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2016高考概率與統(tǒng)計考點分析
黃石有色一中 周丹
摘要：“概率與統(tǒng)計”是高中數(shù)學(xué)新課程的重要組成部分，也是高考的重點，在一定程度上反映數(shù)學(xué)應(yīng)用性。 我們知道，統(tǒng)計學(xué)注重的是數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，而概率論是研究隨機現(xiàn)象的科學(xué)。 如何加強學(xué)生對“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容與要求以及教學(xué)的方法和策略的理解是本文闡述的重點，通過實際的案例分析能有效地讓學(xué)生們加深對“概率與統(tǒng)計” 的認(rèn)識。
關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計 考點 案例分析
前言：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)提出了明確的要求，將概率與統(tǒng)計作為高中數(shù)學(xué)課程的必修內(nèi)容。從目前信息時代的要求來看，概率與統(tǒng)計實用性非常廣泛，不僅涉及到生活的方方面面，也涉及到一些知識學(xué)科和領(lǐng)域。從整體上看，高中必修課程有五大模塊所組成，，在模塊當(dāng)中“概率統(tǒng)計”是其中的重點。從目前高中數(shù)學(xué)教材來看，除了傳統(tǒng)的基礎(chǔ)知識和基本技能之外， 還加入了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容，其中“概率統(tǒng)計” 原為大學(xué)教材。這充分體現(xiàn)了“概率統(tǒng)計” 知識的在信息時代運用的重要性和實用性。
一、高中數(shù)學(xué)新課程“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容和特點分析
（一）統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容和特點
統(tǒng)計學(xué)是研究如何收集、整理、分析、數(shù)據(jù)的科學(xué)，人們在對待事物的發(fā)展、現(xiàn)象的認(rèn)識必須依賴這門學(xué)科進行，從而指導(dǎo)人們的實踐活動。在客觀世界中，對事物的理解和認(rèn)識除了感官之外，必須要通過一定的觀察和試驗才能得出對事物了解的真實數(shù)據(jù)，通過這些數(shù)據(jù)分析來正確的認(rèn)識事物的發(fā)展過程和現(xiàn)象。統(tǒng)計部分內(nèi)容有如下幾個方面：
1、隨機抽樣
　（1）對照具體的問題、具體的事物來理解和加深對隨機抽樣的必要性和重要性的認(rèn)識。（2）對事物進行分析統(tǒng)計過程當(dāng)中，能夠掌握用隨機抽樣的辦法來抽取樣本，了解隨機取樣的科學(xué)性和正確性，并通過實際的例子來了解分層取樣、系統(tǒng)抽樣兩種方法，并對方法進行正確的認(rèn)識。
2、用樣本估計總體
　（1）頻率分布表、畫頻率分布直方圖是統(tǒng)計知識當(dāng)中重要的一個方面，力求學(xué)生能夠掌握；學(xué)生要能夠根據(jù)實際問題所產(chǎn)生的需求來進行規(guī)范化的、合理化的樣本選擇，并能夠從樣本數(shù)據(jù)找出最基本、最有特征性的數(shù)字，并加以詳細的描述和解釋。（2）用樣本估計總體的思想是學(xué)生領(lǐng)悟統(tǒng)計知識的必要環(huán)節(jié)，學(xué)生要能夠在實際問題當(dāng)中學(xué)會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體基本數(shù)字，找出有規(guī)律性、合理的理由和方法來闡述樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性。（3）統(tǒng)計數(shù)據(jù)出來以后，學(xué)生要能夠?qū)?shù)據(jù)進行合理的分析，并對相關(guān)的決策制定闡述相關(guān)理由，正確的認(rèn)識統(tǒng)計的功能和作用，并能夠?qū)⒔y(tǒng)計思維與確定性思維之間的差異進行理解。　　　　
3、變量的相關(guān)性
　（1）變量的相關(guān)性要求在實際的問題當(dāng)中，學(xué)生能夠依據(jù)相關(guān)的變量數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的散點圖，并依據(jù)散點圖描述變量之間的相互關(guān)系和相互作用。（2）學(xué)生要能夠掌握用不同的估算方法來闡述普通變量之間的線性關(guān)系，理解線形關(guān)系的概念，并熟知最小二乘法的思想，并能夠結(jié)合線性回歸方程系數(shù)公式建立起相關(guān)的線性回歸方程，并能夠正確的進行闡述。
統(tǒng)計部分知識框圖（如上所示）
4、統(tǒng)計部分教材特點分析
（1）典型案例作用。在統(tǒng)計部分教材當(dāng)中，典型案例的作用十分明顯，利用與實際生活息息相關(guān)的案例來進行統(tǒng)計內(nèi)容的編排，讓學(xué)生親身體驗數(shù)據(jù)處理的全過程；并在此過程當(dāng)中對統(tǒng)計的知識與方法和相關(guān)思想進行滲透和理解，于此同時讓學(xué)生領(lǐng)悟到在處理實際生活問題當(dāng)中統(tǒng)計的作用，加強對統(tǒng)計知識理解和興趣培養(yǎng)。
（2）目前教科書各節(jié)的開頭部分，均采用需求問題情節(jié)來引導(dǎo)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在具體的問題當(dāng)中學(xué)會自我總結(jié)，并運用抽象的觀念來尋找一般性的規(guī)律，這樣能夠使得學(xué)生對統(tǒng)計思想的來源進行深度的理解，激發(fā)學(xué)生對創(chuàng)新思維的追求，繼而形成學(xué)生獨特的統(tǒng)計能力。
