資源簡介

第一節　集 合
1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系；
2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合；
3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.
4.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.
1.元素與集合
（1）集合元素的三個特性：　 　　、　 　　、　　　　；
（2）集合的三種表示方法：　 　　、　 　　、　　　　；
（3）元素與集合的兩種關系：屬于，記為　　　　；不屬于，記為　　　　；
（4）五個特定的集合及其關系圖：N*或N＋表示　　　　集，N表示非負整數集（自然數集），Z表示　　　　集，Q表示　　　　集，R表示實數集.
提醒
（1）解題時，應注意檢查集合的元素是否滿足互異性；
（2）N為自然數集（即非負整數集），包含0，而N*（N＋）表示正整數集，不包含0.
2.集合間的基本關系
　　表示 關系　　 自然語言 符號語言 圖形語言
子集 集合A中　　　　元素都是集合B中的元素 　　（或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A 　　（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒
（1）A B包含兩層含義：A B或A＝B；
（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 兩種情況討論，不要忽略A＝ 的情況.
3.集合的基本運算
　　類別 表示　　 并集 交集 補集
圖形語言
符號語言 A∪B＝　　　 A∩B＝　　　 UA＝　　　
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何一個集合都至少有兩個子集.（　　）
（2）{0，1，3}和{0，3，1}是同一個集合.（　　）
（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.（　　）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.（　　）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　　）
2.設全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪ UN＝（　　）
A{1，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.{0，2，4，6，8.}　 D.U
3.（多選）已知集合P＝{x｜x2＝4}，則（　　）
A.P＝{－2，2} B.2∈P　
C.P N　 D.{ } P
4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實數x＝　　　　.
5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，則A∪B＝　　　　，A∩B＝　　　　.
常用結論
1.子集的傳遞性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
3.等價關系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
結論運用
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，則A∩B的子集個數為（　　）
A.2　 B.4
C.8　 D.6
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，則實數a的取值范圍是　　　　.
【典例1】　（1）已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的個數為（　　）
A1　 B.3
C.6　 D.4
（2）設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，則a2 024＋b2 025＝（　　）
A.1　 B.4
C.2　 D.3
方法技巧
解決與集合含義有關問題的關鍵
（1）確定構成集合的元素是點集、數集、還是其他類型的集合；
（2）確定元素的限制條件；
（3）根據元素的特征（滿足的條件）構造關系式解決相應問題.
提醒　集合中元素的互異性容易忽略，求解問題時要特別注意.
跟蹤訓練
1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，則集合A中的元素個數為（　　）
A.2　　 B.5　　
C.4　　 D.6
2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m＝　　　　.
【典例2】已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，則實數a的取值范圍為（　　）
A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1]
C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1）
變式
若本例條件變為：已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，則實數a的取值范圍為　　　　.
方法技巧
1.判斷集合間關系的常用方法
（1）列舉法：先用列舉法表示集合，再從元素中尋求關系；
（2）化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達式比較復雜，往往需化簡表達式，再尋求兩個集合的關系；
（3）數形結合法：利用數軸或Venn圖直觀判斷.
2.由集合間的關系求參數的解題策略
已知集合間的關系求參數時，關鍵是將集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數滿足的關系.合理利用數軸、Venn圖幫助分析并對參數進行討論.確定參數所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
提醒　當B為A的子集時，易漏掉B＝ 的情況.
跟蹤訓練
1.設全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的關系可表示為（　　）
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，則滿足A C B的集合C的個數為（　　）
A.3　 B.5
C.7　 D.9
考向1　集合的運算
【典例3】（1）（2023·全國甲卷1題）設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則 U（M∪N）＝（　　）
A. B.{x｜x＝3k，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－1，k∈Z} D.{x｜x＝3k－2，k∈Z}
（2）（2024·廣東聯考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（　　）
A.(－1，3]　 B.（3，＋∞）
C.（－∞，3)　 D.[－1，3）
方法技巧
集合基本運算的方法技巧
考向2　利用集合的運算求參數
【典例4】　（2024·九省聯考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，則m的最小值為　　　　.
方法技巧
利用集合的運算求參數的方法
（1）與不等式有關的集合，一般利用數軸解決，要注意端點值的取舍；
（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關系，再列方程（組）求解.
考向3　集合的新定義問題
【典例5】給定數集M，若對于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，則稱集合M為閉集合，則下列說法中正確的是（　　）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合 B.正整數集是閉集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}為閉集合 D.若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合
方法技巧
解決以集合為背景的新定義問題的關鍵
（1）緊扣新定義：首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關鍵所在；
（2）用好集合的性質：解題時要善于從題中發現可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的性質.
跟蹤訓練
1.設集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（　　）
A. U（M∪N）　 B.N∪ UM
C. U（M∩N）　 D.M∪ UN
2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，則實數m的取值范圍是（　　）
A.m≥2　 B.m＜2
C.m≤2　 D.m＞2
3.對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B＝　　　　　　.
答案
第一節　集 合
1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系；針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合；在具體情境中，了解全集與空集的含義.
2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.
3.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.
1.元素與集合
（1）集合元素的三個特性：　確定性　、　無序性　、　互異性　；
（2）集合的三種表示方法：　列舉法　、　描述法　、　圖示法　；
（3）元素與集合的兩種關系：屬于，記為　∈　；不屬于，記為　 　；
（4）五個特定的集合及其關系圖：N*或N＋表示　正整數　集，N表示非負整數集（自然數集），Z表示　整數　集，Q表示　有理數　集，R表示實數集.
提醒　（1）解題時，應注意檢查集合的元素是否滿足互異性；（2）N為自然數集（即非負整數集），包含0，而N*（N＋）表示正整數集，不包含0.
