸思想（反比例）函數的實質
運動變化與聯系對應：在同一個變化過程中，變量之間是相互聯系的，一個變量的變化會引起其他變量的相應變化，這些變量之間存在某種對應關系。　　將反比例的學習與實際問題緊密結合，體現了函數是解決變量間存在單值對應關系的數學模型的思想。 平行四邊形、矩形、菱形、正方形等概念之間的聯系 加權平均數、中位數、眾數、極差、方差等統計量的意義；
用樣本估計總體的思想 增加合情推理成份 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 將實驗幾何與論證幾何相結合加強新舊內容的聯系，使學生的學習形成正遷移
重視推理能力的培養
重視文化傳承，關注人文教育三、幾個值得關注的問題　分式　分數　
分式方程　整式方程　
反比例函數　一次函數　
特殊四邊形的概念、平行四邊形、梯形的高、面積計算　
勾股定理　
平均數、中位數和眾數　 　　　　
“四邊形”一章重視推理證明的訓練
　
證明勾股定理及其逆定理
　　
互逆命題、互逆定理的概念　
趙爽弦圖
謝謝大家！初中數學新課程標準最新修訂稿與原實驗稿的比較
重慶市教育科學研究院　張曉斌
1．修改工作的基本過程
2005年5月，教育部成立義務教育階段數學課程標準(實驗稿)修訂工作組,開始啟動修改工作.修訂工作組首先到實驗區進行實地調研,通過問卷、聽課和訪談等方式,聽取一線教師的意見;之后,針對課程標準的框架、設計理念、課程目標、內容標準、實施建議等部分,進行了認真的討論與研究,完成修改初稿.2006年6月至9月,向全國30多位專家、學者和第一線教師寄發修改稿的初稿和征求意見表,邀請幾位中科院院士和數學家座談,征求對修改稿的意見.在聽取意見的基礎上,修訂工作組對修改初稿又進行了修改,形成《全日制義務教育數學課程標準(實驗修訂稿)》.
2．修改課程標準的基本原則
修改組確定的《標準》修改的基本原則和思路是:修改的基礎是課程改革幾年來的實踐和調查研究的結果;修改應穩步進行,使得《標準》更加準確、規范、明了、全面;增強可操作性,更適合于教材編寫、教師教學、學習評價.明確修改過程中要進一步處理好以下幾個關系:一是關注過程和結果的關系;二是學生自主學習和教師講授的關系;三是合情推理和演繹推理的關系;四是生活情境和知識系統性的關系.
3．具體內容的修改
本次修改,在保持原課程標準(實驗稿)基本結構不變的基礎上,進一步綜合各方面不同意見,力求更加完善、和諧.例如,對于什么是“數學”?將原來“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論,并進行廣泛應用的過程.”改為“數學是研究數量關系和空間形式的科學”.在基本理念方面,將原來“人人學有價值的數學;人人都能獲得必需的數學;不同的人在數學上得到不同的發展”.改為“人人都能獲得良好的數學教育,不同的人在數學上得到不同的發展”.
下面將修改后的內容標準中四個學習領域第三學段(初中部分)的具體內容與原實驗稿作比較：
1.增加的主要內容有:
(1)會用根號表示算術平方根.
(2)了解最簡二次根式的概念.
(3)能解簡單的三元一次方程組.
(4)能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等.
(5)了解一元二次方程的根與系數的關系 (韋達定理).
(6)體會一次函數與二元一次方程、二元一次方程組的關系.
(7)知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數.
(8)了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系.
(9)會利用基本作圖完成:作三角形的外接圓、內切圓;作圓的內接正方形和正六邊形.
(10)為適當加強推理,增加了下列定理的證明:相似三角形的判定定理和性質定理,垂徑定理,圓周角定理、切線長定理等.但是,不要求運用這些定理證明其它命題.
2.刪除的主要內容有:
(1)有效數字.
(2)一元一次不等式組的應用.
(3)利用一次函數的圖象,求方程組的近似解.
(4)梯形、等腰梯形的相關內容.
(5)視點、視角、盲區.
(6)計算圓錐的側面積和全面積.
3.名稱表述改變的有:
(1)四個學習領域的名稱改為:“數與代數”;“圖形與幾何”(不叫“空間與圖形”);“統計與概率”;“綜合與實踐”(第三學段不另叫“課題學習”,即三個學段都統一叫“綜合與實踐”).
