資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題05 萬有引力定律的應用
目錄
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知識精講 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 題型過關 1
HYPERLINK \l _Toc19966 題型一 開普勒三大定律 4
HYPERLINK \l _Toc12308 題型二 重力加速度的相關計算 4
HYPERLINK \l _Toc18820 題型三 中心天體質量和密度的估算 6
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 實戰訓練 8
知識點一 開普勒三大定律
定律 內容 圖示
開普勒第一定律 所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上
開普勒第二定律 太陽到行星的連線在相等的時間內掃過的面積相等
開普勒第三定律 行星繞太陽運行軌道半長軸r的立方與其公轉周期T的二次方成正比，公式：＝k（適用條件：針對于同一中心天體，中心天體不同，k不同）
知識點二 重力加速度的相關計算
假設地球是質量分布均勻的球體，密度為ρ，質量為 M，半徑為 R。
物體在地球表面（近地衛星） 衛星距地面一定高度h1 物體距離地面深度h2
mg＝G 則： 由，，，解得：，則：
知識點三 萬有引力與重力的關系
1．地球表面的重力與萬有引力
地面上的物體所受地球的吸引力產生兩個效果，其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力，另一個分力等于重力．
(1)在兩極，向心力等于零，重力等于萬有引力；
(2)除兩極外，物體的重力都比萬有引力小；
(3)在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．星體表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉)；mg＝G，得g＝.
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝
所以＝.
知識點四 中心天體質量和密度的估算
中心天體質量和密度常用的估算方法
質量的計算 使用方法 已知量 利用公式 表達式 備注
利用運行天體 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天體的質量
r、v G＝m M＝
v、T G＝mG＝mr M＝
密度的計算 利用天體表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用運行天體 r、T、R G＝mrM＝ρ·πR3 ρ＝當r＝R時ρ＝ 利用近地衛星只需測出其運行周期
利用天體表面重力加速度 g、R mg＝M＝ρ·πR3 ρ＝ —
應用公式時注意區分“兩個半徑”和“兩個周期”
(1)天體半徑和衛星的軌道半徑,通常把天體看成一個球體，天體的半徑指的是球體的半徑．衛星的軌道半徑指的是衛星圍繞天體做圓周運動的圓的半徑．衛星的軌道半徑大于等于天體的半徑．
(2)自轉周期和公轉周期,自轉周期是指天體繞自身某軸線運動一周所用的時間，公轉周期是指衛星繞中心天體做圓周運動一周所用的時間．自轉周期與公轉周期一般不相等．
題型一 開普勒三大定律
1．太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。“行星沖日”是指當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象。已知地球及部分地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
則表中相鄰兩次沖日的時間間隔最長的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
2．海王星是僅有的利用數學預測發現的行星，是牛頓經典力學的輝煌標志之一。在未發現海王星之前，天文學家發現天王星實際運動的軌道與萬有引力理論計算的值總存在一些偏離，且周期性地每隔時間t發生一次最大的偏離。天文學家認為形成這種現象的原因是天王星外側還存在著一顆未知行星繞太陽運行，其運行軌道與天王星在同一平面內，且與天王星的繞行方向相同，每當未知行星與天王星距離最近時，它對天王星的萬有引力引起天王星軌道的最大偏離，該未知行星即為海王星。已知天王星的公轉周期為T，則海王星的公轉周期為（　　）
A． B． C． D．
3．“日心說”以太陽為參考系，金星和地球運動的軌跡可以視為共面的同心圓；“地心說”以地球為參考系，金星的運動軌跡（實線）和太陽的運動軌跡（虛線）如圖所示。觀測得每隔1.6年金星離地球最近一次，則下列判斷正確的是（　　）
A．在8年內太陽、地球、金星有5次在一條直線上
B．在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上
C．地球和金星繞太陽公轉的周期之比為8：5
D．地球和金星繞太陽公轉的周期之比為
4．關于開普勒定律，下列說法正確的是（　　）
A．開普勒定律是經過長時間連續不斷的觀察、推理總結出來的，未經過實際計算
B．開普勒第一定律表明，行星繞太陽運動的軌跡為橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上
C．開普勒第二定律表明，地球在近日點比火星在遠日點更快
D．開普勒第三定律中，k是一個在任何星系中都相等的常量
