資源簡介

數學要提分，總結是王道！
第 7章 函數的應用
第 1節 方程的根與函數零點
1．函數 f(x) 1＝lg x＋ 的零點是( )
2
A. 1 B. 10 C. 10 D．10
10 10
2 x－1．若函數 f(x)＝ ，則 g(x)＝f(4x)－x的零點是( )
x
A．2 B.1 C．4 D.1
2 4
x2＋bx＋c，x≤0，
3．設函數 f(x)＝ 若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則函數 g(x)＝f(x)－x的零點個數為( )
3，x>0，
A．1 B．2 C．3 D．4
4．討論函數 f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零點．
5．已知函數 f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函數 f(x)的定義域；
(2)求函數 f(x)的零點．
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第 2節 零點存在性定理
1．函數 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(1)>0，f(2)<0，則 f(x)在(1，2)上的零點( )
A．至多有一個 B．有一個或兩個
C．有且僅有一個 D．一個也沒有
1 x－2
2．設函數 y＝x3與 y＝ 2 的圖像的交點坐標為(x0，y0)，則 x0所在的區間是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
3．設函數 f(x) 1＝ x－ln x(x>0)，則下列說法中正確的是( )
3
1
，1
A．f(x)在區間 e ，(1，e)內均有零點
1
，1
B．f(x)在區間 e ，(1，e)內均無零點
1
，1
C．f(x)在區間 e 內有零點，在(1，e)內無零點
1
，1
D．f(x)在區間 e 內無零點，在(1，e)內有零點
4．對于方程 x3＋x2－2x－1＝0，有下列判斷：
①在(－2，－1)內有實數根；
②在(－1，0)內有實數根；
③在(1，2)內有實數根；
④在(－∞，＋∞)內沒有實數根．
其中正確的有________．(填序號)
6
5.已知函數 f x log
x 2
x，在下列區間中，包含 f x 零點的區間是（ ）
A. 0,1 B. 1, 2
C. 2, 4 D. 4,
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6. 若 a b c，則函數 f x x a x b x b x c x c x a 的兩個零點分別位于區
間（ ）
A. a,b 和 b,c 內 B. ,a 和 a,b 內
C. b,c 和 c, 內 D. ,a 和 c, 內
第 3節 零點個數問題
1．方程 3x＝x＋2 解的個數是________．
1
，2
2．已知函數 f(x)＝x＋log2x，則 f(x)在 2 內的零點的個數是________．
log2（x＋1）（x>0），
3．已知函數 f(x)＝ 若函數 g(x)＝f(x)－m 有 3 個零點，則實數 m 的取值范圍是
－x2－2x（x≤0），
________．
4.函數 f x 2x x3 2在區間 0,1 內的零點個數是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
5. 已知 f x 是R上最小正周期為 2 的周期函數，且當0 x 2時， f x x3 x，則函數 y f x 的
圖象在區間 0,6 上與 x軸的交點的個數為（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
x
2 2, x 0,
6. 函數 f x 的零點個數是________．
2x 6 ln x, x 0
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7、函數 f x 2x log0.5 x 1的零點個數為（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
第 4節 復合函數零點
0， 01. 已知函數 f(x)＝|ln x|，g(x)＝ 則方程|f(x)＋g(x)|＝1 實根的個數為________．
|x2－4|－2，x>1，
2. 定義域為 R的偶函數 f(x)滿足對 x∈R，有 f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且當 x∈[2，3]時，f(x)＝－2x2＋12x－
18.若函數 y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三個零點，則 a的取值范圍是( )
0 3 2 5， 0， 0， 0 6，
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
kx＋1，x≤0，
3. 已知函數 f(x)＝ 則下列關于函數 y＝f(f(x))＋1 的零點個數的判斷正確的是( )
ln x，x>0，
A．當 k>0 時，有 3 個零點；當 k<0 時，有 2 個零點
B．當 k>0 時，有 4 個零點；當 k<0 時，有 1 個零點
C．無論 k為何值，均有 2 個零點
D．無論 k為何值，均有 4 個零點
1
＋x2＋2x，x<0，
4. 已知 f(x)＝ 2 且函數 y＝f(x)＋ax恰有 3個不同的零點，則實數 a的取值范圍是________．
f（x－1），x≥0，
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第 5節 二分法求方程近似解
1．用二分法求函數 f(x)＝2x－3 的零點時，初始區間可選為( )
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
2．下列函數中，不能用二分法求零點的是( )
圖 L3-1-1
3．用二分法求函數的零點，函數的零點總位于區間(an，bn)內，當|an－bn|<ε時，函數的近似零點與真正
的零點的誤差不超過( )
A ε B.1． ε C 1．2ε D. ε
2 4
