資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第01講 一元二次方程(3個知識點+3個考點+2個易錯分析）
模塊一 思維導圖串知識 模塊二 基礎知識全梳理（吃透教材） 模塊三 核心考點舉一反三 模塊四 小試牛刀過關測 1.理解一元二次方程的概念,能夠識別一元二次方程. 2.掌握一元二次方程的一般形式和各項的名稱,會將一元二次方程化為一般形式 3.了解一元二次方程的根的概念,并會檢驗一元二次方程的根. 4.會由具體問題構建一元二次方程.
知識點1一元二次方程的概念
1.概念
等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元),并且未知數的最高次數是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程滿足的條件(三要素)
(1)是整式方程;(2)只含有一個未知數;(3)整理后未知數的最高次數是 2.
3.對“未知數的最高次數是2”的理解
(1)該項系數不為0:
(2)該項未知數指數為2;
(3)當方程中的二次項系數含有字母時,字母取值不確定,這個方程不一定是一元二次方程.如 ,當m=0時,屬于一元一次方程.
【例1-1】下列選項中，是關于x的一元二次方程的是(　　)
A．x2＋＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0
C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0
【解析】選項A中的方程分母含有未知數，所以它不是一元二次方程；選項B中的方程含有2個未知數，所以它不是一元二次方程；當a＝0時，選項D中的方程不含二次項，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故選C.
方法總結：判斷一個方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡后再進行判斷．一元二次方程的三個條件：一是方程兩邊都是整式；二是只含有一個未知數；三是未知數的最高次數是2.上述三個條件必須同時滿足，缺一不可．
【例1-2】．（23-24九年級上·江蘇淮安·階段練習）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本題考查了一元二次方程的定義，根據一元二次方程的定義對各選項進行判斷．
【詳解】
解：A、該方程含有兩個未知數，屬于二元二次方程，故本選項不符合題意．
B、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意．
C、該方程化簡后只含有一個未知數，且未知數的次數是1，屬于一元一次方程，故本選項不符合題意．
D、一元二次方程一般形式為，故本選項不符合題意．
故選：B．
【例1-3】．（23-24九年級上·四川成都·階段練習）已知是一元二次方程，則 ．
【答案】
【分析】
本題考查了一元二次方程的定義，根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟練掌握一元二次方程的定義是解此題的關鍵．
【詳解】
解：∵是一元二次方程，
∴，
解得：．
故答案為：．
【例1-4】（23-24九年級上·貴州銅仁·階段練習）若 是關于的一元二次方程，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根據一元二次方程的定義即可求解，解題的關鍵是熟記一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為的整式方程，叫做一元二次方程．
【詳解】解：∵是關于的一元二次方程，
∴，且，
解得：，
故答案為：．
知識點2一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次項,a是二次項系數;bx是一次項,b是一次項系數;c是常數項.
2.一元二次方程的一般形式的特點:方程右邊是0,左邊是關于x的二次整式,且二次項系數不為 0.
3.特殊形式
二次項系數不為0,當b取0或c取0時,一元二次方程的一般形式呈現如下情況:
4.注意事項
確定一元二次方程的各項和各項系數時注意不要丟掉前面的符號.一般情況下,將一元二次方程整理為一般形式時,若二次項系數為負數,要乘“-1”把它轉化為正數,若有的項系數是分數,要把它轉化為整數.
【例2-1】將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數及常數項．
(1)3x2－2＝5x； (2)9x2＝16；
(3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.
【分析】先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱．
【解析】(1)方程化為一般形式為3x2－5x－2＝0，二次項系數是3，一次項系數是－5，常數項是－2.
(2)方程化為一般形式為9x2－16＝0，二次項系數是9，一次項系數是0，常數項是－16.
(3)方程化為一般形式為6x2＋2x－17＝0，二次項系數是6，一次項系數是2，常數項是－17.
(4)方程化為一般形式為3x2－9x－3＝0，二次項系數是3，一次項系數是－9，常數項是－3.