5．某行星和地球繞太陽公轉的軌道均可視為圓，每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖所示，該行星與地球的公轉半徑比為（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
題型二 重力加速度的相關計算
6．科學家發現一個新的星體，其半徑約為20km，質量約為地球質量的5×105倍，已知地球的半徑為6400km，忽略星球自轉的影響，則該星體表面的重力加速度大小與地球表面的重力加速度大小之比約為（　　）
A．2×1010 B．5×1010 C．5×105 D．2×105
7．亞地球行星GJ367b是一顆超輕、超快的系外行星，該行星的半徑為地球半徑的72%，質量為地球質量的55%。若取g＝9.8m/s2，則該行星的表面重力加速度約為（　　）
A．6.0m/s2 B．10m/s2 C．8.0m/s2 D．12m/s2
8．在宇宙中有一種由恒星衰變形成的神秘天體——中子星，中子星一般是一些大質量恒星的終極狀態，它們在耗盡了燃料隨之演化到生命末期，最終不堪重負重力崩潰并以超新星的形式爆炸而成為一顆中子星。某中子星的質量約為3.0×1030kg，與太陽的質量大致相等，但是它的半徑只有10km，已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，則（　　）
A．此中子星表面的重力加速度約為1.4×1012m/s2
B．此中子星表面的重力加速度約為2.0×1012m/s2
C．繞該中子星做圓周運動的衛星最大速度不超過2×108m/s
D．繞該中子星做圓周運動的衛星最大速度不超過1.4×109m/s
9．由于行星自轉的影響，行星表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同。已知某行星表面兩極處的重力加速度大小為g，其赤道處的重力加速度大小為g，該行星可視為質量均勻分布的球體，則該行星表面北緯42°處的重力加速度大小約為（已知cos42°＝）（　　）
A．g B．g C．g D．g
題型三 中心天體質量和密度的估算
10．同一“探測衛星”分別圍繞某星球和地球多次做圓周運動。“探測衛星”在圓周運動中的周期二次方T與軌道半徑三次方r3的關系圖像如圖所示，其中P表示“探測衛星”繞該星球運動的關系圖像，Q表示“探測衛星”繞地球運動的關系圖像，“探測衛星”在該星球近表面和地球近表面運動時均滿足T2＝c，圖中c、m、n已知，則（　　）
A．該星球和地球的密度之比為m：n
B．該星球和地球的密度之比為n：m
C．該星球和地球的第一宇宙速度之比為
D．該星球和地球的第一宇宙速度之比為
11．科幻電影《流浪地球2》中，人類利用地球赤道上的“行星發動機”將地球送至距離太陽系很遠的比鄰星附近，成為比鄰星的行星。若太陽質量為m1，流浪前地球繞太陽運行軌道半徑為r1，周期為T1，流浪后地球繞比鄰星運行的軌道半徑為r2，周期為T2，則比鄰星的質量為（　　）
A．
B．
C．
D．
12．2020年11月24日，長征五號運載火箭將“嫦娥五號”探測器送入預定軌道，執行月面采樣任務后平安歸來，首次實現我國地外天體采樣返回。已知“嫦娥五號”探測器在距離月球表面h高處環月做勻速圓周運動的周期為T，月球半徑為R，萬有引力常量為G，據此可以求出月球的質量是（　　）
A． B．
C． D．
13．1970年4月24日，中國成功將第一顆人造衛星——東方紅一號送入近地點441km、遠地點2368km的橢圓軌道，運行周期為114分鐘，設計壽命僅20天。但是至今，東方紅一號衛星仍在空間軌道上運行，已知地球半徑為6400km，萬有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。根據以上數據，可估算出（　　）
A．地球的質量
B．東方紅一號在近地點的動能
C．東方紅一號在近地點受到的萬有引力
D．東方紅一號在遠地點的向心力
一．選擇題（共12小題）
1．關于行星運動定律及萬有引力定律的建立，下列說法中正確的是（　　）
A．第谷通過觀察和研究發現了行星運動的規律
B．開普勒定律僅適用于行星繞太陽的運動
C．牛頓發現了萬有引力定律，并測出了引力常量的具體數值
D．“月﹣地檢驗”表明地面物體所受地球引力與月球所受地球引力遵從同樣的規律
2．如圖為北半球二十四個節氣時地球在公轉軌道上位置的示意圖，其中冬至時地球離太陽最近。地球公轉線速度最大的節氣是（　　）
A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至
3．木星有4顆衛星是伽利略發現的，稱為伽利略衛星，其中兩顆衛星繞木星做圓周運動的周期之比為1：4，則這兩顆衛星的軌道半徑之比為（　　）
A． B． C． D．
4．關于萬有引力和行星運動規律，下列說法中正確的是（　　）
A．開普勒利用自己觀測的行星運動數據，發現行星繞太陽做勻速圓周運動
B．牛頓提出了萬有引力定律，并計算出了地球的質量
C．“月—地檢驗”中比較的是月球繞地球公轉的向心加速度和赤道上物體隨地球自轉的向心加速度
D．開普勒行星運動定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于衛星繞行星的運動
5．關于重力和萬有引力的關系，下列說法正確的是（　　）
A．物體在南極受到的萬有引力大于重力
B．物體在赤道受到的萬有引力大于重力
C．離地越高，物體的重力加速度越大
D．萬有引力是重力的一個分力，因此重力大于萬有引力
6．關于萬有引力公式的理解，以下說法中正確的是（　　）
A．牛頓首先得到了萬有引力定律，并且用實驗測定了引力常量G的數值
B．由公式可知，兩物體緊靠在一起時萬有引力無窮大
C．可看作質點的兩物體間的引力可用公式計算
D．兩個質點質量不變，距離變為原來的2倍，則它們之間的萬有引力將變為原來的
