資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
9.1　隨機抽樣
班級 姓名
學習目標
1．掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數法．
2．會計算樣本均值，了解樣本與總體的關系．
3．了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．
4．知道獲取數據的途徑多種多樣，包括統計報表和年鑒、社會調查、普查和抽樣、互聯網、試驗設計等．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1．全面調查與抽樣調查(1)對每一個調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查，又稱普查Ｗ.(2)在一個調查中，我們把調查對象的全體稱為總體，組成總體的每一個調查對象稱為個體Ｗ.(3)根據一定的目的，從總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出估計和推斷的調查方法，稱為抽樣調查Ｗ.(4)把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本Ｗ.(5)樣本中包含的個體數稱為樣本量Ｗ.(6)調查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數據，簡稱樣本數據.2．簡單隨機抽樣(1)有放回簡單隨機抽樣一般地，設一個總體含有N（N為正整數）個個體，從中逐個抽取n（1≤n閱讀教材，完成右邊的內容 5．總體平均數與樣本平均數(1)總體平均數①一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱＝＝Yi為總體均值，又稱總體平均數.②如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數fi（i＝1，2，…，k），則總體均值還可以寫成加權平均數的形式＝fiYiＷ.(2)樣本平均數如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱＝＝yi為樣本均值，又稱樣本平均數.在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數去估計總體平均數.
閱讀教材，完成右邊的內容 6．分層隨機抽樣的相關概念(1)分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．7．分層隨機抽樣中的總體平均數與樣本平均數(1)在分層隨機抽樣中，如果層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個個體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個個體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個個體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個個體的變量值，則：①第1層的總體平均數和樣本平均數分別為＝＝Xi， ＝＝xi.②第2層的總體平均數和樣本平均數分別為＝＝Yi， ＝＝yi.③總體平均數和樣本平均數分別為＝，＝Ｗ.(2)由于用第1層的樣本平均數可以估計第1層的總體平均數，用第2層的樣本平均數可以估計第2層的總體平均數.因此我們可以用eq \f(M×＋N×,M＋N)＝＋估計總體平均數.(3)在比例分配的分層隨機抽樣中，＝＝，可得＋＝＋＝.因此，在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數估計總體平均數.8．進行分層隨機抽樣的相關計算時，常用到的2個關系(1)＝；(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比．(3)樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系為：＝＋＝＋.
9．獲取數據的基本途徑獲取數據的基本途徑適用類型注意問題通過調查獲取數據對于有限總體問題，我們一般通過抽樣調查或普查的方法獲取數據要充分有效地利用背景信息選擇或創建更好的抽樣方法，并有效避免抽樣過程中的人為錯誤通過試驗獲取數據沒有現存的數據可以查詢嚴格控制試驗環境，通過精心的設計安排試驗，以提高數據質量通過觀察獲取數據自然現象要通過長久的持續觀察獲取數據通過查詢獲得數據眾多專家研究過，其收集的數據有所存儲必須根據問題背景知識“清洗”數據，去偽存真
簡單隨機抽樣的概念 【例1】(1)從52名學生中選取5名學生參加數學競賽，若采用簡單隨機抽樣抽取，則每人入選的可能性(　　)A．都相等，且為　　 B．都相等，且為C．都相等，且為 D．都不相等(2)對于簡單隨機抽樣，下列說法中正確的命題為(　　)①它要求被抽取樣本的總體的個數有限，以便對其中各個個體被抽取的概率進行分析；②它是從總體中逐個地進行抽取，以便在抽樣實踐中進行操作；③它是一種不放回抽樣；④它是一種等可能抽樣，不僅每次從總體中抽取一個個體時，各個個體被抽取的可能性相等，而且在整個抽樣過程中，各個個體被抽取的可能性也相等，從而保證了這種方法抽樣的公平性．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
抽簽法及隨機數法的應用 【例2】(1)下列抽樣實驗中，適合用抽簽法的是(　　)A．從某廠生產的3 000件產品中抽取600件進行質量檢驗B．從某廠生產的兩箱(每箱15件)產品中抽取6件進行質量檢驗C．從甲、乙兩廠生產的兩箱(每箱15件)產品中抽取6件進行質量檢驗D．從某廠生產的3 000件產品中抽取10件進行質量檢驗(2)假設要考察某公司生產的500克袋裝牛奶的三聚氰胺是否超標，現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000,001，…，799進行編號，如果從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀，則得到的第4個樣本個體的編號是________．(下面摘取了隨機數表第7行至第9行)84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 7663 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 7933 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
用樣本均值估計總體均值 【例3】從有400人參加的某項運動的達標測試中，通過簡單隨機抽樣抽取50人的成績統計成如下表格，則這400人成績的平均數的估計值是________．分數54321人數5152055
對分層隨機抽樣概念的理解 【例4】(1)某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽取20人，則下列方法最合適的是(　　)A．抽簽法 B．隨機數法C．簡單隨機抽樣法 D．分層隨機抽樣法(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進行(　　)A．每層等可能抽樣 B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣 D．所有層抽取的個體數量相同
分層隨機抽樣中的計算問題 【例5】(1)一支田徑隊有男、女運動員98人，其中男運動員有56人．按男、女比例用分層隨機抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取女運動員的人數是 ．(2)某單位共有老、中、青年職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數是老年職工人數的2倍，為了解職工身體狀況，現采用分層隨機抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工的人數為　　　　20．某高中學校為了促進學生個體的全面發展，針對學生發展要求，開設了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參加這兩個社團的學生共有800人，按照要求每人只能參加一個社團，各年級參加社團的人數情況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的，為了了解學生對兩個社團活動的滿意程度，從中抽取一個50人的樣本進行調查，則從高二年級“剪紙”社團的學生中應抽取　　　　人.