方法總結：求一元二次方程的各項系數和常數項，必須先把方程化為一般形式，特別要注意確認各項系數和常數項一定要包括前面的符號．
【例2-2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項：
方程 一般形式 二次項系數 一次項系數 常數項
【答案】見解析
【分析】根據一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0），ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
【詳解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
方程 一般形式 二次項系數 一次項系數 常數項
3 1
1 1
7 0
【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
【例2-3】（22-23九年級上·河南許昌·階段練習）一元二次方程的一次項系數，二次項系數，常數項分別是（ ）
A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1，
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的一般式、一元二次方程的概念，形如，先將式子化為一般式，即可得出答案，熟練掌握一元二次方程的概念是解此題的關鍵．
【詳解】解：，
，
，
一元二次方程的一次項系數，二次項系數，常數項分別是，1，，
故選：B．
【例2-4】．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）若關于的一元二次方程的常數項為0，則的值為（　?。?br/>A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一個關于的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式．根據常數項的定義得到，然后利用平方根的定義得到的值．
【詳解】解：根據題意得，
解得．
故選：C．
【例2-5】．（23-24九年級上·山東青島·階段練習）將方程化為后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般式，先去括號，然后移項合并同類項把原方程化為的形式即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故選；C．
【例2-6】．（2022九年級上·全國·專題練習）設a，b，c分別是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項，根據下列條件，寫出該一元二次方程．
(1)，且；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據已知設，代入列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出a，b及c的值，寫出方程即可；
（2）利用非負數之和為0，非負數分別為0求出a，b及c的值，寫出方程即可．
【詳解】（1）解：（1），
設，
，
∴，
解得：，
∴，
則方程為：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
則方程為．
【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式并根據已知求出的值是解答此題的關鍵．
知識點3 一元二次方程的解( 根)
1.概念
使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根).
2.一元二次方程的解(根)滿足的條件(1)未知數的值;(2)使方程左右兩邊相等
3.判斷一個數是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.一元一次方程和一元二次方程根的區別
【例3-1】方程x2－2x＝0的解為(　　)
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝，x2＝2
【解析】把各選項中未知數的值分別代入方程的左右兩邊，只有選項C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右兩邊相等，所以選C.
方法總結：判斷一個未知數的值是否是一元二次方程的解，可以把未知數的值代入方程左右兩邊，能使方程左右兩邊相等的未知數的值就是一元二次方程的解．
【例3-2】．（23-24九年級上·天津寧河·期中）若關于x的一元二次方程有一個根為 ，則m的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的解，把代入方程中得，然后進行計算即可解答．
【詳解】解：∵一元二次方程有一個根為 ，
∴，
解得：，
故答案為：．
【例3-3】（22-23九年級上·河南新鄉·階段練習）若是方程的一個根，求代數式的值．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的解．根據一元二次方程根的定義得到，然后利用整體代入的方法計算．
【詳解】解：是方程的一個根，
，
，
．
易錯點1 忽略二次項系數不為0而致錯
特別提醒:利用一元二次方程的定義求A字母的值時，首先要保證二次項系數不為 0.
易錯點2 沒有化為一元二次方程的一般形式而致錯
特別提醒:1寫一元二次方程每一項的系數及常數項時要先將其化為一般形式;
2將某一項從等號一側移至另一側時,注意變號,等號同側的移項不涉及符號變動.
考點一：運用一元二次方程的概念求字母的值
1.關于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，則k的值為________．
【解析】由題意得∴
∴k＝3.