7．飛船在火星表面軟著陸之前，在靠近火星表面的軌道上做勻速圓周運動。若要估算火星的平均密度，唯一要測量的物理量是（　　）
A．飛船的軌道半徑 B．飛船的飛行周期
C．飛船的線速度 D．火星的半徑
8．2021年2月24日，我國首個火星探測器“天問一號”成功進入火星停泊軌道，開始科學探測，并為擇機著陸火星做好準備。假設火星和地球繞太陽公轉的運動均可視為勻速圓周運動。某一時刻，火星會運動到日地連線的延長線上，如圖所示。下列說法正確的是（　　）
A．“天問一號”在發射過程中處于完全失重狀態
B．火星的公轉速度大于地球的公轉速度
C．火星的公轉周期大于地球的公轉周期
D．從圖示時刻再經過半年的時間，太陽、地球、火星再次共線
9．如圖，火星與地球的軌道近似在同一平面內，繞太陽沿同一方向做勻速圓周運動，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測者在大多數的時間內觀測到火星相對于恒星背景由西向東運動，稱為順行；有時觀測到火星由東向西運動，稱為逆行。當火星、地球、太陽三者在同一直線上，且太陽和火星位于地球兩側時，稱為火星沖日，2022年火星沖日的時間為12月8號。已知地球軌道以外的行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，忽略地球自轉，只考慮太陽對行星的引力，下列說法正確的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．在2025年內一定會出現火星沖日
B．在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為順行
C．圖表中的地外行星中，火星相鄰兩次沖日間隔時間最短
D．火星的公轉周期是地球的倍
10．太空望遠鏡觀測到銀河系中某行星赤道上空存在環狀物質帶，環狀物質帶繞行星中心運動的角速度與到行星中心的距離r的關系如圖所示（圖中兩坐標點對應的物理量均為已知值）。已知行星的半徑為R，環狀物質的寬度為d，引力常量為G，以下說法正確的是（　　）
A．環狀物質繞行星運動的最大周期為
B．該行星赤道上物體的線速度為Rω1
C．環狀物質環繞行星中心的周期與行星自轉周期相同
D．該行星的質量為
11．2024年5月3日17時28秒，我國“嫦娥六號”月球探測器由“長征五號”遙八運載火箭從位于海南的文昌航天發射場101工位發射升空，主要目的是實現月球背面自動采樣并返回。已知月球的半徑R。萬有引力常數G。關于“嫦娥六號”的發射及返回的整個過程，下列說法正確的是（　　）
A．在轉移軌道上火箭關機后，火箭攜帶探測器在滑行過程中做勻速直線運動
B．“嫦娥六號”在轉移橢圓軌道的近月點Q進入月球工作軌道時與月球組成的系統的機械能要增加
C．如果探測器登陸月球表面后，以初速度v0豎直向上拋出一個小球，上升的最大高度為h（遠小于月球半徑），則可得到月球的密度
D．探測器取回月壤土返回地球，進入地球大氣層后，由于所受合力增加，且合力做正功，所以機械能要增加
12．如圖所示，A、B、C分別為太陽、地球和月球，地球繞太陽運動的軌道形狀為橢圓，P點為近日點，到太陽的距離為R1，Q點為遠日點，到太陽的距離為R2，地球公轉周期為T；月球繞地球的運動可視為勻速圓周運動（忽略太陽對月球的引力），月球運行軌道半徑為r，月球公轉周期為t。則（　　）
A．相同時間內，月球與地球的連線掃過的面積等于地球與太陽連線掃過的面積
B．地球在P點和Q點的速率之比
C．地球從P點運動到Q點的過程中，動能一直變大
D．由開普勒第三定律可知為常數
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專題05 萬有引力定律的應用
目錄
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知識精講 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 題型過關 1
HYPERLINK \l _Toc19966 題型一 開普勒三大定律 4
HYPERLINK \l _Toc12308 題型二 重力加速度的相關計算 4
HYPERLINK \l _Toc18820 題型三 中心天體質量和密度的估算 7
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 實戰訓練 10
知識點一 開普勒三大定律
定律 內容 圖示
開普勒第一定律 所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上
開普勒第二定律 太陽到行星的連線在相等的時間內掃過的面積相等
開普勒第三定律 行星繞太陽運行軌道半長軸r的立方與其公轉周期T的二次方成正比，公式：＝k（適用條件：針對于同一中心天體，中心天體不同，k不同）
知識點二 重力加速度的相關計算
假設地球是質量分布均勻的球體，密度為ρ，質量為 M，半徑為 R。
物體在地球表面（近地衛星） 衛星距地面一定高度h1 物體距離地面深度h2
mg＝G 則： 由，，，解得：，則：
知識點三 萬有引力與重力的關系
1．地球表面的重力與萬有引力
地面上的物體所受地球的吸引力產生兩個效果，其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力，另一個分力等于重力．
(1)在兩極，向心力等于零，重力等于萬有引力；
(2)除兩極外，物體的重力都比萬有引力小；
(3)在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．星體表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉)；mg＝G，得g＝.
