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初高暑假銜接 第一講 集合的概念（含答案）
一、集合的有關概念
集合的概念：一般地，我們把研究對象統稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱集.
表示方法：一般用大寫字母或大括號表示集合，用小寫字母表示集合中的元素.
集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣.
集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.
①確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在或不在這個集合就確定了.
例如：“之間的偶數”構成集合，是這個集合的元素，而就不 是它的元素；“較大的數”、“漂亮的花”不能構成集合，因為組成它的元素是不確定的.
②互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復出現.
例如：方程的解構成的集合是，而不是.
③無序性：集合中的元素沒有固定的順序，元素可以任意排列.
例如：和是同一個集合.
元素與集合的關系：（分“屬于”與“不屬于”兩種）
①如果是集合的元素，就說屬于集合，記作；
②如果不是集合的元素，就說不屬于集合，記作.
集合的分類
常見數集的寫法
數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 或
下列指定的對象能構成集合的是 .
①大于2的整數；②所有的正小數；③所有的小正數；④的近似值；⑤高一年級優秀的學生；
⑥方程的解；⑦這個數；
用“”或“”填空.
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
（1）已知三個實數構成一個集合，求應該滿足的條件.
已知集合的元素為，若且，求實數的值.
二、集合的表示
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來, 并用大括號“”括起來表示集合的方法.
說明：
①書寫時，元素與元素之間用逗號分開；
②一般不必考慮元素之間的順序；
③集合中的元素可以是數，點，代數式等；
④列舉法可表示有限集，也可以表示無限集.當元素個數比較少時用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現一定的規律性，在不發生誤解的情況下，也可以用列舉法表示；
⑤對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規律顯示清楚后方能用省略號，像自然數集用列舉法表示為.
用列舉法表示下列集合：
①小于4的正偶數組成的集合；
②絕對值小于5的所有整數的集合；
③小于6的所有自然數的集合；
④方程的所有實數根組成的集合；
⑤方程組的實數解組成的集合.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.
一般格式：，例如：.
說明：①弄清集合代表元素是數還是點、還是集合或其他形式？
例如：與是兩個不同的集合.
②只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整數集.
用描述法表示下列集合：
①由大于2小于等于26的所有奇數組成的集合；
②不等式的所有解組成的集合；
③拋物線上的點組成的集合.
設集合，且,求的值.
已知，若集合中恰有4個元素，則（ ）
B. C. D.
已知集合.
若，求的取值范圍；
若中至多一個元素，求的取值范圍.
設實數集滿足下面兩個條件：①；②若，則.
求證：若，則；
若，則在中必含有其它兩個數，試求出這兩個數；
求證：集合中至少有三個不同的元素.
跟蹤訓練
下列說法正確的個數為（ ）
①集合與集合表示同一集合；②集合與集合 不是同一集合；③集合與集合是同一個集合；④集合和集合是同一集合；⑤集合和集合是同一集合；⑥方程的解集為.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
用列舉法表示下列集合：
①；
②；
③.
用描述法表示下列集合：
①正偶數集；
②大于2的實數；
③100以內能被3整除的正整數.
已知且，則的值為（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
已知集合，那么（ ）
A. B. C. D.
給出下列說法：
①集合用列舉法表示為；②實數集可以表示為或；③方程組的解組成的集合為；
其中不正確的有 .（把所有不正確的說法的序號都填上）
若集合，則實數的取值范圍是 .
設集合是兩個非空數集，定義集合，若，，則中元素的個數為（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
定義集合運算：.設，，則集合中所有元素之和為（ ）
A.0 B.2 C.3 D.6
第一講 集合的概念（ 答案）
下列指定的對象能構成集合的是 .
①大于2的整數；②所有的正小數；③所有的小正數；④的近似值；⑤高一年級優秀的學生；⑥方程的解；⑦這個數；
【答案】①②⑥
【解析】①②⑥中指定的對象滿足集合元素的三個性質：確定性，互異性，無序性，能構成集合；③④⑤中指定的對象不滿足集合元素的確定性，⑦中指定的對象不滿足集合元素的互異性，不能構成集合.
用“”或“”填空.