(2)“數學公理”改名叫“數學基本事實”,并明確了9條基本事實.
(3)對數學的“雙基”要求,改為數學“四基”要求:基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.
(4)新增“模型思想”、“幾何直觀”的概念.指出“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析數學問題”.
課件22張PPT。數學課標教材的使用與教學思考
人教社初中數學課標教材專家講師團成員
重慶市教育科學研究院　張曉斌一、新教材教學中存在的問題
1.“注入式”教學盛行，大量采取“概念－例題－練習－習題”的教學模式，概念教學一帶而過，強調細枝末節，不注重知識的形成過程及思維過程教學，講解例題就是歸納題型，然后讓學生進行大運動量的機械重復訓練
2.強調題型訓練，注重解題技巧，一味追求“巧解”，忽視解題的基本思想與方法的教學
3.課堂教學形式化，以“少講少練”代替“精講精練”，以“滿堂問”代替“滿堂灌”
4.只重視自己的教法而忽視對學生進行學法指導，不重視學生良好的學習習慣的養成5.以《教師教學用書》或《優秀教案》代替自己的備課教案，為了解題或教學方便，把已經刪除的內容重新撿回來加重學生課業負擔二、新教材教學中應當注意的幾個問題
1.教學的起點不只是從知識的邏輯出發，還應該從學生的經驗出發例1　人教版七上：蝸牛運動.設蝸?，F在的位置為點O，每分鐘爬行2cm，問：①向右爬行，3分鐘后的位置？　②向左爬行，3分鐘后的位置？③向右爬行，3分鐘前的位置？　④向左爬行，3分鐘前的位置？比較①、②，有方向的區別，若把向右爬行2cm，記為＋2cm，則向左爬行2cm，記為－2cm.比較①、③，有時態的區別，將來時，3分鐘后記為＋3，過去時，3分鐘前記為－3.不難知道，這4個問題的算式分別為2×3，（－2）×3，2×（－3），（－2）×（－3）.在④中，蝸牛向左爬行，現在的位置為點O，3分鐘前應在刻度6處，可見（－2）×（－3）＝6，負負得正.2.教學的目標不只是單一目標，而是三維目標3.教學的方式不只是讓學生記憶、模仿和接受，還應該引導學生獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學例2　某公園有一圓形水池，現要沿水池一圈增設欄桿，因此需要知道水池的周長.如何求它的周長呢？例3　求一塊不規則圖形的面積（九年級研究課）.方法1　將圖形放在坐標紙上，也即將圖形分割，看它有多少個“單位面積”.方法2　將圖形從內外兩個方面用規則圖形（或規則圖形的組合）逼近.方法3　將這塊圖形用一個正方形圍住，然后隨機地向正方形內扔“點”（如小石子等小顆粒），當點數P足夠大時，統計落入不規則圖形中的點數A，則圖形的面積與正方形面積的比約為A/P.方法4　“稱量”面積：在正方形區域內均勻鋪滿一層細沙，分別稱得重量是P（正方形區域內細沙重）、A（所求圖形內細沙重），則所求圖形的面積與正方形面積的比是A/P.4.教學的內容不只是教教材內容，而是要用教材內容來教，要依據教材內容進行創造性的教學(1)內容設計要從學生的經驗出發，有利于學生理解教材內容
　人教版七上10頁：[問題]　在一條東西向的馬路上,有一個汽車站,汽車站東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹,汽車站西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿,試畫圖表示這一情境. （2）對新教材內容要善于舍棄、重組和改造，對傳統教材中好的處理方式也要敢于拿來放棄拿來“觀察北京每天的天氣變化情況”，
初一下第9章不等式與不等式組9.4課題學習《利用不等關系分析比賽》問題3
八年級上P80活動2“收集全班同學各家庭人均月用水量” 基礎
邏輯演繹