方法總結：由一元二次方程的概念滿足的條件：未知數最高次數為2，構造方程，解出字母取值，并利用二次項系數不為0排除使二次項系數為0的字母取值，從而確定字母取值．
2.（23-24九年級上·云南昭通·期中）關于的方程是一元二次方程，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本題考查一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的定義．根據一元二次方程的定義即可求出答案．
【詳解】解：∵關于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得．
故選：B．
3．（23-24九年級上·海南?？凇るA段練習）關于的方程是一元二次方程，則的值是
【答案】1
【分析】
本題考查一元二次方程的定義，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數2的整式方程，叫做一元二次方程.，根據未知數的最高次數是2建立等式，再根據即可得到答案．
【詳解】解：∵關于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案為：．
考點二：利用一元二次方程根的定義求字母或代數式的值
4.已知1是關于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一個根，則m的值是(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．無法確定
【解析】根據方程的根的概念，直接代入方程，左右兩邊相等，但考慮到是一元二次方程，所以二次項系數不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此時m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故選B.
方法總結：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數的值，在涉及方程根的題目中，我們一般是把這個根代入方程左右兩邊轉化為求待定系數的方程來解決問題．
5．關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】B
【分析】
本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解．根據方程的解是使方程成立的未知數的值，結合一元二次方程的二次項系數不為0，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，把代入方程得：，
∴；
故選：B．
6．（23-24九年級上·河南許昌·期末）已知是方程的一個根，則代數式的值為（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本題考查一元二次方程根的定義、代數式求值等知識，由題意，得到，恒等變形，整體代入代數式即可得到答案，熟記一元二次方程根的定義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：是方程的一個根，
，即，
，
故選：A．
7．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）若方程的一個實數根為，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本題主要考查一元二次方程的解，依據題意，根據方程的根滿足方程，進而將代入方程得，再整體代入即可得解．
【詳解】
解：方程的一個實數根為，
．
．
．
故選：B．
8．（23-24九年級上·云南怒江·階段練習）已知m是方程的一個根，求代數式的值 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，根據一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值，把代入原方程即可得到答案．
【詳解】解：∵m是方程的一個根，
∴，
∴，
故答案為：．
9．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若是關的方程的解，則的值為 ．
【答案】2011
【分析】
本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數式求值，根據一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值把代入原方程推出，再根據，利用整體代入法求解即可．
【詳解】解：∵是關的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2011．
考點三：根據實際問題列一元二次方程
10.在一張矩形的床單四周繡上寬度相等的花邊，剩下部分面積為1.6m2.已知床單的長是2m，寬是1.4m，求花邊的寬度．請根據題意列出方程．
【解析】設花邊的寬度為xm，則由圖可知剩下部分的長為(2－2x)m，剩下部分的寬為(1.4－2x)m.∵剩下部分面積為1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.
方法總結：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當的設出未知數，準確地找出已知量和未知量之間的等量關系，正確的列出方程．
11.某型號的手機連續兩次降價，單價由原來的5200元降到了1300元．設平均每次降價的百分率為x，則可以列出的一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】根據降價后的價格=原價（1-降低的百分率），即可列出方程；
【詳解】由題意可得：；
故答案是．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，準確分析列方程是解題的關鍵．
12．有一群即將畢業的大四學生在一起聚會，每兩個人之間互送照片，共送出132張，那么這群大四學生中有多少人。如果設這群大四學生共有x人，那么根據題意可列一元二次方程是 .
【答案】x(x-1)=132
【分析】設有x人，每兩人之間互送照片，即除自己外，每個人都要送出（x-1）張，所以全組共送出x(x-1)張，由送照片總數為132張為等量關系，列出方程即可.
【詳解】設這群大四學生共有x人，則每人應送出(x-1)張照片，根據題意得，
x(x-1)=132.
故答案為：x(x-1)=132
【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，正確表示x人送出的總照片數是解答此題的關鍵.
