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斐波那契數(shù)列
斐波那契數(shù)列 (Fibonacci sequence), 又稱黃金分割數(shù)列, 其指的是這樣一個數(shù)列: 1, 1, 2, 3, 5, 這個數(shù)列從第 3 項開始, 每一項都等于前兩項之和。有趣的是: 這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列, 通項 公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。通項公式為 ,而且當(dāng) 趨向于無窮 大時,前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割 . 越到后面, 這些比值越接近黃金比.葉子的生長方式也是如此, 對于許多植物來說, 每片葉子從中軸附近生長出來, 為了在生長的過 程中一直都能最佳地利用空間 (要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來, 而不是一下子同時出現(xiàn) 的), 每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是 222.5 度, 這個角度稱為“黃金角度”, 因為它和整個圓 周 360 度之比是黃金分割數(shù) 的倒數(shù),而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn) 生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達(dá)到 89, 甚至 144 條。1992 年, 兩位法國科學(xué)家通 過對花瓣形成過程的計算機仿真實驗, 證實了在系統(tǒng)保持最低能量的狀態(tài)下, 花朵會以斐波那契數(shù)列 長出花瓣。
以下是它的部分性質(zhì):
1、奇數(shù)項求和
證明:
2、偶數(shù)項求和
證明:
3、前 項求和
證明:
4、平方求和
證明:
5、
6、中項關(guān)系
證明:
7、
數(shù)學(xué)歸納法: 證明
當(dāng) 時, 顯然成立。
假設(shè) 時成立,也即 成立,那么當(dāng) 時,
,顯然仍符合遞推形式,
綜上所述: 成立
8、
證明:
9、
(數(shù)學(xué)歸納法) 證明: 當(dāng) 時, ,顯然 成立
假設(shè)當(dāng) 時成立,即: 成立,那么當(dāng) 時,
顯然成立
綜上所述:
10、
證明: 由性質(zhì) 7 知:
11、
證明: 由性質(zhì) 7 知:
12、連續(xù)兩項的商的極限
,
.
13、連續(xù)十項的和一定是 11 的倍數(shù), 且等于這十項中的第七項的 11 倍。
證明: 設(shè)連續(xù)十項依次為 ,顯然和為 .
14、
證明: 由性質(zhì) 3 知, ,
則
證明: 取正切,化簡 ,由性質(zhì) 9 知: ,需證 (性質(zhì) 9)
16、
證明: 需證 ,需證
數(shù)學(xué)歸納法: 當(dāng) 時, ,顯然成立
假設(shè)當(dāng) 時成立,即 ,那么當(dāng) 時,
17、
證明:
18.
證明:
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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