資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
初高暑假銜接 第七講 基本不等式（含答案）
基本不等式：對于任意的正實數，（當且僅當時，等號成立）
叫做正數的算術平均數，叫做正數的幾何平均數.
使用原則：
一正：一般要求同為正；
二定：或為定值；
三相等：當且僅當時，不等式取得等號.
已知矩形周長為8，則其面積最大值為多少？
已知某矩形的面積為6，則其周長最小值為多少？
已知，求的最小值；
若，有最大值還是有最小值？
已知，則的大小關系為( )
A. B. C. D.
已知，則的最大值為 ；
已知，則的最大值為 .
某同學對求最小值，書寫過程如下，請指出解法中的錯誤之處.
設，則的最小值為 .
已知，，則的最小值為 ；
已知，，則的最小值為 ；
已知，，則的最小值為 .
1、設，若，則的最小值為 ；
2、已知，，則的最小值為 .
已知，若，則的最大值為 ；
已知，若，則的最小值為 .
已知，，則的最小值為 ；
已知，，則的最小值為 .
若，則的最小值為 ；
已知，且，則的最小值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
證明下列不等式：
；
已知為正數且，求證：.
跟蹤訓練
已知，且，在下列四個數中最大的是( )
A. B. C. D.
已知，則的最小值為 .
已知點為直線第一象限上的點，則的最小值為 .
已知，當且僅當時，取得最小值，則實數 .
已知，且，則的最小值為 .
若實數滿足，則的最小值為 .
已知，，則的最小值為 .
已知，且，則的最小值為 .
已知正數滿足，那么的最小值為 .
已知，則的最大值為 .
當時，不等式的最小值為 .
已知，且，則的最小值為( )
A.3 B.4 C. D.5
已知，則的最小值為 .
某農業科研單位打算開發一個生態漁業養殖項目，準備購置一塊1800平方米的矩形地塊，中間挖三個矩形池塘養魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍（空白部分）種植桑樹，魚塘周圍的基圍寬均為2米，如圖所示，池塘所占面積為平方米，其中.
試用表示；
若要使最大，則的值分別為多少？
基本不等式 答案
基本不等式：對于任意的正實數，（當且僅當時，等號成立）
叫做正數的算術平均數，叫做正數的幾何平均數.
使用原則：
一正：一般要求同為正；
二定：或為定值；
三相等：當且僅當時，不等式取得等號.
已知矩形周長為8，則其面積最大值為多少？
已知某矩形的面積為6，則其周長最小值為多少？
【解析】（1）設矩形長和寬分別為，依題意，
則，，當且僅當時取等號，所以面積最大值為4；
依題意，則，當且僅當時取等號，
所以周長最小值為.
已知，求的最小值；
若，有最大值還是有最小值？
【解析】（1），，當且僅當，即取等號，所以的最小值為2；
（2），，，
當且僅當，即取等號，所以的最大值為.
已知，則的大小關系為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，當且僅當時取等號，即，
又，當且僅當時取等號，即，所以，選D.
已知，則的最大值為 ；
已知，則的最大值為 .
【解析】（1），，，
當且僅當，即時取等號，所以的最大值為；
（2），，
當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.
某同學對求最小值，書寫過程如下，請指出解法中的錯誤之處.
【答案】沒有考慮取等號的條件，上述不等式當且僅當，即時取等號，
而，顯然無法取等號.
設，則的最小值為 .
【解析】設，即，
則，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
已知，，則的最小值為 ；
已知，，則的最小值為 ；
已知，，則的最小值為 .
【答案】（1）8；（2）；（3）.
【解析】（1）由已知得，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8；
（2）由已知得，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為；
（3）由，得，即，
所以，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
設，若，則的最小值為 ；
已知，，則的最小值為 .
【解析】（1），，，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為；
（2），，，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
已知，若，則的最大值為 ；
已知，若，則的最小值為 .
【答案】（1）2；（2）6.
【解析】（1），，，當且僅當時取等號，
解得，所以的最大值為2.
（2），，當且僅當，即時取等號，
，，，，
所以的最小值為6.
已知，，則的最小值為 ；
已知，，則的最小值為 .
【答案】（1）；（2）4.
【解析】（1），，，當且僅當，即時取等號，，
，，所以的最小值為.
（2），，，當且僅當，即時取等號，，，
，，所以的最小值為4；
若，則的最小值為 ；
已知，且，則的最小值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】，，，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為16；
（2），且，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為5，選C.
證明下列不等式：
；
已知為正數且，求證：.
【證明】，
當且僅當時取等號；
為正數且，，
當且僅當時取等號.
跟蹤訓練
已知，且，在下列四個數中最大的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一：，且，，又，當且僅當時取等號，，最大，選D.
解法二：依題意可取，則，所以最大，選D.
已知，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】，，，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為3.
已知點為直線第一象限上的點，則的最小值為 .
【答案】9
【解析】為直線第一象限上的點，且，即，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為9.
已知，當且僅當時，取得最小值，則實數 .
【答案】16
【解析】，，當且僅當，即時取等號，
所以，解得.
已知，且，則的最小值為 .
【答案】36
【解析】，，，
當且僅當，即時取等號，，解得，即，
所以的最小值為36.
若實數滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，，，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
已知，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，，，
，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
已知，且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，且，，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
已知正數滿足，那么的最小值為 .
【答案】
【解析】，，即，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
已知，則的最大值為 .
【答案】
【解析】，，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最呆滯為.
當時，不等式的最小值為 .
【答案】6
【解析】，，設，則，
所以，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為6.
已知，且，則的最小值為( )
A.3 B.4 C. D.5
【答案】C
【解析】，且，，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，選C.
已知，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，，當且僅當時取等號，
，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
某農業科研單位打算開發一個生態漁業養殖項目，準備購置一塊1800平方米的矩形地塊，中間挖三個矩形池塘養魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍（空白部分）種植桑樹，魚塘周圍的基圍寬均為2米，如圖所示，池塘所占面積為平方米，其中.
試用表示；
若要使最大，則的值分別為多少？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依題意可得，
則，即，；
（2），
當且僅當，即時取等號，所以時，取得最大值1352.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