資源簡介

2016年高考函數(shù)與導數(shù)專題分析
陽新一中 趙碧云
前言：
函數(shù)與導數(shù)是高考考查的重點內容，一般情況下，對函數(shù)與導數(shù)的直接考查可達30分，而間接對函數(shù)、導數(shù)進行考查的題目還不少，函數(shù)與導數(shù)的核心考點的地位不言而喻，因此高考復習必須給予足夠的重視。
一、考情分析
函數(shù)與導數(shù)在高考全國卷中命題形式新穎且呈現(xiàn)出多樣性，選擇題、填空題考查的知識點的清楚明確，始終圍繞函數(shù)與導數(shù)的概念、性質、圖象等方面來命題，試題的設計多圍繞一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾個常見的基本初等函數(shù)來進行，不僅考查函數(shù)與導數(shù)的基礎知識，基本方法，基本技巧，而且注重考查邏輯思維能力、運算能力和分析解決問題的能力，主觀題敘述簡潔、設問清楚，以函數(shù)、方程、不等式及其交叉部分的知識為背景，側重函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，在數(shù)學思想、理性思維以及數(shù)學潛能方面進行了較為深入的地考查，難度較大。
二、常規(guī)考點及層次要求
內 容
知識要求
函數(shù)
概念
性質
1．構成函數(shù)的要素，映射的概念，簡單的分段函數(shù)
了解
理解
掌握
2．函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)的表示法
√
3．函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x
√
4．函數(shù)的奇偶性
√
√
5．運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質
√
指數(shù)函數(shù)
1．指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，實數(shù)指數(shù)冪的意義
√
2．有理指數(shù)冪的含義，指數(shù)函數(shù)的概念及其單調性
√
3．冪的運算、指數(shù)函數(shù)的圖像
√
對數(shù)函數(shù)
1．對數(shù)在簡化運算中的作用，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)
√
2．對數(shù)的概念及其運算性質，對數(shù)函數(shù)的概念及其單調性
√
3．對數(shù)函數(shù)的圖像
√
冪
函
數(shù)
1．冪函數(shù)的概念
√
2．的圖象及變化情況
√
函數(shù)與方程
1．函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系
√
2．一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)
√
函數(shù)模型及其應用
1．指、對、冪函數(shù)的增長特征，體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長
√
2．函數(shù)模型的廣泛使用
√
導
數(shù)
1．導數(shù)概念的實際背景，函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件
√
2．導數(shù)的幾何意義
√
3．根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)(C為常數(shù))
的導數(shù)
√
4．用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，求簡單復合函數(shù)的導數(shù)
√
5．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)的單調區(qū)間
√
6．用導數(shù)求函數(shù)的極值和閉區(qū)間上的最值
√
7．用導數(shù)解決實際問題
√
8．定積分的實際背景、基本思想、概念、微積分基本定理的含義
√
三、在解題中常用的有關結論（需要熟記）
(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為
(2)若可導函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。
(3)對于可導函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。
(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立
(5)函數(shù)在區(qū)間I上不單調等價于在區(qū)間I上有極值，則可等價轉化為函數(shù)在區(qū)間I上有變號零點。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。
(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調函數(shù)，進而得到或在I上恒成立
(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則
(8)若，使得成立，則；若，使得成立，則.
(9)設與的定義域的交集為D若D 恒成立則有
(10)若對、 ，恒成立，則.
若，，使得，則.
若對，，使得,則.
若對，，使得，則.
（11）已知在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，
①若對,，使得成立，則。
②若，，使得成立，則。
(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.
(13)證題中常用的不等式:
① ② ③
④ ⑤ ⑥
四、考題回顧
2011年全國卷1（理）
（2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調遞增的函數(shù)是（B）
（A） (B) （C） (D)
12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標之和等于(D)
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
（21）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果當，且時，，求的取值范圍。
（21）解：
（Ⅰ）
由于直線的斜率為，且過點，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考慮函數(shù)，則
。
(i)設，由知，當時，。而，故
當時，，可得；
當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0
從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）設00,故 (x）>0,而
h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。
（iii）設k1.此時（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。
綜合得，k的取值范圍為（-，0]
2012年全國卷1（理）
（10） 已知函數(shù)；則的圖像大致為（ ）
【解析】選