4．設 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在(1，2)內近似解的過程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，則方程的根所在區間為( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能確定
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5．函數 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一個近似根(精確到 0.1)為( )
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
6．已知 f(x)的一個零點 x0∈(2，3)，用二分法求精確度為 0.01 的 x0近似值時，判斷各區間中點的函數
值的符號最多需要的次數為( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知函數 f(x)在區間[1，3]上連續不斷，且 f(1)f(2)f(3)<0，則下列說法正確的是( )
A．函數 f(x)在區間[1，2]或者[2，3]上有一個零點
B．函數 f(x)在區間[1，2]、[2，3]上各有一個零點
C．函數 f(x)在區間[1，3]上最多有 2015 個零點
D．函數 f(x)在區間[1，3]可能有 2014 個零點
8．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在區間[2，3]內的實根，取區間中點 x0＝2.5，那么下一個有根區間是
________．
9．已知方程 mx2－x－1＝0 在區間(0，1)內恰有一解，則實數 m 的取值范圍是________．
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10．用二分法研究函數 f(x)＝x2＋3x－1 的零點時，第一次經過計算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零
點 x0∈________，第二次應計算________．
11．“二分法”是求無理數的近似值的一個有效方法，用這個方法求 17的近似值時，構造的函數是
________，選定的初始區間是________(答案不唯一，寫出一個即可)．
12．求函數 y＝2x＋3x－7 的近似零點．(精確度為 0.1)
第 6節 函數的應用題
1．某公司為了適應市場需求對產品結構做了重大調整，調整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，
若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤 y與時間 x的關系，可選用( )
A．一次函數模型 B．二次函數模型
C．指數型函數模型 D．對數型函數模型
2．在我國大西北，某地區荒漠化土地面積每年平均比上年增長 10.4%，專家預測經過 x年可能增長到
原來的 y倍，則函數 y＝f(x)的圖像大致為( )
圖 L3-2-1
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3．某廠生產中所需一些配件可以外購，也可以自己生產．如外購，每個價格是 1.10 元；如果自己生產，
則每月的固定成本將增加 800 元，并且生產每個配件的材料和勞力需 0.60 元，則決定此配件外購或自產的
轉折點是( )
A．1000 件 B．1200 件 C．1400 件 D．1600 件
4．將進貨單價為 8 元的商品按 10 元一個零售，每天能賣出 100 個，若這種商品的銷售價每漲 1 元，
銷量就減少 10 個，為了獲取最大利潤，這種商品的零售價格應定為每個( )
A．11 元 B．12 元 C．13 元 D．14 元
5．某新款電視投放市場后第一個月銷售了 100 臺，第二個月銷售了 200 臺，第三個月銷售了 400 臺，
第四個月銷售了 790 臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量 y與投放市場的月數 x(1≤x≤4，x∈N*)之間關
系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100x
6．在 x克 a%的鹽水中，加入 y克 b%的鹽水，濃度變為 c%，則 x與 y的函數關系式為( )
A c－a c－a．y＝ ·x B．y＝ ·x
c－b b－c
C y a－c·x D y b－c． ＝ ． ＝ ·x
b－c c－a
7．已知當 x≥0 時，函數 y＝x2 與函數 y＝2x的圖像如圖 L3-2-2 所示，則當 x≤0 時，不等式 2x·x2≥1 的解
集是( )
圖 L3-2-2
A．[－4，－2] B．[2，4] C．[－2，2] D．[－4，2]
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8．四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數關系分別是 f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，
如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數關系是________．
9．近幾年由于北京房價的上漲，引起了二手房市場交易的火爆．房子幾乎沒有變化，但價格卻上漲了，
小張在 2013 年以 180 萬的價格購得一套新房子，假設這 10 年來價格年膨脹率不變，那么到 2023 年，這所
房子的價格 y(萬元)與價格年膨脹率 x之間的函數關系式是________．
10．某藥品經過兩次降價，每瓶的零售價由 100 元降為 81 元，已知兩次降價的百分率相同，設為 x，
為求兩次降價的百分率，則列出的方程為__________．
11．如圖 L3-2-3 所示的是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質的殘留量 y與凈化時間 t(月)
的近似函數關系：y＝at(t≥0，a>0 且 a≠1)的圖像．有以下敘述：
①第 4 1個月時，殘留量就會低于 ；
5
②每月減少的有害物質量都相等；
1 1 1
③若殘留量為 ，， 時，所經過的時間分別是 t1，t2，t3，則 t1＋t2＝t3.
