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專題01 小船渡河模型與速度關聯問題
目錄
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知識精講 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 題型過關 3
HYPERLINK \l _Toc19966 題型一 小船渡河模型 3
HYPERLINK \l _Toc12308 題型二 繩(桿)端速度分解模型 3
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 實戰訓練 7
知識點一 小船渡河模型
1.船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動.
2.三種速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實際速度).
3.三種情景
（1）過河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，t短＝(d為河寬).
（2）過河路徑最短(v2（3）過河路徑最短(v2>v1時)：合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河.確定方法如下：如圖所示，以v2矢量末端為圓心，以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短.由圖可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
知識點二 繩(桿)端速度分解模型
(1)模型特點：繩(桿)拉物體或物體拉繩(桿)，以及兩物體通過繩(桿)相連，物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上，求解運動過程中它們的速度關系，都屬于該模型．
(2)模型分析
①合運動→繩拉物體的實際運動速度v
②分運動→
(3)解題原則：根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見實例如下：
情景圖示 (注：A沿斜面下滑)
分解圖示
定量結論 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝vBcos β vBsin α＝vAcos α
基本思路 確定合速度(物體實際運動)→分析運動規律→確定分速度方向→平行四邊形定則求解
(4)解題思路
題型一 小船渡河模型
1．某次英雄小伙子救人的過程，可用下圖去描述：落水孩童抓住繩索停在A處，對面河岸上的小伙子從B處沿直線勻速游到A處，成功把人救起。河寬和間距如圖中標注，假定河水在各處的流速均為2m/s，則（　　）
A．小伙子如果面對垂直于河岸的方向游，是不可能到達A點的
B．小伙子渡河的時間為8s
C．小伙子在靜水中游泳的速度至少應為1.2m/s，才能成功把人救起
D．只有小伙子總面對著A處游，才可能把人救起
【答案】C
【解答】解：C．小伙子的運動可以看成是游泳的運動和他隨水流運動的合運動，
設小伙子在靜水中的游泳的速度為v1，小伙子的合運動方向是從B到A，作出小伙子游泳時合速度與兩個分速度的關系，如圖所示
當v1與合速度垂直時v1有最小值，設AB與河岸的夾角為θ，根據幾何關系有
解得
θ＝37°
即游泳時小伙子面對的方向是與合速度方向垂直，此時最小的速度為
v1＝v水sinθ＝2×0.6m/s＝1.2m/s
故C正確；
A．小伙子如果面對垂直于河岸的方向游，當相對于靜水的速度
v1＝v水tan37°＝2×0.75m/s＝1.5m/s
恰好到達A點。故A錯誤；
B．只有小伙子在靜水中速度垂直于河岸時，小伙子渡河的時間最小，最小的時間為
小伙子在靜水中的速度不與河岸垂直時，小伙子渡河的時間不等于8s。
故B錯誤；
D．若小伙子總面對著A處游，且速度一定時，由于兩個勻速直線運動的合運動仍然為勻速直線運動，可知，其軌跡為一條直線，根據運動的合成可知，此時其合速度方向指向A點右側，即到達不了A處，故D錯誤。
故選：C。
2．小船在200m寬的河中橫渡，水流速度是3m/s，船在靜水中的航速是5m/s，則下列判斷正確的是（　　）
A．要使小船過河的位移最短，船頭應始終正對著對岸
B．要使小船過河的位移最短，過河所需的時間是40s
C．小船過河所需的最短時間是40s
D．如果水流速度增大為4m/s，小船過河所需的最短時間將增大
【答案】C
【解答】解：A、當合速度于河岸垂直，小船到達正對岸。設靜水速的方向與河岸的夾角為θ。
，知θ＝53°．可知船頭不能正對著對岸航行。故A錯誤；
B、要使小船過河的位移最短，合速度的大小為：v＝