13．（22-23九年級上·甘肅白銀·期末）一次排球邀請賽中，每個隊之間都要比一場．賽程計劃安排天，每天安排場比賽．設比賽組織者應邀請個隊參賽，則可列一元二次方程為 ．（用一般式表示）
【答案】
【分析】設比賽組織者應邀請個隊參賽，依題意得，然后化為一般形式，即可求解．
【詳解】解：設比賽組織者應邀請個隊參賽，依題意得，，即，
故答案為：．
【點睛】本題考查了列一元二次方程，理解題意，列出一元二次方程是解題的關鍵．
一、單選題
1．（21-22九年級·全國·假期作業）將方程改寫成的形式，則，，的值分別為（　?。?br/>A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一個關于的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式（）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項，叫做二次項系數；叫做一次項，是一次項系數；叫做常數項”是解題的關鍵．
【詳解】解：∵可化為，
∴它的二次項系數，一次項系數和常數項分別為2，，7，
故選：C．
2．（23-24九年級上·山東菏澤·階段練習）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】根據：只含有一個未知數，且含有未知數的項的最高次數為2的整式方程，叫做一元二次方程，進行判斷即可．
【詳解】解：①是一元二次方程；
②含有兩個未知數，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程；
綜上：是一元二次方程的有3個；
故選C．
3．（23-24九年級上·江西南昌·階段練習）下列一元二次方程中有一個解為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的解：使一元二次方程兩邊值相等的未知數的值；把分別代入四個選項中的方程，判斷左右兩邊的值是否相等即可．
【詳解】解：當時，
對于方程，方程左邊方程右邊，故不是方程的解；
對于方程，方程左邊方程右邊，故是方程的一個解；
對于方程，方程左邊方程右邊，故不是方程的解；
對于方程，方程左邊方程右邊，故不是方程的解；
故選：B．
4．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）把一元二次方程化成的形式，問轉化后的二次項系數、一次項系數、常數項分別為（ ）
A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，
【答案】A
【分析】此題考查了一元二次方程一般形式，把原方程化為一元二次方程的一般形式即可得到答案．
【詳解】解：一元二次方程的一般形式為，
的二次項系數、一次項系數、常數項分別為3，，1，
故選：A
5．（23-24九年級上·河南洛陽·階段練習）當方程的一般式為時，的值為（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確將原方程整理為一般形式是解題關鍵．只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式為．將原方程整理為一般形式，即可獲得答案．
【詳解】解：將方程整理為一般形式，
可得，
所以，的值為．
故選：B．
6．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）關于x的一元二次方程的常數項為0，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
【答案】B
【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式．先根據一元二次方程的定義及一般形式列出關于m的不等式組，求出m的值即可．
【詳解】解：∵方程是關于x的一元二次方程，常數項是0，
∴，
解得．
故選：B．
二、填空題
7．（23-24九年級上·四川南充·階段練習）方程化為一般形式為 ，二次項系數、一次項系數、常數項的和為 ．
【答案】
【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常數且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，c是常數項．其中分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．方程整理為一般形式后，求出二次項系數、一次項系數、常數項的和即可．
【詳解】解:方程整理得:,
二次項系數為1,一次項系數為,常數項為
則.
故答案為:.