（3）在目前教科書當(dāng)中往往能夠通過思考、探究、閱讀理解等內(nèi)容對學(xué)生開放性思維留下了一定的拓展空間。
（二）隨機的內(nèi)容和特點
在自然界與人類的社會活動中記存在確定性現(xiàn)象也存在隨機現(xiàn)象，這樣的例子在日常生活中隨處可見并不奇怪。從一個大的方面來說概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，而從小的方面來說是人們認(rèn)識客觀世界、客觀事物這思維模式和一種實際解決問題的方法。概率部分內(nèi)容有以下內(nèi)容：（1）在日常生活當(dāng)中，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，并針對概率的意義進行有力的評述，對頻率與概率概念的理解和認(rèn)識，并加以區(qū)分開來。（2）要求學(xué)生對兩個互斥事件的概率加法公式進行記憶，必須針對古典概型及其概率計算公式進行理解。而且在實際過程當(dāng)中，能夠用列舉法計算客觀世界、客觀事物隨機事件所含的基本事件數(shù)和事件發(fā)生的概率，并加以詳細的描述。（3）要求學(xué)生對隨機數(shù)的意義能夠清醒的認(rèn)識，并且能運用模擬方法估計概率，對幾何概型的意義進行相應(yīng)的理解和認(rèn)識。
概率部分知識框圖（如上所示）
概率部分教材特點分析：
（1）概率在實際中的應(yīng)用
在目前教材當(dāng)中，無論對概率的闡述、說明和定義都列舉了實際的生活實例的來進行說明，涉及的問題很多，不僅討論了彩票中獎的概率，也闡述了體育比賽當(dāng)中游戲公平性的問題，還對天氣預(yù)報降水概率進行了分析總結(jié)，與此同時還列舉了遺傳機理的統(tǒng)計規(guī)律、儲蓄卡密碼等等。這些實際應(yīng)用有助于學(xué)生對概率進行正確的認(rèn)識，也有助于在信息時代學(xué)生將來發(fā)展的選擇和對事物的理解，從而更好地為社會服務(wù)。
（2）注重統(tǒng)計思想和計算結(jié)果的解釋
統(tǒng)計思想從小方面來說，在學(xué)生階段是為了解決數(shù)學(xué)上的難題；而從一個大的方面來說，是為了培養(yǎng)學(xué)生正確思想方法和解決實際問題的能力。從長遠的角度上來說，統(tǒng)計思想在學(xué)生階段培養(yǎng)非常重要。在目前教材當(dāng)中對統(tǒng)計思想把握尤其明確。并且能夠留下一定的思想拓展空間讓學(xué)生進行進一步的探究實踐活動，教材的靈活性熟悉促使學(xué)生靈活性的思維和無限拓展的空間想像，有助于學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。
（3）注重現(xiàn)代信息技術(shù)手段的應(yīng)用
當(dāng)今的世界在邁向一個嶄新的信息技術(shù)廣泛應(yīng)用的時代，由此對學(xué)生未來的發(fā)展教材給予了充分的考慮。現(xiàn)代教育手段、技術(shù)基礎(chǔ)工具給學(xué)生提供了良好的學(xué)習(xí)發(fā)展的環(huán)境，使得學(xué)生在豐富多彩的教育環(huán)境當(dāng)中得到了熏陶。基于概率統(tǒng)計的特點，現(xiàn)代教育技術(shù)手段讓原本枯燥的教學(xué)內(nèi)容以活靈活現(xiàn)的、一目了然的形式展現(xiàn)在學(xué)生面前，使得學(xué)生學(xué)習(xí)興趣更加濃厚，也使得學(xué)生對概率的演變過程認(rèn)識更加清晰。
二、概率統(tǒng)計部分考點分析
（一）概率統(tǒng)計命題特點
1、從近幾年的高考命題來看，都會涉及到概念統(tǒng)計的相關(guān)解答題目，分值也占據(jù)10分到20分左右。從題目的類型來看，以實際應(yīng)用為主要出發(fā)點，更注重應(yīng)用能力的考查，一方面設(shè)置了靈活的題目情景，如一些測試成績、產(chǎn)品合格率、計算機上網(wǎng)、串聯(lián)并聯(lián)系統(tǒng)、溫度調(diào)節(jié)等等，而且還設(shè)置了較為靈活的分層次的難度。所以針對學(xué)生高考復(fù)習(xí)而言，要注意復(fù)習(xí)的全面性和及時性，以及應(yīng)用性的了解和認(rèn)知，避免考試的過程當(dāng)中產(chǎn)生混亂和某些應(yīng)用不了解的情況。
2、就考查內(nèi)容而言, 以小題形式出現(xiàn)的是用概率定義或基本事件求事件概率；以大題形式出現(xiàn)的是隨機變量取值－取每一個值的概率－列分布列－求期望方差常等等。與此同時在選擇與填空中也常常出現(xiàn)概率與統(tǒng)計部分題目，考查學(xué)生對概念和應(yīng)用基礎(chǔ)性的認(rèn)識。
（二）考點透視
1．隨機事件的概率；
2．古典概型與幾何概型
3．離散型隨機變量及其分布列，均值與方差
4．二項分布及其應(yīng)用
5．正態(tài)分布
6.隨機抽樣
7.用樣本估計總體
8．變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例
（三）例題解析
考點1. 隨機事件的概率及古典概型和幾何概型
1.隨機事件及其概率：
（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；
（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；
（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；
（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；
（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例=為事件A出現(xiàn)的頻率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。
（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率
2.概率的基本性質(zhì)
（1）概率的取值范圍是0—1之間,即0≤P(A)≤1.