2.集合間的基本關系
　　表示 關系　　 自然語言 符號語言 圖形語言
子集 集合A中　任意一個　元素都是集合B中的元素 A （或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A A B（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒　（1）A B包含兩層含義：A B或A＝B；（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 兩種情況討論，不要忽略A＝ 的情況.
3.集合的基本運算
　　類別 表示　　 并集 交集 補集
圖形語言
符號語言 A∪B＝ 　{x｜x∈A，　 　或x∈B}　 A∩B＝ 　{x｜x∈A，　 　且x∈B}　 UA＝ 　{x｜x∈U，　 　且x A}　
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何一個集合都至少有兩個子集.（　×　）
（2）{0，1，3}和{0，3，1}是同一個集合.（　√　）
（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.（　×　）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.（　×　）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　×　）
2.設全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪ UN＝（　　）
A.{1，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.　{0，2，4，6，8}　 D.U
解析：C　因為U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以 UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}.故選C.
3.（多選）已知集合P＝{x｜x2＝4}，則（　　）
A.P＝{－2，2}.　 B2∈P
CP N.　 D.{ } P
解析：AB　P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正確. 不是P中的元素，故D錯誤.因為－2 N，故P N錯誤，故C錯誤.
4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實數x＝　1或4　.
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，則A∪B＝　R　，A∩B＝　{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}　.
解析：因為A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，借助數軸如圖①，所以A∪B＝R，如圖②，所以A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}.
常用結論
1.子集的傳遞性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
3.等價關系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
結論運用
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，則A∩B的子集個數為（　　）
A.2　 B.4
C.8　 D.6
解析：C　因為A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由結論2得A∩B的子集個數為23＝8，故選C.
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，則實數a的取值范圍是　（－∞，1]　.
解析：如圖，在數軸上表示出A，B.由結論3可得A B，所以a≤1.
　　
【典例1】（1）已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的個數為（　　）
A.1　 B.3
C.6　 D.4
（2）設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，則a2 024＋b2 025＝（　　）
A.1　 B.4
C.2　 D.3
答案：（1）C　（2）C
解析：（1）因為A＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6個元素.故選C.
由題意知a≠0，因為{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，則＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2.
方法技巧
解決與集合含義有關問題的關鍵
（1）確定構成集合的元素是點集、數集、還是其他類型的集合；
（2）確定元素的限制條件；
（3）根據元素的特征（滿足的條件）構造關系式解決相應問題.
提醒　集合中元素的互異性容易忽略，求解問題時要特別注意.
跟蹤訓練
1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，則集合A中的元素個數為（　　）
A.2　 B.5
C.4　 D.6
解析：C　因為x∈Z，且∈Z，所以2－x的取值有－4，－2，-1，1，2,4所以x的值分別為6，4，3，1，0,-2故集合A中的元素個數為6故選D.
2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m＝　－　　.
解析：令m＋2＝3，得m＝1，此時2m2＋m＝3，不合題意.令2m2＋m＝3，得m＝－或m＝1（舍去）.若m＝－，則m＋2＝，滿足條件，所以m＝－.
【典例2】（必修第一冊第9頁5（2）題改編）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，則實數a的取值范圍為（　　）
A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1]
C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1）
解析：B　因為A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B A.用數軸表示其關系如圖.所以實數a的取值范圍為a≤1.故選B.
變式
　若本例條件變為：已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，則實數a的取值范圍為　（3，＋∞）　.
解析：因為A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A B.①當A＝ 時，2a－3＞a，則a＞3，滿足題意；②當A≠ 時，用數軸表示其關系如圖，所以即所以a不存在，綜上所述，實數a的取值范圍為（3，＋∞）.
方法技巧
1.判斷集合間關系的常用方法
（1）列舉法：先用列舉法表示集合，再從元素中尋求關系；
（2）化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達式比較復雜，往往需化簡表達式，再尋求兩個集合的關系；
（3）數形結合法：利用數軸或Venn圖直觀判斷.
2.由集合間的關系求參數的解題策略
已知集合間的關系求參數時，關鍵是將集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數滿足的關系.合理利用數軸、Venn圖幫助分析并對參數進行討論.確定參數所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
提醒　當B為A的子集時，易漏掉B＝ 的情況.
跟蹤訓練
1.設全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的關系可表示為（　　）
解析：A　因為N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故選A.
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，則滿足A C B的集合C的個數為（　　）
A.3　 B.5
C.7　 D.9
解析：C　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A C B，∴集合C的所有可能為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7個.
考向1　集合的運算
【典例3】（1）（2023·全國甲卷1題）設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則 U（M∪N）＝（　　）
A.
B.{x｜x＝3k，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
D.{x｜x＝3k－2，k∈Z}
（2）（2024·廣東聯考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（　　）
A.(－1，3]　 B.（3，＋∞）
C.（－∞，3) D.[－1，3）
答案：（1）B　（2）D
解析：（1）法一（列舉法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.
法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好被3整除的整數集，故選A.
（2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以題圖中陰影部分表示的集合為（ UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故選D.
方法技巧
集合基本運算的方法技巧
考向2　利用集合的運算求參數
【典例4】　（2024·九省聯考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，則m的最小值為　5　.
解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，則A B，所以所以m≥5，故m的最小值為5.
方法技巧
利用集合的運算求參數的方法
（1）與不等式有關的集合，一般利用數軸解決，要注意端點值的取舍；
（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關系，再列方程（組）求解.