知識點記憶大膽的舍棄、大膽的拿來，這也是一種創新！（3）每一個老師都要學會創造，善于比較不同版本教材對同一內容的不同處理，從中確定適合自己學生的實際的內容處理方式比如某教材中的“負整指數冪”是這樣安排的.首先讓學生探索，考察下列算式：52÷55，103÷107. 一方面，如果仿照同底數冪的除法公式來計算，得 52÷55＝52－5＝5－3， 103÷107＝103－7＝10－4.另一方面，我們可利用約分，直接算出這兩個式子的結果為52÷55 ＝52 ／55＝52／52×53＝1／53，103÷107＝103／107＝103／103×104＝1／104.然后進行概括，由此啟發，我們規定：5－3＝ 1／53， 10－4＝ 1／104.一般地，我們規定a-n＝1／an（a≠0，n是正整數）.人教版八下23頁：思考：一般地，am中指數m可以是負整數嗎？如果可以，那么負整數指數冪am表示什么？　　由分式的約分可知，當a≠0時，　　a3÷a5=a3/a5=a3/a3·a2=1/a2.　　?、?　　另一方面，如果把正整數指數冪的運算性質（4）am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整數，m>n)中的條件m>n去掉，即假設這個性質對于a3÷a5的情形也能使用，則有a3÷a5＝a3-5=a-2.　　　②　由①②兩式，我們想到如果規定a-2=1/a2(a≠0），就能使am÷an=am-n這條性質也適用于像a3÷a5這樣的情形.為使上述運算性質適用范圍更廣，同時也可以更簡便地表示分式，數學中規定：　　一般地，當n是正整數時，a-n=1/an(a≠0).這就是說， a-n(a≠0)是an的倒數.　　像上面這樣引入負整數指數冪后，指數的取值范圍就推廣到全體整數.某教材中關于勾股定理的逆定理是這樣安排的.教材的標題是“能得到直角三角形嗎？”教材通過歷史上的故事提出了問題：古埃及人曾用下面的方法得到直角.他們用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第4個結處.教材讓學生動手，安排了“做一做”：下面一組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c：5,12,13；　7,24,25；　8,15,17.（1）這三組數都滿足a2＋b2＝c2嗎？（2）分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量量，它們都是直角三角形嗎？通過這樣的操作，教材得到了勾股定理的逆定理.（略）　　人教版八下81頁：據說古埃及人用如下方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.　　這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3，4，5，有下面的關系“32＋42＝52”，那么圍成的三角形是直角三角形.　　畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的關系“2.52＋62＝6.52”，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4cm，7.5cm，8.5cm，再試一試.　　由上面的幾個例子，我們猜想：　　命題2　如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.······上節已證明命題1正確，能證明命題2正確嗎？探究：在圖18.2－2中，△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2.如果△ABC是直角三角形，它應該與直角邊是a，b的直角三角形全等.實際情況是這樣嗎？我們畫一個直角三角形A’B’C’，使B’C’＝a，A’C’＝b，∠C’＝90。，把畫好的△ A’B’C’剪下，放到△ABC上，它們重合嗎？　　可以看到，它們是重合的.實際上，在△ A’B’C’中，A’B’2＝B’C’2＋A’C’2＝a2+b2，因為a2+b2=c2，所以A’B’＝c，在△ABC和△ A’B’C’中，BC＝a＝B’C’，AC＝b＝A’C’，AB＝c＝A’B’，所以△ABC≌△ A’B’C’.所以∠C＝∠C’＝90。，即△ABC是直角三角形.A’C’B’ACBbacba新課程教材要求我們每一個老師都要學會創造.
創造性的使用教材，
創造性的編碼和重組新教材內容，
創造性的構建適合自己學生的課程教材內容.