則渡河時間為：t＝．故B錯誤；
C、當船頭正對著對岸渡河時間最短為：t＝．故C正確；
D、當船頭正對著對岸渡河時間最短，與水流的速度無關。故D錯誤。
故選：C。
3．小船勻速橫渡一條河流，當船頭垂直對岸方向航行時，出發后10min到達對岸下游120m處；當船頭保持與上游河岸成α角航行，出發后12.5min到達正對岸。水流速度保持不變，下列說法正確的是（　　）
A．水流的速度大小為0.25m/s
B．cosα＝0.8
C．河的寬度為200m
D．小船在靜水中的速度大小為0.6m/s
【答案】C
【解答】解：A、船頭垂直對岸方向航行時，如圖甲所示，
由x＝v2t1，得水流的速度大小為，故A錯誤；
BCD、船頭保持與河岸成α角航行時，如圖乙所示
v2＝v1cosα，d＝v1sinαt2
由圖甲可d＝v1t1，
代入數據聯立解得cosα＝0.6，v1≈0.33m/s，d＝200m，故BD錯誤，C正確。
故選：C。
4．如圖所示，甲、乙兩小船在靜水中的速度相等，渡河時甲船頭向河的上游偏，乙船頭向河的下游偏，兩小船的船頭與河岸的夾角大小相等。水流速度恒定，則下列說法正確的是（　　）
A．甲過河的位移大于乙過河的位移
B．在渡河過程中，兩小船不可能相遇
C．無論水流速度多大，只要適當改變θ角，甲總能到達正對岸
D．若河水流速增大，兩小船渡河時間減小
【答案】B
【解答】解：A．由于船速與水流速度的大小未知，那么船在沿水流方向的分速度不一定為零，則甲渡河的合速度方向與河岸的夾角一定大于乙渡河的合速度方向與河岸的夾角，而河寬相等，所以甲過河的位移小于乙過河的位移，故A錯誤；
B．甲、乙兩船在沿河岸分速度的方向相反，則兩船的實際速度（合速度）沿水流方向的分速度一定不相等，則兩船不可能相遇，故B正確；
C．如果河水流速大于甲的船速，甲不能達到正對岸，故C錯誤；
D．由于兩船在垂直河岸的分速度相等，而河寬一定，則渡河時間，則兩小船渡河時間相等，與水速度無關，故D錯誤。
故選：B。
5．一只船勻速橫渡一條河，當船身垂直河岸航行時，在出發后10min到達下游120m處。若船身保持與河岸成α角向上游航行，出發后12.5min到達正對岸。求：
（1）水流速度v1的大小。
（2）船在靜水中的速度v2的大小。
【答案】（1）水流速度v1的大小為0.2m/s；
（2）船在靜水中的速度v2的大小為0.33m/s。
【解答】解：（1）船身垂直河岸時，水速
（2）船身垂直河岸時，L＝v2t1，
軌跡垂直河岸時，L＝v2sinαt2，v1＝v2cosα
代入數據解得v2＝0.33m/s。
答：（1）水流速度v1的大小為0.2m/s；
（2）船在靜水中的速度v2的大小為0.33m/s。
題型二 繩(桿)端速度分解模型
6．如圖所示，物塊B套在傾斜桿上，并用輕繩繞過定滑輪與物塊A相連（定滑輪體積大小可忽略），今使物塊B沿桿由J點勻速下滑到N點，運動中連接A、B的輕繩始終保持繃緊狀態，在下滑過程中，下列說法正確的是（　　）
A．物塊A的速率先變大后變小
B．物塊A的速率先變小后變大
C．物塊A始終處于失重狀態
D．物塊A先處于失重狀態，后處于超重狀態
【答案】B
【解答】解：AB、物塊B沿桿由勻速下滑，運動中連接A、B的輕繩始終保持繃緊狀態，
將物體B的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，如圖，
根據平行四邊形定則，沿繩子方向的速度為vA＝vBcosθ
可知θ在增大到90°的過程中，物體A的速度方向向下，且逐漸減小；
由圖可知，當物體B到達P點時，物體B與滑輪之間的距離最短，繩子長度最小，此時θ＝90°，vA＝0
此后物體A向上運動，且速度增大；
所以在物體B沿桿由點M勻速下滑到N點的過程中，物體A的速度先向下減小，然后向上增大，故A錯誤，B正確；
CD、物體A向下做減速運動和向上做加速運動的過程中，加速度的方向都向上，所以物體A始終處于超重狀態，故CD錯誤。
故選：B。
7．一根不可伸長的繩子跨過定滑輪分別與物體A和物體B連接，A穿在豎直的光滑桿上，物體A沿桿向下運動時物體B被豎直拉起，如圖甲所示。當物體A的速度大小為v0時，繩與豎直桿的夾角為60°，則此時物體B向上運動的速度大小為（　　）
A． B． C．v0 D．
【答案】A
【解答】解：將物體A的速度分解到沿繩和垂直于繩方向，如圖：
物體A沿繩方向的分速度大小等于B物體的速度大小，由幾何關系得：根據運動的分解可知
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
8．如圖所示，套在豎直細桿上的環A由跨過定滑輪且不可伸長的輕繩與B相連，在外力作用下A沿桿以速度vA勻速上升經過P、Q，經過P點時繩與豎直桿間的角度為α，經過Q點時A與定滑輪的連線處于水平方向，則（　　）
A．經過Q點時，B的速度方向向下
B．經過P點時，B的速度等于
