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1.3 動量守恒定律
復習回顧：
1、如何利用牛頓第二定律推導動量定理?
2、什么是沖量？沖量是矢量還是標量，是過程量還是狀態量？直接利用公式I=Ft計算沖量時應該注意什么？
3、求解沖量的方法？
4、什么是動量定理？
5、會用動量定理解釋一些生活中的現象？
6、如何利用動量定理解決流體類問題？
m1
m2
v1
在第一節中我們通過三個案例驗證了碰撞前后動量是不變的是守恒的！那么是不是只要碰撞前后動量就守恒呢？如果不是碰撞前后動量守恒又需要什么條件呢？這就是本節我們需要解決的問題。
創設物理情景
兩個小球在光滑水平面上做勻速運動，質量分別是m1和m2，沿著同一直線向相同的方向運動，速度分別是v1和v2，且v1>v2，經過一段時間后，m1追上了m2，兩球發生碰撞，碰撞后仍然在同一直線上，速度分別是v1′和v2′,問：
P1=m1v1
P2=m2v2
P= m1v1+ m2v2
v1
v2
①碰撞前的動量
②碰撞后的動量
V ’1
V ’2
P ’2=m2v ’2
P’= m1v ’1+ m2v ’2
P ’1=m1v ’1
碰撞時受力分析
G1
N1
F21
G2
N2
F12
m1和m2各自受到重力（G），支持力（N）和相互作用力。F21：2號球對1號球的作用力，F12:1號球對2號球的作用力。其中重力和支持力之和為零，這樣只剩下F21和F12了，且這兩個力的作用時間相等。
①
②
對1號球用動量定理：
F21t1= m1v’1- m1v1= P’1- P1
對2號球用動量定理：
F12t2= m2v’2 -m2v2= P’2- P2
根據牛頓第三定律：
F12=-F21；且t1=t2
F12t2= -F21t1
m1v’1- m1v1=-(m2v’2 -m2v2)
P’1- P1=-(P’2- P2)
即
m1v’1+ m2v’2= m1v1+ m2v2
P’1+ P’2= P1+ P2
P’=P
結論：
一、系統、內力與外力
(1)系統：兩個(或多個)相互作用的物體構成的整體叫作一個力學系統，簡稱系統。
(2)內力：系統中物體間的作用力。
引入了這三個概念后，我們就可以對剛才兩個小球碰撞情況進行分析了。
(3)外力：系統以外的物體施加給系統內物體的力。
1
v1
2
v2
v1/
v2/
1
2
F
F
即系統內的內力必然不影響系統總的動量，
若系統受到的合外力為零，
則系統的總動量守恒
若外力的矢量和不為零，
則系統的總動量必然改變
（1）內容：如果一個系統不受外力，或者所受外力矢量和為零，這個系統的總動量保持不變，這就是動量守恒定律。
（2）表達式：
（3）理解：
①矢量性:規定正方向
②相對性：
v相對同一個參考系
③同時性：
針對作用前后的同一時刻
二、動量守恒定律
（4）動量守恒的條件:
①理想條件：系統不受外力。
②實際條件：系統受合外力為零。
③近似條件：系統內力遠大于外力，即外力可以忽略。例如在兩物體碰撞，炮彈、火箭等突然炸裂過程等可用動量守恒來解釋。
④單向條件：系統在某一方向上不受外力或合外力為零，則系統在這一方向上動量守恒.
