資源簡介

2016年高考排列、組合、復數與算法專題分析
大冶實驗高中 馮江華
一、排列、組合部分
1．考情分析
計數原理是求解古典概型概率以及離散型隨機變量的分布列、期望、方差等問題的基礎；在分步和分類計數原理中所蘊含的思想方法是解答數學問題的重要策略．該部分內容在高考中主要以兩種方式進行考查：一是單獨命題；二是與概率、統計等方面的試題融合在一起考查，特別是與古典概型的概率，隨機變量的分布列等綜合在一起．高考中的計數原理試題多以現實生活中的實際問題為背景，通過數字問題、人或物的排列問題、集合的子集個數問題、選代表或選樣品等問題考查考生對計數原理的運用能力，難度不大，以中檔題為主．
2．考試要求
2015年高考數學（全國卷Ⅰ）《理科考試說明》中考試范圍與要求層次：
內　　　　　容
知識要求
知道（A）
理解（B）
掌握（C）
計數
原理（僅限理科）
加法原理、
乘法原理
分類加法計數原理、分步乘法計數原理
√
用分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題
√
排列與組合
排列、組合的概念
√
排列數公式、組合數公式
√
用排列與組合解決一些簡單的實際問題
√
二項式定理
用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題
√
考綱具體要求如下：
①理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理，能正確區分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題．
②理解排列的概念及排列數公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.
③理解組合的概念及組合數公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.
④會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
3．要點串講
（1）用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是要確定需要分類還是分步．分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數．分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才算完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理把完成每一步的方法數相乘，得到總數．對于較復雜的問題，可同時運用兩個計數原理或借助列表、畫圖的方法來求解．
（2）判斷某一個問題是排列問題還是組合問題，關鍵是看選出的元素是否與順序有關．若交換任意兩個元素的位置對結果有影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題．
（3）對于排列組合的綜合性問題，一般的思想方法是先選元素(組合)，后排列．按元素的性質“分類”和按事件發生的連續過程“分步”始終是處理這類問題的基本方法和原理．
（4）排列組合綜合應用問題的常見解法：①特殊元素(特殊位置)優先安排法；②合理分類與準確分步；③排列組合混合問題先選后排法；④相鄰問題捆綁法；⑤不相鄰問題插空法；⑥定序問題縮倍法；⑦多排問題一排法；⑧“小集團”問題先整體后局部法；⑨構造模型法；⑩正難則反，等價轉化法．
（5）要熟練掌握二項式定理，學會靈活應用．對于三項式問題，可轉化為二項式定理去處理．在求二項展開式系數之和問題時經常用賦值法；對于二項式系數的最值問題，有時需要對n的奇偶性進行討論.
從2008年開始正式實行全國卷Ⅰ命題已經八年，可以發現全國卷Ⅰ命題具備以下重要特點：平而不淡，內涵豐富，充分體現“以教材為本”，穩中求變出新，淡化特殊技巧．根據近六年全國卷Ⅰ的特點，預估全國卷Ⅰ明年的計數原理知識考查仍在“二項式定理”中命制，考察方法形式多樣，以選擇題和填空題的形式考查，難度一般不超過中等．建議備考時對計數原理、排列組合不能忽視，確保拿下本題。
4．考題重現
真題1（2015·新課標全國卷Ⅰ理科·第10題）的展開式中，的系數為(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
【考點分析】排列組合；二項式定理.
【解析】在(x2+x+y)5的5個因式中,2個取因式中x2,剩余的3個因式中1個取x,其余因式取y,故x5y2的系數為=30.故選C.
【點評】本題考察二項展開式的系數，偏中檔難度知識的考查.
真題2（2014·新課標全國卷Ⅰ理科·第13題）的展開式中的系為 .(用數字填寫答案)
【考點分析】排列組合；二項式定理.
【解析】展開式的通項為，
∴，∴的展開式中的項為，故系數為20.
【點評】本題考察二項展開式的系數，基本知識的考查．
真題3（2013·新課標全國卷Ⅰ理科·第9題）設為正整數，展開式的二項
式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，若，則 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【考點分析】排列組合；二項式定理.
【解析】由題意可知，，而即，解得.故選B.