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝
所以＝.
知識點四 中心天體質量和密度的估算
中心天體質量和密度常用的估算方法
質量的計算 使用方法 已知量 利用公式 表達式 備注
利用運行天體 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天體的質量
r、v G＝m M＝
v、T G＝mG＝mr M＝
密度的計算 利用天體表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用運行天體 r、T、R G＝mrM＝ρ·πR3 ρ＝當r＝R時ρ＝ 利用近地衛星只需測出其運行周期
利用天體表面重力加速度 g、R mg＝M＝ρ·πR3 ρ＝ —
應用公式時注意區分“兩個半徑”和“兩個周期”
(1)天體半徑和衛星的軌道半徑,通常把天體看成一個球體，天體的半徑指的是球體的半徑．衛星的軌道半徑指的是衛星圍繞天體做圓周運動的圓的半徑．衛星的軌道半徑大于等于天體的半徑．
(2)自轉周期和公轉周期,自轉周期是指天體繞自身某軸線運動一周所用的時間，公轉周期是指衛星繞中心天體做圓周運動一周所用的時間．自轉周期與公轉周期一般不相等．
題型一 開普勒三大定律
1．太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。“行星沖日”是指當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象。已知地球及部分地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
則表中相鄰兩次沖日的時間間隔最長的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
【答案】A
【解答】解：由開普勒第三定律，有 可知軌道半徑較大的行星，其周期也長。
設地球繞太陽運行的周期為T，地球外另一行星的周期為 T'，兩次沖日時間間隔為t，則，解得：＝，可知海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短，木星相鄰兩次沖日的時間間隔最長，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
2．海王星是僅有的利用數學預測發現的行星，是牛頓經典力學的輝煌標志之一。在未發現海王星之前，天文學家發現天王星實際運動的軌道與萬有引力理論計算的值總存在一些偏離，且周期性地每隔時間t發生一次最大的偏離。天文學家認為形成這種現象的原因是天王星外側還存在著一顆未知行星繞太陽運行，其運行軌道與天王星在同一平面內，且與天王星的繞行方向相同，每當未知行星與天王星距離最近時，它對天王星的萬有引力引起天王星軌道的最大偏離，該未知行星即為海王星。已知天王星的公轉周期為T，則海王星的公轉周期為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：設海王星的的公轉周期為T海，由題知，每隔時間t海王星與天王星距離最近，則有：
＝2π
解得：T海＝
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
3．“日心說”以太陽為參考系，金星和地球運動的軌跡可以視為共面的同心圓；“地心說”以地球為參考系，金星的運動軌跡（實線）和太陽的運動軌跡（虛線）如圖所示。觀測得每隔1.6年金星離地球最近一次，則下列判斷正確的是（　　）
A．在8年內太陽、地球、金星有5次在一條直線上
B．在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上
C．地球和金星繞太陽公轉的周期之比為8：5
D．地球和金星繞太陽公轉的周期之比為
【答案】B
【解答】解：AB.根據題意由圖可知，金星繞太陽的軌道半徑較小，由于每隔1.6年金星離地球最近一次，即每隔1.6年金星比地球多轉一圈，則每隔0.8年金星比地球多轉半圈，即每隔0.8年太陽、地球、金星在一條直線上，則在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上，故B正確，A錯誤；
CD.設金星的公轉周期為T1，地球的公轉周期為T2，則有：
t＝2π
又因為：t＝1.6年，T2＝1年
代入解得：T1：T2＝13：8
根據萬有引力提供向心力有：
G＝m
解得：r＝
則地球和金星繞太陽公轉的半徑之比為：＝
代入解得：＝
故CD錯誤。
故選：B。
4．關于開普勒定律，下列說法正確的是（　　）
A．開普勒定律是經過長時間連續不斷的觀察、推理總結出來的，未經過實際計算
B．開普勒第一定律表明，行星繞太陽運動的軌跡為橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上
C．開普勒第二定律表明，地球在近日點比火星在遠日點更快