（2）必然事件的概率是1.
（3）不可能事件的概率是0
（4）當(dāng)事件A與事件B互斥時,A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件B發(fā)生的頻數(shù)之和,互斥事件的概率等于互斥事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),這就是概率的加法公式.也稱互斥事件的概率的加法公式.
（5）事件A與事件B互為對立事件,A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
3.古典概型：
基本事件具有如下的兩個特點：
①任何兩個基本事件是互斥的；
②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
在一個試驗中如果
①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性）
②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性）
我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型簡稱古典概型.
古典概型的概率公式
4.幾何概型：
對于一個隨機試驗,我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗,稱為幾何概型.
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型.
幾何概型的基本特點：
a.試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；
b.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
幾何概型的概率公式．
例1.【2015高考廣東，理4】袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球。從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（ ）
A．1 B. C. D.
【答案】．
【解析】從袋中任取個球共有種，其中恰好個白球個紅球共有種，所以從袋中任取的個球恰好個白球個紅球的概率為，故選．
本題主要考查排列組合，古典概率的計算和轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用、運算求解能力，解答此題關(guān)鍵在于理解所取球恰好個白球個紅球即是分步在白球和紅球各取個球的組合。
2.【2015高考廣東，文7】已知件產(chǎn)品中有件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，恰有一件次品的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
本題主要考查的是古典概型，屬于容易題．解題時要抓住重要字眼“恰有”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．列舉基本事件一定要注意按順序列舉，做到不重不漏，防止出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是古典概型概率公式，即．
3.【2015高考陜西，理11】設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
本題主要考查的是復(fù)數(shù)的模和幾何概型，屬于中檔題．解幾何概型的試題，一般先求出實驗的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積），再求出事件構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可．解本題需要掌握的知識點是復(fù)數(shù)的模和幾何概型的概率公式，即若（、），則，幾何概型的概率公式．
4.【2015高考湖北，理7】在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，對事件“”，如圖（1）陰影部分，
對事件“”，如圖（2）陰影部分，
對為事件“”，如圖（3）陰影部分，
由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是，正方形的面積為，
根據(jù)幾何概型公式可得.
（1） （2） （3）
對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認(rèn)識，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．
5.【2015高考湖北，文8】在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】.
【解析】由題意知，事件“”的概率為，事件“”的概率，其中，，所以，故應(yīng)選.
本題考查幾何概型和微積分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的區(qū)域和反比例函數(shù)所表示的區(qū)域.以幾何概型為依托，融合定積分的幾何意義、二元一次不等式所表示的區(qū)域和反比例函數(shù)所表示的區(qū)域等內(nèi)容，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在實際問題中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生靈活運用基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力.
6.【2015高考福建，理13】如圖，點 的坐標(biāo)為 ，點 的坐標(biāo)為 ，函數(shù) ，若在矩形 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于 ．
【答案】
【解析】由已知得陰影部分面積為．所以此點取自陰影部分的概率等于．
本題考查幾何概型，當(dāng)實驗結(jié)果由等可能的無限多個結(jié)果組成時，利用古典概型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長度的比值（一個變量）、面積的比值（兩個變量）、體積的比值（三個變量或根據(jù)實際意義）來求．
7.【2015高考福建，文8】如圖，矩形中，點在軸上，點的坐標(biāo)為．且點與點
在函數(shù)的圖像上．若在矩形內(nèi)隨機
取一點，則該點取自陰影部分的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，，，．則矩形面積為，陰影部分面積為，故該點取自陰影部分的概率等于．
本題考查幾何概型，當(dāng)實驗結(jié)果由等可能的無限多個結(jié)果組成時，利用古典概型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長度的比值（一個變量）、面積的比值（兩個變量）、體積的比值（三個變量或根據(jù)實際意義）來求，屬于中檔題．
8.【2015高考新課標(biāo)1，文4】如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】從中任取3個不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.
求解古典概型問題的關(guān)鍵是找出樣本空間中的基本事件數(shù)及所求事件包含的基本事件數(shù)，常用方法有列舉法、樹狀圖法、列表法法等，所求事件包含的基本事件數(shù)與樣本空間包含的基本事件數(shù)的比值就是所求事件的概率.
9.【2015高考山東，文7】在區(qū)間上隨機地取一個數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由得，，所以，由幾何概型概率的計算公式得，，故選.
本題考查幾何概型及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在理解幾何概型概率計算方法的前提下，解答本題的關(guān)鍵，是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得事件發(fā)生的范圍.
10.【2015高考重慶，文15】在區(qū)間上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程有兩個負根的概率為________.
【答案】
【解析】方程有兩個負根的充要條件是即或，又因為，所以使方程有兩個負根的p的取值范圍為，故所求的概率，故填：.
本題考查幾何概率及一元二次方程實根的分布，首先將方程有兩個負根的充要條件找出來，求出的取值范圍，再利用幾何概率公式求解，本題屬于中檔題，注意運算的準(zhǔn)確性.