【點評】本題考察二項展開式的系數，基本知識的考查．
5．考題預測
1．從8個不同的數中選出5個數構成函數f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8個不同的數中的A、B兩個數不能是x＝5對應的函數值，那么不同的選法種數為(　　)
A． B． C． D．無法確定
解析：自變量有5個，函數值也是5個不同的數，因此自變量與函數值只能一一對應，不會出現多對一的情形．因為A、B兩個數不能是x＝5對應的函數值，故先從余下6個數中選出與5對應的函數值，有種選法，再從其他7個數中選出4個排列即可，故不同選法共有種． 答案：C
2．數字1,2,3,4,5,6按如圖形式隨機排列，設第一行這個數為N1，N2、N3分別表示第二、三行中的最大數，則滿足N1解析：由題意知6必在第三行，安排6有C種方法，第三行中剩下的兩個空位安排數字有A種方法，在留下的三個數字中，必有一個最大數，把這個最大數安排在第二行，有C種方法，剩下的兩個數字有A種排法，按分步計數原理，所有排列的個數是C×A×C×A＝240.
3．在(3－2)11的展開式中任取一項，設所取項為有理項的概率為α，則xαdx＝(　　)
A. B. C. D.
解析：因為展開式一共12項，其通項公式為Tr＋1＝C·(3)11－r·(－2)r
＝C·311－r·(－2)r·x，r＝0,1，…，11.
其中只有第4項和第10項是有理項，
故概率α＝＝，∴xdx＝x|＝.
4．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中，含x4項的系數是首項為－2，公差為3的等差數列的(　　)
A．第11項 B．第13項 C．第18項 D．第20項
解析：(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中，含x4項的系數為：
C＋C＋C＝C＋C＋C＝5＋＋＝55，
以－2為首項，3為公差的等差數列的通項公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，
令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故選D.
5．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝________.
解析：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36；
令x＝－1，則a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝；
令x＝0，則a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
二、復數部分
1．考情分析
高考全國卷Ⅰ復數的考查要求較低，主要集中在復數的概念及復數的四則運算這兩部分內容，且都是容易題，在題型設計上，通常以選擇題或填空題的形式出現，不論是高考題還是模擬題有相當數量的題目來源于教材，故我們復習時應重視課本，抓住重點即復數的概念及復數的四則運算，對于復數的幾何意義了解即可．
2．考試要求
2015年高考數學（全國卷Ⅰ）《理科考試說明》中考試范圍與要求層次：
內　　　　　容
知識要求
知道（A）
理解（B）
掌握（C）
數系的
擴充
與復數的引入
復數的概
念與運算
復數的基本概念，復數相等的條件
√
復數的代數表示法及幾何意義
√
復數代數形式的四則運算
√
復數代數形式加、減法的幾何意義
√
考綱具體要求如下：
①理解復數的基本概念，理解復數相等的充要條件.
②了解復數的代數表示法及其幾何意義；能將代數形式的復數在復平面上用點或向量表示，并能將復平面上的點或向量所對應的復數用代數形式表示.
③能進行復數代數形式的四則運算，了解兩個具體復數相加、相減的幾何意義．
3．要點串講
（1）復數的有關概念是高考的重點，對于復數z＝a＋bi(a，b∈R)，當b≠0時z是虛數，當b＝0時z是實數，當a＝0，b≠0時z是純虛數，特別是純虛數，是高考的一個熱點內容，應牢固掌握．
（2）復數的運算是另一個重點，此類問題一般不難，但運算要仔細，特別要注意復數的除法運算，其中“分母實數化”是經常使用的方法．
（3）復數的幾何意義方面應該主要掌握復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面上的點(a，b)之間的一一對應關系及|z|、|z1－z2|的幾何意義．
（4）應當熟記的一些公式和結論：
(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，|z|＝，|z|2＝||2＝z·；
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)；
(4)若ω＝－＋i，則ω3＝1，|ω|＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2＝.
4．考題重現
真題1（2015·新課標全國卷Ⅰ理科·第1題）設復數z滿足=i,則|z|=　(　　)
A.1 B. C. D.2
【考點分析】復數代數形式的四則運算，復數的模．
【解析】∵=i, ∴,故|z|=1.故選A. 本題也可以設出復數z，利用兩個復數相等的充要條件，解出復數z．
【點評】本題考查復數代數形式的四則運算、復數的模的求解，基本知識的考查．
真題2（2015·新課標全國卷Ⅰ文科·第3題）已知復數z滿足(z-1)i=1+i,則z=　(　　)
A.-2-i B.-2+I C.2-i D.2+i
【考點分析】復數代數形式的四則運算．
【解析】∵(z-1)i=1+i,∴z===2-i.故選C. 本題也可以設出復數z，利用兩個復數相等的充要條件，解出復數z．
【點評】本題考查復數代數形式的四則運算，基本知識的考查．
真題3（2014·新課標全國卷Ⅰ理科·第2題）= （ ）
A. B. C. D.
【考點分析】復數代數形式的四則運算．
【解析】∵=，選D.