2 4 8
其中所有正確敘述的序號是________．
圖 L3-2-3
12．復利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再計算下一期利息的一種計算利息的方法．某人
向銀行貸款 10 萬元，約定按年利率 7%復利計算利息．
(1)寫出 x年后，需要還款總數 y(單位：萬元)和 x(單位：年)之間的函數關系式；
(2)計算 5 年后的還款總額(精確到元)；
(3)如果該人從貸款的第二年起，每年向銀行還款 x元，分 5 次還清，求每次還款的金額 x(精確到元)．
(參考數據：1.073≈1.225 0，1.074≈1.310 8，1.075≈1.402 551，1.076≈1.500 730)
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13．甲、乙兩人在一次賽跑中，路程 S與時間 t的函數關系如圖 L3-2-4 所示，則下列說法正確的是( )
圖 L3-2-4
A．甲比乙先出發 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲先到達終點
14．某廠日產手套總成本 y(元)與手套日產量 x(副)的關系式為 y＝5x＋4000，而手套出廠價格為每副 10
元，則該廠為了不虧本，日產手套至少為( )
A．200 副 B．400 副 C．600 副 D．800 副
15．某城市出租汽車的收費標準是：起步價為 6 元，行程不超過 2 千米者均按此價收費；行程超過 2
千米，超過部分按 3 元/千米收費(不足 1 千米按 1 千米計價)；另外，遇到堵車或等候時，汽車雖沒有行駛，
但仍按 6 分鐘折算 1 千米計算(不足 1 千米按 1 千米計價)．陳先生坐了一趟這種出租車，車費 24 元，車上
儀表顯示等候時間為 11 分 30 秒，那么陳先生此趟行程的取值范圍是( )
A．[5，6) B．(5，6] C．[6，7) D．(6，7]
16．一種放射性元素，最初的質量為 500 g，按每年 10%衰減，則這種放射性元素的半衰期為(注：剩
留量為最初質量的一半所需的時間叫作半衰期)(精確到 0.1.已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3
17．某種生物增長的數量 y與時間 x的關系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
下面的函數關系式中，能表達這種關系的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
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18．某商場在國慶促銷期間規定，商場內所有商品按標價的 80%出售；同時，當顧客在該商場內消費
滿一定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券：
消費金額(元)
[200，400) [400，500) [500，700) [700，900) …
的范圍
獲得獎券的
30 60 100 130 …
金額(元)
根據上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠，例如，購買標價為 400 元的商品，則消費
金額為 320 元，獲得的優惠額為 400×0.2＋30＝110(元)．若顧客購買一件標價為 1000 元的商品，則所能得
到的優惠額為( )
A．130 元 B．330 元 C．360 元 D．800 元
19．已知 A，B兩地相距 150 千米，某人開汽車以 60 千米/小時的速度從 A地到達 B地，在 B地停留 1
小時后再以 50 千米/小時的速度返回 A地，把汽車離開 A地的距離 x表示為時間 t的函數，解析式是( )
A．x＝60t B．x＝60t＋50t
60t （0≤t≤2.5），
C．x＝ 150 （2.5150－50（t－3.5） （3.560t （0≤t≤2.5），
D．x＝
150－50t （t>3.5）
20 1．計算機成本不斷降低，若每隔 3 年計算機價格降低 ，現在價格為 8100 元的計算機，9 年后的價格
3
為________元．
21．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度 v(米/秒)和燃料的質量 M(千克)、火箭(除燃料外)的
質量 m(千克) M的函數關系式是 v＝2000·ln1＋ .當燃料質量是火箭質量的________倍時，火箭的最大速度可
m
達 12 千米/秒．
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22．地震的等級是用里氏震級 M表示，其計算公式為 M＝lg A－lg A0，其中 A是地震時的最大振幅，
A0 是“標準地震的振幅”(使用標準地震振幅是為了修正測量中的誤差)．一般 5 級地震的震感已比較明顯，某
地區發生的大地震的震級是 8 級，則 8 級地震的最大振幅是 5 級地震最大振幅的________倍．
圖 L3-2-5
23．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中室內每立方米空氣中
1 t－a
的含藥量 y(毫克)與時間 t(小時)成正比．藥物釋放完畢后，y與 t的函數關系式為 y＝ 16 (a為常數)，如
圖 L3-2-5 所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：
(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量 y(毫克)與時間 t(小時)之間的函數關系式為________；
(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到 0.25 毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開
始，至少需要經過________小時后，學生才能回到教室．
87數學要提分，總結是王道！
又 k∈N，則 k＝0，1.