11.【2015高考山東，文16】某中學(xué)調(diào)查了某班全部名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）
參加書法社團
未參加書法社團
參加演講社團
未參加演講社團
（1）從該班隨機選名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率；
（2）在既參加書法社團又參加演講社團的名同學(xué)中，有5名男同學(xué)名女同學(xué)現(xiàn)從這名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機選人，求被選中且未被選中的概率.
【答案】(1) ；(2).
【解析】
（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有人，故至少參加上述一個社團的共有人，所以從該班級隨機選名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率為
(2)從這名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機選人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：
，共個.
根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共個.
因此被選中且未被選中的概率為.
本題考查了古典概型概率及隨機事件的概率，在正確理解題意的情況下，能準(zhǔn)確確定基本事件數(shù)是關(guān)鍵.本題是一道應(yīng)用題，也是一道能力題，屬于中等題，較全面地考查了概率的基礎(chǔ)知識，同時考查考生的計算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，解決實際問題的能力.
12.【2015高考四川，文17】一輛小客車上有5個座位，其座位號為1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1，2，3，4，5，他們按照座位號順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位.
(Ⅰ)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號填入表中空格處)
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位號
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
(Ⅱ)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，求乘客P1坐到5號座位的概率.
【解析】(Ⅰ)余下兩種坐法如下表所示
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位號
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(Ⅱ)若乘客P1做到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐
則所有可能坐法可用下表表示為
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位號
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是，所有可能的坐法共8種
設(shè)“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數(shù)為4
所以P(A)＝
答：乘客P5坐到5號座位的概率為.
本題主要考查隨機事件的概率、古典概型等概念及相關(guān)計算，考查運用概率知識與方法分析和解決問題的能力，考查推理論證能力、應(yīng)用意識.
概率統(tǒng)計問題，文科的考查重點是隨機事件、古典概型以及列舉法求概率，本題需要考生根據(jù)條件細致填寫座位表，通常采取按照某種順序，如本題中已經(jīng)設(shè)定的P1，P2，P3，P4，P5的座位號順序填寫，只要能正確填寫好表格，相應(yīng)概率隨之得到.屬于簡單題.
13.【2015高考陜西，文19】隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天氣
晴
雨
陰
陰
陰
雨
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天氣
晴
陰
雨
陰
陰
晴
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
雨
(I)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；
(II)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)兩天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.
【答案】(I) ； (II) .
【考點定位】概率與統(tǒng)計.
【名師點睛】(1)利用古典概型概率公式求概率時，求試驗的基本事件和事件的基本事件的個數(shù)，必須利用樹狀圖.表格.集合等形式把事件列舉出來，格式要規(guī)范；（2）列舉基本事件時，要注意找規(guī)律，要不重不漏.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準(zhǔn)確性.
14.【2015高考北京，文17】（本小題滿分13分）某超市隨機選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，
整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．
甲
乙
丙
丁
√
×
√
√
×
√
×
√
√
√
√
×
√
×
√
×
√
×
×
×
×
√
×
×
（I）估計顧客同時購買乙和丙的概率；
（II）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買中商品的概率；
（III）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？
【答案】（I）0.2；（II）0.3；（III）同時購買丙的可能性最大.
【解析】
試題分析：本題主要考查統(tǒng)計表、概率等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.（I）由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買乙和丙的人數(shù)，計算出概率；（II）先由統(tǒng)計表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買中商品的人數(shù)，再計算概率；（III）由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買甲和乙的人數(shù)為，顧客同時購買甲和丙的人數(shù)為，顧客同時購買甲和丁的人數(shù)為，分別計算出概率，再通過比較大小得出結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）從統(tǒng)計表可以看出，在這位顧客中，有位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為.
（Ⅱ）從統(tǒng)計表可以看出，在在這位顧客中，有位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買種商品的概率可以估計為.
（Ⅲ）與（Ⅰ）同理，可得：
顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為，
顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為，
顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為，
所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.
考點：統(tǒng)計表、概率.
本題主要考查的是統(tǒng)計表和古典概型，屬于中檔題．解題時一定要抓住重要字眼“估計”和“最大”，否則很容易失分．解此類統(tǒng)計表的試題一定要理解透徹題意，提取必要的信息．解本題需要掌握的知識點是古典概型概率公式，即．
考點2離散型隨機變量及其分布列，均值與方差
1.隨機變量及相關(guān)概念
①隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，常用希臘字母ξ、η等表示.
②隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
③隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.
2.離散型隨機變量的分布列
①離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)
一般地，設(shè)離散型隨機變量可能取的值為，，……，，……，取每一個值（1，2，……）的概率P（）=，則稱下表.
…
…
P
…
…
為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.
由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì)：
（1），1，2，…;（2）…=1.
②常見的離散型隨機變量的分布列：
（1）二項分布
次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，…n，并且，其中，，隨機變量的分布列如下：
0
1
…
…
P
…
稱這樣隨機變量服從二項分布，記作，其中、為參數(shù)，并記： .
（2） 幾何分布
在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量，“”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生。隨機變量的概率分布為：
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
…
…
隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差
(1)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：…；期望反映隨機變量取值的平均水平.
(2)離散型隨機變量的方差：……；
方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.
（3）基本性質(zhì)：；.
(4)若～B(n，p)，則 ; D =npq（這里q=1-p） ;
如果隨機變量服從幾何分布，，則，D =其中q=1-p。
例1.【2015高考廣東，理13】已知隨機變量服從二項分布，若，，則 .