【點評】本題考查復數代數形式的四則運算，基本知識的考查．
真題4（2014·新課標全國卷Ⅰ文科·第3題）設，則（ ）
A. B. C. D. 2
【考點分析】復數代數形式的四則運算，復數的模．
【解析】由題知，，故選B．
【點評】本題考查復數代數形式的四則運算、復數的模的求解，基本知識的考查．
真題5（2013·新課標全國卷Ⅰ理科·第2題）若復數z滿足 (3－4i)z＝|4＋3i |，則z的虛部為 ( )
A.－4 B.－ C.4 D.
【考點分析】復數代數形式的四則運算，復數的基本概念．
【解析】由題知===，故z的虛部為，故選D.
【點評】本題考查復數代數形式的四則運算和復數的基本概念中的虛部。基本知識的考查．
真題6（2013·新課標全國卷Ⅰ文科·第2題）（ ）
A. B. C. D.
【考點分析】復數代數形式的四則運算．
【解析】由題知，故選B.
【點評】本題考查復數代數形式的四則運算．基本知識的考查．
5．考題預測
1. 已知z1＝1＋ai，z2＝b－i(a，b∈R)，z1·z2＝5＋5i，的實部為負數，則|z1－z2|＝________.
解析：∵z1·z2＝(1＋ai)(b－i)＝b＋abi－i＋a＝5＋5i，
∴∴或
∴＝＝＋i(不合題意，舍去) 或 ＝＝－＋i.
∴z1＝1＋3i，z2＝2－i，
∴z1－z2＝－1＋4i，
∴|z1－z2|＝.
2．設i是虛數單位，則復數的共軛復數是(　　)
A.＋i B.－i C.－i D.＋i
解析：＝＝－i，所以它的共軛復數是＋i，選D.
3. 已知復數z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虛數單位，則復數的實部與虛部之和為________．
解析：＝＝＝＋i，所以它的實部與虛部之和為1.
三、算法部分
1．考情分析
算法初步主要包括三個方面的內容：一是算法的含義及簡單的算法設計，二是算法的邏輯結構，三是算法語句以及程序設計．其中程序框圖的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構是算法的核心，是高考的必考內容．縱觀近幾年高考，以程序框圖為載體，綜合考查函數求值、數列求和、不等式求解、概率統計等問題已經成為主要的命題類型，同時，算法思想貫穿于高中課程的始終，是高中數學課程的一條主線，在備考中不僅要關注程序框圖和算法語句，而且要在運算中不斷體會算法的思想，以分析、明確思路，提高邏輯思維及運算求解能力．
2．考試要求
2015年高考數學（全國卷Ⅰ）《理科考試說明》（文理要求相同）中考試范圍與要求層次：
內　　　　　容
知識要求
知道（A）
理解（B）
掌握（C）
算法
初步
算法及其
程序框圖
算法的含義、思想
√
程序框圖與算法的三種基本邏輯結構（順序結構、條件結構、循環結構）
√
基本算法
語句
輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句
√
考綱具體要求如下：
① 了解算法的含義，了解算法的思想.
② 理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環.
③了解幾種基本算法語句――輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句的含義.
3．要點串講
（1）算法的要求：寫出的算法，必須能解決一類問題，并且能重復使用；算法過程要能一步一步執行，每一步執行的操作必須確切，不能含混不清，而且在有限步后能得出結果．
（2）程序框圖分為順序結構、條件結構和循環結構，任何算法都可以由這三種基本邏輯結構來構成．順序結構是最簡單的算法結構．條件結構是指在算法中需要對條件作出判斷，根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構．根據指定條件，決定是否重復執行某些步驟的控制結構稱為循環結構．反復執行的處理步驟為循環體．
常見的循環結構有當型循環和直到型循環．
①當型(while型)循環結構
如圖所示，它的功能是當給定的條件P1成立時，執行循環體即語句序列A，執行完后，再判斷條件P1是否成立，如果仍然成立，再執行循環體，如此反復執行循環體，直到某一次條件不成立時跳出循環．
②直到型(until)循環結構
直到型循環一般用于預先難以知道循環次數，通過設置某個條件滿足時退出循環．
如圖所示，它的功能是先執行循環體，即語句序列A，然后判斷給定的條件P2是否成立，如果條件P2不成立，則再執行循環體，然后再對條件P2作判斷，如果條件P2仍然不成立，又執行循環體……如此反復執行循環體，直到給定的條件P2成立時跳出循環．
（4）算法語句
輸入語句：
①“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息．
②變量是指程序在運行時其值可以變化的量．
③輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式．
④提示內容與變量之間用分號“；”隔開，可以一次為一個或多個變量賦值，若輸入多個變量，變量與變量之間用“，”隔開．
輸出語句：
①“提示內容”提示用戶輸出什么樣的信息．
②表達式是指程序要輸出的數據．
③輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符．
賦值語句：
用來表明賦給某一個變量一個具體的確定值的語句叫做賦值語句．
①賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式 .