D．開普勒第三定律中，k是一個在任何星系中都相等的常量
【答案】B
【解答】解：A、開普勒定律是開普勒依據第谷經長時間連續不斷的觀察、記錄的數據，推理計算總結出來的，故A錯誤；
B、所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上，這是開普勒第一定律，故B正確；
C、開普勒第二定律中，對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等，在近日點速度比遠日點大，故C錯誤；
D、開普勒第三定律中，k是一個與中心天體質量有關的常量，故D錯誤。
故選：B。
5．某行星和地球繞太陽公轉的軌道均可視為圓，每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖所示，該行星與地球的公轉半徑比為（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解答】解：由圖可知行星的軌道半徑大，那么由開普勒第三定律知其周期長。每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，說明從最初在日地連線的延長線上開始，每一年地球都在行星的前面比行星多轉圓周的N分之一，N年后地球轉了N圈，比行星多轉1圈，即行星轉了N﹣1圈，從而再次在日地連線的延長線上。所以行星的周期是年，
根據開普勒第三定律有：，
則＝＝（）。
故選：A。
題型二 重力加速度的相關計算
6．科學家發現一個新的星體，其半徑約為20km，質量約為地球質量的5×105倍，已知地球的半徑為6400km，忽略星球自轉的影響，則該星體表面的重力加速度大小與地球表面的重力加速度大小之比約為（　　）
A．2×1010 B．5×1010 C．5×105 D．2×105
【答案】B
【解答】解：設任一星球質量為M，半徑為R，星球表面的重力加速度為g。
忽略星球自轉的影響，根據萬有引力等于重力，有
G＝mg
可得g＝
所以該星體表面的重力加速度大小與地球表面的重力加速度大小之比為＝ ＝5×105×（）2＝5.12×1010≈5×1010，故ACD錯誤，B正確。
故選：B。
7．亞地球行星GJ367b是一顆超輕、超快的系外行星，該行星的半徑為地球半徑的72%，質量為地球質量的55%。若取g＝9.8m/s2，則該行星的表面重力加速度約為（　　）
A．6.0m/s2 B．10m/s2 C．8.0m/s2 D．12m/s2
【答案】B
【解答】解：忽略星球自轉的影響，在星球表面，有，則得
則該行星的表面重力加速度與地球的表面重力加速度之比為＝
可得g行＝ g＝0.55××9.8m/s2≈10m/s2，故ACD錯誤，B正確。
故選：B。
8．在宇宙中有一種由恒星衰變形成的神秘天體——中子星，中子星一般是一些大質量恒星的終極狀態，它們在耗盡了燃料隨之演化到生命末期，最終不堪重負重力崩潰并以超新星的形式爆炸而成為一顆中子星。某中子星的質量約為3.0×1030kg，與太陽的質量大致相等，但是它的半徑只有10km，已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，則（　　）
A．此中子星表面的重力加速度約為1.4×1012m/s2
B．此中子星表面的重力加速度約為2.0×1012m/s2
C．繞該中子星做圓周運動的衛星最大速度不超過2×108m/s
D．繞該中子星做圓周運動的衛星最大速度不超過1.4×109m/s
【答案】B
【解答】解：AB、在星體表面上的物體，其受到的重力等于萬有引力：
代入數據得到：，故A錯誤，B正確；
CD、對繞中子星表面做勻速圓周運動的衛星，根據萬有引力提供向心力：
變形得到：，故CD錯誤。
故選：B。
9．由于行星自轉的影響，行星表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同。已知某行星表面兩極處的重力加速度大小為g，其赤道處的重力加速度大小為g，該行星可視為質量均勻分布的球體，則該行星表面北緯42°處的重力加速度大小約為（已知cos42°＝）（　　）
A．g B．g C．g D．g
【答案】B
【解答】解：在考慮自轉的行星上，物體的重力是物體所受行星萬有引力的一個分力，如圖所示
設物體的質量為m，行星的半徑為R，行星自轉的角速度為ω，物體靜止在該行星兩極表面上時有F萬＝mg，物體靜止在該行星赤道表面上時有F萬﹣mg＝mω2R，物體靜止在北緯42°的行星表面上時，物體隨行星自轉所需的向心力大小F向＝mω2Rcos42°，根據余弦定理有（mg'）2＝+﹣2F萬×F向cos 42°，聯立解得g'＝g，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
題型三 中心天體質量和密度的估算
10．同一“探測衛星”分別圍繞某星球和地球多次做圓周運動。“探測衛星”在圓周運動中的周期二次方T與軌道半徑三次方r3的關系圖像如圖所示，其中P表示“探測衛星”繞該星球運動的關系圖像，Q表示“探測衛星”繞地球運動的關系圖像，“探測衛星”在該星球近表面和地球近表面運動時均滿足T2＝c，圖中c、m、n已知，則（　　）