常見模型如下(地面均光滑):
(1)一個系統初、末狀態動量大小相等，即動量守恒。 (　　)
(2)水平面上兩個做勻速直線運動的物體發生碰撞瞬間，兩個物體組成的系統動量守恒。 (　　)
(3)系統動量守恒也就是系統總動量變化量始終為零。 (　　)
(4)只要系統內存在摩擦力，動量就一定不守恒。 (　　)
辨析
×
√
√
×
例1、下圖所反映的物理過程中，系統動量守恒的是(　　)
A．只有甲和乙 B．只有丙和丁
C．只有甲和丙 D．只有乙和丁
C
例2、如圖，木塊和彈簧相連放在光滑的水平面上，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊B內，入射時間極短，之后木塊將彈簧壓縮，關于子彈、木塊和彈簧組成的系統，下列說法中正確的是（ ）
A.子彈射入木塊過程中，系統動量守恒
B.子彈射入木塊過程中，系統機械能守恒
C.木塊壓縮彈簧過程中，系統動量守恒
D.木塊壓縮彈簧過程中，系統機械能守恒
AD
例3、如圖所示，小車與木箱緊挨著靜止放在光滑的水平冰面上，現有一男孩站在小車上用力向右迅速推出木箱，關于上述過程，下列說法正確的是(　　)
A．男孩和木箱組成的系統動量守恒
B．小車與木箱組成的系統動量守恒
C．男孩、小車與木箱三者組成的系統動量守恒
D．木箱的動量的變化量與男孩、小車的總動量的變化量
相同
C
例4、在列車編組站里，一輛m1為1.8×104kg的貨車在平直軌道上以v1=2m/s的速度運動，碰上一輛m2=2.2×104kg的靜止的貨車，它們碰撞后一起繼續運動。求貨車碰撞后運動的速度。
三、動量近似守恒的應用
解：沿碰撞前貨車運動的速度的方向建立坐標軸如上圖，則有v1=2m/s ，設兩車結合后的速度為v
兩車碰撞前的總動量為
p=m1v1
碰撞后的總動量為
p′=（m1+m2）v
由動量守恒定律p′=p得
m1v1=（m1+m2）v
代入數據得 v=0.9m/s
因為兩車結合后的速度為正值，所以結合后仍然沿坐標軸方向運動
四、某一方向動量守恒定律專題
M
m
v1
v2
0=
mv1+(-Mv2)
系統動量守恒嗎？
不守恒，可認為水平方向守恒
光滑水平面
某一方向上合外力為零,這一方向上動量守恒(單向條件)
常見類型
例5、一質量為M的凹型槽靜止在光滑的水平面上，其半徑為R,一小球質量為m,在凹型槽左端圓心等高處自由釋放，求小球滑到低端時，兩者的速度v1和v2？
M
R
m
0=
mv1-Mv2
解 : 以向右為正 , 由水平方向動量守恒得
由系統機械能守恒得
mgR=
????????????????????????+????????????????????????
?
得v1=
v2=
????????????????????+????
?
????????????????????????????+????
?
v1
v2
思考:系統機械能守恒嗎？
=????????????????????????????+????????
?
思考:分析討論這個系統做什么運動？
M
R
m
v1
v2
v1
L
0=
m車v1-m球v2
m球gL=
????????????車????????????+????????????球????????????
?
思考:如何求此時兩者的速度？
v2
思考:分析討論這個系統做什么運動？
M
R
m
L
0=
m車v1-m球v2
m球gL=
????????????車????????????+????????????球????????????
?
思考:如何求此時兩者的速度？
這個系統做什么運動？
結論：來回的往復運動
思考:車上的人敲車能讓車開起來嗎？
例6、一輛質量為M的小車以速率v1在光滑的水平面上運動時，恰遇一質量為m，速率為v2物體以俯角600。的速度方向落在車上并陷于車里的砂中，求此后車的速度。
600
v1
v2
v共
解：系統水平方向動量守恒：（取v2水平方向為正向）
mv2cos600+MV1
=(m+M)V共
V共=
????????????+????????????????????(????+????)
?
例7、(2023山東青島第五十八中學月考)如圖
所示,質量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上,滑塊的光滑弧面底部與水平面相切,一個質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來,小球最后未越過滑塊,則小球到達最高點時,小球和滑塊的速度大小是 (　　)
A.????????????????+????　　　　B.????????????????　　　　
C.????????????????+????　　　　D.????????????????
?