考向3　集合的新定義問題
【典例5】給定數集M，若對于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，則稱集合M為閉集合，則下列說法中正確的是（　　）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合
B.正整數集是閉集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}為閉集合
D.若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合
解析：C　選項A：當集合M＝{－4，－2，0，2，4}時，2，4∈M，而2＋4＝6 M，所以集合M不為閉集合，A選項錯誤；選項B：設a，b是任意的兩個正整數，則a＋b∈M，當a＜b時，a－b是負數，不屬于正整數集，所以正整數集不為閉集合，B選項錯誤；選項C：當M＝{n｜n＝3k，k∈Z}時，設a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，則a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是閉集合，C選項正確；選項D：設A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2為閉集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3） （A1∪A2），故A1∪A2不為閉集合，D選項錯誤.
方法技巧
解決以集合為背景的新定義問題的關鍵
（1）緊扣新定義：首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關鍵所在；
（2）用好集合的性質：解題時要善于從題中發現可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的性質.
跟蹤訓練
1.（2023·全國乙卷2題）設集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（　　）
A. U（M∪N）　 B.N∪ UM
C. U（M∩N）　 D.M∪ UN
解析：A　因為M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以 U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故選A.
2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，則實數m的取值范圍是（　　）
A.m≥2　 B.m＜2
C.m≤2　 D.m＞2
解析：C　∵A＝{x｜2＜x＜3}，∴ RA＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∵（ RA）∪B＝R，∴m≤2.
3.對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B＝　{x｜－3≤x＜0或x＞3}　.
解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
6 / 6第二節　常用邏輯用語
1.通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質定理與充要條件、充分條件、必要條件的關系.
2.通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.
3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.
1.充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題 “若p，則q”和“若q，則p”都是真命題
推出關系 p　　q p 　　q p　　q
條件關系 p是q的　　條件，q是p的　　　條件 p不是q的　　　條件，q不是p的　　　條件 p是q的　　條件，簡稱　　　條件
提醒　（1）A是B的充分不必要條件 A B且BA；（2）A的充分不必要條件是B B A且AB.
2.全稱量詞和存在量詞
類別 全稱量詞 存在量詞
量詞 所有的、任意一個 存在一個、至少有一個
符號
命題 含有　　　　　的命題叫做全稱量詞命題 含有　　　　　的命題叫做存在量詞命題
命題形式 “對M中任意一個x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　　　　　　　　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　　　　　　　　”
3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
簡記 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 ____________ ____________
提醒　對沒有量詞的命題否定時，要結合命題的含義加上量詞，再改變量詞.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.（　　）
（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞.（　　）
（3）“至少有一個三角形的內角和為π”是全稱量詞命題.（　　）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.（　　）
2.已知命題p： x∈R，x＞sin x，則p的否定為（　　）
A. x∈R，x＜sin x B. x∈R，x≤sin x
C. x∈R，x≤sin x　 D. x∈R，x＜sin x　
3..(概念辨析)(多選)下列結論正確的是(　　).
A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要條件
B.設M N,則“x M”是“x N”的必要不充分條件
C.“a,b都是偶數”是“a+b是偶數”的充分不必要條件
D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要條件
4.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是　　 　.
5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要條件，則m的取值范圍是　　　　.
常用結論
1.充分（必要、充要）條件與集合間的包含關系
設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
（2）若A B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
（3）若A＝B，則p是q的充要條件.
2.命題p和 p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.
結論運用
1.(多選)下列說法正確的是(　　)
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要條件
B．“>”是“aC．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A B
D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要條件
2.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命題，則實數a的取值范圍是　　　　.
考向1　含量詞命題的否定及真假判定
【例1】　（1）已知命題p： x∈R，x＝－1或x＝2，則（　　）
A. p： x∈R，x＝－1且x＝2 B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x R，x≠－1或x≠2 D. p： x R，x＝－1或x＝2
（2）(多選)下列命題中是存在量詞命題且為真命題的有(　　).
A.中國所有的江河都流入太平洋
B.有的四邊形既是矩形,又是菱形
C.存在x∈R,使得x2+x+1=0
D.有的數比它的倒數小
方法技巧
1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進行否定的方法
（1）改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；
（2）否定結論：對于一般命題的否定只需直接否定結論即可.
2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法
（1）全稱量詞命題：①要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p（x）成立；②要判斷一個全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.
（2）存在量詞命題：要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p（x0）成立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.
考向2　含量詞的命題的應用
【例2】　已知命題“ x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命題，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（－，0）　 B.（0，）
C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
方法技巧
由命題的真假求參數的方法
（1）全稱量詞命題可轉化為恒成立問題；
（2）存在量詞命題可轉化為存在性問題；
（3）全稱量詞、存在量詞命題假可轉化為它的否定命題真.
跟蹤訓練
1.(多選）若“xk+3”是“-4A.-8 B.-5 C.1 D.4
2.若命題“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實數a可取的最小整數值是（　　）
A.－1　　 B.2
C.0　　 D.2
【例3】　（1）設x∈R，則“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　）
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
（2）（多選)對任意實數a,b,c,下列命題為真命題的是(　　).
A.“a<5”是“a<3”的必要條件
B.“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件
C.“a=b”是“ac=bc”的充要條件
D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要條件
方法技巧
充分條件、必要條件的兩種判定方法
（1）定義法：根據p q，q p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；
（2）集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題.
跟蹤訓練
1.已知a，b都是實數，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”是“a＞2”的（　　）
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
2.(多選)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分條件,則實數a的值為(　　).
A.2 B.- C. D.3
【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為　　　　.
變式
本例中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變為“x∈P是x∈S的充分不必要條件”，其他條件不變，求實數m的取值范圍.
方法技巧
應用充分、必要條件求解參數范圍的方法
（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式（不等式組）求解；
（2）要注意區間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號取決于端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.
跟蹤訓練
設p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是　　　　.
答案
第二節　常用邏輯用語
1.通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質定理與充要條件、充分條件、必要條件的關系.
2.通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.