A．該星球和地球的密度之比為m：n
B．該星球和地球的密度之比為n：m
C．該星球和地球的第一宇宙速度之比為
D．該星球和地球的第一宇宙速度之比為
【答案】C
【解答】解：AB、設中心天體質量為M，半徑為R，環繞天體的質量為m′，軌道半徑為r，環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動的周期為T，根據萬有引力提供向心力有
G＝m′r
可得M＝
則中心天體的密度為ρ＝＝＝
當“探測衛星”在該星球近表面和地球近表面運動時均滿足T2＝c，則ρ＝
當r＝R，則ρ＝，可知該星球和地球的密度之比為1：1，故AB錯誤；
CD、由圖可知，該星球的半徑為，地球的半徑為，該星球和地球的第一宇宙速度分別為
v星＝，v地＝，則v星：v地＝，故C正確，D錯誤。
故選：C。
11．科幻電影《流浪地球2》中，人類利用地球赤道上的“行星發動機”將地球送至距離太陽系很遠的比鄰星附近，成為比鄰星的行星。若太陽質量為m1，流浪前地球繞太陽運行軌道半徑為r1，周期為T1，流浪后地球繞比鄰星運行的軌道半徑為r2，周期為T2，則比鄰星的質量為（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：地球繞太陽運轉時，根據牛頓第二定律有
當地球繞比鄰星運行時，根據牛頓第二定律得
聯立解得比鄰星的質量為
，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
12．2020年11月24日，長征五號運載火箭將“嫦娥五號”探測器送入預定軌道，執行月面采樣任務后平安歸來，首次實現我國地外天體采樣返回。已知“嫦娥五號”探測器在距離月球表面h高處環月做勻速圓周運動的周期為T，月球半徑為R，萬有引力常量為G，據此可以求出月球的質量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由題意可知，嫦娥五號繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有：
整理變形解得：，故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
13．1970年4月24日，中國成功將第一顆人造衛星——東方紅一號送入近地點441km、遠地點2368km的橢圓軌道，運行周期為114分鐘，設計壽命僅20天。但是至今，東方紅一號衛星仍在空間軌道上運行，已知地球半徑為6400km，萬有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。根據以上數據，可估算出（　　）
A．地球的質量
B．東方紅一號在近地點的動能
C．東方紅一號在近地點受到的萬有引力
D．東方紅一號在遠地點的向心力
【答案】A
【解答】解：A.設與東方紅一號相同運行周期的圓形軌道半徑為r，根據萬有引力提供向心力有
＝mr
又由開普勒第三定律可得
＝
解得
M＝
故A正確；
BCD.由于不知道東方紅一號的質量所以無法得知，東方紅一號在近地點的動能，東方紅一號在近地點受到的萬有引力，東方紅一號在遠地點的向心力，均無法求出結果，故BCD錯誤。
故選：A。
一．選擇題（共12小題）
1．關于行星運動定律及萬有引力定律的建立，下列說法中正確的是（　　）
A．第谷通過觀察和研究發現了行星運動的規律
B．開普勒定律僅適用于行星繞太陽的運動
C．牛頓發現了萬有引力定律，并測出了引力常量的具體數值
D．“月﹣地檢驗”表明地面物體所受地球引力與月球所受地球引力遵從同樣的規律
【答案】D
【解答】解：A.開普勒通過觀察和研究發現了行星運動的規律，故A錯誤；
B.開普勒定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于宇宙中其它衛星繞行星的運動，故B錯誤；
C.牛頓發現了萬有引力定律，卡文迪什測出了引力常量的具體數值，故C錯誤；
D.“月﹣地檢驗”表明地面物體所受地球引力與月球所受地球引力遵從同樣的規律，故D正確。
故選：D。
2．如圖為北半球二十四個節氣時地球在公轉軌道上位置的示意圖，其中冬至時地球離太陽最近。地球公轉線速度最大的節氣是（　　）
A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至
【答案】D
【解答】解：根據開普勒第二定律，地球在近日點運動速度最大，即地球公轉線速度最大的節氣是冬至，故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
3．木星有4顆衛星是伽利略發現的，稱為伽利略衛星，其中兩顆衛星繞木星做圓周運動的周期之比為1：4，則這兩顆衛星的軌道半徑之比為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：兩顆衛星繞木星做圓周運動，由開普勒第三定律可知，，得，故ABC錯誤，D正確；
