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第3節(jié)　向心加速度
第六章　圓周運(yùn)動(dòng)
學(xué)科素養(yǎng)與目標(biāo)要求
1.理解向心加速度的概念.
2.掌握向心加速度和線速度、角速度等物理量的關(guān)系.
3.能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問(wèn)題.
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
復(fù)習(xí)思考
1.牛頓第二定律的內(nèi)容
物體加速度的大小與物體所受合力大小成正比，與物體自身質(zhì)量成反比，加速度的方向與物體所受合力的方向一致。
2.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合力有何特點(diǎn)？
小球受哪些力？合外力有何特點(diǎn)？
想一想
輕繩栓一小球,在光滑水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
G
FN
F
小球受力分析：
O
FN與G相抵消，所以合力為F，合力提供向心力
合力
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
小球在光滑水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球是否
具有加速度，如果具有加速度，其方向又如何？
思考：
線速度的大小不變但方向改變
勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變速曲線運(yùn)動(dòng)
合力不為零
運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變
一定存在加速度
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
G
FN
F
O
根據(jù)牛頓第二定律，物體運(yùn)動(dòng)的加速度方向與它所受合力的方向相同。而物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)合力總是指向圓心
因此，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度也總指向圓心，我們把它叫作向心加速度
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
1、定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體加速度總指向圓心，這個(gè)加速度稱為向心加速度
指向圓心
2、方向：時(shí)刻變化，始終指向圓心
向心加速度
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心加速度方向與線速度方向的關(guān)系
思考：
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
向心加速度的大小
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小
an =
v2
r
Fn = m = man
v2
r
F = ma
Fn = m
v2
r
= mω2r
= m r
4π2
T 2
an =
v2
r
an = ω2r
an = r
4π2
T 2
= mωv
an = ωv
①在同一條直線上：△v=v2-v1
　
準(zhǔn)備知識(shí)：速度變化量的求解方法　
v1
v2
△v
v1
v2
△v
v1
v2
△v
②不在同一條直線上
從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度求解向心加速度大小
an =
Δv
Δt
速度的變化量△v與初速度v1和末速度v2的關(guān)系：從同一點(diǎn)作出物體在一段時(shí)間的始末兩個(gè)速度的矢量v1和v 2，從初速度矢量v1的末端作一個(gè)矢量△v至末速度矢量v2的末端，矢量△v就等于速度的變化量.
速度的變化量
探究：設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻位于A點(diǎn)，速度為vA，經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt后位于B點(diǎn)，速度為vB，求解質(zhì)點(diǎn)的加速度
從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度求解向心加速度大小
O
A
B
從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度求解向心加速度大小
設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻位于A點(diǎn)，速度為vA，經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt后位于B點(diǎn)，速度為vB，求解質(zhì)點(diǎn)加速度的大小
vA
vB
vA
Δv
r
vA、vB、Δv所組成的矢量三角形與ΔAOB相似
故
所以
則
則
當(dāng)Δt極小時(shí)，質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度極小，此時(shí)弦長(zhǎng)就近似
等于弧長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度
向心加速度
1、定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體加速度總是指向圓心，這個(gè)加速度稱為向心加速度
4、物理意義：
2、大小：
3、方向：始終指向圓心
指向圓心
an =
v2
r
= ω2r
= r
4π2
T 2
描述線速度方向變化的快慢
= ωv
知識(shí)深化
對(duì)向心加速度及其方向的理解
1.向心加速度的方向：總指向圓心，方向時(shí)刻改變.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.
3.圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：不論向心加速度an的大小是否變化，其方向時(shí)刻改變，所以圓周運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)刻發(fā)生變化，圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng).
4.變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度并不指向圓心，該加速度有兩個(gè)分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢，所以變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的方向也總是指向圓心.
向心加速度
1.下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中正確的是
A.向心加速度表示做圓周運(yùn)動(dòng)的物體速率改變的快慢
B.向心加速度的方向不一定指向圓心
C.向心加速度描述線速度方向變化的快慢
D.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度不變
√
向心加速度
2、下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中，正確的是 （ ）
A、向心加速度的方向始終與速度的方向垂直
B、向心加速度的方向保持不變
C、在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度是恒定的
D、在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的大小不斷變化
√
向心加速度
3、一物體在水平面內(nèi)沿半徑 R=20cm的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng),線速度v =0.2m/s,則它的 向心加速度為_(kāi)_____m/s2， 角速度為_(kāi)____ rad/s，周期為_(kāi)____s.