8．（23-24九年級上·福建福州·階段練習）已知方程的一次項系數是，則其常數項是
【答案】1
【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確掌握各項系數確定方法是解題關鍵．直接利用一元二次方程各項系數確定方法得出答案．
【詳解】解：方程的一次項系數是，則其常數項是1，
故答案為：1
9．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）方程的一次項系數是 ．
【答案】0
【分析】本題考查一元二次方程的一般式，解題的關鍵是掌握一次項系數的定義．根據一元二次方程的一般形式解答．
【詳解】解：一元二次方程的一次項系數是0．
故答案為：0．
10．（23-24九年級上·新疆和田·期末）已知方程，當 時，是關于x的一元二次方程．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義：含有一個未知數且未知數的最高次為2的整式方程：據此列式代數計算，即可作答．
【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程．
∴，
∴，
故答案為：．
11．（23-24九年級上·河南商丘·階段練習）已知是方程的一個根，則
【答案】4
【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，根據題意得出，整體代入，即可求解．
【詳解】解：∵是方程的一個根，
∴，即，
∴，
故答案為：．
12．（23-24九年級上·江西南昌·階段練習）已知關于的一元二次方程有一個根為2，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的根的定義，將已知根2代入一元二次方程即可求得k的值．
【詳解】解：將代入，得：，
解得，
故答案為：．
三、解答題
13．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）若是關于的一元二次方程的一個解．求的值．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的解，將代入原方程，找出關于的方程是解題的關鍵．將代入原方程可得出關于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【詳解】解：將代入原方程得：，
，
．
答：的值為
14.（2023九年級上·全國·專題練習）將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數及常數項．
(1)； (2)；
(3)； (4)
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱．
【詳解】（1）解：方程化為一般形式為，二次項系數是3，一次項系數是，常數項是；
（2）解：方程化為一般形式為，二次項系數是9，一次項系數是0，常數項是；
（3）解：方程化為一般形式為，二次項系數是6，一次項系數是2，常數項是；
（4）解：方程化為一般形式為，二次項系數是3，一次項系數是，常數項是．
【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常數且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．特別要注意確認各項系數和常數項一定要包括前面的符號．
15．（22-23九年級上·河南開封·階段練習）已知關于x的方程．
(1)當k取何值時，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)當k取何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項．
【答案】(1)，
(2)，二次項系數是，一次項系數是，常數項是
【分析】（1）根據二次項系數等于零，一次項系數不等于零時是一元一次方程，可得答案；
（2）根據二次項系數不等于零是一元二次方程，可得答案．
【詳解】（1）由是一元一次方程，得
，
解得，
原方程變為：，
∴
解得；
（2）由是一元二次方程，得
，
解得，
∴時，是一元二次方程，
二次項系數是，一次項系數是，常數項是．
【點睛】本題考查了一元二次方程，二次項系數等于零，一次項系數不等于零是元一次方程得我定義；熟練掌握定義是解答本題的關鍵．
16．（23-24九年級上·全國·課后作業）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】（1）根據一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數、一次項系數、常數項的定義，即可解答；
（2）根據一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數、一次項系數、常數項的定義，即可解答；
（3）根據一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數、一次項系數、常數項的定義，即可解答；
（4）根據一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數、一次項系數、常數項的定義，即可解答．
【詳解】（1）解：化為一般形式是，
二次項系數是4，一次項系數是，常數項是3．
（2）解：化為一般形式是，
二次項系數是3，一次項系數是0，常數項是．
（3）解：化為一般形式是，
二次項系數是2，一次項系數是10，常數項是．
（4）解：化為一般形式是，
二次項系數是3，一次項系數是，常數項是0．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的相關定義，解題的關鍵是掌握一元二次方程的一般式為，a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項．
17．（23-24九年級上·全國·課后作業）將一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
【答案】二次項系數為，一次項系數為8，常數項為
【分析】先把變為一般形式，然后得出答案即可．
【詳解】解：由得，
∴二次項系數為，一次項系數為8，常數項為．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，形如，把式子化為一元二次方程的一般形式是解題關鍵．
18．（22-23九年級上·江西景德鎮·期中）當為什么數時，關于的方程是一元二次方程？寫出它的二次項系數，一次項系數和常數項．
【答案】當時，關于的方程是一元二次方程，它的二次項系數、一次項系數和常數項分別是，，
【分析】先把方程化成一般形式，再根據一元二次方程的定義得出當時，方程是一元二次方程，再求出答案即可．
【詳解】解：，
，
關于的方程是一元二次方程，
，
即當時，關于的方程是一元二次方程，它的二次項系數、一次項系數和常數項分別是，，．
19．（22-23九年級上·河南新鄉·階段練習）若a是方程的一個根，求的值．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的解，根據題意，得到，進而得到，，整體代入代數式進行計算即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，，