C．當A從P至Q的過程中，B處于失重狀態
D．當A從P至Q的過程中，B受到的拉力大于重力
【答案】D
【解答】解：AB、對于A，它的速度如圖中標出的vA，這個速度看成是A的合速度，其分速度分別是va，vb，
其中va就是B的速度vB（同一根繩子，大小相同），
剛開始時B的速度為vB＝vAcosα；
當A環上升至與定滑輪的連線處于水平位置時，va＝0，所以B的速度vB＝0，故AB錯誤；
CD、因A勻速上升時，由公式vB＝vAcosα，當A上升時，夾角α增大，因此B做向下減速運動，則處于超重狀態，
由牛頓第二定律，可知，繩對B的拉力大于B的重力，故C錯誤、D正確；
故選：D。
9．如圖所示，汽車在岸上用輕繩拉船，若汽車行進速度為v，當拉船的繩與水平方向的夾角為30°時船的速度為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：設船的速度為v′。
將小船的速度沿著繩子和垂直繩子方向進行分解，如圖所示。
沿著繩子的分速度等于汽車拉繩子的速度，即
v′cosθ＝v
所以v′＝＝＝v，故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
10．如圖所示，豎直平面內固定一根“L”形足夠長的細桿。a球套在豎直桿上，b球套在水平桿上，a、b通過鉸鏈用長度為L的剛性輕桿連接，a球向下滑且輕桿與豎直桿夾角為30°時，a球與b球速度之比為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因為桿不可伸長或縮短，所以a，b球沿剛性輕桿的速度相同，將兩球實際速度沿桿和垂直桿分解，如圖示，有：
所以：va：vb＝sin30°：cos30°＝：3
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
一．選擇題（共14小題）
1．一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船的初速度大小為v0，方向垂直于河岸，小船相對于水依次做勻加速運動、勻減速運動、勻速運動。在河中的運動軌跡如圖中虛線所示，其中虛線AB為直線。由此可以確定（　　）
A．船沿AB軌跡運動時，相對于水做勻加速直線運動
B．船沿AB軌跡到達對岸前瞬間的速度最大
C．船沿AC軌跡渡河所用的時間最短
D．船沿三條不同路徑渡河的時間相同
【答案】C
【解答】解：A．船合速度方向與河岸方向的夾角滿足
船沿AB軌跡運動時，合速度方向不變，說明船速不變，相對于水做勻速直線運動，故A錯誤；
B．由圖可知，AC軌跡的船合速度方向與河岸方向的夾角越來越大，說明船相對于水的速度增大，則AC軌跡是小船相對于水做勻加速的軌跡；同理可知AD軌跡是小船相對于水做勻減速運動的軌跡。由于到達對岸前瞬間的速度為船速與水速的合速度，顯然船速越大，合速度越大，則應該是勻加速運動時到達對岸的速度最大，故B錯誤；
CD．考慮到渡河時間時僅由垂直河岸方向的速度決定，故小船相對于水做勻加速時渡河的時間最短，即沿AC軌跡渡河所用的時間最短，故C正確，D錯誤。
故選：C。
2．如圖所示，某人由A點劃船渡河，船頭指向始終與河岸垂直，則小船能到達對岸的位置是（　　）
A．正對岸的B點 B．正對岸B點的右側
C．正對岸B點的左側
【答案】B
【解答】解：船頭朝河對岸，所以船自身產生的速度方向向上，而水流方向向右，所以合速度方向向右上方，故船最終會到達B點右側，故B正確，AC錯誤。
故選：B。
3．在靜水中速度為v1的小船，為垂直渡過寬度為d的河流，船頭與河岸成θ角斜向上游，如圖甲所示。航行中發現河水流速vs與河岸間距離x的關系如圖乙所示，為使小船仍能到達正對岸，下列措施中可行的是（　　）
A．保持船頭方向不變，v1先增大后變小
B．保持船頭方向不變，v1先變小后增大
C．保持船速v1大小不變，θ先增大后減小
D．保持船速v1大小不變，θ一直減小
【答案】A
【解答】解：當船頭與上游河岸成θ角方向時，小船恰好能垂直到達對岸，此時船沿河岸方向的分速度等于水流的速度，如下圖所示：
則：vs＝v1cosθ，可知，保持船頭方向不變，v1先增大后變小，或者保持船速v1大小不變，θ先減小后增大，故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
4．一艘動力小船在寬度為300m的河流中船頭正對河對岸過河，到達河對岸。電動機正常工作時動力小船在靜水中的速度為3m/s，河水的流速v水＝kd（d為觀測點距河岸的距離，k＝0.02s﹣1）則（　　）
A．該小船全程的位移大小為450m
B．該小船全程一定是勻變速運動
C．該小船的最大航行速度為6m/s
D．該小船在由岸邊向河中心航行的過程中軌跡一定是拋物線
【答案】D