學會捕捉 學會遷移 學會變通
5.教學的境界不只是知識本位，學科本位，而應該是以提高人的素質為本，立足于發展和完善人三、新教材教學中值得思考的幾個關系
1.關于繼承與發展的關系
2.關于大眾教育與英才教育的關系
3.關于知識與能力的關系
4.關于過程與結果的關系
5.關于數學化與去數學化的關系
6.關于形式化與非形式化的關系
7.關于統一性與多樣性的關系
8.關于“立足國內”和“眼睛向外”的關系
謝謝各位老師！再見深入理解課標教材 努力提高教學質量
——對人教版初中數學課標教材使用中一些問題的思考
人民教育出版社中學數學室 李海東
重慶市教育科學研究院　　　張曉斌
人教版初中數學課標教材于2003年經教育部中小學教材審定委員會審查通過，2004年秋起在全國課程標準教材試驗區開始使用。2007年，本著“尊重實驗檢驗，深入研究問題，不斷提高質量”的態度，人教社中數室又對教材進行了修訂。教材使用幾年來，筆者通過教材研討會、教材培訓回訪、教材實驗情況調查、讀者來信等，收集到了許多教材使用中的意見和建議。在對這些問題認真思考的基礎上，現將一些共性的問題整理出來，供廣大教師和教研員參考，希望對于教學的研究與實踐有所幫助。
一、關于教材的知識體系安排
課標實驗教材中代數、幾何不再分科，而是綜合安排課程標準規定的“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”幾部分教學內容。因此，教材的體系結構與以往的大綱教材相比，發生了很大的變化。為了更好地讓教師理解編者的意圖，現將幾個問題說明如下。
1．代數預備知識的處理
在數與代數領域，基本內容仍然是數、式、方程（組）、函數等。為了突出方程、函數等重點內容的學習，教材對于代數式的相關內容作了分散處理。在2007年以前的課標實驗本教材中，教科書是利用分配律，將有理數的運算引伸到相同字母因數的式子的加減法及去括號問題，在解一元一次方程時，對相關的代數預備知識進一步鞏固，最后再在前面已有具體的、分散的對式的學習的基礎上，安排整式、分式和二次根式各章，對代數式的有關內容進行較系統的學習。實際上，代數式的內容是學習方程、函數等內容的預備知識，而我們在研究一次（一次方程、一次函數）的問題時，用到的代數知識也就是最簡單的含有一個相同字母因數的式子的合并同類項、去括號等。因此實驗教材的這種安排在邏輯上是沒有問題的。
教科書的這種“分散安排、夠用即可”的處理方式，體現了數學知識的本身的發生發展過程。但是，由于實驗教材與原來大綱教材變化很大，很多教師難以適應。也有教師指出，教材的這種處理對教師、學生的要求都比較高，對于一些基礎比較差的學生，在學習有理數的運算后對于由數到式的自然過渡不適應，解方程時出現欠缺必要的預備知識的難點，不利于對基本運算技能的掌握?？紤]到這些意見，2007年教科書對這個問題進行了修訂。將整式的運算分成兩部分，“整式的加減”的內容單獨安排一章，放在“有理數”和“一元一次方程”之間，作為學生學習“一次”內容（式、方程、不等式、函數等）的預備知識；“整式的乘除與因式分解”安排為另一章，放在“一次函數”內容之后，作為學生進一步學習“二次” 內容的基礎。這種處理，既保持了教科書對于代數預備知識“突出重點、分散安排”的處理原則，又使得相關內容比較集中，利于教師教學，從一年來教學實驗的反饋信息來看，教師對此調整還是比較認可的。
2．函數內容的安排
課標教材改變了大綱教材“先集中出方程，后集中出函數”的做法，而是按照“一次”和“二次”的數量關系，使方程和函數內容交替出現，即按一次方程（組）、一次函數、二次方程、二次函數的順序螺旋上升。這樣處理，一方面克服直線式發展所產生的不易理解消化的弊病（原大綱教材的“函數”內容一直是教學的難點），分階段地不斷地深化對方程和函數的理解；另一方面強化基本概念之間的內在聯系，從函數角度提高對方程等內容的認識，“14.3 用函數觀點看方程（組）與不等式”等就是為此而特意安排的內容。