【答案】．
【解析】依題可得且，解得，故應(yīng)填入．
本題主要考查二項分布的均值和方差應(yīng)用及運算求解能力，屬于容易題，解答此題關(guān)鍵在于理解熟記二項分布的均值和方差公式，并運用其解答實際問題．
2【2015高考福建，理16】某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.
(Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；
(Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解析】（Ⅰ）設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，
則
（Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3
又
所以X的分布列為
所以．學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)
本題考查古典概型和隨機變量的期望，第一問，將事件轉(zhuǎn)化為所選的三個密碼都不是該銀行卡密碼，共有種，而基本事件總數(shù)為，代入古典概型概率計算公式；第二問，寫出離散型隨機變量所有可能取值，并求取相應(yīng)值的概率，寫成分布列求期望即可．確定離散型取值時，要科學(xué)兼顧其實際意義，做到不重不漏，計算出概率后要注意檢驗概率和是否為1，以便及時矯正。
3.【2015高考山東，理19】若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.
（I）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；
（II）若甲參加活動，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.
試題分析：（I）明確“三位遞增數(shù)”的含義，寫出所有的三位符合條件的“三位遞增數(shù)”；
（II）試題解析：明確隨機變量的所有可能取值及取每一個值的含義，結(jié)合組合的知識，利用古典概型求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解：（I）個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有：125，135，145，235，245，345；
（II）由題意知，全部“三位遞增烽”的個數(shù)為
隨機變量X的取值為：0，-1，1，因此
, ,
所以X的分布列為
X
0
-1
1
P
因此
本題在一個新概念的背景下，考查了學(xué)生對組合、概率、離散型隨機變量的分布列等知識，意在考查學(xué)生對新知識的理解與應(yīng)用能力，以及利用所學(xué)知識解決遇到了的問題的能力，解決此類問題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.
4.【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.（Ⅰ）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.
故的分布列為
.
高考中常常通過實際背景考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗的概率計算及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，同時也考查二項分布、超幾何分布等特殊的概率模型.解讀此類問題時要注意分清類型，運用相應(yīng)的知識進行解答.本題易犯的錯誤是事件之間的關(guān)系混亂，沒有理解題中給定的實際意義.
5.【2015高考天津，理16】（本小題滿分13分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.
(I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；
(II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】(I)由已知，有
所以事件發(fā)生的概率為.
(II)隨機變量的所有可能取值為
所以隨機變量的分布列為
所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望
本題主要考查古典概型、互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.把實際生活中的乒乓球比賽與數(shù)學(xué)中的古典概型相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值與研究價值，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中概率、期望對實際生活中的一些指導(dǎo)作用.
6.【2015高考重慶，理17】 端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個。
（1）求三種粽子各取到1個的概率；
（2）設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望
X
0
1
2
P
故．
在解古典概型概率題時，首先把所求樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次所求概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率；求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計算．注意在求離散型隨機變量的分布列時不要忽視概率分布列性質(zhì)的應(yīng)用，對實際的含義要正確理解.
7.【2015高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊
（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率.
（2）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）由題意，參加集訓(xùn)的男女生各有6名.
參賽學(xué)生全從B中抽取（等價于A中沒有學(xué)生入選代表隊）的概率為.
因此，A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為.
（2）根據(jù)題意，X的可能取值為1，2，3.
，
，
，
所以X的分布列為：
因此，X的期望為.
應(yīng)用問題一定要注意弄清題意，找出題中的關(guān)鍵字詞.在本題中，就要分清楚集訓(xùn)隊與代表隊的區(qū)別.求概率時，如果直接求比較復(fù)雜，就應(yīng)該先求其對立事件的概率.超幾何分布和二項分布是中學(xué)中的兩個重要概率分布，考生必須牢固掌握.本題的概率分布就是一個超幾何分布問題.
8.【2015高考湖北，理20】某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品．生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元．要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個隨機變量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．
目標(biāo)函數(shù)為 ．
當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為．
將變形為，
當(dāng)時，直線：在軸上的截距最大，
最大獲利．
當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為．
將變形為，
當(dāng)時，直線：在軸上的截距最大，
最大獲利．
當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，
四個頂點分別為.
將變形為，
當(dāng)時，直線：在軸上的截距最大，
最大獲利．
故最大獲利的分布列為
8160
10200
10800
0.3
0.5
0.2
因此，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過10000元的概率，
由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為
二項分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一個考點.獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．
9【2015高考陜西，理19】（本小題滿分12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對其
容量為的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
（分鐘）
25
30
35
40
頻數(shù)（次）
20
30
40
10
（I）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（II）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授
從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．
試題解析：（I）由統(tǒng)計結(jié)果可得的頻率分步為
（分鐘）
25
30
35
40
頻率
0.2
0.3
0.4
0.1
以頻率估計概率得的分布列為
25
30
35
40
0.2
0.3
0.4
0.1
從而 （分鐘）
故.
本題主要考查的是離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望和獨立事件的概率，屬于中檔題．解題時一定要抓住重要字眼“不超過”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解離散型隨機變量的分布列的試題時一定要萬分小心，特別是列舉隨機變量取值的概率時，要注意按順序列舉，做到不重不漏，防止出現(xiàn)錯誤．
10. 【2015高考湖南，理18】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
試題分析：（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝，｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝
｛顧客抽獎1次獲一等獎｝，｛顧客抽獎1次獲二等獎｝，｛顧客抽獎1次能獲獎｝，則可知
與相互獨立，與互斥，與互斥，且，，，再
利用概率的加法公式即可求解；（2）分析題意可知，分別求得，，，，即可知的概率分布及其期望.