A
例8、一枚在空中飛行的火箭質量為m，在某時刻的速度大小為v，方向水平，燃料即將耗盡。此時，火箭突然炸裂成兩塊，其中質量為m1的一塊沿著與v相反的方向飛去，速度大小為v1。求炸裂后瞬間另一塊的速度v2。
解析　以炸裂前火箭速度方向為正方向，則有：
炸裂前火箭的總動量為：p＝mv
炸裂后火箭的總動量為：p′＝－m1v1＋(m－m1)v2
根據動量守恒定律有：
mv＝－m1v1＋(m－m1)v2
代入數據解得：v2＝????????+?????????????????????????????
即炸裂后瞬間另一塊運動方向與炸裂前火箭速度方向相同。
?
思考:爆炸系統機械能守恒嗎？
機械能增加：ΔE=？
爆炸現象的三個規律
動量
守恒
由于爆炸是在極短的時間內完成的,爆炸物體間的相互作用力遠遠大于受到的外力,所以在爆炸過程中,系統的總動量守恒
動能
增加
在爆炸過程中,由于有其他形式的能量(如化學能)轉化為動能,所以爆炸后系統的總動能增加
位置
不變
爆炸的時間極短,因而作用過程中,物體產生的位移很小,一般可忽略不計,可以認為爆炸后仍然從爆炸前的位置以新的動量開始運動
五、動量守恒定律的應用爆炸問題
例9、　如圖所示,木塊A、B的質量均為m,放在一段粗糙程度相同的水平地面上,木塊A、B間夾有一小塊炸藥(炸藥的質量可以忽略不計)。讓A、B以初速度v0一起從O點滑出,滑行一段距離后到達P點,速度變為?,此時炸藥爆炸使木塊A、B分離,發現木塊B立即停在原位置,木塊A繼續沿水平方向前進。已知O、P兩點間的距離為s,設炸藥爆炸時釋放的化學能全部轉化為木塊的動能,爆炸時間很短可以忽略不計,
重力加速度為g,求:
(1)木塊與水平地面間的動摩擦因數μ;
(2)炸藥爆炸時釋放的化學能。
解析????(1)從O滑到P,對A、B有-μ·2mgs=?×2m×?-?×2m?(由【1】、【3】得到),解得μ=
?。
(2)在P點爆炸時,對A、B組成的系統有2m·?=mv(由【2】、【4】得到),炸藥爆炸時釋放的
化學能E0=?mv2-?×2m×?(由【1】、【5】得到),解得E0=?m?。
答案????(1)?????(2)?m?
v0
A
B
A
B
Ff
l1
l2
Δl
VB
VA
光滑水平面
Ff
動量守恒：mAv0+0=mAvA+ mBvB
思考:板塊模型機械能守恒嗎？
思考:板塊模型在光滑的水平面上系統動量守恒嗎？
機械能減小：Q=FfΔl
=????????mAv02-(????????mAvA2+????????mBvB2)
?
相互摩擦的滑動摩擦力屬于內力，整個系統的外力即重力和支持力的和為零，所以系統動量守恒。
S
N
B
S
N
A
N2
G2
N1
G1
F吸
F吸
思考:光滑水平面上靜止的載有磁鐵的的小車呢？
相互吸引的磁力屬于內力，整個系統的外力即重力和支持力的和為零，所以系統動量守恒。
vA
vB
動量守恒：0=mAvA+mB(-vB)
0=mAvA-mBvB
思考:系統機械能守恒嗎？
機械能增加：ΔE=
(????????mAvA2+????????mBvB2)-0
?
?
六、用動量守恒定律解題的五個步驟
1.步驟
①矢量性:
②相對性：
③同時性：
④普適性：
規定正方向
v相對同一個參考系
針對作用前后的同一時刻
適合于宏觀微觀的一切領域
2.四性
v乙
例10、如圖所示，甲車的質量是2 kg，靜止在光滑水平面上，上表面光滑，右端放一個質量為1 kg的小物體.乙車質量為4 kg，以v0=5m/s的速度向左運動，與甲車碰撞以后甲車獲得8m/s的速度，物體滑到乙車上.若乙車足夠長，且上表面粗糙。（g取10 m/s2）求物塊的最后速度
解:
乙碰甲，甲乙動量守恒
m乙v0=
m甲v甲+m乙v乙
m乙v乙=
乙、物體作用動量守恒
（m乙+m物）v共
得：v共=
0.8m/s
乙
甲
v0
v甲
v共
例11、如圖所示，光滑水平軌道上放置長板A(上表面粗糙)和滑塊C，滑塊B置于A的左端，三者質量分別為mA＝2 kg，mB＝1 kg，mC＝2 kg.開始時C靜止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度勻速向右運動，A與C發生碰撞(時間極短)后C向右運動，經過一段時間，A、B再次達到共同速度一起向右運動，且恰好不再與C發生碰撞．求A與C碰撞后瞬間A的速度大小．
解:A與C碰撞動量守恒，以向右為正方向.
