資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
10.2　事件的相互獨立性
班級 姓名
學習目標
1．結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義．
2．結合古典概型，利用獨立性計算概率．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 事件的相互獨立性1．相互獨立事件的定義對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝ 成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．2．相互獨立事件的性質當事件A，B相互獨立時，則事件A與事件相互獨立，事件與事件B相互獨立，事件與事件相互獨立．【即時訓練1】(1)思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)①不可能事件與任何一個事件相互獨立． (　　)②必然事件與任何一個事件相互獨立． (　　)③若兩個事件互斥，則這兩個事件相互獨立． (　　)(2)已知A，B是相互獨立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P(A)＝________；P()＝________．
獨立性的判斷 【例1】一個家庭中有若干小孩，假定生男孩與生女孩是等可能的，設A＝“一個家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一個家庭中最多有一個女孩”，對下述兩種情形，討論事件A與B的獨立性：(1)家庭中有兩個小孩；(2)家庭中有三個小孩．【變式1】(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則(　　)A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
相互獨立事件概率的計算 【例2】甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，，，且各自能否被選中互不影響．求：(1)3人同時被選中的概率； (2)3人中恰有1人被選中的概率．【變式2】甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：(1)兩個人都譯出密碼的概率； (2)兩個人都譯不出密碼的概率；(3)恰有一個人譯出密碼的概率； (4)至多一個人譯出密碼的概率；(5)至少一個人譯出密碼的概率．
相互獨立事件的概率的綜合應用 【例3】三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將它們中的兩個元件T2，T3并聯后再和第三個元件T1串聯接入電路，如圖所示，求電路不發生故障的概率． INCLUDEPICTURE "TBXX23-832.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\丁秀平\\人A數學必修第二冊\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\馮成穩制作\\0701\\Word\\TBXX23-832.TIF" \* MERGEFORMATINET 【變式3】甲、乙二人進行一次圍棋比賽，一共賽5局，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求再賽2局結束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．
課后作業
一、基礎訓練題
1．從應屆高中生中選飛行員，已知這批學生體形合格的概率為，視力合格的概率為，其他綜合標準合格的概率為，從中任選一學生，則三項均合格的概率為(假設三項標準互不影響)(　　)
A．　 B．　 C．　 　　　 　　D．
2．壇子中放有3個白球，2個黑球，從中進行不放回地取球兩次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，則A1和A2是(　　)
A．互斥事件　　　 B．相互獨立事件 C．對立事件 D．不相互獨立的事件
3．一件產品要經過2道獨立的加工程序，第一道工序的次品率為a，第二道工序的次品率為b，則產品的正品率為(　　)
A．1－a－b B．1－ab C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
4．某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別是，則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為(　　)
A． B． C． D．
5．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，則下列關于事件A與B關系的判斷，正確的是(　　)
A．事件A與B互斥 B．事件A與B相互對立
C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B互斥且相互獨立
6．設兩個獨立事件A和B都不發生的概率為，A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同，則事件A發生的概率P(A)是(　　)
A． B． C． D．
7．(多選題)從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋中各摸出一個球，下列結論正確的是(　　)
A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球不都是紅球的概率為
C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球中恰有1個紅球的概率為
8．(多選題)甲、乙兩隊進行排球比賽，采取五局三勝制(當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束)．根據前期比賽成績可知在每一局比賽中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為.若前兩局中乙隊以2∶0領先，則下列結論正確的是(　　)
A．甲隊獲勝的概率為 B．乙隊以3∶0獲勝的概率為
C．乙隊以3∶1獲勝的概率為 D．乙隊以3∶2獲勝的概率為
9．設某批電子手表的正品率為，次品率為，現對該批電子手表進行檢測，每次抽取一個電子手表，假設每次檢測相互獨立，則第3次首次檢測到次品的概率為________．
10．同學甲參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規則規定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分．假設同學甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5，且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學甲得分不低于300分的概率是________．
11．在一次三人象棋對抗賽中，甲勝乙的概率為0.4，乙勝丙的概率為0.5，丙勝甲的概率為0.6，比賽順序如下：第一局，甲對乙；第二局，第一局勝者對丙；第三局，第二局勝者對第一局敗者；第四局，第三局勝者對第二局敗者，則乙連勝四局的概率為________．
12．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉)，而且沿逆時針方向跳的概率是沿順時針方向跳的概率的2倍，如圖所示．假設現在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是________．
13．計算機考試分理論考試與實際操作考試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發合格證書．
甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為在實際操作考試中“合格”的概率依次為甲、乙、丙每部分考試是否合格互不影響，且三人兩部分考試結果也互不影響．
(1)假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性更大？
(2)這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率．
14．在某校運動會中，甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽(即每兩隊比賽一場)，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局．在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.