故選：D。
4．關于萬有引力和行星運動規律，下列說法中正確的是（　　）
A．開普勒利用自己觀測的行星運動數據，發現行星繞太陽做勻速圓周運動
B．牛頓提出了萬有引力定律，并計算出了地球的質量
C．“月—地檢驗”中比較的是月球繞地球公轉的向心加速度和赤道上物體隨地球自轉的向心加速度
D．開普勒行星運動定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于衛星繞行星的運動
【答案】D
【解答】解：A、開普勒利用第谷觀測的行星運動數據，發現行星繞太陽的軌跡為橢圓，故A錯誤；
B、牛頓提出了萬有引力定律，卡文迪什測出了引力常量，并首次計算出了地球的質量，故B錯誤；
C、牛頓通過比較月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度和地面重力加速度，對萬有引力定律進行了“月地檢驗”，故C錯誤；
D、開普勒行星運動定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動，故D正確。
故選：D。
5．關于重力和萬有引力的關系，下列說法正確的是（　　）
A．物體在南極受到的萬有引力大于重力
B．物體在赤道受到的萬有引力大于重力
C．離地越高，物體的重力加速度越大
D．萬有引力是重力的一個分力，因此重力大于萬有引力
【答案】B
【解答】解：ABD.萬有引力的一個分力表現為重力，另一個分力提供物體轉動的向心力，在赤道處地球自轉線速度最大，所需向心力最大，故此地重力最小，所以物體在赤道受到的萬有引力大于重力，在地球兩極，向心力為零，萬有引力等于重力，故AD錯誤，B正確；
C.在地面附近物體受到的萬有引力等于物體的重力，設地球半徑為R，地球質量為M，物體質量為m，離地面高度為h，則
解得：
由公式可知，離地越高，物體的重力加速度越小，故C錯誤。
故選：B。
6．關于萬有引力公式的理解，以下說法中正確的是（　　）
A．牛頓首先得到了萬有引力定律，并且用實驗測定了引力常量G的數值
B．由公式可知，兩物體緊靠在一起時萬有引力無窮大
C．可看作質點的兩物體間的引力可用公式計算
D．兩個質點質量不變，距離變為原來的2倍，則它們之間的萬有引力將變為原來的
【答案】C
【解答】解：A、牛頓首先得到了萬有引力定律，卡文迪什用實驗測定了引力常量G的數值，故A錯誤；
B、兩物體緊靠在一起時，不能看成質點，萬有引力公式不再適用，故B錯誤；
C、公式可用來計算看作質點的兩物體間的引力，故C正確；
D、根據公式，兩個質點質量不變，距離變為原來的2倍，則它們之間的萬有引力將變為原來的，故D錯誤。
故選：C。
7．飛船在火星表面軟著陸之前，在靠近火星表面的軌道上做勻速圓周運動。若要估算火星的平均密度，唯一要測量的物理量是（　　）
A．飛船的軌道半徑 B．飛船的飛行周期
C．飛船的線速度 D．火星的半徑
【答案】B
【解答】解：飛船靠近火星，在靠近火星的表面做勻速圓周運動，軌道半徑等于火星半徑，設為r，根據牛頓第二定律，有G，其中
聯立解得，G為常數，故需要測量飛船的公轉周期T；故ACD錯誤，B正確。
故選：B。
8．2021年2月24日，我國首個火星探測器“天問一號”成功進入火星停泊軌道，開始科學探測，并為擇機著陸火星做好準備。假設火星和地球繞太陽公轉的運動均可視為勻速圓周運動。某一時刻，火星會運動到日地連線的延長線上，如圖所示。下列說法正確的是（　　）
A．“天問一號”在發射過程中處于完全失重狀態
B．火星的公轉速度大于地球的公轉速度
C．火星的公轉周期大于地球的公轉周期
D．從圖示時刻再經過半年的時間，太陽、地球、火星再次共線
【答案】C
【解答】解：A、“天問一號”在發射過程中，加速度向上，處于超重狀態，故A錯誤；
BC、行星繞太陽做勻速圓周運動時，根據萬有引力提供向心力，有
G＝m＝mr
可得v＝，T＝2π
因火星的軌道半徑比地球的大，所以火星的公轉速度小于地球的公轉速度，火星的公轉周期大于地球的公轉周期，故B錯誤，C正確；
D、從圖示再經過半年的時間，地球剛好轉過半周，火星轉不到半周，故太陽、地球、火星三者不會共線，故D錯誤。
故選：C。
9．如圖，火星與地球的軌道近似在同一平面內，繞太陽沿同一方向做勻速圓周運動，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測者在大多數的時間內觀測到火星相對于恒星背景由西向東運動，稱為順行；有時觀測到火星由東向西運動，稱為逆行。當火星、地球、太陽三者在同一直線上，且太陽和火星位于地球兩側時，稱為火星沖日，2022年火星沖日的時間為12月8號。已知地球軌道以外的行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，忽略地球自轉，只考慮太陽對行星的引力，下列說法正確的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．在2025年內一定會出現火星沖日