mAv0＝mAvA＋mCvC
mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)v共
v共＝vC
得：vA＝2 m/s.
A與B再次共速動量守恒
A
B
C
v0
vc
vA
v共
例12、如圖所示，甲、乙兩個小孩各乘一輛冰車在水平面上游戲，甲和他的冰車的質量共為M甲 =40kg，乙和他的冰車的質量也是40kg，游戲時甲推一個質量20kg的箱子，以大小為v0=1.0m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來,為避免相撞，甲將箱子推給乙，求為避免相撞，甲將箱子推出的最小速度(相對地面)?
解:
甲推箱子， 甲箱動量守恒
(m+M甲)v0=
mv物+M甲v甲
mv物+（-Mv0）
箱子撞乙， 乙箱動量守恒
=（m+M）v共
得：v物=
V甲=v共
=2.6m/s
????????+????????????+????????????????????+????????????????????
?
1.臨界問題的臨界狀態與臨界條件
臨界
狀態
從題設情景中看是否有相互作用的兩物體“相距最近”“恰好滑離”“恰好不相碰”和“物體開始反向運動”等臨界狀態
臨界
條件
臨界條件常常表現在兩物體的相對速度與相對位移上,“速度相等”是常見的臨界條件。如果題干中出現“恰好”“最大”“最近”“不脫離”“最高點”等詞語,通常是對臨界狀態給出了暗示。審題時,一定要抓住這些特定的詞語挖掘其內涵,找出臨界條件
七、動量守恒定律的應用——臨界 問題
相距
最近
如圖所示,光滑水平面上的A物體以速度v沖向靜止的
B物體,A、B兩物體相距最近時,兩物體速度必定相等,
此時彈簧最短,其壓縮量最大
如圖所示,光滑水平面上有兩個帶同種電荷的物體A、B,在A
以速度v向靜止的B靠近的過程中(設A、B不會接觸),兩者相
距最近時,速度必定相等
距離
最遠
如圖所示,物體A以速度v滑上靜止在光滑水平面上的小車B,
當A在B上滑行的距離最遠時,A、B相對靜止,二者速度必定
相等
2.兩種常見的臨界問題
例13.(2022江蘇吳縣中學期中)如圖所示,質量M=4 kg的滑板B靜止在光
滑水平面上,其右端固定一根輕質彈簧,彈簧的自由端C到滑板左端的
水平距離L=0.5 m,這段滑板與木塊A(可視為質點)之間的動摩擦因數
μ=0.2,而彈簧自由端C到彈簧固定端D所對應的滑板上表面光滑。木
塊A以速度v0=10 m/s由滑板B左端開始沿滑板B上表面向右運動。已
知木塊A的質量m=1 kg。重力加速度g取10 m/s2。(????????=9.75)求:
(1)彈簧被壓縮到最短時木塊A的速度大小;
(2)木塊A壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能;
?
解析　(1)彈簧被壓縮到最短時,木塊A與滑板B具有相同的速度,設為v,從木塊A開始沿滑板B上表面向右運動至彈簧被壓縮到最短的過程中,系統動量守恒,規定向右為正方向,有mv0=(M+m)v,得v=????????+????v0
代入數據得v=2 m/s
(2)在木塊A壓縮彈簧的過程中,彈簧被壓縮到最短時,彈簧的彈性勢能最大,由能量守恒定律得彈簧最大彈性勢能Epm=????????m????????????-????????(M+m)v2-μmgL
代入數據解得Epm=39 J

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