∴．
20．（23-24九年級上·山東臨沂·階段練習）已知都是方程的根，求a、b的值和這個一元二次方程的一般形式．
【答案】，，
【分析】本題考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟練掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解題的關鍵．
將代入，計算求解可得的值，進而可求一元二次方程的一般式．
【詳解】解：將代入得，，
解得，，
∴，
∴a、b的值分別為1，2；這個一元二次方程的一般形式為．
21．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）已知是方程的一個根，求的值．
【答案】
【分析】
由是方程的一個根，得到，將化為，代入后，即可求解，
本題考查了一元二次方程的解，代數式的化簡求值，解題的關鍵是：應用提公因式法，將代數式進行轉化．
【詳解】
解：∵是方程的一個根，
∴，即：，
∴
，
故答案為：．
22．（20-21七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）閱讀理解：
定義：如果關于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常數）與（a2≠0，a2、b2、c2是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是　 　．
（2）關于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．
【答案】（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1
【分析】（1）根據對稱方程的定義可得答案；
（2）由題意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【詳解】解：（1）由題意得：方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案為：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移項可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x﹣1＝0為對稱方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是正確理解題意，理解對稱方程的定義．
23.（22-23九年級上·福建龍巖·期中）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，是和邊長，易知，這時我們把關于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”．
請解決下列問題：
(1)試判斷方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求面積．
【答案】(1)是
(2)
【分析】（1）根據“勾系一元二次方程”的定義，即可求解；
（2）根據是“勾系一元二次方程”的一個根，可得，再由四邊形的周長是，可得，從而得到，繼而得到，再根據，可得ab=4，即可求解．
【詳解】（1）解：∵
這里，，
∴，
∴是“勾系一元二次方程”．
（2）解：當時，有，
即，
∵四邊形的周長是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定義是解題的關鍵．
24.（23-24九年級上·廣西玉林·期中）【閱讀理解】
【定義】如果關于的方程（是常數）與（是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足，，則這兩個方程互為“對稱方程”．
【舉例】求方程的“對稱方程”，這樣思考：由方程可知，，，根據，求出就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
(1)寫出方程的“對稱方程”是______；
(2)若關于的方程與互為“對稱方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式、求代數式的值、“對稱方程”的定義，解題的關鍵是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“對稱方程”的定義．
（1）根據“對稱方程”的定義解答即可；
（2）根據“對稱方程”的定義可得，求出的值，代入計算即可．
【詳解】（1）解：，，
方程的“對稱方程”是，
故答案為：；
（2）解：由，移項可得：，
方程與為對稱方程，
，
解得：，
．中小學教育資源及組卷應用平臺
第01講 一元二次方程(3個知識點+3個考點+2個易錯分析）
模塊一 思維導圖串知識 模塊二 基礎知識全梳理（吃透教材） 模塊三 核心考點舉一反三 模塊四 小試牛刀過關測 1.理解一元二次方程的概念,能夠識別一元二次方程. 2.掌握一元二次方程的一般形式和各項的名稱,會將一元二次方程化為一般形式 3.了解一元二次方程的根的概念,并會檢驗一元二次方程的根. 4.會由具體問題構建一元二次方程.
知識點1一元二次方程的概念
1.概念
等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元),并且未知數的最高次數是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程滿足的條件(三要素)
(1)是整式方程;(2)只含有一個未知數;(3)整理后未知數的最高次數是 2.
3.對“未知數的最高次數是2”的理解
(1)該項系數不為0:
(2)該項未知數指數為2;
(3)當方程中的二次項系數含有字母時,字母取值不確定,這個方程不一定是一元二次方程.如 ,當m=0時,屬于一元一次方程.
【例1-1】下列選項中，是關于x的一元二次方程的是(　　)
A．x2＋＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0
C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0
方法總結：判斷一個方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡后再進行判斷．一元二次方程的三個條件：一是方程兩邊都是整式；二是只含有一個未知數；三是未知數的最高次數是2.上述三個條件必須同時滿足，缺一不可．
【例1-2】．（23-24九年級上·江蘇淮安·階段練習）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】．（23-24九年級上·四川成都·階段練習）已知是一元二次方程，則 ．
【例1-4】（23-24九年級上·貴州銅仁·階段練習）若 是關于的一元二次方程，則 ．
知識點2一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次項,a是二次項系數;bx是一次項,b是一次項系數;c是常數項.