當 k＝0，1 時，f(x)＝x2.
(2)由已知得 g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
當 x∈[0，2]時，易求得 g(x)∈[m－1，m]，
由已知值域為[2，3]，得 m＝3.
故存在滿足條件的 m，且 m＝3.
14、D 15、B 16、（0,1） 17、A
第 7章 函數的應用
【第 1 節】
1.C 2.B 3.C 4. x 1＝ 或 x＝2. 5.（1）(－3，1)（2）－1± 3.
a
【第 2 節】
1.C 2.B 3.D 4. ①②③ 5.B 6.A
【第 3 節】
1. 2 2. 1 3、(0，1) 4.B 5.B 6.2 7.B
【第 4 節】
1
，＋∞
1、4 2、A 3、B 4、 2
【第 5 節】
1．C [ 1解析] 因為 f(－1)＝ －3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以初始區間可
2
選為(1，2)．
2．B [解析] 由圖像知 B 中函數不存在 x1，x2，使得 f(x1)f(x2)<0 成立．
3．A [解析] 最大誤差即為區間長度ε.
4．B [解析] 根據二分法的定義，可知零點存在的區間是(1.25，1.5)，因此也是方程的根所在的區間．
151
數學要提分，總結是王道！
5．C [解析] 易知函數 f(x)＝x3＋x2－2x－2在R上是連續的，根據表中數據，可知 f(1.437 5)·f(1.406 25)<0，
得到函數 f(x)在區間(1.437 5，1.406 25)內有零點．所以，方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一個近似根為 1.4.
6 1．B [解析] 函數 f(x)的零點所在區間的長度是 1，用二分法經過 7 次分割后區間的長度變為 <0.01.
27
7．D [解析] 零點存在性定理只能判斷一定條件下有無零點，但不能判斷零點的個數，從選項中可知，
選項 A，B，C 都是肯定的答案，所以不正確，只有選項 D 正確．
8．(2，2.5) [解析] 令 f(x)＝x3－2x－5，f(x)的圖像在[2，3]上連續不斷，
因為 f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(x0)＝f(2.5)＝5.625>0，
所以 f(2)·f(2.5)<0，故下一個有根區間是(2，2.5)．
9．(2，＋∞) [解析] 設 f(x)＝mx2－x－1，因為方程 mx2－x－1＝0 在(0，1)內恰有一解，所以當 m＝0
時，方程－x－1＝0 在(0，1)內無解，當 m≠0 時，由 f(0)f(1)<0，即－(m－1－1)<0，解得 m>2.
10 (0 0.5) f(0.25) [ ] x (0 0.5) 0.5． ， 解析 由零點的存在性可知， 0∈ ， ，取該區間的中點 ＝0.25，所以第
2
二次應計算 f(0.25)．
11．f(x)＝x2－17 [4，5] [解析] 由于 17是方程 x2－17＝0 的一個根，故構造函數 f(x)＝x2－17，根據
函數零點存在性定理，可以選區間[4，5]．
12．解：設 f(x)＝2x＋3x－7，根據二分法逐步縮小方程的解所在的區間．經計算，f(1)＝－2<0，f(2)＝
3>0，所以函數 f(x)＝2x＋3x－7 在[1，2]內存在零點，即方程 2x＋3x－7＝0 在[1，2]內有解．取[1，2]的中
點 1.5，經計算，f(1.5)≈0.33>0，又 f(1)＝－2<0，所以方程 2x＋3x－7＝0 在[1，1.5]內有解．如此下去，得
到方程 2x＋3x－7＝0 實數解所在的區間，如下表：
左端點 右端點
第 1 次 1 2
第 2 次 1 1.5
第 3 次 1.25 1.5
第 4 次 1.375 1.5
第 5 次 1.375 1.437 5
由表可以看出，區間(1.375，1.437 5)內的所有值，精確到 0.1 時，都是 1.4，所以 1.4 是函數 y＝2x＋3x－7
的近似零點．
【第 7 節】
152
數學要提分，總結是王道！
1．D [解析] 一次函數勻速增長，二次函數和指數型函數都是開始增長慢，以后增長越來越快，只有
對數型函數增長先快后慢．
2．D [解析] 依題意，選項 D 符合條件．
3．D [解析] 設生產 x件時自產合算，由題意得 1.1x≥800＋0.6x，解得 x≥1600，故選 D.