這種處理，還是得到大部分教師的認可的。我們知道，函數內容歷來是初中代數的重點，也是難點。難就難在它是反映事物間運動變化關系的數學模型，是由常量數學到變量數學的一個過渡。教材在處理這部分內容時，對于如何克服這個難點也作出了很多努力。在呈現概念時，無論是正比例函數和一次函數，還是后面研究的反比例函數、二次函數、三角函數等，教科書都是通過大量的實例（圖象的、表格的、解析式的），向學生展示不同函數所反映的運動變化的規律；在研究它們的圖象和性質時，注意加強類比，突出研究方法的引導，突出“觀察圖象反映的變化規律——用自然語言描述變化規律——用符號語言描述變化規律”的三步曲等等。教學中要注意理解教材的這種安排，使得學生對這種運動變化的數學模型有一個長時間的認識過程。不要開始就一步到位，將許多原來初三復習時的綜合題目拿來處理。否則不是“難點分散”，而是“難點提前”了。今年秋開始使用的修訂后的八上教材中，我們也將“一次函數”的內容適當地作了后移，這也是為了適應學生的認知規律，讓學生更好地理解函數內容。
3．平面直角坐標系位置
在原大綱教材中，平面直角坐標系的內容安排在函數內容之前，坐標系的內容僅只是為了研究函數。在課標教材中，為更好地反映數與形之間的內在聯系，提前安排了平面直角坐標系的內容（七年級下學期，第6章），使坐標這種能充分體現數形結合思想的工具能更早更多地得到使用。坐標系的內容不僅用于研究函數，也用于其他方面，如用坐標方法分析平移變換、對稱變換等的本質特征，處理某些圖形問題，加深對函數及二元一次方程組、不等式等的認識等。
教科書提前安排平面直角坐標系的內容，主要是為了盡早的把這個數形結合的工具給學生。在平面直角坐標系中，一個有序數對（x，y）可以和平面上的一個點建立一一對應關系，架起了數與形之間的橋梁，使得我們可以用代數方法研究幾何問題，又可以用幾何方法研究代數問題。對于平面直角坐標系的這種橋梁作用，教學中要充分重視。另外，在課程標準中，坐標系的內容是放在“空間與圖形”領域的，教科書也是從位置確定的角度引入的，這與大綱教材不同，教學中要引起注意。此外，由于七年級下學期初學生還沒有學習實數，“平面直角坐標系”一章主要研究的是點與有序整數對的對應關系，要注意把握這一教學要求。
4．圓與相似的位置
本套教科書中，“相似”的內容安排在“圓”之后，主要是出于以下幾點考慮：
首先，在課程標準中，相似是圖形變換的一個內容，教科書也是將它作為一種圖形的變換處理的。對于圖形的變換，按照由簡單到復雜的順序，教科書先安排的平移、軸對稱、旋轉等全等變換，后安排相似變換。而研究圓的一些性質，又與旋轉變換關系密切，因此把圓緊接著安排在了旋轉之后。
其次，對應課程標準中“圓”的內容，已經刪去諸如“弦切角”“圓冪定理”等教學內容和教學要求，學習圓的相關知識，用不到相似的知識儲備。即便是修訂的課程標準（征求意見稿）中增加了有關定理（弧、弦、圓心角的關系、垂徑定理、圓周角定理、切線的判定和性質定理等）的證明，也不需要相似的知識。因此，可以把相似放在圓后來學習。
另外，把相似的內容安排在圓之后，還可以把圓中的一些問題作為研究相似的應用來處理。例如作為相似三角形判定和性質的應用，教科書安排了相交線定理的例題（沒有給出定理名稱），以及一些與圓有關的習題等。這樣也能復習有關圓的知識，加深學生對與圓的理解?！鞍褕A中的一些問題作為研究相似的應用”與“把相似作為工具來研究圓”這兩種處理方式中相似的作用是不同的，相應的難度也是不同的，這一點也請老師們注意。
二、關于教材對一些內容的處理
課標教材的編寫中充分注意體現普及性、基礎性和發展性，在知識內容的處理上，重視科學、關注文化；重視基礎、返璞歸真；重視思想、立足發展。素材選取注意貼近生活，內容呈現注重過程，注意體現學生的主體地位，引導學生思維等。下面就幾個具體問題加以說明。
1．注重知識之間的聯系
課標教材的編寫特別重視知識之間的聯系，通過相關內容的呈現，引導學生認識數學知識之間的聯系，感受數學的整體性，教學時應注意到這一編寫意圖。
在數與代數領域，有理數及其運算是一切運算系統的基礎。讓其他運算的對象和數作類比，可以使我們得到很多研究方法方面的啟示。例如，在“整式的加減”中，由于式子中的字母表示數，合并同類項和去括號實際就是利用有理數乘法對加法的分配律；“整式的乘除”中，各種法則實際上就是有理數加、減、乘、除、乘方的混合運算時將數字換成字母的一般情形；“分式”中，分式的概念、分式的性質、分式的運算也完全可以看作是分數的相關內容的拓展；“二次根式”中，將二次根式化為最簡根式后，二次根式的加減也就類同于整式的合并同類項，也就是利用有理數的分配律，等等。教材編寫時充分注意到上述聯系，重視數的基礎地位，類比數的運算法則和運算律學習式、方程、函數的相關內容，使學生的學習形成正遷移。
