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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
內(nèi)切球問題解題策略
班級(jí) 姓名
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解空間幾何體的內(nèi)切球；
2．掌握求解內(nèi)切球半徑的方法．
學(xué)習(xí)過程
自學(xué)指導(dǎo) 自學(xué)檢測(cè)及課堂展示
內(nèi)切球的性質(zhì) 若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。
內(nèi)切球半徑的求法 以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝＝．內(nèi)切球上的的半徑公式：r＝
內(nèi)切球問題求解 【例1】正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖).則這個(gè)正三棱錐的表面積為 ，這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積是 .【變式1-1】在《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，則該陽馬的外接球與內(nèi)切球表面積之和為 ．【變式1-2】將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為 ．
棱切球問題求解 【例3】把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為　 　．
課后作業(yè)
一、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個(gè)面都接觸，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是( )


2．設(shè)一圓錐的外接球與內(nèi)切球的球心位置相同，且外接球的半徑為2，則該圓錐的體積為( )
A． B． C． D．
3．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家．據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”．他特別喜歡這個(gè)結(jié)論．要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊．若表面積為54π的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為(　　)
A．4π　　　　　　　　B．16π　　　　　　　　C．36π　　　　　　　　D．
4．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是(　　)
A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．已知一個(gè)三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為________．
6．已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．
7．已知三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，則三棱錐P－ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑比為________．
8．正四面體的外接球和內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，若線段長(zhǎng)度的最大值為，則這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為________．
9．體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________.
10．在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________．
二、綜合訓(xùn)練題
11．把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，則第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離是 ．
12．已知直三棱柱中，，，設(shè)二面角的平面角為，且，現(xiàn)在該三棱柱的內(nèi)部空間放一個(gè)小球，設(shè)小球的表面積為，三棱柱的外接球的表面積為，則的最大值為________．
內(nèi)切球問題解題策略
參考答案
【例1】【答案】，
【解析】底面正三角形中心到一邊的距離為,
則正棱錐側(cè)面的斜高為.
∴S側(cè)＝.
∴S表＝S側(cè)＋S底＝.
(2)設(shè)正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，
而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r.
∴VP-ABC＝VO-PAB ＋VO-PBC＋VO-PAC＋VO-ABC
＝S側(cè)·r＋S△ABC·r＝ S表·r＝.
又∵VP-ABC＝，
∴，
得
∴S內(nèi)切球＝.
【變式1-1】【答案】
【解析】因?yàn)閭?cè)棱底面，且底面為長(zhǎng)方形，
所以內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖為的內(nèi)切圓，
設(shè)的半徑為，根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理得，
所以內(nèi)切球的半徑為；
設(shè)該陽馬的外接球半徑為，易知該陽馬補(bǔ)形所得的正方體的對(duì)角線為其外接球的直徑，所以，
所以該陽馬的外接球與內(nèi)切球表面積之和為.
【變式1-2】【答案】2π　
【解析】將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，
設(shè)圓錐的底面圓的半徑為R，則有2πR＝3×，所以R＝1，
設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r，結(jié)合圓錐和球的特征，可知內(nèi)切球球心必在圓錐的高線上，
設(shè)圓錐的高為h，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為3，
所以h＝＝2，所以＝，解得r＝，
因此內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝2π．．
【例2】【答案】
【解析】如圖，球心和球在AC上，過，分別作AD,BC的垂線交于E,F
則由AB=1,AC=得.,
【變式2】【答案】；．
【解析】設(shè)為外接圓的圓心，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的等邊三角形，
所以，因?yàn)椋獾茫?br/>設(shè)球的半徑為，球的半徑為，
由等體積法可得，
，
所以，
所以球的體積為；
作截面圖如圖所示，可知，
則，，，
因?yàn)椤鳌鳎瑒t，即，解得，
所以球的表面積為．
【例3】【答案】10cm
【解析】如圖所示，由題意球心在AP上，球心為O，過O作BP的
垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，因?yàn)楦鱾€(gè)棱都為20，
所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設(shè)，
在BPM中，,所以.
在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,
所以，所以.
在OAM中, ,
所以，,
解得，或30（舍）,所以，.
課后作業(yè)
1、【答案】B
【解析】正三棱錐的內(nèi)切球心在高線上，與側(cè)面有公共點(diǎn)，與棱無公共點(diǎn)．
2、【答案】B
【解析】過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得及其內(nèi)切圓和外接圓，
且兩圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，易得為正三角形，由題意的半徑為，
的邊長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑為，高為3，．
3、【答案】C　
【解析】設(shè)該圓柱的底面半徑為R，則圓柱的高為2R，
則圓柱的表面積S＝S底＋S側(cè)＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．
∴圓柱的體積為V＝πR2×2R＝54π，∴該圓柱的內(nèi)切球的體積為×54π＝36π．故選C．
4、【答案】D　
【解析】由題意知，四棱錐P－ABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上，
過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖：
其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點(diǎn)．設(shè)PH＝h，
易知Rt△PAO∽R(shí)t△PHF，所以＝，即＝，解得h＝，故選D．
5、【答案】π　
【解析】由題意可知，該三棱錐為正四面體，如圖所示．
AE＝AB·sin 60°＝，AO＝AE＝，DO＝＝，
三棱錐的體積VD ABC＝S△ABC·DO＝，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，
則VD ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V內(nèi)切球＝πr3＝π．
6、【答案】π　
【解析】圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r．
作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．
在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，
則PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，
故內(nèi)切球的體積為π3＝π．
7、【答案】　
【解析】以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體，由PA＝PB＝PC＝2，
可知此長(zhǎng)方體即為正方體．設(shè)外接球的半徑為R，則R＝＝，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則內(nèi)切球的球心到四個(gè)面的距離均為r，
由(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝·S△PCB·AP，
解得r＝，所以＝＝．
8、【答案】4
【解析】設(shè)這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為，則它的外接球與內(nèi)切球的球心重合，
且半徑，，依題意得，．
9、【答案】6
【解析】設(shè)球的半徑為R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2，設(shè)底面邊長(zhǎng)為
a，則×a＝1，所以a＝2．所以V＝×(2)2×2＝6．
10、【答案】(2－)a　
【解析】解法一：由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P－ABCD時(shí)半徑最大，
設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，
則VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，
即×2a×2a×2a＝××r，
解得r＝(2－)a．
解法二：易知當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐P－ABCD，
即與四棱錐P－ABCD各個(gè)面均相切時(shí)，球的半徑最大，
作出相切時(shí)的側(cè)視圖如圖所示，設(shè)四棱錐P－ABCD內(nèi)切球的半徑為r，
則
×2a×2a＝×(2a＋2a＋2a)×r，解得r＝(2－)a．
11、【答案】．
【解析】四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，如右上圖，
則正四面體的高．
而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，
且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為．
12、【答案】　
【解析】取中點(diǎn)為，連接，，，容易得出，則，
因?yàn)椋裕瑒t二面角的平面角為，
在直角三角形中，，，，
直三棱柱的外接球的球心在矩形的中心，則，
由于的值為定值，則取最大值，即小球的半徑最大，
的內(nèi)切圓的半徑，
則小球的半徑最大為，
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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