得：或均有 排除
（12）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）

【解析】選
函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關于對稱
函數(shù)上的點到直線的距離為
設函數(shù)
由圖象關于對稱得：最小值為
（21）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)滿足滿足；
（1）求的解析式及單調區(qū)間；
（2）若，求的最大值。
【解析】（1）
令得：

得：
在上單調遞增

得：的解析式為
且單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為
（2）得
①當時，在上單調遞增
時，與矛盾
②當時，
③當時，
得：當時，

令；則

當時，
當時，的最大值為
2013年全國卷1（理）
11.已知函數(shù)，若||≥，則的取值范圍是(D)
A． B． C． D．
16.若函數(shù)=的圖像關于直線對稱，則的最大值是_16_____.
21.（本小題滿分共12分）已知函數(shù)＝，＝，若曲線和曲線都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線
（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若≥－2時，≤，求的取值范圍。
21．（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
設函數(shù)==（），
==，
有題設可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，則－2＜≤0，∴當時，＜0，當時，＞0，即在單調遞減，在單調遞增，故在=取最小值，而==≥0，
∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，
(2)若，則=，
∴當≥－2時，≥0，∴在(－2,+∞)單調遞增，而=0，
∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，
(3)若，則==＜0，
∴當≥－2時，≤不可能恒成立，
綜上所述，的取值范圍為[1,].
2014年全國卷1（理）
3.設函數(shù)，的定義域都為R，且時奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是(B)
.是偶函數(shù) .||是奇函數(shù)
.||是奇函數(shù) .||是奇函數(shù)
11.已知函數(shù)=，若存在唯一的零點，且＞0，則的取值范圍為(C)
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
21. (本小題滿分12分)設函數(shù)，曲線在點（1，處的切線為. (Ⅰ)求； （Ⅱ）證明：.
（21）解：
……5分
……8分
2015年全國卷1（理）
12. 設函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得0，則的取值范圍是（ ）
A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）
【答案】D
【解析】
試題分析：設=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方. 因為，所以當時，＜0，當時，＞0，所以當時，=，
當時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D.
考點：導數(shù)的綜合應用
（13）若函數(shù)f(x)=xln（x+）為偶函數(shù)，則a=
【答案】1
【解析】
試題分析，由題知是奇函數(shù)，所以
=。
考點：函數(shù)的奇偶性
（21）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f（x）=
(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線 的切線；
（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，設函數(shù) ，討論h（x）零點的個數(shù)
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）先利用導數(shù)的幾何意義列出關于切點的方程組，解出切點坐標與對應的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質將分為研究的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對再分類討論.
試題解析：（Ⅰ）設曲線與軸相切于點，則，，即，解得.
因此，當時，軸是曲線的切線. ……5分
（Ⅱ）當時，，從而，
∴在（1，+∞）無零點.
當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點.
當時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù).
(ⅰ)若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調，而，，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點.
(ⅱ)若，則在（0，）單調遞減，在（，1）單調遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=.
若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點.
若=0，即，則在（0,1）有唯一零點；
若＜0，即，由于，，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點.…10分
綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點. ……12分
考點：利用導數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想