3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.
1.充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題 “若p，則q”和“若q，則p”都是真命題
推出關系 p　 　q p　　q p　 　q
條件關系 p是q的　充分　條件，q是p的　必要　條件 p不是q的　充分　條件，q不是p的　必要　條件 p是q的　充分必要　條件，簡稱　充要　條件
提醒　（1）A是B的充分不必要條件 A B且BA；（2）A的充分不必要條件是B B A且AB.
2.全稱量詞和存在量詞
類別 全稱量詞 存在量詞
量詞 所有的、任意一個 存在一個、至少有一個
符號
命題 含有　全稱量詞　的命題叫做全稱量詞命題 含有　存在量詞　的命題叫做存在量詞命題
類別 全稱量詞 存在量詞
命題 形式 “對M中任意一個x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　 x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　 x∈M，p（x）　”
3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
簡記 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 x∈M， p（x） x∈M， p（x）
提醒　對沒有量詞的命題否定時，要結合命題的含義加上量詞，再改變量詞.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.（　√　）
（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞.（　√　）
（3）“至少有一個三角形的內角和為π”是全稱量詞命題.（　×　）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.（　√　）
2.已知命題p： x∈R，x＞sin x，則p的否定為（　　）
A. x∈R，x＜sin x　 B. x∈R，x≤sin x
C. x∈R，x≤sin x　 D. x∈R，x＜sin x
解析：C　對全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結論，p： x∈R，x＞sin x，則p的否定為： x∈R，x≤sin x.故選C.
3.(概念辨析)(多選)下列結論正確的是(　　).
A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要條件
B.設M N,則“x M”是“x N”的必要不充分條件
C.“a,b都是偶數”是“a+b是偶數”的充分不必要條件
D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要條件
解析　對于選項A,x2>1 / x>1,x>1 x2>1,所以“x2>1”是“x>1”的必要不充分條件,故A錯誤;
對于選項B,由M N得 RN RM,則x N x M,x M / x N,所以“x M”是“x N”的必要不充分條件,故B正確;
對于選項C,由“a,b都是偶數”可以得到“a+b是偶數”,但是當a+b是偶數時,a,b可能都是奇數,所以“a,b都是偶數”是“a+b是偶數”的充分不必要條件,故C正確;
對于選項D,“a>1且b>1” “a+b>2且ab>1”,而由“a+b>2且ab>1” / “a>1且b>1”,比如a=3,b=, 所以“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要條件,故D錯誤.
4.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是　存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形　.
解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.故命題的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.
5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要條件，則m的取值范圍是　（2，＋∞）　.
解析：因為“x＞m”是“x＞2”的充分不必要條件，所以（m，＋∞）是（2，＋∞）的真子集，由圖可知m＞2.
常用結論
1.充分（必要、充要）條件與集合間的包含關系
設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
（2）若A B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
（3）若A＝B，則p是q的充要條件.
2.命題p和 p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.
結論運用
1.(多選)下列說法正確的是(　　)
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要條件
B．“>”是“aC．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A B
D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要條件
解析：c＝0時，由ac＝bc不能得出a＝b，A錯；>與a，但不滿足a，∴“>”是“ab>0能得出an>bn，當a＝－4，b＝－2時，a2>b2，但aD錯．故選B.C
2.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命題，則實數a的取值范圍是　（－∞，－8]∪[0，＋∞）　.
解析：由結論2得 x∈R，x2－ax－2a≤0為真命題，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.
　　
考向1　含量詞命題的否定及真假判定
【例1】（1）已知命題p： x∈R，x＝－1或x＝2，則（　　）
A. p： x∈R，x＝－1且x＝2
B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x R，x≠－1或x≠2
D. p： x R，x＝－1或x＝2
（2）(多選)下列命題中是存在量詞命題且為真命題的有(　　).
A.中國所有的江河都流入太平洋
B.有的四邊形既是矩形,又是菱形
C.存在x∈R,使得x2+x+1=0
D.有的數比它的倒數小
答案：（1）B 　（2）B D
解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命題p的否定是“ x∈R，x≠－1且x≠2”.
(2)對于A,中國所有的江河都流入太平洋是全稱量詞命題,故A錯誤;對于B,有的四邊形既是矩形,又是菱形是存在量詞命題且為真命題,比如正方形,故B正確;對于C,存在x∈R,有x2+x+1=0是存在量詞命題且為假命題,因為x2+x+1=+>0恒成立,故C錯誤;對于D,有的數比它的倒數小是存在量詞命題且為真命題,比如,故D正確.
方法技巧
1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進行否定的方法
（1）改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；
（2）否定結論：對于一般命題的否定只需直接否定結論即可.
2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法
（1）全稱量詞命題：①要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p（x）成立；②要判斷一個全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.
（2）存在量詞命題：要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p（x0）成立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.
考向2　含量詞的命題的應用
【例2】　已知命題“ x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命題，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（－，0）　 B.（0，）
C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
解析：C　因為命題“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“ x∈R，ax2－x＋1＞0”是真命題，當a＝0時，得x＜1，不符合題意；當a≠0時，得解得a＞.
方法技巧
由命題的真假求參數的方法
（1）全稱量詞命題可轉化為恒成立問題；
（2）存在量詞命題可轉化為存在性問題；
（3）全稱量詞、存在量詞命題假可轉化為它的否定命題真.
跟蹤訓練
1.(多選）若“xk+3”是“-4A.-8 B.-5 C.1 D.4
解析　若“xk+3”是“-4k+3} {x|-42.若命題“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實數a可取的最小整數值是（　　）
A.－1　 B.1
C.0 D.2
解析：A　由題意， x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因為函數h（x）＝x2－2x在（－1，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以實數a可取的最小整數值是－1.