在“空間與圖形”領域，教科書按照“從感性直觀認識逐步上升到理性本質認識，從對靜止狀態的認識發展到對運動狀態的認識，從定性描述向定量刻畫過渡”的順序編排這個領域的內容，注意在教科書各處對于“圖形的認識”“圖形與變換”“圖形與坐標”“圖形與證明”之間的聯系。例如，教科書將等腰三角形的有關內容安排在了“軸對稱”一章，學習等腰三角形時，充分利用它的軸對稱性，發現等腰三角形的一些性質，為利用三角形全等的知識證明性質提供思路。將圖形的運動與圖形的認識、圖形的證明有機整合，利用運動研究圖形，得到圖形的性質，再通過推理證明這些結論。
在“統計與概率”領域，注意滲透統計與概率之間的聯系，通過頻率來估計事件的概率，通過樣本的有關數據對總體的可能性進行估計等。教科書安排的反映課程標準“實踐與綜合應用”領域的課題學習和數學活動，更側重于體現探索性和研究性，更關注把數學和社會生活和其他學科知識聯系起來，使學生進一步體會數學知識之間以及數學與外界之間的聯系。
2．關于與實際問題的聯系
教科書編寫中，我們力求貫徹理論聯系實際的原則，更加強調數學知識的背景（實際的和數學內部的），內容素材的選取力求貼近學生的生活實際和社會現實，并注意把所學到的知識應用到解決實際問題中去。教科書中方程、函數等內容均注意盡可能以實際問題為出發點和歸宿，在分析和解決實際問題的過程中，建立數學模型，討論有關概念和方法，然后再運用所學知識進一步探究新的實際問題，提高對數學內容及其應用的理解，從而體現“實踐—理論—實踐”的認識過程。例如，第3章“一元一次方程”中，全章改變了“概念——解法——應用”的傳統教材結構，而以實際問題為主要線索，將概念與解法融于對實際問題的分析和解決過程之中。
模型思想是課標對“數與代數”領域的一個重要要求，教材的這種處理，體現了知識的來龍去脈，將原來教學中的“列方程”這一難點分散，有利于學生理解方程的本質，同時學生解決實際問題的能力也有提高。對此，也有一些老師提出了不同意見，認為將列、解方程合在一起造成了難點集中，一節課中列方程已經花了很長時間，沒有時間再去講解方程，造成學生解方程的技能下降，還是原來“概念——解法——應用”的模式有利于學生對基本技能的掌握。對此，教材修訂時進行了充分的考慮。2007年后的新版教材在基本保持原來體系的基礎上，降低了引入的實際問題的難度，增加了一些基本的解方程的例、習題，刪去了一些較難的問題等。同時，教學時也應注意，教材“實際問題——方程——實際問題”的循環是一個總體上的要求，并不要要求每一節課都要學生經歷這樣的過程。例如在第一課時利用較簡單的實例引入相關內容，介紹相應的解法后，后續課時可以安排純粹解方程的練習課，以鞏固基礎知識和基本技能。
3．循序漸進的安排推理與證明的內容
對于推理能力的培養，教科書按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“用符號表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排，使推理論證成為學生通過觀察、探究得到數學結論的自然延續。教科書從七年級開始滲透推理的初步訓練，到七年級下學期的“第7章 三角形”中結合三角形內角和開始正式出現證明。在以后各冊中，對于推理證明的要求一以貫之，逐步培養學生的邏輯思維能力。對于教材的這種處理，實驗教師還是充分認可的。也有教師提出，教材對于推理證明的這種安排很好，但教師教學中如何把握好各個階段的具體要求？
