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（3）三角函數(shù)與解三角形
——2025屆高考數(shù)學一輪復習
目錄
【高考考情分析】
【基礎知識復習】
【重點難點復習】
【基本方法與技能復習】
【典型例題復習】
高考考情分析
高考考情分析
三角函數(shù)定義的應用，利用同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式化簡與求值都是高考中的熱點考查內容，常與三角恒等變換結合命題，同時應注意象限角、終邊相同的角等與三角函數(shù)的綜合，以及扇形的弧長和面積公式的考查，考查基本運算能力，題型以選擇題、填空題為主.
高考考情分析
三角恒等變換在高考中重點考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的綜合應用，主要體現(xiàn)在：（1）三角函數(shù)式的化簡；（2）三角函數(shù)的求值；（3）通過恒等變換研究函數(shù)的性質等.注意三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質、解三角形、平面向量的綜合命題，難度中等偏下.
高考考情分析
高考考查三角函數(shù)的命題點主要有三個方面：（1）三角函數(shù)的圖象及應用；（2）三角函數(shù)的性質及應用；（3）三角函數(shù)圖象與性質的綜合應用，有時也與三角恒等變換、平面向量、不等式等綜合考查.多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，多了解命題新角度、新綜合以及三角函數(shù)模型的應用問題.
高考考情分析
解三角形是高考常考模塊，改革后稍有變化，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應用，有時也與三角恒等變換、立體幾何等進行綜合命題，加強解三角形與其他章節(jié)知識的綜合訓練以及解三角形在生活、生產(chǎn)實踐中的應用，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度屬于中低檔.
基礎知識復習
基礎知識復習
基礎知識復習
基礎知識復習
基礎知識復習
基礎知識復習
基礎知識復習
基礎知識復習
基礎知識復習
重點難點復習
重點難點復習
重點難點復習
重點難點復習
重點難點復習
重點難點復習
重點難點復習
基本方法與技能復習
基本方法與技能復習
1.利用誘導公式化簡求值的思路
（1）給角求值問題，關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值求解，轉化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用.
（2）在對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結合誘導公式將角進行轉化.特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名稱搞錯.
基本方法與技能復習
2.弧長和扇形面積問題的解題策略
（l）求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.
（2）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
（3）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.
基本方法與技能復習
基本方法與技能復習
4.應用三角恒等變換公式的策略
（1）正用三角函數(shù)公式時，要記住公式的結構特征和符號變化規(guī)律，如兩角差的余弦公式可簡記為“同名相乘，符號反”.
（2）逆用公式時，要準確找出所給式子和公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.
（3）注意和差角和倍角公式的變形.
（4）三角恒等變換常與同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式等綜合應用.
基本方法與技能復習
基本方法與技能復習
6.給值求值問題的解題策略
從角的關系中找解題思路：已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換.
基本方法與技能復習
7.解給值求角問題的一般步驟
（1）確定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍.
（2）求所求角的某種三角函數(shù)值，為防止增解最好選取在上述范圍內單調的三角函數(shù).
（3）結合三角函數(shù)值及角的范圍求角.
基本方法與技能復習
8.利用三角函數(shù)處理物理學問題的策略
（1）常涉及的物理學問題有單擺，光波，電流，機械波等，其共同的特點是具有周期性.
（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數(shù)知識結合解題.
基本方法與技能復習
9.正、余弦定理判斷三角形形狀的方法
（1）角化邊：通過正、余弦定理化角為邊，通過因式分解、配方等方法得出邊與邊之間的關系進行判斷.
（2）邊化角：通過正、余弦定理化邊為角，利用三角恒等變換公式、三角形內角和定理及誘導公式等推出角與角之間的關系進行判斷.
基本方法與技能復習
基本方法與技能復習
11.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步驟
（1）找條件.尋找三角形中已知的邊和角，確定轉化方向.
（2）定工具，根據(jù)已知條件和轉化方向，選擇使用的定理和公式，進行邊角之間的轉化.
（3）求結果，根據(jù)前兩步的分析，代入求值得出結果.
（4）反思，轉化過程中要注意轉化的方向，審視結果的合理性.
基本方法與技能復習
12.幾個典型三角形應用問題的處理方法.
（1）求距離問題的注意事項：
①選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.
②確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.
基本方法與技能復習
（2）處理高度問題的注意事項：
①在處理有關高度問題時，理解仰角、俯角（視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角）是一個關鍵.