【解答】解：AB.設河寬為L，則垂直河岸方向有L＝vct，解得過河的時間t＝100s，根據v水＝kd＝kvct＝0.02×3t＝0.06t，可知小船沿水流方向做勻加速運動，加速度a＝0.06m/s2，則到達河中間時沿水流方向的位移，該小船全程的位移大小為＝m＝150m，該小船全程上半段時間和下半段時間內加速度方向相反，則全程不是勻變曲速運動，故AB錯誤；
C.該小船的最大航行速度為，故C錯誤；
D.該小船在由岸邊向河中心航行的過程中沿水流方向做勻加速運動，垂直水流方向做勻速運動，則軌跡一定是拋物線，故D正確。
故選：D。
5．如圖所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用長繩拴住一條小船，開始時繩與水面的夾角為30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉繩，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么（　　）
A．5s時繩與水面的夾角為60°
B．5s時小船前進了15m
C．5s時小船的速率為4m/s
D．5s時小船到岸邊的距離為15m
【答案】D
【解答】解：D．開始時河面上的繩長為L＝＝m＝40m，此時船離岸的距離x1＝htan60°＝20m，5s后，繩子向左移動了x＝vt＝3×5m＝15m
則河面上繩長為L′＝40m﹣15m＝25m
此時小船離河岸的距離為x2＝
解得x2＝15m，故D正確；
B．5s后小船前進了Δx＝x1﹣x2＝20m﹣15m≈19.6m，故B錯誤；
A．5s時繩與水面的夾角為α，則有tanα＝＝＝，可得α＝53°，故A錯誤；
C．船的速度為合速度，由繩收縮的速度及繩擺動的速度合成得出，如圖，由幾何關系可知，5s時小船的速率為vC＝＝m/s＝5m/s，故C錯誤。
故選：D。
6．如圖，有一條寬為20m的河道，小船從岸邊某點渡河，渡河過程中始終保持船頭與河岸垂直。小船在靜水中的速度大小為5m/s，水流速度為12m/s。下列說法正確的是（　　）
A．小船在河水中行駛軌跡為曲線
B．小船渡河時間為
C．小船在渡河過程中位移大小為48m
D．小船在河水中的速度為13m/s
【答案】D
【解答】解：A．小船在靜水中的速度、水流速度均恒定，所以合速度恒定，小船在河水中做勻速直線運動，軌跡為直線，故A錯誤；
B．小船渡河過程中始終保持船頭與河岸垂直，所以渡河時間為，故B錯誤；
C．小船沿河流方向的位移為l＝v水t＝12×4m＝48m，位移大小為＝m＝52m，故C錯誤；
D．小船在河水中的速度為＝m/s＝13m/s，故D正確。
故選：D。
7．一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船船頭始終垂直于平直岸，小船三次運動中，軌跡如圖中虛線所示，三次運動中，小船速度大小不同，由此可以確定（　　）
A．船沿三條不同路徑渡河的時間相同
B．船沿AC軌跡過河所用的時間最短
C．三次運動中，船到對岸的瞬時速度大小相同
D．三次運動中，船在靜水中的速度大小相同
【答案】B
【解答】解：AB、渡河時間只與垂直于河岸速度（本題中即船相對于靜水速度）有關，沿水流方向有
小船船頭始終垂直于平直岸，
根據軌跡可知，船沿AC軌跡過河所用的時間最短，故A錯誤，B正確；
CD、因為水流速度相同，但三次船相對于靜水的速度不同，故三次運動中，船到對岸的瞬時速度大小不相同，故CD錯誤。
故選：B。
8．如圖所示，小船在靜水中的速度為8m/s，它在寬為240m，水流速度為6m/s的河中渡河，船頭始終與河岸垂直，則小船渡河需要的時間為（　　）
A．24s B．40s C．30s D．17.1s
【答案】C
【解答】解：小船渡河時間由垂直河岸方向的分運動決定，船頭始終垂直河岸，渡河時間：
t＝s＝30s，
故ABD錯誤，C正確
故選：C。
9．河寬480m，船在靜水中的速度大小為4m/s，水流速度大小為3m/s，則船過河的最短時間為（　　）
A．160s B．96s C．120s D．100s
【答案】C
【解答】解：當船頭垂直于河岸運動的時候，船過河的時間最短，
所以船過河的最短時間為tmin＝＝s＝120s
故選：C。
10．如圖，一輛貨車通過輕繩提升一貨物，某一時刻拴在貨車一端的輕繩與水平方向的夾角為θ，此時貨車的速度大小為v0，則此時貨物的速度大小為（　　）
A． B．v0cosθ C．v0sinθ D．v0tanθ
【答案】B
【解答】解：貨車的運動是合運動，貨車的速度為合速度，
貨車的速度等于沿繩子方向和垂直于繩子方向速度的合速度，
根據平行四邊形定則，
有v繩＝v0cosθ
貨物的速度等于沿繩子方向的速度，所以貨物的速度為v0cosθ
故ACD錯誤，B正確。
故選：B。
11．如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，小車以速率vA水平向左做勻速直線運動，繩子跨過定滑輪拉著物體B豎直上升，下列判斷正確的是（　　）