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
（1）已知三個實數構成一個集合，求應該滿足的條件.
已知集合的元素為，若且，求實數的值.
【答案】（1）且；（2）.
【解析】（1）由集合元素的互異性可得：，解得且；
（2）若且，則或，解得.
集合的表示
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來, 并用大括號“”括起來表示集合的方法.
說明：
①書寫時，元素與元素之間用逗號分開；
②一般不必考慮元素之間的順序；
③集合中的元素可以是數，點，代數式等；
④列舉法可表示有限集，也可以表示無限集.當元素個數比較少時用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現一定的規律性，在不發生誤解的情況下，也可以用列舉法表示；
⑤對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規律顯示清楚后方能用省略號，像自然數集用列舉法表示為.
用列舉法表示下列集合：
①小于4的正偶數組成的集合；②絕對值小于5的所有整數的集合；
③小于6的所有自然數的集合；④方程的所有實數根組成的集合；
⑤方程組的實數解組成的集合.
【答案】①；②；③；④；⑤.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.
一般格式：，例如：.
說明：①弄清集合代表元素是數還是點、還是集合或其他形式？
例如：與是兩個不同的集合.
②只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整數集.
用描述法表示下列集合：
①由大于2小于等于26的所有奇數組成的集合；
②不等式的所有解組成的集合；
③拋物線上的點組成的集合.
【答案】①；②；③.
設集合，且,求的值.
【解析】，或，解得或.當時，中元素不滿足互異性，故舍去，所以.
已知，若集合中恰有4個元素，則（ ）
B. C. D.
【答案】B.
【解析】若集合中恰有4個元素，則這4個元素為3，4,5,6，所以.
已知集合.
若，求的取值范圍；
若中至多一個元素，求的取值范圍.
【解析】（1）若，則方程無解，所以且，解得；
（2）當時，集合中只有一個元素，滿足題意；
當時，若要使中至多一個元素，則，解得.
綜上，的取值范圍為
設實數集滿足下面兩個條件：①；②若，則.
求證：若，則；
若，則在中必含有其它兩個數，試求出這兩個數；
求證：集合中至少有三個不同的元素.
【解析】（1）證明：若，則，則，即；
（2）若，則，則；
（3）由（1）知，，.
下證：三者兩兩互不相等.
①若，則，無實數根，故；
②若，則，無實數根，故；
③若，則，無實數根，故.
綜上所述，集合中至少有三個不同的元素.
跟蹤訓練
下列說法正確的個數為（ ）
①集合與集合表示同一集合；②集合與集合 不是同一集合；③集合與集合是同一個集合；④集合和集合是同一集合；⑤集合和集合是同一集合；⑥方程的解集為.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】C
【解析】①正確，；②正確，，；③錯誤，前者是數集，后者是點集；④正確，集合元素具有無序性；⑤錯誤，兩者均表示點集，但是點的坐標不同；⑥錯誤，方程的解為，，故解集為.綜上，正確個數為3個，選C.
用列舉法表示下列集合：
①；②；③.
【答案】①；②；③.
【解析】對于①②，要使，則，對應的，①中元素為，②中元素為，所以，；③表示上的點集，只有兩個點，所以.
用描述法表示下列集合：
①正偶數集；
②大于2的實數；
③100以內能被3整除的正整數.
【答案】①；②；③.
已知且，則的值為（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
已知集合，那么（ ）
B. C. D.
【答案】A
給出下列說法：
①集合用列舉法表示為；②實數集可以表示為或；③方程組的解組成的集合為；
其中不正確的有 .（把所有不正確的說法的序號都填上）
【答案】①②③
【解析】①錯誤，；②錯誤，正確的表示為或；③方程組的解組成的集合正確的表示為或.
若集合，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】若集合，則不等式無解.
當時，原不等式無解，故符合題意；
當時，無實數解，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.
設集合是兩個非空數集，定義集合，若，，則中元素的個數為（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B【解析】根據題意，，選B.
定義集合運算：.設，，則集合中所有元素之和為（ ）
A.0 B.2 C.3 D.6
【答案】D
【解析】根據題意，，其所有元素之和為6，選D.
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