②在實際問題中，可能會遇到空間與平面同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.
基本方法與技能復習
（3）測量角度問題的一般步驟：
①在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離；
②用正弦定理或余弦定理解三角形；
③將解得的結果轉化為實際問題的解.
典型例題復習
典型例題復習
B
典型例題復習
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D
典型例題復習
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A
典型例題復習
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C
典型例題復習
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AD
典型例題復習
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典型例題復習
典型例題復習
BC
典型例題復習
典型例題復習
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[2,3)
典型例題復習
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典型例題復習
典型例題復習
典型例題復習
典型例題復習
典型例題復習
典型例題復習
典型例題復習（3）三角函數(shù)與解三角形
——2025屆高考數(shù)學一輪復習 講義
【高考考情分析】
三角函數(shù)定義的應用，利用同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式化簡與求值都是高考中的熱點考查內容，常與三角恒等變換結合命題，同時應注意象限角、終邊相同的角等與三角函數(shù)的綜合，以及扇形的弧長和面積公式的考查，考查基本運算能力，題型以選擇題、填空題為主.
三角恒等變換在高考中重點考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的綜合應用，主要體現(xiàn)在：（1）三角函數(shù)式的化簡；（2）三角函數(shù)的求值；（3）通過恒等變換研究函數(shù)的性質等.注意三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質、解三角形、平面向量的綜合命題，難度中等偏下.
高考考查三角函數(shù)的命題點主要有三個方面：（1）三角函數(shù)的圖象及應用；（2）三角函數(shù)的性質及應用；（3）三角函數(shù)圖象與性質的綜合應用，有時也與三角恒等變換、平面向量、不等式等綜合考查.多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，多了解命題新角度、新綜合以及三角函數(shù)模型的應用問題.
解三角形是高考的重點和熱點，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應用，有時也與三角恒等變換、立體幾何等進行綜合命題，加強解三角形與其他章節(jié)知識的綜合訓練以及解三角形在生活、生產(chǎn)實踐中的應用，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度屬于中低檔.
【基礎知識復習】
1.終邊相同的角：一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.
2.角度與弧度的換算：；；.
3.扇形的弧長及面積公式：設扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為，為圓心角，則扇形的弧長公式為，；扇形的面積公式為，.
4.三角函數(shù)及其定義域：將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常記為：正弦函數(shù)，；余弦函數(shù)，；正切函數(shù)，.
5.誘導公式一：，，，其中，即終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
6.同角三角函數(shù)的基本關系：
（1）；
（2）.
7.誘導公式二：；；.
誘導公式三：；；.
誘導公式四：；；.
誘導公式五：；.
誘導公式六：；.
8.兩角和與差的余弦公式：，
；
兩角和與差的正弦公式：，；
兩角和與差的正切公式：，.
9.二倍角的正弦公式：.
二倍角的余弦公式：.
二倍角的正切公式：.
10.函數(shù)的圖象與的圖象的關系：函數(shù)的圖象向左（或右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；然后把曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變），這時的曲線就是函數(shù)的圖象.
11.正弦定理：在中，角的對邊分別為，則.在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
12.余弦定理：在中，角的對邊分別為，則
，，.
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
【重點難點復習】
1.三角函數(shù)的單調性：
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間應遵循簡單化原則，將解析式進行化簡，并注意復合函數(shù)單調性規(guī)律“同增異減”.
（2）求形如或（其中）的單調區(qū)間時，要視“”為一個整體，通過解不等式求解.但如果，那么一定先借助誘導公式將化為正數(shù).
（3）已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)，先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解.
2.三角函數(shù)的奇偶性：對于，若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則.對于，若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則.對于，若為奇函數(shù)，則.
3.三角函數(shù)的周期性：求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變換化為或或（為常數(shù)，）的形式，再應用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
4.三角函數(shù)的對稱性：函數(shù)（為常數(shù)，）圖象的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線或點是不是函數(shù)圖象的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗的值進行.
5.輔助角公式
，其中.
6.正弦定理的常見變形：
（1）（邊角互化）.
（2）.其中，為外接圓的半徑.
（3）（邊化角）.
（4）（角化邊）.
7.余弦定理的推論：，，.
8.三角形的面積公式
（為外接圓的半徑）.
【基本方法與技能復習】
1.利用誘導公式化簡求值的思路
（1）給角求值問題，關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值求解，轉化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用.
