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數學要提分，總結是王道！
第 5章 函數的性質
第 1節 函數的單調性的證明與判定
【知識講解】
1）定義說明：
① 函數的單調性與定義的區間有關，它是函數的局部性質
② 因函數的單調性是對區間而言，單獨點沒有增減變化，所以考慮區間的單調性時，可以不包括端點
③ 初等函數均可分段單調
2）函數的單調性與函數的圖象之間的關系
① f x 是增（減）函數 圖象自左到右上升（下降）
3）確定函數單調區間的常用方法有：
①圖象法（即通過畫出函數圖象，觀察圖象，確定單調區間）；
②定義法（取值、作差、變形、定號、下結論）；
【典型例題】
1. x x [a b] f（x1）－f（x2）例 設 1， 2∈ ， ，若 >0，則 f(x)在區間[a，b]上是________函數(填“增”或“減”)．
x1－x2
例 2.若函數 f(x)在區間[－1，2]上單調遞減，則下列關系正確的是( )
A．f(0)>f(3) B．f(－1)>f(1)
C．f(0)例 3.已知函數 f(x)＝x2＋4x＋c，則( )
A．f(1)C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2)
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例 4.已知 f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數，若 f(x)例 5.已知函數在定義域[－2，3]上單調遞增，則滿足 f(2x－1)>f(x)的 x的取值范圍是( )
A．[－2，1] B．[－2，2]
C．[1，2] D．(1，2]
例 6.下列函數在區間(－∞，0)上為增函數的是( )
A．y 1＝1 B．y＝－ ＋2
x
C．y＝－x2－2x－1 D．y＝1＋x2
例 7.討論函數 f x x2 2 x 3的單調區間
2x
例 8.試用函數單調性的定義判斷函數 f x 在區間 0, 1 上的單調性．
x 1
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第 2節 含參單調性問題
【典型例題】
例 1.若函數 f(x)＝(3a＋2)x－5 在 R上是增函數，則實數 a的取值范圍是( )
A 2 2．（－∞， ） B．（－∞，－ ）
3 3
C. 2 2（ ，＋∞ ） D．（－ ，＋∞）
3 3
例 2.函數 f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1 在區間[－2，＋∞)上遞減，則實數 a的取值范圍是( )
A．(－∞，－3] B．[－3，0] C．[－3，0) D．[－2，0]
b
例 3.若 y＝ax與 y＝－ 在區間(0，＋∞)上都是減函數，則 y＝ax2＋bx在區間(0，＋∞)上是( )
x
A．增函數 B．減函數 C．先增后減 D．先減后增
例 4.函數 f(x) ax＋1＝ 在區間(－2，＋∞)上是增函數，則 a的取值范圍是________．
x＋a
x 5
例 5.函數 y 在 1, 上單調遞增，則 a的取值范圍是（ ）．
x a 2
A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 3
2
例 6.已知函數 f x x a a 0 在 2, 上遞增，求實數 a的取值范圍．
x
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3
例 7.若 f(x)在區間(0，＋∞)上是減函數，則 f(a2－a＋1)與 f 4 的大小關系為( )
3 3
A．f(a2－a＋1)≤f 4 B．f(a2－a＋1)≥f 4
3 3
C．f(a2－a＋1)x2（x>1），
例 8.已知函數 f(x)＝ 4 a－
2 x－1（x≤1）.
(1)若 f(2)＝f(1)，求 a的值；
(2)若 f(x)是 R上的增函數，求實數 a的取值范圍．
第 3節 函數奇偶性與簡單的求值
【知識講解】
1）奇函數、偶函數的定義說明
① 一個函數有奇偶性的必要條件是它的定義域關于原點對稱.