試題解析：（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝，｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝
｛顧客抽獎1次獲一等獎｝，｛顧客抽獎1次獲二等獎｝，｛顧客抽獎1次能獲獎｝，由題意，與相互獨立，與互斥，與互斥，且，，，∵，，∴，

，
故所求概率為；
（2）
本題主要考查了離散型隨機變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計在生活中的實際應(yīng)用，這一
直都是高考命題的熱點，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實生活中的熱點問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識綜合的試題逐漸增多，在復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.
考點3：隨機抽樣，用樣本估計總體
隨機抽樣
（1）．簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機抽樣有兩種選取個體的方法：放回和不放回，我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數(shù)法．
（2）．抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當(dāng)總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，如果標(biāo)號的簽攪拌得不均勻，會導(dǎo)致抽樣不公平，隨機數(shù)表法的優(yōu)點與抽簽法相同，缺點是當(dāng)總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較小的抽樣類型．
（3）．簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為，但是這里一定要將每個個體入樣的可能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分開來，避免在解題中出現(xiàn)錯誤
2.用樣本估計總體
統(tǒng)計圖表的含義
(1)頻率分布表
①含義：把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表．
②頻率分布表的畫法步驟：
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝；
第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．
(2)頻率分布直方圖：能夠反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖．
(3)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連接起來，就得到頻率分布折線圖．
(4)總體密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距足夠小，則相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，即總體密度曲線．
(5)莖葉圖的畫法步驟
第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；
第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列；
第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè)．
樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是
s＝
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
例1.【2015高考湖北，理2】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B
【解析】依題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，選B.
《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種.該書內(nèi)容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.本題“米谷粒分”是我們統(tǒng)計中的用樣本估計總體問題.
2.【2015高考安徽，理6】若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn) 差為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，即方差，而數(shù)據(jù)，，，的方差，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為.故選C.
已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機變量的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，則數(shù)的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.
3.【2015高考湖南，理12】在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示，若將運動員按成績由好到差編為號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間上的運動員人數(shù)是 .
【答案】.
試題分析：由莖葉圖可知，在區(qū)間的人數(shù)為，再由系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)可知人數(shù)為人.
本題主要考查了系統(tǒng)抽樣與莖葉圖的概念，屬于容易題，高考對統(tǒng)計相關(guān)知識的考查，重點
在于其相關(guān)的基本概念，如中位數(shù)，方差，極差，莖葉圖，回歸直線等，要求考生在復(fù)習(xí)時注意對這些方
面的理解與記憶.
4.【2015江蘇高考，2】已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________.
【答案】6
【解析】
樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．解答此類問題關(guān)鍵為概念清晰，類似概念有樣本方差，標(biāo)準(zhǔn)差.其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
5.【2015高考重慶，文4】重慶市2013年各月的平均氣溫（°C）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
則這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是（ ）
19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23
【答案】B
【解析】由莖葉圖可知總共12個數(shù)據(jù)，處在正中間的兩個數(shù)是第六和第七個數(shù)，它們都是20，由中位數(shù)的定義可知：其中位數(shù)就是20，故選B.
本題考查復(fù)數(shù)的概念和運算，采用分母實數(shù)化和利用共軛復(fù)數(shù)的概念進行化解求解.
6.【2015高考陜西，文2】某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
【答案】
【解析】由圖可知該校女教師的人數(shù)為，故答案選.
1.扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形的大小表各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).
2.通過扇形圖可以很清晰地表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.
7.【2015高考山東，文6】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：
①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；
②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；
③甲地該月14時的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；
④甲地該月14時的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.
其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的標(biāo)號為( )
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
【答案】
【解析】甲地數(shù)據(jù)為：；乙地數(shù)據(jù)為：；
所以，
即正確的有①④，故選.
本題考查莖葉圖的概念以及平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及其計算，解答本題的關(guān)鍵，是記清公式，細心計算.
8.【2015高考北京，文4】某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
類別
人數(shù)
老年教師
中年教師
青年教師
合計
【答案】C
【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得，故選C.
本題主要考查的是分層抽樣，屬于容易題．解題時一定要清楚“”是指抽取前的人數(shù)還是指抽取后的人數(shù)，否則容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是分層抽樣，即抽取比例．
9.【2015高考湖北，文14】某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.
（Ⅰ）直方圖中的_________；
（Ⅱ）在這些購物者中，消費金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為_________.
【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.
【解析】由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得，
解之得.于是消費金額在區(qū)間內(nèi)頻率為，所以消費金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為：，故應(yīng)填3；6000.
以實際問題為背景，重點考查頻率分布直方圖，靈活運用頻率直方圖的規(guī)律解決實際問題，能較好的考查學(xué)生基本知識的識記能力和靈活運用能力.
10.【2015高考安徽，文17】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為
（Ⅰ）求頻率分布圖中的值；
（Ⅱ）估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；
（Ⅲ）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.
【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）因為，所以
（Ⅱ）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為，
所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為.
（Ⅲ）受訪職工評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即為;
受訪職工評分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即為.
從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是
又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為.
本題主要考查了頻率分布直方圖、概率和頻率的關(guān)系、古典概型等基礎(chǔ)知識.