2.一元二次方程的一般形式的特點:方程右邊是0,左邊是關于x的二次整式,且二次項系數不為 0.
3.特殊形式
二次項系數不為0,當b取0或c取0時,一元二次方程的一般形式呈現如下情況:
4.注意事項
確定一元二次方程的各項和各項系數時注意不要丟掉前面的符號.一般情況下,將一元二次方程整理為一般形式時,若二次項系數為負數,要乘“-1”把它轉化為正數,若有的項系數是分數,要把它轉化為整數.
【例2-1】將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數及常數項．
(1)3x2－2＝5x； (2)9x2＝16；
(3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.
方法總結：求一元二次方程的各項系數和常數項，必須先把方程化為一般形式，特別要注意確認各項系數和常數項一定要包括前面的符號．
【例2-2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項：
方程 一般形式 二次項系數 一次項系數 常數項
【例2-3】（22-23九年級上·河南許昌·階段練習）一元二次方程的一次項系數，二次項系數，常數項分別是（ ）
A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1，
【例2-4】．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）若關于的一元二次方程的常數項為0，則的值為（　?。?br/>A．3 B． C． D．
【例2-5】．（23-24九年級上·山東青島·階段練習）將方程化為后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
【例2-6】．（2022九年級上·全國·專題練習）設a，b，c分別是一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項，根據下列條件，寫出該一元二次方程．
(1)，且；
(2)．
知識點3 一元二次方程的解( 根)
1.概念
使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根).
2.一元二次方程的解(根)滿足的條件(1)未知數的值;(2)使方程左右兩邊相等
3.判斷一個數是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.一元一次方程和一元二次方程根的區別
【例3-1】方程x2－2x＝0的解為(　　)
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝，x2＝2
方法總結：判斷一個未知數的值是否是一元二次方程的解，可以把未知數的值代入方程左右兩邊，能使方程左右兩邊相等的未知數的值就是一元二次方程的解．
【例3-2】．（23-24九年級上·天津寧河·期中）若關于x的一元二次方程有一個根為 ，則m的值為 ．
【例3-3】（22-23九年級上·河南新鄉·階段練習）若是方程的一個根，求代數式的值．
易錯點1 忽略二次項系數不為0而致錯
特別提醒:利用一元二次方程的定義求A字母的值時，首先要保證二次項系數不為 0.
易錯點2 沒有化為一元二次方程的一般形式而致錯
特別提醒:1寫一元二次方程每一項的系數及常數項時要先將其化為一般形式;
2將某一項從等號一側移至另一側時,注意變號,等號同側的移項不涉及符號變動.
考點一：運用一元二次方程的概念求字母的值
1.關于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，則k的值為________．
方法總結：由一元二次方程的概念滿足的條件：未知數最高次數為2，構造方程，解出字母取值，并利用二次項系數不為0排除使二次項系數為0的字母取值，從而確定字母取值．
2.（23-24九年級上·云南昭通·期中）關于的方程是一元二次方程，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（23-24九年級上·海南?？凇るA段練習）關于的方程是一元二次方程，則的值是
考點二：利用一元二次方程根的定義求字母或代數式的值
4.已知1是關于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一個根，則m的值是(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．無法確定
方法總結：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數的值，在涉及方程根的題目中，我們一般是把這個根代入方程左右兩邊轉化為求待定系數的方程來解決問題．
5．關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．
6．（23-24九年級上·河南許昌·期末）已知是方程的一個根，則代數式的值為（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
7．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）若方程的一個實數根為，則的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年級上·云南怒江·階段練習）已知m是方程的一個根，求代數式的值 ．
9．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若是關的方程的解，則的值為 ．
考點三：根據實際問題列一元二次方程
在一張矩形的床單四周繡上寬度相等的花邊，剩下部分面積為1.6m2.已知床單的長是2m，寬是1.4m，求花邊的寬度．請根據題意列出方程．
方法總結：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當的設出未知數，準確地找出已知量和未知量之間的等量關系，正確的列出方程．
11.某型號的手機連續兩次降價，單價由原來的5200元降到了1300元．設平均每次降價的百分率為x，則可以列出的一元二次方程是 ．
12．有一群即將畢業的大四學生在一起聚會，每兩個人之間互送照片，共送出132張，那么這群大四學生中有多少人。如果設這群大四學生共有x人，那么根據題意可列一元二次方程是 .