（2）在對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結合誘導公式將角進行轉化.特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名稱搞錯.
2.弧長和扇形面積問題的解題策略
（l）求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.
（2）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
（3）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.
3.三角函數(shù)定義問題的常見類型及解題策略
（1）已知角終邊上一點P的坐標，可求角的三角函數(shù)值：先求點P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解.
（2）已知角的某個三角函數(shù)值，求角終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值.
（3）三角函數(shù)值的符號及角的終邊位置的判斷.已知一角的三角函數(shù)值中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置.注意終邊在坐標軸上的特殊情況.
4.應用三角恒等變換公式的策略
（1）正用三角函數(shù)公式時，要記住公式的結構特征和符號變化規(guī)律，如兩角差的余弦公式可簡記為“同名相乘，符號反”.
（2）逆用公式時，要準確找出所給式子和公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.
（3）注意和差角和倍角公式的變形.
（4）三角恒等變換常與同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式等綜合應用.
5.解決三角函數(shù)的圖象變換問題的基本方法
（1）直接法：平移變換規(guī)則是“左加右減，上加下減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么要先把x的系數(shù)提取出來再確定平移的單位長度和方向.
（2）方程思想法：可以把變換前后的兩個函數(shù)變?yōu)橥瘮?shù)，且x的系數(shù)變?yōu)橐恢拢ㄟ^列方程求解.
（3）數(shù)形結合法：平移變換的實質就是點的坐標的變換，橫坐標的平移交換對應著圖象的左右平移，縱坐標的平移變換對應著圖象的上下平移，一般可選定變換前后的兩個函數(shù)，的圖象與x軸的交點（如圖象上升時與x軸的交點），其分別為，（，），則由的值可判斷出左右平移的情況，由的值可判斷出上下平移的情況，由三角函數(shù)最小正周期的變化可判斷出伸縮變換的情況.
6.給值求值問題的解題策略
從角的關系中找解題思路：已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換.
7.解給值求角問題的一般步驟
（1）確定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍.
（2）求所求角的某種三角函數(shù)值，為防止增解最好選取在上述范圍內單調的三角函數(shù).
（3）結合三角函數(shù)值及角的范圍求角.
8.利用三角函數(shù)處理物理學問題的策略
（1）常涉及的物理學問題有單擺，光波，電流，機械波等，其共同的特點是具有周期性.
（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數(shù)知識結合解題.
9.正、余弦定理判斷三角形形狀的方法
（1）角化邊：通過正、余弦定理化角為邊，通過因式分解、配方等方法得出邊與邊之間的關系進行判斷.
（2）邊化角：通過正、余弦定理化邊為角，利用三角恒等變換公式、三角形內角和定理及誘導公式等推出角與角之間的關系進行判斷.
10.解三角形中的最值（取值范圍）問題的求解方法
（1）函數(shù)法：通過正、余弦定理將邊轉化為角，再根據(jù)三角恒等變換:及三角形內角和定理轉化為“一角一函數(shù)”的形式，最后結合角的范圍利用三角函數(shù)的單調性和值域求解，
（2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面積公式建立，，之間
的等量關系與不等關系，然后利用基本不等式求解.
（3）幾何法：根據(jù)已知條件畫出圖形，結合圖形，找出臨界位置，數(shù)形結合求解.
11.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步驟
（1）找條件.尋找三角形中已知的邊和角，確定轉化方向.
（2）定工具，根據(jù)已知條件和轉化方向，選擇使用的定理和公式，進行邊角之間的轉化.
（3）求結果，根據(jù)前兩步的分析，代入求值得出結果.
（4）反思，轉化過程中要注意轉化的方向，審視結果的合理性.
12.幾個典型三角形應用問題的處理方法.
（1）求距離問題的注意事項：
①選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.
②確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.
（2）處理高度問題的注意事項：
①在處理有關高度問題時，理解仰角、俯角（視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角）是一個關鍵.
②在實際問題中，可能會遇到空間與平面同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.
（3）測量角度問題的一般步驟：
①在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離；
②用正弦定理或余弦定理解三角形；
③將解得的結果轉化為實際問題的解.