B．在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為順行
C．圖表中的地外行星中，火星相鄰兩次沖日間隔時間最短
D．火星的公轉周期是地球的倍
【答案】A
【解答】解：AD.根據開普勒第三定律有＝，得＝＝＝，設經過時間t再次出現火星沖日，依題意有（﹣） t＝2π，解得t＝2.20年，由于2022年12月8號發生火星沖日，故在2025年會再次發生火星沖日現象，故A正確，D錯誤；
B.由萬有引力充當向心力有，解得v＝，地球軌道半徑小于火星，故在沖日處地球速度大于火星速度，火星相對地球向后運動，地球上觀測者觀測到火星由東向西運動，為逆行，
故B錯誤；
C.依圖中數據，地外其它行星要發生沖日現象，需滿足（﹣） t＝2π，解得t＝因為r越大，周期越大，則t越短，所以在這些地外行星中，火星相鄰兩次沖日時間最長，
故C錯誤。
故選：A。
10．太空望遠鏡觀測到銀河系中某行星赤道上空存在環狀物質帶，環狀物質帶繞行星中心運動的角速度與到行星中心的距離r的關系如圖所示（圖中兩坐標點對應的物理量均為已知值）。已知行星的半徑為R，環狀物質的寬度為d，引力常量為G，以下說法正確的是（　　）
A．環狀物質繞行星運動的最大周期為
B．該行星赤道上物體的線速度為Rω1
C．環狀物質環繞行星中心的周期與行星自轉周期相同
D．該行星的質量為
【答案】D
【解答】解：A、由題圖知，環狀物質繞行星運動的最小角速度為ω2，則最大周期為，故A錯誤；
B、由題可知，在該行星表面附近做勻速圓周運動的環狀物質的角速度為ω1，線速度為Rω1，根據v＝可知，該環狀物質的線速度大于該行星的同步衛星的線速度，根據v＝ωr知，該行星的同步衛星的線速度大于該行星赤道上物體的線速度，所以該行星赤道上物體的線速度小于Rω1，故B錯誤；
C、只有與行星運動同步的環狀物質繞行星中心的周期才與行星自轉周期相同，其他部分運行周期與行星自轉周期并不相同，故C錯誤；
D、對于軌道半徑為R+d的環狀物質，根據萬有引力提供向心力，得
G＝m（R+d），解得該行星的質量為，故D正確。
故選：D。
11．2024年5月3日17時28秒，我國“嫦娥六號”月球探測器由“長征五號”遙八運載火箭從位于海南的文昌航天發射場101工位發射升空，主要目的是實現月球背面自動采樣并返回。已知月球的半徑R。萬有引力常數G。關于“嫦娥六號”的發射及返回的整個過程，下列說法正確的是（　　）
A．在轉移軌道上火箭關機后，火箭攜帶探測器在滑行過程中做勻速直線運動
B．“嫦娥六號”在轉移橢圓軌道的近月點Q進入月球工作軌道時與月球組成的系統的機械能要增加
C．如果探測器登陸月球表面后，以初速度v0豎直向上拋出一個小球，上升的最大高度為h（遠小于月球半徑），則可得到月球的密度
D．探測器取回月壤土返回地球，進入地球大氣層后，由于所受合力增加，且合力做正功，所以機械能要增加
【答案】C
【解答】解：A、在轉移軌道上火箭關機后，火箭攜帶探測器在滑行過程中受到地球和月球的引力，合力不為零，不可能做勻速直線運動，故A錯誤；
B、“嫦娥六號”在轉移橢圓軌道的近月點Q進入月球工作軌道時，在Q點要制動減速，則“嫦娥六號”與月球組成的系統的機械能要減小，故B錯誤；
C、小球在月球表面做豎直上拋運動，可得月球表面的重力加速度g＝
設月球的質量為M，密度為ρ。根據萬有引力等于重力得
G＝mg
月球的密度為
ρ＝
聯立以上三式得：ρ＝，故C正確；
D、探測器取回月壤土返回地球，進入地球大氣層后，空氣阻力做負功，其機械能減小，故D錯誤。
故選：C。
12．如圖所示，A、B、C分別為太陽、地球和月球，地球繞太陽運動的軌道形狀為橢圓，P點為近日點，到太陽的距離為R1，Q點為遠日點，到太陽的距離為R2，地球公轉周期為T；月球繞地球的運動可視為勻速圓周運動（忽略太陽對月球的引力），月球運行軌道半徑為r，月球公轉周期為t。則（　　）
A．相同時間內，月球與地球的連線掃過的面積等于地球與太陽連線掃過的面積
B．地球在P點和Q點的速率之比
C．地球從P點運動到Q點的過程中，動能一直變大
D．由開普勒第三定律可知為常數
【答案】B
【解答】解：A、根據開普勒第二定律可知，在同一軌道上繞同一中心天體運行的天體與中心天體的連線在相同時間內掃過的面積相等，可知相同時間內，月球與地球的連線掃過的面積與地球與太陽連線掃過的面積不相等，故A錯誤；
B、由開普勒第二定律可知在相同時間內，在近日點和遠日點地球與太陽的連線掃過的面積相等，則有：
R1vP Δt＝R2vQ Δt，解得地球在P點和Q點的速率之比，故B正確；
C、由上分析可知，vP＞vQ，則知地球從P點運動到Q點的過程中，速度減小，動能減小，故C錯誤；
D、由開普勒第三定律有＝k，k是與中心天體質量有關的常數，由于地球與月球圍繞的中心天體不同，所以≠，即≠，故D錯誤。
故選：B。
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