13．（22-23九年級上·甘肅白銀·期末）一次排球邀請賽中，每個隊之間都要比一場．賽程計劃安排天，每天安排場比賽．設比賽組織者應邀請個隊參賽，則可列一元二次方程為 ．（用一般式表示）
一、單選題
1．（21-22九年級·全國·假期作業）將方程改寫成的形式，則，，的值分別為（　?。?br/>A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
2．（23-24九年級上·山東菏澤·階段練習）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．個 B．個 C．個 D．個
3．（23-24九年級上·江西南昌·階段練習）下列一元二次方程中有一個解為的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）把一元二次方程化成的形式，問轉化后的二次項系數、一次項系數、常數項分別為（ ）
A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，
5．（23-24九年級上·河南洛陽·階段練習）當方程的一般式為時，的值為（ ）
A．5 B． C．1 D．
6．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）關于x的一元二次方程的常數項為0，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
二、填空題
7．（23-24九年級上·四川南充·階段練習）方程化為一般形式為 ，二次項系數、一次項系數、常數項的和為 ．
8．（23-24九年級上·福建福州·階段練習）已知方程的一次項系數是，則其常數項是
9．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）方程的一次項系數是 ．
10．（23-24九年級上·新疆和田·期末）已知方程，當 時，是關于x的一元二次方程．
11．（23-24九年級上·河南商丘·階段練習）已知是方程的一個根，則
12．（23-24九年級上·江西南昌·階段練習）已知關于的一元二次方程有一個根為2，則的值為 ．
三、解答題
13．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）若是關于的一元二次方程的一個解．求的值．
14.（2023九年級上·全國·專題練習）將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數及常數項．
(1)； (2)；
(3)； (4)
15．（22-23九年級上·河南開封·階段練習）已知關于x的方程．
(1)當k取何值時，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)當k取何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項．
16．（23-24九年級上·全國·課后作業）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．（23-24九年級上·全國·課后作業）將一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
18．（22-23九年級上·江西景德鎮·期中）當為什么數時，關于的方程是一元二次方程？寫出它的二次項系數，一次項系數和常數項．
19．（22-23九年級上·河南新鄉·階段練習）若a是方程的一個根，求的值．
20．（23-24九年級上·山東臨沂·階段練習）已知都是方程的根，求a、b的值和這個一元二次方程的一般形式．
21．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）已知是方程的一個根，求的值．
22．（20-21七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）閱讀理解：
定義：如果關于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常數）與（a2≠0，a2、b2、c2是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是　 ?。?br/>（2）關于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．
23.（22-23九年級上·福建龍巖·期中）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，是和邊長，易知，這時我們把關于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”．
請解決下列問題：
(1)試判斷方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求面積．
24.（23-24九年級上·廣西玉林·期中）【閱讀理解】
【定義】如果關于的方程（是常數）與（是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足，，則這兩個方程互為“對稱方程”．
【舉例】求方程的“對稱方程”，這樣思考：由方程可知，，，根據，求出就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
(1)寫出方程的“對稱方程”是______；
(2)若關于的方程與互為“對稱方程”，求的值．

展開更多......

收起↑