【例3】（1）設x∈R，則“｜x－1｜＜1”是“x2－5x＜0”的（　　）
A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件
（2）（多選)對任意實數a,b,c,下列命題為真命題的是(　　).
A.“a<5”是“a<3”的必要條件
B.“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件
C.“a=b”是“ac=bc”的充要條件
D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要條件
答案：（1）B　（2）ABD
解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，則集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分條件，故選B.
（2）)對于A,因為a<5表示的范圍包含a<3表示的范圍,所以“a<5”是“a<3”的必要條件,故A正確.對于B,a+5是無理數,則a是無理數,反之也成立,所以“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件,故B正確.對于C,若a=b,則ac=bc,正確;取c=0,a=1,b=2,則ac=bc=0,但是a≠b,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件,故C錯誤.對于D,若a≥2且b≥2,由不等式的性質可知a2≥4,b2≥4,則a2+b2≥8≥4成立;取a=-2,b=1,a2+b2=5≥4成立,顯然a≥2不成立,b≥2也不成立,所以“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要條件,故D正確.
方法技巧
充分條件、必要條件的兩種判定方法
（1）定義法：根據p q，q p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；
（2）集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題.
跟蹤訓練
1.已知a，b都是實數，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”是“a＞2”的（　　）
A.充要條件　 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件　 D.既不充分也不必要條件
解析：B　方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓 方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圓 a＋1＞0 a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”的充分不必要條件.
2.(多選)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分條件,則實數a的值為(　　).
A.2 B.- C. D.3
解析：由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3.對于方程ax+1=0,當a=0時,方程ax+1=0無解;當a≠0時,解方程ax+1=0,可得x=-.由題意知p / q,q p,則可得a≠0,此時應有-=2或-=-3,解得a=-或a=.綜上可得,a=-或a=.故選BC
【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為　[0，3]　.
解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S P，∴解得0≤m≤3，故0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件.
變式
本例中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變為“x∈P是x∈S的充分不必要條件”，其他條件不變，求實數m的取值范圍.
解：由例題知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要條件，∴P S.∴[－2，10] [1－m，1＋m].∴或∴m≥9，則m的取值范圍是[9，＋∞）.
方法技巧
應用充分、必要條件求解參數范圍的方法
（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式（不等式組）求解；
（2）要注意區間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號取決于端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.
跟蹤訓練
　設p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是　[2，＋∞）　.
解析：由題意知{x｜1＜x＜2} {x｜（x－a）（x－1）≤0}，則a＞1，即{x｜1＜x＜2} {x｜1≤x≤a}，從而a≥2.
4 / 4第三節　等式性質與不等式性質
1.回顧等式的性質.
2.理解不等式的概念，掌握不等式的性質.
3.會比較兩個數（式）的大小.
1.比較實數的大小
（1）文字敘述：如果a－b是正數，那么a　　b；如果a－b等于0，那么a　　　　b；如果a－b是負數，那么a　　　　b.反過來也成立；
（2）符號表示：a－b＞0 a　 　　b；a－b＝0 a　　　　b；a－b＜0 a　　　　b.
2.等式的基本性質
（1）對稱性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性質
（1）對稱性：a＞b b＜a；
（2）傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c　　　　b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac　　　bc；a＞b，c＜0 ac　　　　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可開方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）a＝b ac＝bc.（　　）
（2）若＞1，則a＞b.（　　）
（3）若a＞b，則ac2＞bc2.（　　）
（4）兩個實數a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關系中的一種.（　　）
2.(多選)下面結論不正確的有(　　).
A.若>1,則b>a
B.若a>b,則a2>b2
C.若a>b,cb-d
D.若a>b,c>d,則ac>bd
3.設a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式成立的是（　　）
A.＜ B.ac＞bc
C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c
4.比較兩數的大小：＋　　　＋.
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，則a－b的取值范圍為　　　　.
常用結論
1.倒數性質：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分數性質：若a＞b＞0，m＞0，則（1）真分數性質：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分數性質：＞；＜（b－m＞0）.
結論運用
（多選）下列命題中正確的是（　　）
A.若a＜b，則ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，則＞
C.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，則＞
【典例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，則M，N的大小關系是（　　）
A.M＞N　 B.M＝N
C.M＜N　 D.不能確定
（2）若a＝，b＝，則a　　　　b（填“＞”或“＜”）.
方法技巧
比較大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.
（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.
跟蹤訓練
若a＜0，b＜0，則p＝＋與q＝a＋b的大小關系為（　　）
A.p≥q　 B.p≤q
C.p＞q　 D.p＜q
【典例2】　（多選）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結論正確的是（　　）
A.ad＞bc B.＋＜0
C.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）
方法技巧
利用不等式的性質判斷不等式的方法
（1）直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性.
跟蹤訓練
　（多選）已知a，b∈R，則下列選項中能使＜成立的是（　　）
A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0
C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0
【典例3】　（必修第一冊第43頁5題改編）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，則a＋2b的取值范圍是　　　　，ab的取值范圍是　　　　.
變式
若本例條件變為1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，則a＋2b的取值范圍是　　　　.
方法技巧
　　利用不等式性質可以求某些代數式的范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的范圍.解決的途徑是先確立所求范圍的整體與已知范圍的整體的數量關系，最后通過“一次性”不等關系運算求解.
跟蹤訓練
已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則的取值范圍是　　　　.
答案
第三節　等式性質與不等式性質
1.回顧等式的性質.
2.理解不等式的概念，掌握不等式的性質.
3.會比較兩個數（式）的大小.
