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向心加速度
問題 天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室在軌飛行時(shí)，可認(rèn)為它繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是什么的？
？
思考：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是什么？
勻速率
變速運(yùn)動(dòng)，速度的方向時(shí)刻在變化。
一定存在加速度
向心加速度
那么，該如何確定它在軌飛行時(shí)加速度的方向和大小呢？
1 從牛頓運(yùn)動(dòng)定律看向心加速度
3 理解及其應(yīng)用
2 從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看向心加速度
（1）向心加速度的方向
（2）向心加速度的大小
（1）向心加速度的方向
（2）向心加速度的大小
物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受合力提供向心力，合力的方向總是指向圓心。根據(jù)牛頓第二定律，物體運(yùn)動(dòng)的加速度方向與它所受合力的方向相同，即始終指向圓心。
牛頓第二定律不僅適用于直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)同樣適用。
一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體加速度指向圓心，這個(gè)加速度稱為向心加速度。符號(hào)：an
向心加速度
物理意義：描述線速度改變的快慢，只改變線速度方向，不改變其大小。
方向：總是指向圓心，即方向始終與速度方向垂直。
單位：m/s2
二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小
從牛頓運(yùn)動(dòng)定律的角度看向心加速度
自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑不一樣，它們的邊緣有三個(gè)點(diǎn) A、B、C，如圖 所示。其中哪兩點(diǎn)向心加速度的關(guān)系適用于“向心加速度與半徑成正比”，哪兩點(diǎn)適用于“向心加速度與半徑成反比”？給出解釋。
思考與討論
.
.
.
提示：請(qǐng)您在讀題時(shí)按下暫停鍵，思考并回答。
1、 A、B兩點(diǎn)在同一個(gè)鏈條上，兩點(diǎn)的線速度大小相同，由
知v一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比。
2、 B、C兩點(diǎn)在同一輪上，同軸傳動(dòng)時(shí)，這兩點(diǎn)的角速度相同，由公式
知ω一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比。
an＝ω2r
例題：如圖所示，在長(zhǎng)為l的細(xì)繩下端拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個(gè)圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為θ時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an的大小為多少 通過計(jì)算說明：要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度。
解 根據(jù)對(duì)小球的受力分析，可得小球的向心力
Fn=mgtanθ
根據(jù)牛頓第二定律可得小球運(yùn)動(dòng)向心加速度
根據(jù)幾何關(guān)系可知小球圓周運(yùn)動(dòng)半徑
從此式可以看出，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)角速度增大時(shí)，夾角也隨之增大。因此，要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。
an=ω2r
把向心加速度公式 和（2）式代入（1）式可得
an=
=gtanθ
（1）
r=lsinθ
（2）
a =
Δt
Δv
a 的方向與Δv 的方向相同
速度的變化量Δv
回顧加速度的定義式是什么？
拓展學(xué)習(xí)
從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度看向心加速度
①在同一條直線上：△v=v2-v1
　
回顧速度變化量的求解方法　
v1
v2
△v＝？
v1
v2
△v＝？
v1
v2
△v＝？
②不在同一條直線上
1、 vA 、vB的長(zhǎng)度是否一樣？
2、滿足什么條件時(shí)，△v方向指向圓心？
（一）勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的方向
vA
vA
vA
O
A
B
vB
Δv
B
vB
Δv
B
vB
B
vA
vA
Δv
vB
設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r 的圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻位于A點(diǎn)，速度為vA ，經(jīng)過時(shí)間△t 后位于B點(diǎn)，速度為vB .