對于一個需要推理證明的問題，從開始思考這個問題到最后表示出完整的證法是需要一個過程的，我們首先需要分析這個問題的各種條件，尋找證明思路，然后理清證明過程，最后才能把它完整的表達出來。同樣，學生接觸推理證明也需要一個循序漸進的過程。開始階段，得到結論后，要問個為什么，要講點道理，這時講的道理可能不完整，但能把關鍵的內容說出來，這就是“說點兒理”，例如教材對“等角的補角相等”的處理。進一步，學生能把一個簡單的思維過程完整敘述出來（文字語言），這就是“說理”，例如教材對“對頂角相等”的處理。再進一步，用簡單的三段論推理的形式表述一個一步到兩步的推理（這時有文字語言、也有符號語言），這就是“簡單推理”，例如教材由“兩直線平行同位角相等”推出“兩直線平行內錯角相等”。最后，能用數學符號語言完整的表述一個思維過程，就是“用符號表示推理”，即“證明”，例如教材中“三角形內角和定理”的證明。
4．概率內容的處理
了解概率的意義，是課標的要求，不同的教材對概率定義的處理方式有所不同。人教版課標教材修訂前后對概率的意義的處理也不相同，修訂前教材是“先介紹用頻率估計概率，再講簡單事件的概率計算”，修訂后是“先講簡單事件的概率計算，再介紹用頻率估計概率”。為什么要做這樣的改動呢？
在概率論的歷史上，人們曾經從不同角度、在不同層次上給出概率的定義。這包括古典概率定義，幾何概率定義、概率的頻率定義、概率的公理化定義等。這四個定義，體現了概率定義“從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象”的逐步變化，也反映了人們對概率的認識所經歷的過程。
修訂前教材中從擲硬幣試驗說起，是想借助具體問題說明頻率的穩定性，引出概率的頻率定義。但是實際教學中，學生對此的理解卻存在較多障礙。由于頻率是隨機的，而概率是一個客觀存在的常數，試驗中出現頻率與概率的偏離程度較大的情形是可能的，這是隨機現象的特性。為什么大量重復試驗中頻率會穩定？是穩定在一個常數附近還是在一個范圍？這個常數為什么是0.5，而不是0.5001或0.4999？類似這樣的問題學生理解起來是很困難的。修訂后教材改變了順序，先從擲硬幣試驗僅有兩個結果說起，再分析硬幣質地均勻使得兩個結果出現的機會均等，這是客觀的、有道理的，從而使學生較容易地接受了正面向上的可能性是0.5。然后再說明大量重復試驗會反映客觀規律，而規律是合乎道理的，從而進一步解釋在一般情形下頻率的穩定性，引出概率的頻率定義。這種做法使得教學過程順利得多，學生對試驗中出現的頻率偏離概率的現象也能接受了。
三、對于一些具體問題的討論
1．有理數乘法
對于有理數的乘法，不同的教材有不同的處理方式，有的直接是“規定”；有的采用“歸納”的方法，利用一些特殊值，從“正×正”到“正×負”再到“負×負”。在有理數的乘法中，對于“正×正”“正×負”“負×正”不難理解，問題的焦點在“負負得正”上。有理數的乘法法則可以說是一種“規定”，但是這種“規定”是有其合理性的，其核心就是要在正有理數擴充到全體有理數后，其運算律（特別是分配律）保持不變。例如，要使分配律保持不變，就必須有
（－3）×（－5）
＝（－3）×（0－5）
＝（－3）×0－（－3）×5
＝0－（－15）
＝15
這也就是“負負得正”。
人教版教科書在初次送審時。采用的是這種“保持分配律”的做法。這種做法，體現了數域擴充中的規定的合理性，但比較數學化，學生不易理解。為此，審查委員希望我們能找到一種聯系實際的問題情境，體現有理數的乘法法則。這也就是目前教材的處理方式。采用聯系實際的處理方式，對于“負負得正”來說，就是要找到兩個量，它們都具有相反意義的量，且它們互相之間還要存在倍數（相乘或積）的關系。如果這兩個量都在二維或三維空間，必然會引起混亂。為此，必需有一個量是時間，另一個量在二維或三維空間。經過反復考慮，教科書最終采用了小蝸牛在數軸上爬行的例子。
對于教科書的做法，也有一些教師表示不好理解。實際上，對于這個例子，我們可以把“過程”和“結果”一起來看。例如，對于“負負得正”的情況，由于小蝸牛一直在以每分2cm的速度向左爬行，3分前它應該在原點右邊6cm處，也就是＋6處，再加上向左爬是－2，3分前是－3，這就是（－2）×（－3）＝＋6。這樣，給“負負得正”一個聯系實際的直觀解釋，有利于引起學生興趣，也有助于它們理解相關內容。
2．總體與個體的定義
關于總體和個體，在不同的概率統計的工具書、專著以及教材等文獻上，有不同的界定。有的把全體研究對象作為總體，每一研究對象作為個體；有的把全體研究對象的數量指標取值（如身高）作為總體，每一研究對象的數量指標取值（如身高）作為個體。目前修訂的人教版課標教材采用前一種方式。