　　
1.比較實數的大小
（1）文字敘述：如果a－b是正數，那么a　＞　b；如果a－b等于0，那么a　＝　b；如果a－b是負數，那么a　＜　b.反過來也成立；
（2）符號表示：a－b＞0 a　＞　b；a－b＝0 a　＝　b；a－b＜0 a　＜　b.
2.等式的基本性質
（1）對稱性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性質
（1）對稱性：a＞b b＜a；
（2）傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c　＞　b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac　＞　bc；a＞b，c＜0 ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可開方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）a＝b ac＝bc.（　×　）
（2）若＞1，則a＞b.（　×　）
（3）若a＞b，則ac2＞bc2.（　×　）
（4）兩個實數a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關系中的一種.（　√　）
2.(多選)下面結論不正確的有(　　).
A.若>1,則b>a
B.若a>b,則a2>b2
C.若a>b,cb-d
D.若a>b,c>d,則ac>bd
答案　ABD
3.設a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式成立的是（　　）
A..＜　 Bac＞bc
C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c
解析：D　對于選項A，當c≤0時，不等式ac＞bc不成立，故A不正確.對于選項B，當a＞0，b＜0時，不等式＜不成立，故B不正確.對于選項C，當a＝－1，b＝－2時，不等式a2＞b2不成立，故C不正確.選項D正確，
故選D.
4.比較兩數的大小：＋　＞　＋.
解析：因為（＋）2＝17＋2，（＋）2＝17＋2，所以（＋）2＞（＋）2，所以＋＞＋.
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，則a－b的取值范圍為　（－6，5）　.
解析：∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.
常用結論
1.倒數性質：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分數性質：若a＞b＞0，m＞0，則（1）真分數性質：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分數性質：＞；
＜（b－m＞0）.
結論運用
（多選）下列命題中正確的是（　　）
A.若a＜b，則ac2＜bc2
B.若b＞a＞0，則＞
C.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d
D.若ab＜0，a＞b，則＞
解析：BD　A中，當c＝0時不成立，故A不正確；B中，由真分數性質知B正確；C中，因為a＞b，（－c）＜（－d），不滿足不等式的同向可加性，故C不正確；D中，因為ab＜0，所以a，b異號，所以當a＞b時a＞0且b＜0，＞，故D正確.綜上可知B、D正確.
【例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，則M，N的大小關系是（　A　）
A.M＞N　 B.M＝N
C.M＜N　 D.不能確定
（2）若a＝，b＝，則a　＜　b（填“＞”或“＜”）.
解析：（1）∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故選A.
（2）易知a，b都是正數，＝＝log89＞1，所以b＞a.
方法技巧
比較大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.
（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.
跟蹤訓練
若a＜0，b＜0，則p＝＋與q＝a＋b的大小關系為（　　）
A.p≥q B.p≤q
C.p＞q　 D.p＜q
解析：B　p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·（－）＝＝，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，則p－q＝0，故p＝q；若a≠b，則p－q＜0，故p＜q.綜上，p≤q.故選B.
【例2】　（多選）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結論正確的是（　　）
A.ad＞bc　 B.＋＜0
C.a－c＞b－d　 D.a（d－c）＞b（d－c）
解析：BCD　因為a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A錯誤；因為0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正確；因為c＜d，所以－c＞－d，因為a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正確；因為a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正確.
方法技巧
利用不等式的性質判斷不等式的方法
（1）直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性.
跟蹤訓練
　（多選）已知a，b∈R，則下列選項中能使＜成立的是（　　）
A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0
C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0
解析：BD　對于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A錯誤；對于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正確；對于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C錯誤；對于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正確.故選B、D.
【例3】　（必修第一冊第43頁5題改編）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，則a＋2b的取值范圍是　（0，13）　，ab的取值范圍是　（－3，15）　.
解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，當－1＜b＜0時，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，則－3＜ab＜0，當0＜b＜5時，0＜ab＜15，當b＝0時，ab＝0，綜上，－3＜ab＜15.
變式
若本例條件變為1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，則a＋2b的取值范圍是　（，）　.
解析：設a＋2b＝x（a＋b）＋y（a－b），則a＋2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，即解得即a＋2b＝（a＋b）－（a－b），由1＜a＋b＜3，則＜（a＋b）＜，由0＜a－b＜2，則－2＜－（a－b）＜0，－1＜－（a－b）＜0，故＜（a＋b）－（a－b）＜.
方法技巧
　　利用不等式性質可以求某些代數式的范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的范圍.解決的途徑是先確立所求范圍的整體與已知范圍的整體的數量關系，最后通過“一次性”不等關系運算求解.
跟蹤訓練
已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則的取值范圍是　（－3，－1）　.
解析：因為a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c，因為a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，將b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得＜－1，所以－3＜＜－1.
3 / 3第四節　基本不等式
1.掌握基本不等式≤（a，b≥0）
2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.
1.基本不等式≤
（1）基本不等式成立的條件是　　　　　　；
（2）等號成立的條件是：當且僅當　　　　　時取等號；
（3）其中叫做正數a，b的　　　　平均數，叫做正數a，b的　　　　平均數.
提醒　應用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.
2.基本不等式與最值
已知x＞0，y＞0，則
（1）如果xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2（簡記：積定和最小）；
（2）如果x＋y是定值q，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值是（簡記：和定積最大）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數y＝x＋的最小值是2.（　　）
（2）x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件.（　　）
（3）兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.（　　）
2.設a＞0，則4a＋的最小值為（　　）
A.4 　B.5
C.6　 D.7
3.(多選)下面結論不正確的有(　　).
A.不等式a2+b2≥2ab與≥成立的條件是相同的
B.函數y=|x|+的最小值是2
C.函數f(x)=sinx+的最小值為4
D.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要條件
4.函數y＝x（4－x）的最大值為　　　　.
5.函數y＝x＋（x≥0）的最小值為　　　　.