4．D [解析] 設零售價格是 x元，獲得的利潤是 y元，單個利潤是(x－8)元，銷售量是 100－10(x－10)，
所以 y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝(x－8)(－10x＋200)＝－10(x－14)2＋360，由二次函數知識易知，當 x＝14
時，ymax＝360.故選 D.
5．C [解析] 將題目中的數據代入各函數中，易知指數型函數能較好地與題中的數據相對應．
6 B [ ] a%x＋b%y c% ax＋by． 解析 據題意有 ＝ ，所以 ＝c，即 ax＋by＝cx＋cy，
x＋y x＋y
(b c)y (c a)x y c－a所以 － ＝ － ，所以 ＝ ·x.
b－c
7．A [解析] 在 2x·x2≥1 中，令 x＝－t，由 x≤0 得 t≥0，
∴2－t·(－t)2≥1，即 t2≥2t，由所給圖像得 2≤t≤4，
即 2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.
8．f4(x)＝2x [解析] 根據不同函數的增長模型知，最終跑在最前面的人具有的函數關系是 f4(x)＝2x.
9．y＝180(1＋x)10 [解析] 一年后的價格為 180＋180·x＝180(1＋x)．
兩年后的價格為 180(1＋x)＋180(1＋x)·x＝180(1＋x)(1＋x)＝180(1＋x)2，
由此可推得 10 年后的價格為 180(1＋x)10.
10．100(1－x)2＝81
2 4 2， t
11．①③ [解析] 根據題意，函數的圖像經過點 9 ，故函數為 y＝ 3 .易知①③正確．
12．解：(1)y＝10×(1＋7%)x，定義域為{x|x∈N*}．
(2)5 年后的還款總額為 y＝10×(1＋7%)5＝10×1.075≈14.025 5(萬元)．
(3)由已知得 x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝14.025 5.
解得 x≈2.438 9.
故每次還款的金額為 24 389 元(或 2.438 9 萬元)．
13．D [解析] 當 t＝0 時，S＝0，故甲、乙同時出發；易知甲、乙兩人的路程一樣多，且甲的速度大
于乙的速度；甲跑完全程 S所用的時間少于乙所用時間，故甲先到達終點．
14．D [解析] 由 5x＋4000≤10x，解得 x≥800，即該廠日產手套至少 800 副時才不虧本．
15．B [解析] 設陳先生此趟行程為 x千米(x∈Z)，則 6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得 x＝6.故實際行程應
153
數學要提分，總結是王道！
屬于區間(5，6]．
16．B [ ] 9 1解析 設半衰期為 x，則有 500(1－10%)x＝250，即 x＝ ，取對數得 x(lg 9－1)＝－lg 2，所
10 2
以 x lg 2 ≈ 0.301 0＝ ≈6.6.
1－2lg 3 1－2×0.477 1
17．D [解析] 將表中數據代入各式檢驗即可．
18．B [解析] 依題意，得到的優惠額為 1000×(1－80%)＋130＝200＋130＝330(元)．
19．C [解析] 應分三段建立函數關系，當 0≤t≤2.5 時，x＝60t；當 2.5是 150；當 3.520．2400 [解析] 依題意可得 8100×1 1－ 3＝8100×23＝2400(元)．
3 3
21．e6 M－1 [解析] 當 v＝12 000 時，2000·ln1＋ ＝12 000，
m
ln1 M M所以 ＋ ＝6，所以 ＝e6－1.
m m
22．1000 [解析] 因為 8＝lg A1－lg A0，5＝lg A2－lg A0，所以 A1＝108A0，A2＝105A0，所以 A1∶A2＝
108A0∶105A0＝1000.
10t 1，0≤t≤ ，
10
23．(1)y＝ 1 t－0.1 1 (2)0.6 [解析] (1)由圖可設 y＝kt(0≤t≤0.1)，把點(0.1，1)分別代入 y＝kt16 ，t>
10
1 t－a
和 y＝ 16 ，解得 k＝10，a＝0.1.
1 t－0.1
(2)由 16 <0.25，解得 t>0.6.
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