五、考向預測
1．小題2-3個，內容涉及函數(shù)的奇偶性、單調性、圖象等常規(guī)性質，曲線的切線可能會有1-2個會在選擇（或填空）的靠后的位置，如選擇10、11、12或填空題15、16。
2、大題第21題，考查導數(shù)有關的綜合問題，涉及單調區(qū)間、最值、明證不等式，求參數(shù)的取值范圍等，函數(shù)的構成可能為一、二次函數(shù)，和以為底的指數(shù)和對數(shù)的之間的加減乘除的組合也可能涉及型復合函數(shù)，另外三角函數(shù)與分式函數(shù)也要引起注意。
1．已知函數(shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，則
（B）
A.1 B.10 C.107 D.
考查：指對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關系，以及對數(shù)運算，屬容易題。
2．設函數(shù)的定義域為，其中，且在
上的最大值為6，最小值為3，則上的最大值與最小值的和是（ C ）
A. B.9 C.或9 D.以上都不對
考查：冪函數(shù)的性質，屬容易題。
3．已知函數(shù)且函數(shù)在上的最
大值為2，若對任意，存在，使得，則實數(shù)的取值范
圍是（ A ）
A. B. C. D.
4．定義在R上的奇函數(shù)滿足
。
考查：函數(shù)奇偶性和周期性，屬容易題。
5．函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為（ ）
A.0 B.2 C.4 D.6
考查：數(shù)形結合思想，要求學生準確畫出兩個函數(shù)圖象，并充分利用兩個函數(shù)圖象的對稱性，得到交點橫坐標的關系，要求學生對這兩個函數(shù)圖象、性質很熟悉，屬中檔題。
6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，函數(shù)
恰有4個零點，則的取值范圍是 。
考查：函數(shù)的奇偶性，周期性以及數(shù)形結合的思想，把零點個數(shù)轉化為兩圖象的交點個數(shù)，通過控制圖象端點的值來獲取的取值范圍，難度比較大，易錯，右端點很多學生都沒有做出來。
7．已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，且
，則的取值范圍是（ ）
A. B.2 C. D.
考查：分段函數(shù)、函數(shù)圖象的變化，要求學生能準確作出這兩個函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖像得到4個根之間的關系,,并且還要分析出的取值范圍為,再結合函數(shù)的單調性才能得到答案,能力要求較高,難度較大。
8．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則曲線在點
處的切線方程為（ D ）
A. B. C. D.
考查：函數(shù)的奇偶性，曲線在某點處的切線方程，屬容易題。
考查：指對數(shù)函數(shù)的單調性，對數(shù)與二次函數(shù)復合的函數(shù)的單調性，最值以及不等式的恒成立和有解問題的問題的轉化，綜合性強，對學生的能力要求較高，難度偏大。
9．已知。
（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若上的最大值和最小值。
解：（1）上是單調增函數(shù)，對一切恒成立，即對恒成立，恒成立。
，實數(shù)的取值范圍為。
（2）當時，
。
1）當時，，則在上單調遞減，，。
2）當，則單調遞減。
。
綜上：上的最大值為，最小值為。
10.已知函數(shù)
（1）設，若函數(shù)在處的切線過點(1,0)，求的值；
（2）設函數(shù)的大小關系。
11．已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若是函數(shù)的兩個極值點，，求證：對任意的，不
等式恒成立。
解：（1）
①當時，由得，由得，在單調遞增，在（0，1）上單調遞減。
②當時，在單調遞增，在上單調遞減。
③當時，在單調遞增
④當時，在單調遞增，在單調遞減。
（2）證明：由，又有兩個不等的正根且，，時，上單調遞減，，
，令
時，。
上遞增，上遞增，
恒成立。
12．已知函數(shù)為自然對數(shù)底數(shù)。
（1）討論函數(shù)的單調性，并寫出相應的單調區(qū)間；
（2）設對任意都成立，求的最大值。
13．設函數(shù)。
（1）當上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值
范圍；
（3）是否存在常數(shù)，使函數(shù)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，
求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。
14．已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若對任意實數(shù)時，函數(shù)的最大值為的取值范圍。
15．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))。
（1）設上的最大值；
（2）定義：若函數(shù)
的“域同區(qū)間”，若，判斷函數(shù)在上是否有符合條件的“域同區(qū)間”，
若有，求出相應的“域同區(qū)間”；若沒有，請說明理由。
解：（1）
當時，
當
得，又
綜上
（2）時，，
單調遞增
假設存在“域同區(qū)間”[]，則有
即
令
令，單調遞增
，當，
當。
函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又
而，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，這與方程有兩個大于1的相異實根相矛盾，假設成不立。
函數(shù)在上不存在“域同區(qū)間”。
16．已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍。
六、復習建議：
（1）全面夯實基礎，突出對重點內容的復習。全面復習函數(shù)的概念，性質，圖象，掌握好導數(shù)的幾何意義及運算、導數(shù)和函數(shù)的單調性與極值的關系，重點解決導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用，特別是含有參數(shù)的函數(shù)的單調性的研究是難點，注意把不等式問題、方程問題轉化為函數(shù)的單調性、極值、最值進行研究。
（2）注意橫向聯(lián)系，對函數(shù)性質單調性、奇偶性、周期性和圖象的對稱性等內容的考查，多以整合形式出現(xiàn)，要站在學科整體的高度去把握它們之間的聯(lián)系以及函數(shù)與其它模塊知識之間的聯(lián)系。
（3）突出思想性，培養(yǎng)學科能力，知識結構是明線、思想、方法是隱線，思維能力是主線，對函數(shù)性質的研究常涉及到分類與整合，數(shù)形結合等思想方法，思維層次要求較高。

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