分層隨機抽樣中的平均數 【例6】(1)分層隨機抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數為8，則該樣本的平均數為 ．(2)某校有初中、高中兩個部門，其中初中有學生850人，高中有學生650人，小軍想要進行一個視力調查，對學校按部門進行按比例分配分層隨機抽樣，得到初中生、高中生平均視力分別為1.0，0.8，其中樣本量為60，則在初中部抽取 人，高中部各抽取 人，整個學校平均視力是 .
獲取數據途徑的選擇 【例7】(1)下列數據中是通過試驗獲取的是(　　)A．2022年濟南市的降雨量B．2022年中國新生兒人口數量C．某學校2023級同學的數學期末測試成績D．某種特效中成藥的配方(2)“中國天眼”為500米口徑球面射電望遠鏡(簡稱FAST)，是具有我國自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡．建造“中國天眼”的目的是(　　)A．通過調查獲取數據 B．通過試驗獲取數據C．通過觀察獲取數據 D．通過查詢獲得數據(3)下列調查工作適合采用普查的是(　　)A．環保部門對淮河水域的水污染情況的調查B．電視臺對某電視節目收視率的調查C．質檢部門對各廠家生產的電池使用壽命的調查D．企業在給職工做工作服前進行的尺寸大小的調查
課后作業
一、基礎訓練題
1．使用簡單隨機抽樣從1 000件產品中抽出50件進行某項檢查，合適的抽樣方法是(　　)
A．抽簽法 B．隨機數法
C．隨機抽樣法 D．以上都不對
2．某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生的作業負擔情況，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是(　　)
A．抽簽法 B．簡單隨機抽樣
C．分層隨機抽樣 D．隨機數法
3．下面問題可以用普查的方式進行調查的是(　　)
A．檢驗一批鋼材的抗拉強度 B．檢驗海水中微生物的含量
C．調查某小組10名成員的業余愛好 D．檢驗一批汽車的使用壽命
4．用簡單隨機抽樣方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分別是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
5．某校為了解學生的課外閱讀情況，通過簡單隨機抽樣抽取了40名學生，對他們一周的讀書時間進行了統計，統計數據如下：
讀書時間(小時) 7 8 9 10 11
學生人數 6 10 9 8 7
則該校學生一周讀書時間的平均數(　　)
A．一定為9小時 B．高于9小時
C．低于9小時 D．約為9小時
6．某學校高一年級有300名男生，200名女生，通過分層隨機抽樣的方法調查數學考試成績，抽取總樣本量為50，男生平均成績為120分，女生平均成績為110分，那么可以推測高一年級學生的數學平均成績約為(　　)
A．110分 B．115分
C．116分 D．120分
7．“互聯網＋”時代，全民閱讀的內涵已然多元化，某校為了解高中學生的閱讀情況，從該校1 800名高一學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為200的樣本進行調查，其中女生有88人．則該校高一男生共有(　　)
A．1 098人 B．1 008人
C．1 000人 D．918人
8．(多選題)某高中3 000名學生均已接種某疫苗，現按照高一、高二、高三學生人數的比例用分層隨機抽樣方法，抽取一個容量為150的樣本，并調查他們接種疫苗的情況，所得數據如表：
高一 高二 高三
只接種第一、二劑疫苗人數 50 44 45
接種第一、二、三劑疫苗人數 0 1 10
則下列判斷正確的是(　　)
A．該校高一、高二、高三的學生人數比為10∶9∶11
B．該校高三學生的人數比高一人數多50
C．估計該校高三接種第三劑疫苗的人數為200
D．估計該校學生中第三劑疫苗的接種率不足8%
9．(多選題)在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要按照各人持錢多少的比例進行交稅，三人各應付多少稅？則下列說法正確的是(　　)
A．甲應付51 錢 B．乙應付32錢
C．丙應付16錢 D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少
10．一個總體共有60個個體，個體的編號為00,01,02，…，59，現從中抽取一個容量為10的樣本，請從隨機數表的第8行第11列的數字開始，向右讀，到最后一列后再從下一行左邊開始繼續向右讀，依次獲取樣本號碼，直到取滿樣本為止，則獲得的第4個樣本個體的編號是________．
附表：(第8行～第10行)
63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79(第8行)
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54(第9行)
57 60 86 32 44　09 47 27 96 54　49 17 46 09 62　90 52 84 77 27　08 02 73 43 28(第10行)
11．某中學高一年級有400人，高二年級有320人，高三年級有280人，若每人被抽到的可能性都為0.2，用隨機數法在該中學抽取容量為n的樣本，則n等于________．
12．某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n等于________．
13．某工廠抽取50個機械零件檢驗其直徑大小，得到如下數據：
直徑(單位：cm) 12 13 14
頻數 12 34 4
估計這50個零件的直徑大約為________ cm.