A．物體B豎直向上做勻速直線運動
B．小車與物體B之間的速率關系是vA＝vB
C．當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ時，物體B的速度為vB＝vAcosθ
D．當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ時，物體B的速度為vB＝
【答案】C
【解答】解：繩子與水平方向的夾角為θ，將小車的速度分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，如圖：
沿繩方向的分速度大小即為B物體上升的速度大小，則
vB＝vAcosθ
隨小車向左運動，θ角減小，則物體B豎直向上做加速運動。故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
12．質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動，當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時（如圖所示），下列判斷正確的是（　　）
A．P的速率為vcosθ2
B．P的速率為
C．繩的拉力等于mgsinθ1
D．繩的拉力小于mgsinθ1
【答案】A
【解答】解：AB、將小車的速度在沿細繩和垂直細繩兩個方向分解
則沿繩方向的分量大小為
v∥＝vcosθ2
所以P的速率為
vP＝v∥＝vcosθ2
故A正確，B錯誤；
CD、由于θ2不斷減小，cosθ2不斷增大，vP＝v∥＝vcosθ2，所以vP不斷增大，根據牛頓第二定律，有：T﹣mgsinθ1＝ma
可知P所受合外力沿斜面向上，則繩的拉力大于mgsinθ1，故CD錯誤。
故選：A。
13．為了減小關后備箱時箱蓋和車體間的沖力，在箱蓋和車體間安裝液壓緩沖桿，其結構如圖所示。當液壓桿AO2長度為L時，AO2和水平方向夾角為75°，AO1和水平方向夾角為45°，A點相對于O1的速度是vA，則A點相對于O2的角速度為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由幾何關系可知∠O1AO2＝30°；
將vA沿著AO2桿和垂直AO2桿分解如圖
由幾何關系可得v⊥與vA之間的夾角是30°，且vAcos30°＝v⊥
設A點相對于O2的角速度為ω，則v⊥＝ωL
解得
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
14．如圖，跨過光滑定滑輪的輕繩一端系著鐵球（大小不可忽略，系繩延長線過球心）、一端連在水平臺上的玩具小車上，車牽引著繩使球沿光滑豎直墻面從較低處豎直上升。則在球勻速豎直上升且未離開墻面的過程中（　　）
A．玩具小車做減速運動
B．玩具小車做加速運動
C．繩對球的拉力大小變小
D．繩對球的拉力大小變大，球處于超重狀態
【答案】A
【解答】解：拉球的繩子與豎直方向夾角為θ，由于球的半徑不能忽略，易知球在上升的過程中，θ逐漸增大。
AB、將球的速度分解為沿繩子和垂直于繩子方向，車與球在沿繩子方向上速度相等
可知
v車＝vcosθ
球上升的過程中，隨著θ增大，車速逐漸減小，因此玩具小車做減速運動，故A正確，B錯誤；
CD、由于球勻速運動，所受合力為零
則在豎直方向上有
Tcosθ＝mg
可得
隨著θ逐漸增大，繩子拉力逐漸增大，而球勻速運動，即不處于超重狀態也不處于失重狀態，故CD錯誤。
故選：A。
二．解答題（共2小題）
15．小船勻速橫渡一條河流，水流速度的大小v1，船在靜水中的速度大小v2，第一次船頭垂直對岸方向航行時，在出發后t0＝20s到達對岸下游30m處；第二次船頭保持與河岸成θ＝53°角向上游航行時，小船恰好經過時間t1能垂直河岸到達正對岸，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）求船在靜水中的速度大小v2；
（2）求第二次過河的時間t1；
（3）若上游大暴雨，導致水流速度增大到6.5m/s時，求小船到達河對岸的最短位移x及所用時間t2。
【答案】（1）船在靜水中的速度大小是2.5m/s；
（2）第二次過河的時間是25s；
（3）若上游大暴雨，導致水流速度增大到6.5m/s時，小船到達河對岸的最短位移是130m，所用時間是s。
【解答】解：（1）第一次船頭垂直對岸方向航行時，在出發后t0＝20s到達對岸下游x0＝30m處，根據分運動的等時性與獨立性，可知水流的速度：
第二次過河時，合速度方向垂直于河岸，則有：v2cos53°＝v1
解得船在靜水中的速度大小：v2＝2.5m/s
（2）第一次船頭垂直對岸方向航行時，根據分運動的等時性與獨立性，可知河寬為：d＝v2t0＝2.5×20m＝50m