利用頻率分布直方圖解題的時，注意其表達的意義，同時要理解頻率是概率的估計值這一基礎(chǔ)知識；在利用古典概型解題時，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現(xiàn)重、漏的情況.
11.【2015高考廣東，文17】（本小題滿分12分）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．
（1）求直方圖中的值；
（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的
方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
【答案】（1）；（2），；（3）．
試題分析：（1）由頻率之和等于可得的值；（2）由最高矩形的橫坐標(biāo)中點可得眾數(shù)，由頻率之和等于可得中位數(shù)；（3）先計算出月平均用電量為，，，的用戶的戶數(shù)，再計算抽取比例，進而可得月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取的戶數(shù)．
試題解析：（1）由得：，所以直方圖中的值是
（2）月平均用電量的眾數(shù)是
因為，所以月平均用電量的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由得：，所以月平均用電量的中位數(shù)是
（3）月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，抽取比例，所以月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取戶
考點：1、頻率分布直方圖；2、樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)）；3、分層抽樣.
本題主要考查的是頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)）和分層抽樣，屬于中檔題．解題時一定要注意頻率分布直方圖的縱軸是，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)）和分層抽樣，即在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于，眾數(shù)是最高矩形的橫坐標(biāo)中點，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，，
12.【2015高考新課標(biāo)2，理18】（本題滿分12分）
某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：
A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）；
（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：
滿意度評分
低于70分
70分到89分
不低于90分
滿意度等級
不滿意
滿意
非常滿意
記時間C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．
【解析】（Ⅰ）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下
通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．
本題考查莖葉圖、互斥事件和獨立事件，根據(jù)莖葉的密集程度比較平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它們數(shù)字偏離程度，偏離越大則方差大．讀懂所求概率事件包含的含義，利用分類討論思想將事件分解為幾個互斥的情況來求概率．
13.【2015高考廣東，理17】某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表：
工人編號
年齡
工人編號
年齡
工人編號
年齡
工人編號
年齡
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
（1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；
（2）計算（1）中樣本的平均值和方差；
（3）36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01％）？
∴ 年齡在與之間共有人，所占百分比為．
本題主要考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識和運算求解能力，屬于中檔題，整體難度不大，解答本題關(guān)鍵在于第（1）問要準(zhǔn)確由系統(tǒng)抽樣的定義得出對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，第（2）（3）問則直接準(zhǔn)確運用公式即可解答，但需注意運算過程和運算方法的應(yīng)用．
14.【2015高考福建，文18】全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響了的綜合指標(biāo)．根據(jù)相關(guān)報道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)進行分組統(tǒng)計，結(jié)果如表所示．
組號
分組
頻數(shù)
1

2
2

8
3

7
4

3
（Ⅰ）現(xiàn)從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調(diào)研，求至少有1家的融合指數(shù)在的概率；
（Ⅱ）根據(jù)分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù)．
【解析】解法一：（I）融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，，；融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，．從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取家的所有基本事件是：，，，，，，，，，，共個．
其中，至少有家融合指數(shù)在內(nèi)的基本事件是：，，，，，，，，，共個．
所以所求的概率．
（II）這家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)平均數(shù)等于．
解法二：（I）融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，，；融合指數(shù)在內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為，．從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取家的所有基本事件是：，，，，，，，，，，共個．
其中，沒有家融合指數(shù)在內(nèi)的基本事件是：，共個．
所以所求的概率．
（II）同解法一．
本題考差古典概型和平均數(shù)，利用古典概型的“等可能”“有限”性的特點，能方便的求出概率．由實際意義構(gòu)造古典概型，首先確定試驗的樣本空間結(jié)構(gòu)并計算它所含樣本點總數(shù)，然后再求出事件A所含基本事件個數(shù)，代入古典概型的概率計算公式；根據(jù)頻率分布表求平均數(shù)，對于每組的若干個數(shù)可以采取區(qū)間中點值作為該組數(shù)據(jù)的數(shù)值，再求平均數(shù)．
考點4 ： 正態(tài)分布
1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)
（1）正態(tài)分布的概念
如果連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數(shù)為 ，x 其中、為常數(shù)，并且＞0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.
（2）期望E =μ，方差.
（3）正態(tài)分布的性質(zhì)
2.正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):
①曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x＝μ對稱.
②曲線在x=μ時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低.
③曲線的對稱軸位置由μ確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.
3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
當(dāng)=0，=1時服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作（0，1）
4．兩個重要的公式
①,② .
5.與二者聯(lián)系.
若，則 ;
②若，則.
例1.【2015高考湖北，理4】設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C．對任意正數(shù)， D．對任意正數(shù)，
【答案】C
正態(tài)曲線的性質(zhì)
①曲線在軸的上方，與軸不相交．
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱．
③曲線在處達到峰值.
④曲線與軸之間的面積為1.
⑤當(dāng)一定時，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示
⑥μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中．如圖乙所示．
2.【2015高考山東，理8】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取
一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（ ）
（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布 ，則 ，
。）
（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%
【答案】B
本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運算，重點考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學(xué)生對正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解及基本的運算能力.
3.【2015高考湖南，理7】在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
附：若，則，
【答案】C.
試題分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，故選C.