常用結論
1.＋≥2（a，b同號）.
2.ab≤（）2（a，b∈R）.
3.≥（）2（a，b∈R）.
4.≥≥＞0（a＞0，b＞0）.
結論運用
1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則的最大值為（　　）
A.9　 B.18
C.36　 D.81
2.函數f（x）＝（x＞0）的最小值是　　　　
A.2 　B.3
C.4　 D.5
法1　配湊法
【典例1】　（1）設0＜x＜4，則y＝3x（8－2x）的最大值為　　　　；
（2）函數f（x）＝的最小值為　　　　.
方法技巧
配湊法求最值的實質及關鍵點
　　配湊法就是將相關代數式進行適當的變形，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配湊法的實質是代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵.
法2　常數代換法
【典例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為　　　　.
（2）知非負實數x,y滿足+=1,則x+y的最小值為(　　).
A. B. C. D.
方法技巧
常數代換法求最值的基本步驟
（1）根據已知條件或其變形確定定值（常數）；
（2）把確定的定值（常數）變形為1；
（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積為定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
法3　消元法
【典例3】　（必修第一冊第58頁5題改編）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，則a＋b的最小值為　　　　.
變式
已知x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，則x＋y的最小值是（　　）
A.1　 B.4
C.7　 D.3＋
方法技巧
消元法求最值的思路
當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”，最后利用基本不等式求最值.
跟蹤訓練
1.(多選)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,則下列結論正確的是(　　).
A.xy的取值范圍是(0,9]
B.x+y的取值范圍是[2,3)
C.x+2y的最小值是4-3
D.x+4y的最小值是3
2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為　　　　，＋的最小值為　　　　.
【典例4】　（2024·紹興質檢）若兩個正實數x，y滿足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，則實數m的取值范圍是（　　）
A.（－4，1） B.（－∞，0）∪（3，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（4，＋∞） D.（－1，4）
方法技巧
利用基本不等式解題的策略
（1）應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式（或式子）變形，然后利用基本不等式求解；
（2）條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解；
（3）求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而求得參數的值或范圍.
跟蹤訓練
　若對任意正數x，不等式≤恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）
A.[1，＋∞）　 B.［－，＋∞）
C.［，＋∞）　 D.［，＋∞）
【典例5】　單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數N滿足關系N＝，其中d0為安全距離，v為車速（m/s）.當安全距離d0取30 m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（　　）
A.131　 B.149
C.150　 D.145
方法技巧
利用基本不等式解決實際問題的策略
（1）根據實際問題抽象出函數的解析式，再利用基本不等式求得函數的最值；
（2）解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍；
（3）在應用基本不等式求函數最值時，若等號取不到，可利用函數的單調性求解.
跟蹤訓練
港珠澳大橋通車后，經常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.由于燃油的價格有升也有降，現劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案：每次加200元的燃油，則下列說法正確的是（　　）
A..兩種方案一樣　 B.第二種方案劃算
C第一種方案劃算　 D.無法確定
答案
第四節　基本不等式
1.掌握基本不等式≤（a，b≥0）.
2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.
1.基本不等式≤
（1）基本不等式成立的條件是　a＞0，b＞0　；
（2）等號成立的條件是：當且僅當　a＝b　時取等號；
（3）其中叫做正數a，b的　算術　平均數，叫做正數a，b的　幾何　平均數.
提醒　應用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.
2.基本不等式與最值
已知x＞0，y＞0，則
（1）如果xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2（簡記：積定和最小）；
（2）如果x＋y是定值q，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值是（簡記：和定積最大）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數y＝x＋的最小值是2.（　×　）
（2）x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件.（　×　）
（3）兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.（　×　）
2.設a＞0，則4a＋的最小值為（　　）
A.4　 B.5
C.6　 D.7
解析：A　因為a＞0，所以4a＋≥2 ＝4，當且僅當4a＝，即a＝時等號成立，
所以4a＋的最小值為4.故選A.
3.(多選)下面結論不正確的有(　　).
A.不等式a2+b2≥2ab與≥成立的條件是相同的
B.函數y=|x|+的最小值是2
C.函數f(x)=sinx+的最小值為4
D.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要條件
解析　對于A,使a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,而使≥成立的條件是a,b都是非負數,故A不正確;對于B,|x|+≥2=2,故B正確;對于C,sinx∈[-1,1],所以C不正確;對于D,“x>0且y>0”是“+≥2”的充分不必要條件,故D不正確.
4.函數y＝x（4－x）的最大值為　　.
解析：y＝x（4－x）≤（）2＝，當且僅當x＝4－x，即x＝時等號成立.
5.函數y＝x＋（x≥0）的最小值為　1　.
解析：因為x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，當且僅當x＋1＝，即x＝0時，等號成立.所以函數y＝x＋（x≥0）的最小值為1.
常用結論
1.＋≥2（a，b同號）.
2.ab≤（）2（a，b∈R）.
3.≥（）2（a，b∈R）.
4.≥≥＞0（a＞0，b＞0）.
結論運用
1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則的最大值為（　　）
A.9　 B.18
C.36　 D.81
解析：A　因為x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以由結論4知≤＝9，當且僅當x＝y＝9時等號成立，故的最大值為9.
2.函數f（x）＝（x＞0）的最小值是　4　
A.2　 B.3
C.4 　D.5
解析：C　由結論1知＝x＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x＝1時，等號成立，故f（x）的最小值為4.故選C.
　　
法1　配湊法
【典例1】　（1）設0＜x＜4，則y＝3x（8－2x）的最大值為　24　；
（2）設x>0,則3-3x-的最大值是(　　).