第二次過河的合速度：v＝v2sin53°＝2.5m/s×0.8＝2m/s
則第二次過河的時間：s＝25s
（3）若上游大暴雨，導致水流速度增大到v′16.5m/s時，由于v2＜v′1
知當船頭指向與合速度方向垂直時，航程最短，令此時船頭指向與上游河岸成θ，如圖：
則有：＝＝
根據位移合成可知：
解得：x＝130m
此過程的合速度v'＝v′1sinθ
此過程的過河時間：
解得：
答：（1）船在靜水中的速度大小是2.5m/s；
（2）第二次過河的時間是25s；
（3）若上游大暴雨，導致水流速度增大到6.5m/s時，小船到達河對岸的最短位移是130m，所用時間是s。
16．如圖所示，質量都為1kg的兩個物體A、B，用輕繩跨過定滑輪相連接，在水平力作用下，物體B沿水平地面向右運動，物體A恰以速度2m/s勻速上升，已知物體B與水平面間的動摩擦因數為0.1，重力加速度為g＝10m/s2。當物體B運動到使斜繩與水平方向成α＝37°時。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）物體B所受摩擦力的大小；
（2）物體B的速度大小。
【答案】（1）物體B所受摩擦力的大小為0.4N；
（2）物體B的速度大小為2.5m/s。
【解答】解：（1）A物體勻速運動可得：T＝mg
當斜繩與水平方向成α角時，對B物體進行受力分析，根據共點力平衡，有
mg＝FN+Tsinα，f＝μFN
解得f＝0.4N
（2）如圖根據平行四邊形定則，將B物體的速度沿繩子方向和垂直繩子方向進行分解有
vA＝vBcosα
解得B物體的速度大小
vB＝2.5m/s
答：（1）物體B所受摩擦力的大小為0.4N；
（2）物體B的速度大小為2.5m/s。
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專題01 小船渡河模型與速度關聯問題
目錄
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知識精講 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 題型過關 3
HYPERLINK \l _Toc19966 題型一 小船渡河模型 3
HYPERLINK \l _Toc12308 題型二 繩(桿)端速度分解模型 3
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 實戰訓練 4
知識點一 小船渡河模型
1.船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動.
2.三種速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實際速度).
3.三種情景
（1）過河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，t短＝(d為河寬).
（2）過河路徑最短(v2（3）過河路徑最短(v2>v1時)：合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河.確定方法如下：如圖所示，以v2矢量末端為圓心，以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短.由圖可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
知識點二 繩(桿)端速度分解模型
(1)模型特點：繩(桿)拉物體或物體拉繩(桿)，以及兩物體通過繩(桿)相連，物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上，求解運動過程中它們的速度關系，都屬于該模型．
(2)模型分析
①合運動→繩拉物體的實際運動速度v
②分運動→
(3)解題原則：根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見實例如下：
情景圖示 (注：A沿斜面下滑)
分解圖示
定量結論 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝vBcos β vBsin α＝vAcos α
基本思路 確定合速度(物體實際運動)→分析運動規律→確定分速度方向→平行四邊形定則求解
(4)解題思路
題型一 小船渡河模型
1．某次英雄小伙子救人的過程，可用下圖去描述：落水孩童抓住繩索停在A處，對面河岸上的小伙子從B處沿直線勻速游到A處，成功把人救起。河寬和間距如圖中標注，假定河水在各處的流速均為2m/s，則（　　）
A．小伙子如果面對垂直于河岸的方向游，是不可能到達A點的
B．小伙子渡河的時間為8s
C．小伙子在靜水中游泳的速度至少應為1.2m/s，才能成功把人救起