Δv
vA
結(jié)論：當(dāng)△t很小很小時(shí)，△v指向圓心，即向心加速度的方向時(shí)刻指向圓心。
物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以速度的大小,
可以得到，速度矢量三角形與相似。
于是有，
即，
當(dāng)很小時(shí)，AB邊和AB弧長(zhǎng)近似相等，即。
，
于是有,
所以向心加速度
（二）向心加速度的大小
對(duì)于變速圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示，物體加速度的方向不再指向圓心。其中一個(gè)分加速度的方向指向圓心,為向心加速度,仍滿足公式an= =ω2r,其作用仍然是改變速度的方向，另一個(gè)分加速度的方向是切線方向，改變速度的大小。
變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度又是怎么樣的呢？
想一想
對(duì)向心加速度的理解
(1) 物理意義：描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)中線速度改變的快慢，只能表示速度方向變化的快慢，不表示速度大小變化的快慢。
(2)方向特點(diǎn)
①指向圓心：無論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，還是變速圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度的方向都指向圓心(或者說與線速度方向垂直)。
②時(shí)刻改變：無論向心加速度的大小是否變化，向心加速度的方向時(shí)刻改變，所以圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度是時(shí)刻改變的。
(3)“勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的“變”與“不變”
① “不變”量：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度、周期、轉(zhuǎn)速不變，線速度、加速度這兩個(gè)矢量的大小不變。
②“變化”量：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度、加速度這兩個(gè)矢量的方向時(shí)刻改變，因此勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變加速曲線運(yùn)動(dòng)。
勻速圓周運(yùn)動(dòng)
向心加速度
受力情況
牛頓運(yùn)動(dòng)定律
運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
加速度定義
an =
v2
r
an = ω2r
an = r
4π2
T 2
方向時(shí)刻指向圓心
題1.自行車的小齒輪A、大齒輪B、后輪C是相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部分，且半徑RB=4RA、RC=8RA，如圖所示。正常騎行時(shí)三輪邊緣的向心加速度之比aA∶aB∶aC為（　?。?br/>A.1∶1∶8 B.4∶1∶4
C.4∶1∶32 D.1∶2∶4
C
隨堂演練
◆向心加速度表達(dá)式的選用技巧
（1）線速度相等時(shí)，研究an與r的關(guān)系用 分析比較。
（2）角速度相等時(shí)，研究an與r的關(guān)系用an=ω2r 分析比較。
（3）周期相等時(shí)，研究an與r的關(guān)系用 分析比較。
題2、蕩秋千是兒童喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，當(dāng)秋千蕩到最高點(diǎn)時(shí)，小孩的加速度方向是圖中的（　?。?br/>A.a方向 　　B.b方向 C.c方向　 D.d方向
B
解析：當(dāng)秋千蕩到最高點(diǎn)時(shí)，小孩的速度為零，沿半徑方向的向心加速度為零，加速度方向沿圓弧的切線方向，即題圖中的b方向。
溫馨提示：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的線速度等于零時(shí)，向心加速度等于零。
題3. 如圖所示，輕繩的一端系一小球，另一端固定于O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方P點(diǎn)釘一顆釘子，使懸線拉緊與豎直方向成一角度θ，然后由靜止釋放小球，當(dāng)懸線碰到釘子時(shí)（　?。?br/>A.小球的瞬時(shí)速度突然變大
B.小球的角速度突然變小
C.繩上拉力突然變小
D.小球的加速度突然變大
解析：A錯(cuò)：小球擺到最低點(diǎn)時(shí)，懸線碰到釘子，此時(shí)運(yùn)動(dòng)方向沒有外力作用，故小球的瞬時(shí)速度不會(huì)突然變大。
B錯(cuò)：根據(jù)ω=知，v不變，r變小，故ω變大。
C錯(cuò)：設(shè)釘子到小球的距離為R，則F-mg=，則懸線的拉力F=mg+，因R小于L，故碰到釘子時(shí)，懸線上的拉力突然變大。
D對(duì)：小球的向心加速度a=，RD正確
作業(yè)：1.教材后面的練習(xí)與應(yīng)用
2.作業(yè)練習(xí)上對(duì)應(yīng)習(xí)題
拓展作業(yè)：北京時(shí)間2021年6月17日9時(shí)22分，神舟十二號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，并與9月17日13時(shí)30分許在東風(fēng)著陸場(chǎng)安全降落，請(qǐng)您在課后搜集相關(guān)資料，寫一篇心得體會(huì)。

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