② 函數不一定具有奇偶性．
③ 函數的奇偶性是整個定義域上的性質.（整體性質）
④ 注意點：
a. 常數函數的奇偶性：（1） f x c c 0 偶函數（2） f x 0 奇且偶函數
f x
b. 判定奇偶性時，靈活應用等價形式，如： f x f x 0, 1等
f x
2）函數的奇、偶性與函數的圖像：
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① 函數 f x 是奇函數 函數圖像關于原點對稱；
② 函數 f x 是偶函數 函數圖像關于 y軸對稱．
3）判斷方法以及常用結論
① 判斷函數的奇偶性，一般有三種方法：（1）定義法；（2）圖象法；（3）性質法．
【典型例題】
例 1.下列函數中奇函數的個數為( )
(1)f(x) 1 1＝x3； (2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋ ； (4)f(x)＝ .
x x2
A．1 B．2 C．3 D．4
例 2.函數 y＝ 1－|x| 9＋ 是( )
1＋x2
A．奇函數 B．偶函數
C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數
例 3.函數 f(x) 1＝ －x的圖像關于( )
x
A．y軸對稱 B．直線 y＝－x對稱
C．原點對稱 D．直線 y＝x對稱
例 4.已知函數 f(x)是定義在[1－a，5]上的偶函數，則 a的值是( )
A．0 B．1 C．6 D．－6
例 5.已知函數 f(x)是定義域為 R的奇函數，且 f(－1)＝2，則 f(0)＋f(1)＝________．
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例 6.設 f(x)是定義在 R上的奇函數，當 x≤0 時，f(x)＝2x2－x，則 f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
例 7.已知 f(x)為奇函數，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，則 f(2)＝________．
2
例 8.已知函數 f(x)＝1－ .若 g(x)＝f(x)－a為奇函數，求 a的值；
x
例 9.函數 y f x 與 y g x 有相同的定義域，對定義域中任何 x，有 f x f x 0，
g x g 2 f x x 1，則 F x f x 是（ ）
g x 1
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數
例 10. 設函數 f x 和 g x 分別是 R 上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的
是（ ）
A. f x g x 是偶函數 B. f x g x 是奇函數
C. f x g x 是偶函數 D. f x g x 是奇函數
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第 4節 函數奇偶性和單調性綜合
【典型例題】
例 1.若對于任意實數 x，都有 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在區間(－∞，0]上是增函數，則( )
3
－
A．f(－2)3 3
－ －
C．f 2 例 2.若奇函數 f(x)在[1，3]上為增函數且有最小值 0，則它在[－3，－1]上( )
A．是減函數，有最大值 0
B．是減函數，有最小值 0
C．是增函數，有最大值 0
D．是增函數，有最小值 0
例 3.已知函數 y＝f(x)是 R 上的偶函數，且 f(x)在[0，＋∞)上是減函數，若 f(a)≥f(－2)，則 a的取值范圍是
( )
A．a≤－2 B．a≥2
C．a≤－2 或 a≥2 D．－2≤a≤2
f（x）
例 4.已知 f(x)是定義在 R上的偶函數，且在區間(－∞，0)上是增函數．若 f(－3)＝0，則 <0 的解集為
x
______________．
例 5.已知奇函數 f x 的定義域為 2,2 ，且在區間 2,0 內遞減，求滿足： f 1 m f 1 m2 0的
實數m的取值范圍．
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例 6.設 f x 的圖像關于原點對稱，且在 0, 上是增函數， f 3 0，
則 xf x 0的解集為__________.
例 7.已設函數 f x 是定義在 R 上的奇函數，且在區間 , 0 上是減函數，實數 a 滿足不等式
f 3a2 a 3 f 3a2 2a ，求實數 a的取值范圍.
例 8.已知 f(x)是定義在 R上的奇函數，且 f(x) x＋m＝ .
x2＋nx＋1
(1)求 m，n的值；
(2)用定義證明 f(x)在(－1，1)上為增函數；
(3)若 f(x)≤a x 1 1對 ∈（－ ，）恒成立，求 a的取值范圍．
3 3 3
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第 5節 抽象函數的單調性和奇偶性
【典型例題】
例 1.已知函數 f x 對于任意 x, y R，總有 f x f y f x y ，且當 x 0 時，