A.3 B.3-2
C.-1 D.3-2
解析：（1）y＝6x（4－x）≤6（）2＝24，當且僅當x＝4－x，即x＝2時，y＝3x（8－2x）有最大值24.
（2）因為x>0,所以3x+≥2=2,當且僅當x=時,等號成立,所以-≤-2,則3-3x-≤3-2.
方法技巧
配湊法求最值的實質及關鍵點
　　配湊法就是將相關代數式進行適當的變形，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配湊法的實質是代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵.
法2　常數代換法
【典例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為　4　.
（2）知非負實數x,y滿足+=1,則x+y的最小值為(　　).
A. B. C. D.
解析：（1）因為a＋b＝1，所以＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋（＋）≥2＋2 ＝2＋2＝4.當且僅當a＝b＝時，取等號.
（2）非負實數x,y滿足+=1,有3x+y>0,2y+2>0,則x+y=[(3x+y)+(2y+2)]-=[(3x+y)+(2y+2)]-=-≥·2=,當且僅當=,即3x+y=2y+2時取“=”,由3x+y=2y+2,+=1,得x=,y=0,所以當x=,y=0時,x+y的最小值為.
方法技巧
常數代換法求最值的基本步驟
（1）根據已知條件或其變形確定定值（常數）；
（2）把確定的定值（常數）變形為1；
（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積為定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
法3　消元法
【典例3】　（必修第一冊第58頁5題改編）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，則a＋b的最小值為　6　.
解析：法一　∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，當且僅當＝b－1，即a＝b＝3時取得最小值.
法二　由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，所以a＞1，b＞1，所以a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2＋2＝6，當且僅當a＝b＝3時取得最小值.
法三　因為ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又因為a＞0，b＞0，故a＋b≥6（當且僅當a＝b＝3時取得最小值）.
變式
已知x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，則x＋y的最小值是（　　）
A.1　 B.4
C.7　 D.3＋
解析：C　由x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，得（x－2）·（y－1）＝4，所以x＋y＝（x－2）＋（y－1）＋3≥2＋3＝7，當且僅當時，等號成立.
方法技巧
消元法求最值的思路
　　當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”，最后利用基本不等式求最值.
跟蹤訓練
1.(多選)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,則下列結論正確的是(　　).
A.xy的取值范圍是(0,9]
B.x+y的取值范圍是[2,3)
C.x+2y的最小值是4-3
D.x+4y的最小值是3
解析：對于A,因為x>0,y>0,所以x+y≥2,當且僅當x=y時取等號,由x+y+xy-3=0,得3-xy=x+y,即3-xy≥2,解得0<≤1,即0對于B, 由x>0,y>0,3-(x+y)=xy≤,當且僅當x=y時取等號,得(x+y)2+4(x+y)-12≥0,所以x+y≥2,又3-(x+y)=xy>0,所以x+y<3,即2≤x+y<3,故B正確;
對于C,因為x>0,y>0,x+y+xy-3=0,得x==-1+,所以x+2y=-1++2y=+2(y+1)-3≥4-3,當且僅當=2(y+1),即y=-1時等號成立,C正確;
對于D,由C選項知x==-1+,則x+4y=-1++4y=+4(y+1)-5 ≥2-5=3,當且僅當=4(y+1),即y=0時等號成立,但y>0,所以x+4y>3(等號取不到),故D錯誤.
2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為　2　，＋的最小值為　　.
解析：∵a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×（）2＝2，當且僅當a＝2b，即a＝2，b＝1時等號成立，∴ab的最大值為2.∵＋＝（＋）·＝（5＋＋）≥·（5＋2）＝，當且僅當a＝b時等號成立，∴＋的最小值為.
【典例4】　（2024·紹興質檢）若兩個正實數x，y滿足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，則實數m的取值范圍是（　　）
A.（－4，1）
B.（－∞，0）∪（3，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（4，＋∞）
D.（－1，4）
解析：C　因為兩個正實數x，y滿足＋＝1，所以x＋＝（x＋）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當＝，即x＝2，y＝8時取等號，因為不等式x＋＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即實數m的取值范圍是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故選C.
方法技巧
利用基本不等式解題的策略
（1）應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式（或式子）變形，然后利用基本不等式求解；
（2）條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解；
（3）求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而求得參數的值或范圍.
跟蹤訓練
　若對任意正數x，不等式≤恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）
A.[1，＋∞）　 B.［－，＋∞）
C.［，＋∞）　 D.［，＋∞）
解析：B　依題意得，當x＞0時，2a＋1≥＝恒成立，又因為x＋≥4，當且僅當x＝2時取等號，所以的最大值為，所以2a＋1≥，解得實數a的取值范圍為［－，＋∞）.故選B.
【典例5】　單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數N滿足關系N＝，其中d0為安全距離，v為車速（m/s）.當安全距離d0取30 m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（　　）
A.131　 B.149
C.150 D.145
解析：B　由題意得，N＝＝≤≈149，當且僅當0.3v＝，即v＝10時取“＝”，所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.故選B.
方法技巧
利用基本不等式解決實際問題的策略
（1）根據實際問題抽象出函數的解析式，再利用基本不等式求得函數的最值；
（2）解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍；
（3）在應用基本不等式求函數最值時，若等號取不到，可利用函數的單調性求解.
跟蹤訓練
港珠澳大橋通車后，經常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.由于燃油的價格有升也有降，現劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案：每次加200元的燃油，則下列說法正確的是（　　）
A.兩種方案一樣　 B.第二種方案劃算
C.第一種方案劃算 D.無法確定
解析：B　任取其中兩次加油，假設第一次的油價為m元/升，第二次的油價為n元/升，第一種方案的均價：＝≥；第二種方案的均價：＝≤.所以無論油價如何變化，第二種都更劃算.故選B.
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