(1)求甲隊獲第一名且丙隊獲第二名的概率；(2)求在該次比賽中甲隊至少得3分的概率．
二、綜合訓練題
15．一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F為6個開關，其閉合的概率都是，且是否閉合是相互獨立的，則燈亮的概率是(　　)
A． B．
C． D．
10.2　事件的相互獨立性
參考答案
1、【答案】B　
【解析】由題意知三項標準互不影響，∴P＝××＝.
2、【答案】D
【解析】因為P(A1)＝，若A1發生了，P(A2)＝＝；若A1不發生，P(A2)＝，
所以A1發生的結果對A2發生的結果有影響，所以A1與A2不是相互獨立事件．
3、【答案】C　
【解析】因為2道工序相互獨立，所以產品的正品率為(1－a)(1－b)．
錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，故D錯誤．
4、【答案】D　
【解析】設汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事件A，B，C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停車一次即為事件，
故概率為P＝××＋××＋××＝.
5、【答案】C　
【解析】因為P(A)＝1－P()＝1－＝，而P(B)＝，所以P(A)P(B)＝.
又因為P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立．
6、【答案】D
【解析】由題意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．設P(A)＝x，P(B)＝y，
則即∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝.
7、【答案】ACD　
【解析】設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件A1，“從乙袋中摸出一個紅球”為事件A2，則P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互獨立. 2個球都是紅球為A1A2，其概率為×＝，A正確； “2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為，B錯誤； 2個球中至少有1個紅球的概率為1－P()＝1－×＝，C正確； 2個球中恰有1個紅球的概率為×＋×＝，D正確．故選ACD.]
8、【答案】AB　
【解析】對于A，在乙隊以2∶0領先的前提下，若甲隊獲勝則第三、四、五局均為甲隊取勝，所以甲隊獲勝的概率為P1＝＝，故A正確；
對于B，乙隊以3∶0獲勝，即第三局乙獲勝，概率為，故B正確；
對于C，乙隊以3∶1獲勝，即第三局甲獲勝，第四局乙獲勝，概率為×＝，故C錯誤；
對于D，若乙隊以3∶2獲勝，則第五局為乙隊取勝，第三、四局乙隊輸，
所以乙隊以3∶2獲勝的概率為××＝，故D錯誤．
9、【答案】　
【解析】因為第3次首次檢測到次品，所以第1次和第2次檢測到的都是正品，第3次檢測到的是次品，所以第3次首次檢測到次品的概率為××＝.
10、【答案】0.46
【解析】設“同學甲答對第i個題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，
且A1，A2，A3相互獨立，同學甲得分不低于300分對應于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3發生，
故所求概率為P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)·P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
11、【答案】0.09　
【解析】乙連勝四局，即乙先勝甲，然后勝丙，接著再勝甲，最后再勝丙，
∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
12、【答案】　
【解析】由題意知，青蛙沿逆時針方向跳的概率是，沿順時針方向跳的概率是.
青蛙跳三次要回到A葉上只有兩條途徑：第一條，按A→B→C→A，
此時停在A葉上的概率P1＝××＝；第二條，按A→C→B→A，
此時停在A葉上的概率P2＝××＝.
所以跳三次之后停在A葉上的概率P＝P1＋P2＝＋＝.
13、[解]　(1)記事件A＝“甲獲得合格證書”，事件B＝“乙獲得合格證書”，事件C＝“丙獲得合格證書”，則P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝.
因為P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙獲得合格證書的可能性更大．
(2)設事件D＝“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”，
則P(D)＝P(ABBC)
＝××＋××＋××＝，
即甲、乙、丙三人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得合格證書的概率為.
14、[解]　(1)設甲隊獲第一名且丙隊獲第二名為事件A，則P(A)＝××＝.
(2)甲隊至少得3分有兩種情況：兩場只勝一場；兩場都勝．設事件B為“甲兩場只勝一場”，設事件C為“甲兩場都勝”，則事件“甲隊至少得3分”為B∪C，
則P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝.
15、【答案】A　
【解析】設事件G＝“C閉合”，事件H＝“D閉合”，事件T＝“A與B中至少有一個不閉合”，事件R＝“E與F中至少有一個不閉合”，則P(G)＝P(H)＝，P(T)＝P(R)＝1－×＝，
所以燈亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()＝.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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