【典型例題復習】
1.【2023年新課標Ⅰ卷】已知，，則( )
A. B. C. D.
2.【2023年新課標Ⅱ卷】已知為銳角，，則( )
A. B. C. D.
3.【2022年新高考Ⅰ卷】記函數(shù)的最小正周期為T.若，且的圖象關于點中心對稱，則( )
A.1 B. C. D.3
4.【2022年新高考Ⅱ卷】若，則( )
A. B. C. D.
5.【2022年新高考Ⅱ卷】（多選）已知函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則( )
A.在區(qū)間單調遞減
B.在區(qū)間有兩個極值點
C.直線是曲線的對稱軸
D.直線是曲線的切線
6.【2022年新高考Ⅰ卷】（多選）下圖是函數(shù)的部分圖像，則( )
A. B. C. D.
7.【2023年新課標Ⅰ卷】已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是___________.
8.【2023年新課標Ⅱ卷】已知函數(shù)，如圖，A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則_________.
9.【2023年新課標Ⅰ卷】已知在中，，.
（1）求；
（2）設，求AB邊上的高.
10.【2023年新課標Ⅱ卷】記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知面積為，D為BC的中點，且.
(1)若，求；
(2)若，求b，c.
答案以及解析
1.答案：B
解析：依題意，得，所以，所以，所以，故選B.
2.答案：D
解析：法一：由題意，，得，又為銳角，所以，所以，故選D.
法二：由題意，，得，將選項逐個代入驗證可知D選項滿足，故選D.
3.答案：A
解析：因為，所以，解得.
因為的圖象關于點中心對稱，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故選A.
4.答案：C
解析：當時，由題設可得，故可取.于是，，，因此可以排除選項A，D.同理，當時，可取，于是有，因此可以排除選項B.故正確選項為C.
5.答案：AD
解析：解法一：由，得.因為函數(shù)的圖象關于點中心對稱，所以，即，結合，得，所以.
解法二：因為函數(shù)的圖象關于點中心對稱，所以，可得，結合，得，所以.
對于A，解法一：由，得，當時，.因為，所以函數(shù)在區(qū)間單調遞減，故A正確；
解法二：當時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調遞減，故A正確；
對于B，解法一：由，得，當時，，當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間只有一個極值點，故B不正確；
解法二：當時，，所以函數(shù)在區(qū)間只有一個極值點，故B不正確；
對于C，解法一：由選項B解法一的分析知，函數(shù)圖象的對稱軸方程為，而方程無解，故C不正確；
解法二：因為，所以不是曲線的對稱軸，故C不正確；
對于D，因為，若直線為曲線的切線，則由，得，，所以或.當時，，則由，解得；當時，，方程無解.綜上所述，直線為曲線的切線，故D正確.
綜上所述，選AD.
6.答案：BC
解析：由題圖可知，函數(shù)的最小正周期，，.當時，，將點代入得，，，即，故.由于，故選項B正確；，選項C正確；對于選項A，當時，，錯誤；對于選項D，當時，，錯誤.當時，，將代入，得，結合函數(shù)圖象，知，得，，但當時，，與圖象不符合，舍去.綜上，選BC.
7.答案：
解析：方法一：令，得，又，則，所以，解得，即的取值范圍是.
方法二：令，得，即，，解得，.因為在區(qū)間有且僅有3個零點，且，所以的3個零點對應，所以且，解得，即的取值范圍是.
8.答案：
解析：對比正弦函數(shù)的圖象易知，點為“五點（畫圖）法”中的第五點，所以①.
由題知，，兩式相減，得，即，解得.代入①，得，所以.
9.答案：（1）
（2）AB邊上的高為6
解析：（1）在中，，
因為，所以，所以.
因為，
所以，
展開并整理得，
得，
又，且，
所以.
（2）由正弦定理得，
得，
由余弦定理得，
則，
整理得，
解得或，
由（1）得，，所以，
又，所以，
即，所以，所以，
設AB邊上的高為h，
則，
即，
解得，
所以AB邊上的高為6.
10.答案：(1)
(2)
解析：(1)因為D為BC的中點，
所以，
解得，
所以，.
因為，所以.
在中，由余弦定理，得，
所以.
解法一：在中，由余弦定理，得
所以.
在中，由余弦定理，得，
所以.
解法二：在中，由正弦定理，得，
所以，
所以.
所以.
(2)解法一：因為D為BC的中點，所以.
因為，所以，
則在與中，由余弦定理，得，
得，
所以，所以，所以.
解法二：因為D為BC的中點，所以.
在與中，由余弦定理，得，
整理，得，
得，所以.
在中，由余弦定理，得，
所以，
解得.
則由，解得.

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