本題主要考查正態(tài)分布與幾何概型等知識點，屬于容易題，結(jié)合參考材料中給出的數(shù)據(jù)，結(jié)
合正態(tài)分布曲線的對稱性，再利用幾何概型即可求解，在復(fù)習(xí)過程中，亦應(yīng)關(guān)注正態(tài)分布等相對冷門的知識點的基本概念.
考點5：變量間的相關(guān)關(guān)系及統(tǒng)計案例
1．變量間的相關(guān)關(guān)系
(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．
(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)．
2．兩個變量的線性相關(guān)
(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．
(2)回歸方程為＝x＋，其中＝，＝－．
(3)通過求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．
(4)相關(guān)系數(shù)：
當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；
當(dāng)r<0時，表明兩個變量負相關(guān)．
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．
3．獨立性檢驗
假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：
y1
y2
總計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．
例1.【2015高考湖北，文4】已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān). 下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．與負相關(guān)，與負相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān)
C．與正相關(guān)，與負相關(guān) D．與負相關(guān)，與正相關(guān)
【答案】.
【解析】因為變量和滿足關(guān)系，其中，所以與成負相關(guān)；又因為變量與正相關(guān)，不妨設(shè)，則將代入即可得到：，所以，所以與負相關(guān)，綜上可知，應(yīng)選.
將正相關(guān)、負相關(guān)、線性回歸方程等聯(lián)系起來，充分體現(xiàn)了方程思想在線性回歸方程中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生運用基礎(chǔ)知識的能力.其易錯點有二：其一，未能準(zhǔn)確理解正相關(guān)與負相關(guān)的定義；其二，不能準(zhǔn)確的將正相關(guān)與負相關(guān)問題進行轉(zhuǎn)化為直線斜率大于和小于0的問題.
2.【2015高考新課標(biāo)2，理3】根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是( )
A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)
C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢
D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)
【答案】D
【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份負相關(guān)，故選D．
本題以實際背景考查回歸分析中的正、負相關(guān)，利用增長趨勢或下降趨勢理解正負相關(guān)的概念是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
3.【2015高考福建，理4】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：
收入 （萬元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 （萬元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根據(jù)上表可得回歸直線方程 ，其中 ，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為( )
A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元
【答案】B
【解析】由已知得（萬元），（萬元），故，所以回歸直線方程為，當(dāng)社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為（萬元），故選B．
本題考查線性回歸方程，要正確利用平均數(shù)公式計算和理解線性回歸方程的意義，屬于基礎(chǔ)題，要注意計算的準(zhǔn)確性．
4.【2015高考新課標(biāo)1，理19】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中 ， =
（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：
(ⅰ)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？
(ⅱ)年宣傳費x為何值時，年利率的預(yù)報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
試題分析：（Ⅰ）由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（Ⅱ）令，先求出建立關(guān)于的線性回歸方程，即可關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用關(guān)于的回歸方程先求出年銷售量的預(yù)報值，再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤z的預(yù)報值；（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值，列出關(guān)于的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用.
試題解析：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費用的回歸方程類型.
故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.……12分
本題考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應(yīng)用，是源于課本的試題類型，解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預(yù)報預(yù)測，注意計算要細心，避免計算錯誤.
5.【2015高考重慶，文17】隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
時間代號
1
2
3
4
5
儲蓄存款（千億元）
5
6
7
8
10
(Ⅰ)求y關(guān)于t的回歸方程
(Ⅱ)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年（）的人民幣儲蓄存款.
附：回歸方程中
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千億元.
試題分析：（Ⅰ）列表分別計算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，從而就可得到回歸方程，
（Ⅱ）將代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款．
試題解析： (1)列表計算如下
i
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
15
36
55
120
這里
又
從而.
故所求回歸方程為.
(2)將代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為
本題考查線性回歸直線方程的求法及應(yīng)用，采用列表方式分別求出，的值然后代入給出的公式中進行求解.本題屬于基礎(chǔ)題，特別注意運算的準(zhǔn)確性.
結(jié)語
在高中數(shù)學(xué)“概率統(tǒng)計”學(xué)習(xí)階段，在課堂上通過實際生活場景，學(xué)習(xí)隨機抽樣、樣本估計總體、線性回歸的基本方法；針對于實際問題，結(jié)合“以學(xué)生為本” 的教學(xué)理念，使得學(xué)生較為系統(tǒng)的將數(shù)據(jù)的收集與整理整個過程完全滲透和理解，加深對統(tǒng)計和確定性的思維理解。針對隨機現(xiàn)象，學(xué)生能夠結(jié)合一定的實例建立簡單的概率模型，通過試驗、計算模擬估計來闡述事件發(fā)生的隨機概率。雖然在高中階段“概率統(tǒng)計” 知識點并沒有進入到一個很深的程度，但是也為學(xué)生提供了一個良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用性的認(rèn)識和平臺，為學(xué)生將來的發(fā)展、學(xué)科的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)，這不僅促進了學(xué)生對概率統(tǒng)計知識的認(rèn)識，也從一定程度上擴展了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的視野，極大地激發(fā)了高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣度，為學(xué)生締造應(yīng)用與創(chuàng)新意識打下了良好的基礎(chǔ)。
參考文獻：
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[4] 馮軼偉. 信息技術(shù)與八年級概率統(tǒng)計教學(xué)整合的研究與實踐[D]. 蘇州大學(xué) 2007
[5] 何莎莎. 9-12年級學(xué)生對標(biāo)準(zhǔn)差概念理解的調(diào)查研究[D]. 華東師范大學(xué) 2007

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