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初高暑假銜接第2講 集合間的基本關系（含答案）
你能發現下面這兩個集合之間的關系么？
，
子集：一般地，對于兩個集合，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，就稱集合是集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（反面：與）
我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為圖（如下圖所示）:
集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，則集合和集合中的元素是一樣的，因此集合與集合相等，記作.
真子集：若集合，但存在元素，且，就稱集合是集合的真子集，記作 （或 ），讀作“真包含于”（或“真包含”）.
空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.
規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
用適當的符號填空：
①0 ； ② ； ③ ； ④ ；⑤0 ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
下列表述正確的是（ ）
A. B. C. D.
寫出下列集合的所有子集：
；
；
；
.
結論：若一個集合包含個元素，則其子集數為 個，其真子集數為 個.
已知集合滿足，寫出集合的所有可能情況.
已知集合，，試用列舉法寫出集合，并指出與的關系；
已知集合，，試用列舉法寫出集合，并指出與，與的關系.
若集合，，是的真子集，求的值.
（2）設集合，，若，求實數的取值范圍.
己知集合，，且，則實數的取值范圍為________.
已知集合，，且，則實數的取值范圍為__________.
已知集合，，且，則實數的取值范圍為__________.
跟蹤訓練
已知集合，，則使成立的實數的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
對于集合，“”不成立的含義是（ ）
A.是的子集 B.中的元素都不是的元素
C.中最少有一個元素不屬于 D.中至少有一個元素不屬于
若集合中只有一個元素，則實數（ ）
A. B. C.0 D.0或
集合的真子集個數為__________.
設集合，，若，則實數的取值范圍__________.
設集合，，若，求實數的值.
已知集合，，若,求實數的取值范圍.
集合，，則下列關系中，正確的是（ ）
A. B. C. D.無法確定兩者關系
已知，，則下列關系中，正確的是（ ）
A. B. C. D.無法確定兩者關系
設是整數集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個.
已知集合，.若且 ，試求實數的值.
第2講 集合間的基本關系答案
你能發現下面這兩個集合之間的關系么？
，
子集：一般地，對于兩個集合，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，就稱集合是集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（反面：與）
我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為圖（如下圖所示）:
集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，則集合和集合中的元素是一樣的，因此集合與集合相等，記作.
真子集：若集合，但存在元素，且，就稱集合是集合的真子集，記作 （或 ），讀作“真包含于”（或“真包含”）.
空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.
規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
用適當的符號填空：
①0 ； ② ； ③ ； ④ ；⑤0 ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
【解析】元素與集合間的關系分為“屬于”與“不屬于”兩種，集合間的關系分為“包含于”與“相等”兩種.
下列表述正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】空集是任何集合的子集，所以A、D錯誤，B正確；集合之間不存在“屬于”關系，C錯誤.
寫出下列集合的所有子集：
；
；
；
.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
結論：若一個集合包含個元素，則其子集數為 個，其真子集數為 個.
【答案】.
已知集合滿足，寫出集合的所有可能情況.
【答案】.
已知集合，，試用列舉法寫出集合，并指出與的關系；
已知集合，，試用列舉法寫出集合，并指出與，與的關系.
【答案】（1），；（2），且，.
【解析】（1）由于中的元素都是中的元素，所以，；
由于中的元素是且，所以中的元素是集合，并且是的子集，所以.，因為是中的元素；同時，因為空集是任何集合的子集.是中的元素，所以.
若集合，，是的真子集，求的值.
（2）設集合，，若，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）， ，的解為或2或無解.
當的解為時，由得；
當的解為2時，由得；當無解時，.
綜上所述，；
，，或 .
當，即時，則，0是方程的兩根，
由韋達定理得，解得；
當 時，分兩種情況：
①若，則，解得；
②若，則方程有兩個相等的實數根，，解得，此時，滿足題意.
綜上所述，的取值范圍為.
己知集合，，且，則實數的取值范圍為________.
已知集合，，且，則實數的取值范圍為__________.
已知集合，，且，則實數的取值范圍為__________.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由已知條件得，解得，所以的取值范圍為；
（2）由已知條件得，解得，所以的取值范圍為；
（3），，且，
當時，，解得；當時，無解；
綜上所述，的取值范圍為.
跟蹤訓練
已知集合，，則使成立的實數的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】由已知條件得，解得，故選C.
對于集合，“”不成立的含義是（ ）
A.是的子集 B.中的元素都不是的元素
C.中最少有一個元素不屬于 D.中至少有一個元素不屬于
【答案】C
【解析】“”成立的含義是集合中的任何一個元素都是的元素，不成立的含義是中至少有一個元素不屬于.
若集合中只有一個元素，則實數（ ）
A. B. C.0 D.0或
【答案】D
【解析】依題意方程只有一個解，
當時，方程為，只有一個解，滿足題意；當時，則，.
綜上所述，，故選D.
集合的真子集個數為__________.
【答案】7
【解析】，所以其真子集個數為7.
設集合，，若，則實數的取值范圍__________.【答案】
設集合，，若，求實數的值.
【答案】或0
【解析】依題意或，
當時，解得或2；當時，解得或2，
，且，或0.
已知集合，，若,求實數的取值范圍.
【答案】.
【解析】，，且，
當時，，解得；當時，，解得，
綜上所述，的取值范圍為.
集合，，則下列關系中，正確的是（ ）
A. B. C. D.無法確定兩者關系
【答案】A
【解析】，
，所以 ，選A.
已知，，則下列關系中，正確的是（ ）
A. B. C. D.無法確定兩者關系
【答案】B
【解析】若，則，
當時，；當時，，所以.
若，則，
當時，，所以；當時，，所以，所以.綜上所述，，故選B.
設是整數集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個.
【答案】7
【解析】依題意可知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，不含“孤立元”說明中的三個數必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，共7個.
已知集合，.若且 ，試求實數的值.
【答案】或.
【解析】，且 ，或.
當時，，解得；當時，，解得.
綜上所述，或.
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