資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
10.1.3 古典概型
班級 姓名
學習目標
1．結合具體實例，理解古典概型．
2．能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1、概率對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2、古典概型的定義試驗具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有 個；(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性 ．將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．3、古典概型的概率計算公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝ ＝ ．其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．【即時訓練1】(1)思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)①在區間[0，10]上任取一個數的試驗是古典概型． (　　)②任何一個事件都是一個樣本點． (　　)③古典概型中每一個樣本點出現的可能性相等． (　　)④古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的． (　　)(2)若書架上數學、物理、化學書的數量分別是5本、3本、2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為________．
古典概型的判斷 【例1】下列是古典概型的是(　　)A．任意拋擲兩枚骰子，所得點數之和作為樣本點B．求任意的一個正整數平方的個位數字是1的概率，將取出的正整數作為樣本點C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現正面為止
較簡單的古典概型問題 【例2】某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．【變式】(1)定義：abcde＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e，當五位數abcde滿足ad>e時，稱這個五位數為“凸數”．由1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的五位數共120個，從中任意抽取一個，則其恰好為“凸數”的概率為 (2)某城市有8個商場A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如圖所示的格局，其中每個小方格為正方形，某人從網格中隨機地選擇一條最短路徑，欲從商場A前往商場H，則他經過市中心O的概率為 ．
“放回”與“不放回”問題 【例3】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的3件產品中，按先后順序任意取出兩件產品，每次取出后不放回，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率．
課后作業
一、基礎訓練題
1．一部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則第一冊和第二冊相鄰的概率為(　　)
A．　　 　B．　　 　C．　 　　D．
2．某天放學后，教室里還剩下2位男同學和2位女同學．若他們隨機依次走出教室，則第2位走出的是男同學的概率是(　　)
A． B． C． D．
3．某學校美術室收藏有4幅國畫，其中山水畫、花鳥畫各2幅，現從中隨機抽取2幅進行展覽，則恰好抽到2幅不同種類的國畫的概率為(　　)
A． B． C． D．
4．圖1和圖2中所有的正方形都全等，圖1中的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的概率是(　　)
A． B． C． D．1
5．《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事．“田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．”雙方從各自的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(　　)
A． B． C． D．
6．《易經》是中國傳統文化中的精髓，如圖是易經八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成( INCLUDEPICTURE "線1+.tif" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1+.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\馮成穩制作\\0701\\Word\\線1+.tif" \* MERGEFORMATINET 表示一根陽線， INCLUDEPICTURE "線1.tif" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\馮成穩制作\\0701\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "線1.tif" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\馮成穩制作\\0701\\Word\\線1.tif" \* MERGEFORMATINET 表示一根陰線)，從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為(　　)
A． B． C． D．
7．(多選)一個袋子中裝有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件產品，其中結論正確的是(　　)
A．任取2件，則取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件，不放回地抽取兩次，樣本點總數為16
C．每次抽取1件，不放回地抽取兩次，則取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件，有放回地抽取兩次，樣本點總數為16
8．(多選題)已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A和B，其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，那么下列事件概率正確的是(　　)
A．P(AB)＝ B．P(A∪B)＝ C．P(B)＝ D．P()＝
9．從1，2，3，4四個數中，有放回地選取兩個數，其中一個數是另一個數的2倍的概率是________．
10．(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為________．
11．在國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機排定的，則B先于A，C通過的概率為________．
12．一個盒子里裝有完全相同的十個小球，分別標上1，2，3，…，10這10個數字，現隨機地抽取兩個小球，如果：
(1)抽取是不放回的；
(2)抽取是有放回的．
分別求兩個小球上的數字為相鄰整數的概率．
13．某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數．設兩次記錄的數分別為x，y.獎勵規則如下：
①若xy≤3，則獎勵玩具一個；
②若xy≥8，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶．
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．
(1)求小亮獲得玩具的概率；
(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．
10.1.3 古典概型
參考答案
1、【答案】C　
【解析】設一部三冊的小說為1，2，3，所以試驗的樣本空間Ω＝ {(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6個樣本點，事件“第一冊和第二冊相鄰”包含4個樣本點，故第一冊和第二冊相鄰的概率為P＝＝.
【答案】A
【解析】法一：2位男同學和2位女同學走出教室的所有可能順序為(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6種，所以第2位走出的是男同學的概率P＝＝.
法二：只考慮第二位同學，出來男生或是女生是等可能的，故概率為.
3、【答案】D　
【解析】設2幅山水畫為A1，A2，2幅花鳥畫為B1，B2，從中隨機抽取2幅所包含的樣本點為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6個，滿足條件的樣本點有4個，故P＝＝.
4、【答案】A
【解析】由題意，可得樣本點的總數為n＝4，
又由題圖1中的正方形放在題圖2中的①處時，所組成的圖形不能圍成正方體；
題圖1中的正方形放在題圖2中的②③④處的某一位置時，所組成的圖形能圍成正方體，
所以將題圖1中的正方形放在題圖2中的①②③④的某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的概率為P＝.
5、【答案】A　
【解析】設齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，田忌的上、中、下三個等次的馬分別記為A，B，C，從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽的所有的可能為Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根據題意，其中Ab，Ac，Bc是田忌獲勝，則田忌獲勝的概率為＝.
6、【答案】C　
【解析】從八卦中任取一卦，基本事件總數n＝8，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線包含的基本事件個數m＝3，∴所求概率為P＝.
7、【答案】ACD　
【解析】記4件產品分別為1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相等，“恰有一件次品”的樣本點為(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正確；在B中，每次抽取1件，不放回地抽取兩次，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B錯誤；在C中，“取出的兩件中恰有一件次品”的樣本點數為6，其概率為，C正確；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取兩次，樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正確．
8、【答案】ABC
【解析】對于選項A：n(AB)＝n(A)＋n(B)－n(A∪B)＝6＋4－8＝2，
所以P(AB)＝＝＝，故A正確；
對于選項B：P(A∪B)＝＝＝，故B正確；
對于選項C：n(B)＝＝＝，故C正確；
對于選項D：n()＝＝＝，故D錯誤．
9、【答案】　
【解析】用列舉法知，有放回地選取兩個數共有16個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相等，其中一個數是另一個數的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4個樣本點，
故所求的概率為＝.
10、【答案】　
【解析】甲、乙等5名同學分別標記為a1，a2，a3，a4，a5，其中甲標記為a1，乙標記為a2.從中隨機選3名參加社區服務工作的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，{a2，a3，a4}，{a2，a3，a5}，{a3，a4，a5}，{a1，a3，a4}，{a1，a3，a5}，{a2，a4，a5}，{a1，a4，a5}，共計10種．甲、乙都入選的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，共計3種，故所求概率P＝.
11、【答案】　
【解析】用(A，B，C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則試驗的樣本空間Ω＝ {(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6個樣本點，其中事件B先于A，C通過的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2個樣本點，故所求概率P＝＝.
12、[解]　設事件A：兩個小球上的數字為相鄰整數．
則事件A包括的樣本點有(1，2),(2，3),(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18個．
(1)不放回取球時，總的樣本點數為90，故P(A)＝＝.
(2)有放回取球時，總的樣本點數為100，故P(A)＝＝.
所抽取2人的評分都在[40，50)內包含的樣本點有1個，即(B1，B2)，故所求的概率為.
13、[解]　用數對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數，
則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應．
S＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}，所以樣本點總數n＝16.
(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點個數共5個，
即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．
所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為.
(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.
則事件B包含的樣本點共6個，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的樣本點共5個，即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
所以P(C)＝.因為＞，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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