0.2
1
2π
向心加速度
向心加速度的表達(dá)式：
an =
v2
r
an = rω2
an = r
4π2
T 2
從公式 看，向心加速度與半徑成反比；從公式 看，向心加速度與半徑成正比；這兩個(gè)結(jié)論是否矛盾？
an =
v2
r
an = ω2r
v不變時(shí)，an與r 成反比
ω不變時(shí)，an與r 成正比
思考討論
an = ωv
向心加速度
向心加速度
如圖所示，在長(zhǎng)為l 的細(xì)繩下端拴一個(gè)質(zhì)量為m 的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個(gè)圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為θ 時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an 的大小為多少？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。
l
O
r
θ
由于小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度的方向始終指向圓心。可以根據(jù)受力分析，求出向心力的大小，進(jìn)而求出向心加速度的大小。根據(jù)向心加速度公式，分析小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω 與夾角θ 之間的關(guān)系。
向心加速度
l
O
r
θ
mg
F
Fn
θ
如圖所示，在長(zhǎng)為l 的細(xì)繩下端拴一個(gè)質(zhì)量為m 的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做
圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個(gè)圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為θ 時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an 的大小為多少？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。
解：力的合成角度：向心力Fn由重力和細(xì)線拉力的合力提供
故小球向心力 Fn = mgtan θ
向心加速度
l
O
r
θ
mg
F
Fn
θ
如圖所示，在長(zhǎng)為l 的細(xì)繩下端拴一個(gè)質(zhì)量為m 的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做
圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個(gè)圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為θ 時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an 的大小為多少？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。
解：力的分解角度：向心力Fn由細(xì)線拉力沿半徑指向圓心方向的分力提
供
x： Fn = Fx = F sin θ
y
x
Fn = mgtan θ
y： Fy = F cos θ = mg
根據(jù)牛頓第二定律可得小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an＝ ＝ gtan θ
an＝ ω2r
＝ ω2 lsin θ
＝ gtan θ
cos θ ＝
向心加速度
1. 甲、乙兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)于以下四種情況各舉一個(gè)實(shí)際的例子。在這四種情況下，哪個(gè)物體的向心加速度比較大？
A. 它們的線速度大小相等，乙的半徑小
B. 它們的周期相等，甲的半徑大
C. 它們的角速度相等，乙的線速度小
D. 它們的線速度大小相等，在相同時(shí)間內(nèi)甲與圓心的連線掃過(guò)的角度比乙的大
方法
總結(jié)
向心加速度公式的應(yīng)用技巧
向心加速度的每一個(gè)公式都涉及三個(gè)物理量的變化關(guān)系，必須在某一物理量不變時(shí)分析另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系.
(1)先確定各點(diǎn)是線速度大小相等，還是角速度相同.
(2)在線速度大小相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比.
向心加速度
2. 月球繞地球公轉(zhuǎn)的軌道接近圓，半徑為3.84×l05 km，公轉(zhuǎn)周期是27.3 d。月球繞地球公轉(zhuǎn)的向心加速度是多大？
向心加速度
3. 一部機(jī)器與電動(dòng)機(jī)通過(guò)皮帶連接，機(jī)器皮帶輪的半徑是電動(dòng)機(jī)皮帶輪半徑的3 倍（圖），皮帶與兩輪之間不發(fā)生滑動(dòng)。已知機(jī)器皮帶輪邊緣上一點(diǎn)的向心加速度為0.10 m/s2。
（ 1）電動(dòng)機(jī)皮帶輪與機(jī)器皮帶輪的轉(zhuǎn)速之比n1 ：n2 是多少？
（ 2）機(jī)器皮帶輪上 A 點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為輪半徑的一半，A 點(diǎn)的向心加速度是多少？
（ 3）電動(dòng)機(jī)皮帶輪邊緣上某點(diǎn)的向心加速度是多少？
向心加速度
3. 一部機(jī)器與電動(dòng)機(jī)通過(guò)皮帶連接，機(jī)器皮帶輪的半徑是電動(dòng)機(jī)皮帶輪半徑的3 倍（圖），皮帶與兩輪之間不發(fā)生滑動(dòng)。已知機(jī)器皮帶輪邊緣上一點(diǎn)的向心加速度為0.10 m/s2。
（ 1）電動(dòng)機(jī)皮帶輪與機(jī)器皮帶輪的轉(zhuǎn)速之比n1 ：n2 是多少？
（ 2）機(jī)器皮帶輪上 A 點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為輪半徑的一半，A 點(diǎn)的向心加速度是多少？
（ 3）電動(dòng)機(jī)皮帶輪邊緣上某點(diǎn)的向心加速度是多少？
向心加速度
3. 一部機(jī)器與電動(dòng)機(jī)通過(guò)皮帶連接，機(jī)器皮帶輪的半徑是電動(dòng)機(jī)皮帶輪半徑的3 倍（圖），皮帶與兩輪之間不發(fā)生滑動(dòng)。已知機(jī)器皮帶輪邊緣上一點(diǎn)的向心加速度為0.10 m/s2。
（ 1）電動(dòng)機(jī)皮帶輪與機(jī)器皮帶輪的轉(zhuǎn)速之比n1 ：n2 是多少？
（ 2）機(jī)器皮帶輪上 A 點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為輪半徑的一半，A 點(diǎn)的向心加速度是多少？
（ 3）電動(dòng)機(jī)皮帶輪邊緣上某點(diǎn)的向心加速度是多少？
向心加速度
4. A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在相同的時(shí)間內(nèi)，它們通過(guò)的路程之比是4∶3，運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比是3∶2，它們的向心加速度之比是多少？
例2　如圖3所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，A、B為球體表面上兩點(diǎn)，下列幾種說(shuō)法中正確的是