D．只有小伙子總面對著A處游，才可能把人救起
2．小船在200m寬的河中橫渡，水流速度是3m/s，船在靜水中的航速是5m/s，則下列判斷正確的是（　　）
A．要使小船過河的位移最短，船頭應始終正對著對岸
B．要使小船過河的位移最短，過河所需的時間是40s
C．小船過河所需的最短時間是40s
D．如果水流速度增大為4m/s，小船過河所需的最短時間將增大
3．小船勻速橫渡一條河流，當船頭垂直對岸方向航行時，出發后10min到達對岸下游120m處；當船頭保持與上游河岸成α角航行，出發后12.5min到達正對岸。水流速度保持不變，下列說法正確的是（　　）
A．水流的速度大小為0.25m/s
B．cosα＝0.8
C．河的寬度為200m
D．小船在靜水中的速度大小為0.6m/s
4．如圖所示，甲、乙兩小船在靜水中的速度相等，渡河時甲船頭向河的上游偏，乙船頭向河的下游偏，兩小船的船頭與河岸的夾角大小相等。水流速度恒定，則下列說法正確的是（　　）
A．甲過河的位移大于乙過河的位移
B．在渡河過程中，兩小船不可能相遇
C．無論水流速度多大，只要適當改變θ角，甲總能到達正對岸
D．若河水流速增大，兩小船渡河時間減小
5．一只船勻速橫渡一條河，當船身垂直河岸航行時，在出發后10min到達下游120m處。若船身保持與河岸成α角向上游航行，出發后12.5min到達正對岸。求：
（1）水流速度v1的大小。
（2）船在靜水中的速度v2的大小。
題型二 繩(桿)端速度分解模型
6．如圖所示，物塊B套在傾斜桿上，并用輕繩繞過定滑輪與物塊A相連（定滑輪體積大小可忽略），今使物塊B沿桿由J點勻速下滑到N點，運動中連接A、B的輕繩始終保持繃緊狀態，在下滑過程中，下列說法正確的是（　　）
A．物塊A的速率先變大后變小
B．物塊A的速率先變小后變大
C．物塊A始終處于失重狀態
D．物塊A先處于失重狀態，后處于超重狀態
7．一根不可伸長的繩子跨過定滑輪分別與物體A和物體B連接，A穿在豎直的光滑桿上，物體A沿桿向下運動時物體B被豎直拉起，如圖甲所示。當物體A的速度大小為v0時，繩與豎直桿的夾角為60°，則此時物體B向上運動的速度大小為（　　）
A． B． C．v0 D．
8．如圖所示，套在豎直細桿上的環A由跨過定滑輪且不可伸長的輕繩與B相連，在外力作用下A沿桿以速度vA勻速上升經過P、Q，經過P點時繩與豎直桿間的角度為α，經過Q點時A與定滑輪的連線處于水平方向，則（　　）
A．經過Q點時，B的速度方向向下
B．經過P點時，B的速度等于
C．當A從P至Q的過程中，B處于失重狀態
D．當A從P至Q的過程中，B受到的拉力大于重力
9．如圖所示，汽車在岸上用輕繩拉船，若汽車行進速度為v，當拉船的繩與水平方向的夾角為30°時船的速度為（　　）
A． B． C． D．
10．如圖所示，豎直平面內固定一根“L”形足夠長的細桿。a球套在豎直桿上，b球套在水平桿上，a、b通過鉸鏈用長度為L的剛性輕桿連接，a球向下滑且輕桿與豎直桿夾角為30°時，a球與b球速度之比為（　　）
A． B． C． D．
一．選擇題（共14小題）
1．一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船的初速度大小為v0，方向垂直于河岸，小船相對于水依次做勻加速運動、勻減速運動、勻速運動。在河中的運動軌跡如圖中虛線所示，其中虛線AB為直線。由此可以確定（　　）
A．船沿AB軌跡運動時，相對于水做勻加速直線運動
B．船沿AB軌跡到達對岸前瞬間的速度最大
C．船沿AC軌跡渡河所用的時間最短
D．船沿三條不同路徑渡河的時間相同
2．如圖所示，某人由A點劃船渡河，船頭指向始終與河岸垂直，則小船能到達對岸的位置是（　　）
A．正對岸的B點 B．正對岸B點的右側
C．正對岸B點的左側
3．在靜水中速度為v1的小船，為垂直渡過寬度為d的河流，船頭與河岸成θ角斜向上游，如圖甲所示。航行中發現河水流速vs與河岸間距離x的關系如圖乙所示，為使小船仍能到達正對岸，下列措施中可行的是（　　）
A．保持船頭方向不變，v1先增大后變小
B．保持船頭方向不變，v1先變小后增大
C．保持船速v1大小不變，θ先增大后減小
D．保持船速v1大小不變，θ一直減小
4．一艘動力小船在寬度為300m的河流中船頭正對河對岸過河，到達河對岸。電動機正常工作時動力小船在靜水中的速度為3m/s，河水的流速v水＝kd（d為觀測點距河岸的距離，k＝0.02s﹣1）則（　　）
A．該小船全程的位移大小為450m
B．該小船全程一定是勻變速運動
C．該小船的最大航行速度為6m/s
D．該小船在由岸邊向河中心航行的過程中軌跡一定是拋物線
5．如圖所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用長繩拴住一條小船，開始時繩與水面的夾角為30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉繩，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么（　　）