②賦值號左右不能對換．賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量．
③不能利用賦值語句進行代數式的演算．
④賦值語句中的“＝”號，稱為賦值號．賦值號與數學中的等號的意義不同．賦值號左邊的變量如果原來沒有值，則在執行賦值語句后獲得一個值，如果原已有值，則執行該語句后，以賦值號右邊的表達式的值代替該變量的原值．
⑤對于一個變量可以多次賦值，變量總是取最后賦出的值．
⑥一個賦值語句只能給一個變量賦值，不能出現兩個或多個“＝”．
⑦“表達式”可以是一個數據、常量和算式，如果“表達式”是一個算式時，賦值語句的作用是先計算出“＝”右邊表達式的值，然后將該值賦給“＝”左邊的變量．
4．考題重現
真題1（2015·新課標全國卷Ⅰ理科·第9題·新課標全國卷Ⅰ文科·第9題）執行如圖所示的程序框圖,如果輸入的t=0.01,則輸出的n=　(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【考點分析】程序框圖．
【解析】
執行第一次,t=0.01,S=1,n=0,m==,S=S-m=0.5,m==0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,是,循環;
執行第二次,S=S-m=0.25,m==0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循環;
執行第三次,S=S-m=0.125,m==0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循環;
執行第四次,S=S-m=0.0625,m==0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循環;
執行第五次,S=S-m=0.03125,m==0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循環;
執行第六次,S=S-m=0.015625,m==0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循環;
執行第七次,S=S-m=0.0078125,m==0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,輸出n=7.故選C.
【點評】本題考查程序框圖中的循環結構，基本知識的考查．
真題2（2014·新課標全國卷Ⅰ理科·第7題·新課標全國卷Ⅰ文科·第9題）執行下圖的程序框圖，若輸入的分別為1,2,3，則輸出的=（ ）
A. B. C. D.
【考點分析】程序框圖．
【解析】輸入；
時：；
時：；
時：；
時：輸出 .故選D.
【點評】本題主要考查程序框圖中的循環結構，基本知識的考查．
真題3（2013·新課標全國卷Ⅰ理科·第5題·新課標全國卷Ⅰ文科·第7題）運行如下程序框圖，如果輸入的，則輸出s屬于（ ）
A.[-3,4] B.[-5,2] C .[-4,3] D.[-2,5]
【考點分析】程序框圖，分段函數值域．
【解析】有題意知，
當時，，
當時，，
∴輸出s屬于[-3,4]，故選A.
【點評】本題主要考查程序框圖及分段函數值域求法，是簡單題.
5．考題預測
1. 閱讀程序框圖，輸出的結果s的值為(　　)
A．0 B. C. D．－
解析：本題是求數列{sin}前2013項的和，數列是，，0，－，－，0，，，0，－，－，0，…具有周期性，周期為6且每個周期內6項的和為0，故前2013項求和得＋＋0＝，故選C.
2. 執行如圖所示的程序框圖，則輸出的λ是(　　)
A．－4 B．－2 C．0 D．－2或0
解析：λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，依題意，若λa＋b與b垂直，則有(λa＋b)·b＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝－2；若λa＋b與b平行，則有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.結合題中的程序框圖，輸出的λ是－2，選B.
點評：本題中條件雖然是滿足平行或垂直關系時，輸出λ，但因為λ初值為－4，λ＝λ＋1，所以當λ＝－2時，兩向量垂直，輸出λ＝－2后即結束循環．
3．如果執行如圖的程序框圖，那么輸出的值是(　　)
A．2014 B．－1 C． D．2
解析：程序運行過程依次為：
k＝0<2014→S＝＝－1，k＝1<2014→S＝＝，k＝2<2014→S＝＝2，k＝3，故S的值依次循環取值－1，，2，周期為3，因為2014＝671×3＋1，故最后輸出結果為S＝－1，故選B.
點評：遇到這種數值較大，循環次數較多的情形，可將數值變小，∵2014能被3整除，故可取k<6，k<3來檢驗輸出結果．
4.閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果為________．
解析:運行過程為：x＝1，y＝1，z＝2→x＝1，y＝2，z＝3→x＝2，y＝3，z＝5→x＝3，y＝5，z＝8→x＝5，y＝8，z＝13→x＝8，y＝13，z＝21→輸出＝.
5．閱讀如圖所示的程序框圖．若輸入n＝5，則輸出k的值為________．
解析:執行程序框圖可得，n＝5，k＝0；n＝16，k＝1；n＝49，k＝2；n＝148，k＝3；n＝148×3＋1>150，循環結束，故輸出的k值為3.
馮江華執筆 2015-11-30

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