A.A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度
B.A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度
C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為2∶1
√
圖3
解析　A、B為球體表面上兩點(diǎn)，因此，A、B兩點(diǎn)的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A對(duì)；
如圖所示，A以P為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，B以Q為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，因此，A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯(cuò)；
例3　(2019·大同一中期中)如圖4所示的皮帶傳動(dòng)裝置中，甲輪的軸和乙、丙輪的軸均為水平軸，其中，甲、丙兩輪半徑相等，乙輪半徑是丙輪半徑的一半.A、B、C三點(diǎn)分別是甲、乙、丙三輪邊緣上的點(diǎn)，若傳動(dòng)中皮帶不打滑，則
A.A、B兩點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1
B.B、C兩點(diǎn)的角速度之比為1∶2
C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為2∶1
D.A、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4
√
圖4
解析　傳動(dòng)中皮帶不打滑，則A、B兩點(diǎn)的線速度大小相等，A錯(cuò)誤；
B、C兩點(diǎn)繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故B、C兩點(diǎn)的角速度相等，故B錯(cuò)誤；
由于B、C兩點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶2，又A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶2，故D正確.
方法
總結(jié)
向心加速度公式的應(yīng)用技巧
向心加速度的每一個(gè)公式都涉及三個(gè)物理量的變化關(guān)系，必須在某一物理量不變時(shí)分析另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系.
(1)先確定各點(diǎn)是線速度大小相等，還是角速度相同.
(2)在線速度大小相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比.
解析　小齒輪A和大齒輪B通過(guò)鏈條傳動(dòng)，邊緣線速度大小相等，即vA＝vB，小齒輪A和后輪C同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度 可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1，由向心加速度an＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，選項(xiàng)C正確.
針對(duì)訓(xùn)練　(2019·深圳中學(xué)期中)如圖5所示，自行車的小齒輪A、大齒輪B、后輪C是相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部分，且半徑RB＝4RA、RC＝8RA，當(dāng)自行車懸空，大齒輪B帶動(dòng)后輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B、C三輪邊緣的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于
A.1∶1∶8
B.4∶1∶4
C.4∶1∶32
D.1∶2∶4
√
圖5
1.(向心加速度公式的理解)關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是
A.由 可知，an與r成反比
B.由an＝ω2r可知，an與r成正比
C.由v＝ωr可知，ω與r成反比
D.由ω＝2πf可知，ω與f成正比
解析　質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與質(zhì)點(diǎn)的線速度、角速度、半徑有關(guān).但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能確定.當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比；當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比，對(duì)線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論，正確答案為D.
√
1
2
3
4
2.(向心加速度公式的理解)(多選)(2019·長(zhǎng)豐二中高一下學(xué)期期末)甲、乙兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列情況下，關(guān)于向心加速度的說(shuō)法正確的是
A.當(dāng)它們的角速度相等時(shí)，乙的線速度小則乙的向心加速度小
B.當(dāng)它們的周期相等時(shí)，甲的半徑大則甲的向心加速度大
C.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，乙的半徑小則乙的向心加速度小
D.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，在相同的時(shí)間內(nèi)甲與圓心的連線轉(zhuǎn)過(guò)的角度比乙的大，則
甲的向心加速度比乙的小
√
1
2
3
4
√
解析　角速度相等，乙的線速度小，根據(jù)公式an＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正確；
1
2
3
4
線速度相等，角速度大的向心加速度大，則D錯(cuò)誤.
3.(傳動(dòng)裝置中向心加速度的計(jì)算)(2019·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)某變速箱中有甲、乙、丙三個(gè)齒輪，如圖6所示，其半徑分別為r1、r2、r3，若甲輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，三個(gè)輪相互不打滑，則丙輪邊緣上各點(diǎn)的向心加速度大小為
1
2
3
4
√
圖6
4.(向心加速度的計(jì)算)(多選)(2019·遂寧市高一下學(xué)期期末)如圖7所示，小球A用輕質(zhì)細(xì)線拴著在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)到左側(cè)時(shí)，在小球A的正上方高度為R的小球B水平飛出，飛出時(shí)的速度大小為 不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，要使小球A在運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)能與小球B相碰，則小球A的向心加速度大小可能為
1
2
3
4
圖7
√
√
1
2
3
4

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