A．5s時繩與水面的夾角為60°
B．5s時小船前進了15m
C．5s時小船的速率為4m/s
D．5s時小船到岸邊的距離為15m
6．如圖，有一條寬為20m的河道，小船從岸邊某點渡河，渡河過程中始終保持船頭與河岸垂直。小船在靜水中的速度大小為5m/s，水流速度為12m/s。下列說法正確的是（　　）
A．小船在河水中行駛軌跡為曲線
B．小船渡河時間為
C．小船在渡河過程中位移大小為48m
D．小船在河水中的速度為13m/s
7．一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船船頭始終垂直于平直岸，小船三次運動中，軌跡如圖中虛線所示，三次運動中，小船速度大小不同，由此可以確定（　　）
A．船沿三條不同路徑渡河的時間相同
B．船沿AC軌跡過河所用的時間最短
C．三次運動中，船到對岸的瞬時速度大小相同
D．三次運動中，船在靜水中的速度大小相同
8．如圖所示，小船在靜水中的速度為8m/s，它在寬為240m，水流速度為6m/s的河中渡河，船頭始終與河岸垂直，則小船渡河需要的時間為（　　）
A．24s B．40s C．30s D．17.1s
9．河寬480m，船在靜水中的速度大小為4m/s，水流速度大小為3m/s，則船過河的最短時間為（　　）
A．160s B．96s C．120s D．100s
10．如圖，一輛貨車通過輕繩提升一貨物，某一時刻拴在貨車一端的輕繩與水平方向的夾角為θ，此時貨車的速度大小為v0，則此時貨物的速度大小為（　　）
A． B．v0cosθ C．v0sinθ D．v0tanθ
11．如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，小車以速率vA水平向左做勻速直線運動，繩子跨過定滑輪拉著物體B豎直上升，下列判斷正確的是（　　）
A．物體B豎直向上做勻速直線運動
B．小車與物體B之間的速率關系是vA＝vB
C．當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ時，物體B的速度為vB＝vAcosθ
D．當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ時，物體B的速度為vB＝
12．質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動，當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時（如圖所示），下列判斷正確的是（　　）
A．P的速率為vcosθ2
B．P的速率為
C．繩的拉力等于mgsinθ1
D．繩的拉力小于mgsinθ1
13．為了減小關后備箱時箱蓋和車體間的沖力，在箱蓋和車體間安裝液壓緩沖桿，其結構如圖所示。當液壓桿AO2長度為L時，AO2和水平方向夾角為75°，AO1和水平方向夾角為45°，A點相對于O1的速度是vA，則A點相對于O2的角速度為（　　）
A． B． C． D．
14．如圖，跨過光滑定滑輪的輕繩一端系著鐵球（大小不可忽略，系繩延長線過球心）、一端連在水平臺上的玩具小車上，車牽引著繩使球沿光滑豎直墻面從較低處豎直上升。則在球勻速豎直上升且未離開墻面的過程中（　　）
A．玩具小車做減速運動
B．玩具小車做加速運動
C．繩對球的拉力大小變小
D．繩對球的拉力大小變大，球處于超重狀態
二．解答題（共2小題）
15．小船勻速橫渡一條河流，水流速度的大小v1，船在靜水中的速度大小v2，第一次船頭垂直對岸方向航行時，在出發后t0＝20s到達對岸下游30m處；第二次船頭保持與河岸成θ＝53°角向上游航行時，小船恰好經過時間t1能垂直河岸到達正對岸，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）求船在靜水中的速度大小v2；
（2）求第二次過河的時間t1；
（3）若上游大暴雨，導致水流速度增大到6.5m/s時，求小船到達河對岸的最短位移x及所用時間t2。
16．如圖所示，質量都為1kg的兩個物體A、B，用輕繩跨過定滑輪相連接，在水平力作用下，物體B沿水平地面向右運動，物體A恰以速度2m/s勻速上升，已知物體B與水平面間的動摩擦因數為0.1，重力加速度為g＝10m/s2。當物體B運動到使斜繩與水平方向成α＝37°時。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）物體B所受摩擦力的大小；
（2）物體B的速度大小。
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