實際上，每一種說法中，總體與個體是按照同一解釋界定的。雖然兩種說法不盡相同，但是前者所說的總體、個體與后者所說的總體、個體之間存在一一對應關系，這就是說兩者所反映的總體和個體的從屬關系是完全一致的。兩者僅有說法上的差別，而本質相同，它們并不矛盾，沒有對錯之分。把所有研究對象作為總體，每一研究對象作為個體，能簡明地反映調查范圍及總體與個體的從屬關系。例如，我們要考察七年級學生的多個數量指標（包括身高、體重、年齡、學習成績等）時，如果在定義總體和個體時強調數量指標取值，則對總體和個體的表述會比較復雜，而把所有全體七年級學生（所有研究對象）作為總體，每一個七年級學生（每一研究對象）作為個體，則表述起來更簡潔，反映總體與個體的從屬關系更明確。此外，以全體研究對象作為總體，每一研究對象作為個體，容易區分不同的個體。又如，在調查身高的問題中，如果直接以數量指標取值作為個體，則對兩個1.70m，就不好區分，而如果以研究對象來劃分個體，則能很清楚地看出每個人的身高，區分有相同身高的兩個人是不同的個體。在調查多種數量指標的問題中，對應于不同個體取多維數量指標值，表達更方便、簡明和清晰。而直接把所有研究對象的數量指標取值作為總體，可以強調調查目的，而且對導出總體的分布的表述也比較自然。
教學中，在總體和個體的概念上，重點是它們之間的從屬關系，而不在于不影響這種關系的的定義方式上。很多概念不必過度挖掘，只要學生明白其基本意義就可以，過分強調非本質的表述，可能導致重點的偏離。
3．信息技術的使用
現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響，信息技術工具的使用能為學生的數學學習和發展提供豐富多彩的教育環境和有力的學習工具，重視現代信息技術的使用也正是本套教材的特點之一。教科書將科學計算器作為必學內容，可以利用科學計算器進行一些較復雜的運算，進行驗算，幫助探索一些結論等。對于計算機軟件，教科書安排了“信息技術應用”的選學欄目，包括利用計算機軟件描述和分析數據，探索函數圖形的性質，在圖形的運動變化中探索其中不變的位置關系和數量關系等。有條件的學校，應當盡可能多的使用信息技術工具，幫助學生更有效地學習數學。
對于科學計算器的使用，應當注意在保證學生對基本的運算規則理解的基礎上使用，要保證一定程度的筆算的訓練，不能削弱對運算的基本要求。教科書在“有理數”一章修訂時，將對使用計算器的介紹調整到有理數的四則運算后也說明了編者對這一點的考慮。
4．習題的處理
教科書對于練習、習題的處理，是按照“使練習、習題成為學生學習正文內容的自然延續”的原則來安排的。練習題的安排，不是簡單的課時劃分，而是根據內容的需要來安排。對于習題，改變了以往根據題目難度分為A、B組的方法，而是按照習題功能設置了“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次?！皬土曥柟獭睂哟蔚牧曨}主要是讓學生復習本節（章）所學的基礎知識和基本技能；“綜合運用”層次的習題體現了知識間的相互聯系，是要學生綜合運用本節（章）所學知識去解決問題（包括實際問題和數學內部的問題）；在此基礎上，“拓廣探索”層次的習題的綜合性、實踐性更強（不僅是難度的提高），為學生提供了更充分發展的空間。
對于教科書練習、習題的處理，實驗教師也是充分認可的。也有教師指出，練習、習題中基礎題目數量偏少，是不是會減少對學生基礎知識和基本技能的訓練？從教材編寫的角度考慮并不是這樣的。由于后面兩個層次的習題編制較難，所以教材編寫時是作為重點考慮的，但這并不意味著不要基礎訓練。實際上，教學時對“復習鞏固”的題目稍加變式就能得到新題目，教師也可以自行增加一些基礎題目。教材只能依據課標保證基本內容基本練習，但教師的教學是具有彈性的。這次教材修訂在練習、習題中適當的增加了一些基礎題目，也是希望達到一定的訓練量，進一步鞏固基礎知識和基本技能。

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