14．某分層隨機抽樣中，有關數據如下：
樣本量 平均數
第1層 45 3
第2層 35 4
此樣本的平均數為________．
15．高一和高二兩個年級的同學參加了數學競賽，高一年級有450人，高二年級有350人，通過分層隨機抽樣的方法抽取了160個樣本，得到兩年級的競賽成績的平均分別為80分和90分，則
(1)高一、高二抽取的樣本量分別為________．
(2)高一和高二數學競賽的平均分約為________分．
16．下列試驗適合用抽樣調查方法獲取數據的序號是________．
①考察一片草皮的平均高度；
②檢查某食品單位職工的身體狀況；
③考察參加某次考試的3萬考生的數學答題情況；
④檢驗一個人的血液中白細胞的含量是否正常．
9.1　隨機抽樣
參考答案
1、【答案】B　
【解析】由于總體相對較大，樣本容量較小，故采用隨機數法較為合適．
2、【答案】C
【解析】根據年級不同產生差異及按人數比例抽取易知應為分層隨機抽樣．
3、【答案】C
【解析】A不能用普查的方式調查，因為這種試驗具有破壞性；B用普查的方式無法完成；
C可以用普查的方式進行調查；D該試驗具有破壞性，且需要耗費大量的時間，
在實際生產中無法實現．
4、【答案】A　
【解析】根據簡單隨機抽樣的定義知選A.
5、【答案】D　
【解析】由題目所給數據可知平均數為＝9(小時)，
用樣本平均數估計總體平均數，故該校學生一周讀書時間的平均數約為9小時．]
6、【答案】C　
【解析】由題意可得抽取的50人中，男生為30人，女生為20人，
所以樣本平均數＝×120＋×110＝116，
所以可以估計高一年級學生的數學平均成績為116分．
7、【答案】B　
【解析】設該校高一男生有x人．
法一：由題意可得＝，求得x＝1 008，故選B.
法二：＝，求得x＝1 008，故選B.
8、【答案】ACD　
【解析】由表可知，該校高一、高二、高三的學生人數比為50∶45∶55，
即10∶9∶11，A正確；高三學生人數為3 000×＝1 100人，
高一學生人數為3 000×＝1 000人，
故高三學生的人數比高一人數多1 100－1 000＝100人，故B錯誤；
高三接種第三劑疫苗的人數約為3 000×＝200人，C正確；
該校學生中第三劑疫苗的接種率約為≈7.33%，故D正確．
9、【答案】ACD　
【解析】依題意由分層隨機抽樣可知，＝，則甲應付×560＝51(錢)；
乙應付×350＝32(錢)；丙應付×180＝16(錢)．
10、【答案】50
【解析】第8行第11列的數字為1，由此開始，依次抽取號碼，第一個號碼為16，可取出；
第二個號碼為95>59，舍去，按照這個規則抽取號碼，
抽取的10個樣本號碼為16,55,19,10,50,12,58,07,44,39.
11、【答案】200　
【解析】由題意可知：＝0.2，解得n＝200.
12、【答案】13　
【解析】∵＝，∴n＝13.
13、【答案】12.84　
【解析】＝＝12.84 cm.
14、【答案】3.437 5　
【解析】＝×3＋×4＝3.437 5.
15、【答案】(1)90，70　(2)84.375　
【解析】(1)由題意可得高一年級抽取的樣本量為×160＝90，
高二年級抽取的樣本量為×160＝70.
(2)高一和高二數學競賽的平均分約為＝×80＋×90＝84.375分．
16、【答案】①③④　
【解析】①該問題用普查的方法很難實現，適合用抽樣調查的方法獲取數據；
②體檢，必須了解每個職工的身體狀況，不適合用抽樣調查的方法獲取數據；
③3萬考生的答題情況用普查的方法獲取數據不合適，適合用抽樣調查的方法獲取數據；
④該問題只能用抽樣調查的方法獲取數據．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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