資源簡介

利用二次函數解決以最大利潤為代表的實際問題
【知識導航】
常用等量關系
增長后的量=增長前的量.________________
利潤=售價__________
銷售利潤=銷售總額-______________=每件利潤×_____________
對于一些函數應用題常常還要結合自變量的取值范圍，以此確定在這個范圍內的最值，有時最值不一定在頂點處取得.
【典例導思】
題型一 利用二次函數解決最大利潤問題
例1為實施“鄉村振興計劃，某村產業合作社種植了“千畝桃園”.2022年該村桃子豐收銷售前對本地市場進行調查發現:當批發價為4千元/噸時，每天可售出12噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸.據測算，每噸平均投入成本2千元，為了搶占市場，薄利多銷，該村產業合作社決定，批發價每噸不低于4千元，不高于5.5 千元.請解答以下問題:
（1）求每天銷量y(噸)與批發價x(千元/噸)之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）當批發價定為多少時，每天所獲利潤最大 最大利潤是多少
【跟蹤訓練】
1.某工廠今年一月份生產護目鏡的產量是20萬件，計劃之后兩個月增加產量，如果月平均增長率為，那么第一季度護目鏡的產量y(萬件)與x之間的關系應表示為_______________.
2.某電商準備銷售甲、乙兩種特色商品，已知每件甲商品的進價比每件乙商品的進價多20元，用5000元購進甲種商品的數量與用4500元購進乙種商品的數量相等.甲乙兩種商品的銷售單價分別為在其進價基礎上增加60%和50%.
(1)甲、乙兩種商品每件進價分別為多少元
(2)該電商平均每天賣出甲商品200件，乙商品100件.經調發現:甲、乙兩種商品銷售單價都降低1元，這兩種商品每天都可多銷售2件.為了使每天獲取更大的利潤，該電商決定把甲、乙兩種商品的銷售單價都下降m元，在不考慮其他因素的條件下，當m定為多少時，才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤最大？
題型二 與圖象表格信息有關的問題
例2 某果園有果樹60棵，現準備多種一些例 2果樹提高果園產量.如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵果樹所受光照就會減少，每棵果樹的平均產量隨之降低.根據經驗，增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為75 kg.在確保每棵果樹的平均產量不低于40 kg的前提下，設增種果樹x(x>0且x為整數)棵，該果園每棵果樹的平均產量為y kg，它們之間的函數關系滿足如圖所示的圖象(1)圖中點P所表示的實際意義是_________________________________，每增種1棵果樹，每棵果樹的平均產量減少________kg；
求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
當增種果樹多少棵時，果園的總產量W（kg）最大？最大產量是多少？
【跟蹤訓練】
3.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位:m)與小球運動時間單位:s)之間的函數關系如圖所示.下列結論:
①小球在空中經過的路程是80m；②小球拋出后至3s，速度越來越慢；③小球拋出6s時速度為0；④小球的高度h=30 m時，t=1.8 s.
其中正確的是（ ）
A.①② B.①④ C.②③④ D.①②③
精準扶貧工作已經進人攻堅階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優質草莓，今年二月份正式上市銷售.在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數x滿足一次函數關系，部分數據如下表:
x（天） 1 2 3 …… x
每天銷售的量（千克） 10 12 14 ……
設第x天的售價為y元/千克，y關于x的函數關系滿足如下圖象.已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤是w元.(利潤=銷售收入-成本)
將表格中的最后一列補充完整；
求y關于x的函數關系式；
銷售草莓的第幾天時，當天的利潤最大？最大利潤是多少元？
第一階 基礎夯實
1.160元的電器連續兩次降價后的價格為y元，若平均每次降價的百分率為x，則y與x的函數關系式為（ ）
A. B. C. D.
2.某產品每件成本為10元，試銷階段的售價為x元與銷售利潤y元滿足，那么獲利最多時的售價為（ ）
A.10元 B.25元 C.40元 D.55元
3.一件工藝品的進價為100元，標價135元出售每天可售出100件，根據銷售統計，一件工藝品每降價1元，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，則每件需降價（ ）
A.3.6元 B.5元 C.10 元 D.12 元
4.從噴水池噴頭噴出的水珠，在空中形成一條拋物線，如圖所示，在拋物線的各個位置上，水珠的豎直高度y（單位：m）與它距離噴頭的水平距離x（單位：m）之間滿足函數關系式，則噴頭噴出水珠的最大高度是___________m.
5.某企業設計了一款工藝品，每件的成本是50元.為了合理定價，投放市場進行試銷，據市場調查，當銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本，則當銷售單價是元____________時，每天獲利最大.
6.某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車已知在甲、乙兩地的銷售利潤y(萬元)與銷售量x(輛)之間分別滿足:，.若該公司在甲、乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤為___________萬元.
7.某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y(個)與銷售價格x(元/個)的關系如圖所示，當10≤x≤20時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為___________元.
8.某企業投人60萬元(只計人第一年成本)生產某種產品，按網上訂單生產并銷售(生產量等于銷售量).經測算，該產品網上每年的銷售量y(萬件)與售價x(元/件)之間滿足函數關系式y=24x，第一年除60萬元外其他成本為8元/件.
求該產品第一年的利潤w（萬元）與售價x之間的函數關系式；
該產品第一年利潤為4萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入(只計入第二年成本)后，其他成本下降2元/件.
①求該產品第一年的售價；
②若第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年的利潤最少是多少萬元？
9.建大棚種植蔬菜是農民致富的一條好途徑.經市場調查發現:搭建一個面積為x(x為整數)公頃的大棚，前期準備所需總費用由建設費用和內部設備費用兩部分組成，其中建設費用與x成正比例，內部設備費用與x+2成正比例，部分數據如下:
求前期準備所需總費用2（萬元）與大棚面積x（公頃）之間的函數關系式；
若種植1公頃蔬菜需種子、化肥、農藥的開支共0.4萬元，收獲1公頃的蔬菜年均可賣9.4萬元.設當年收獲蔬菜的總收益(扣除修建和種植成本)為y萬元，寫出y與x之間的函數關系式；
當年種植的面積為多少公頃時，當年收獲蔬菜的總收益最大，最大值為多少？
第二階 能力躍升
10.跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一.運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度y(m)與水平距離x(m)近似滿足函數關系式.如圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（ ）
A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m
11.距離地面有一定高度的某發射裝置豎直向上發射物體，物體離地面的高度h(米)與物體運動的時間
t(秒)之間滿足函數關系，其圖象如圖所示，物體運動的最高點離地面20米，物體從發射到落地的運動時間為3秒.設w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0秒到t秒時h的最大值與最小值的差），則當0≤t≤1時，w的取值范圍是_________________；當2≤t≤3時，w的取值范圍是___________________.
12.某商場準備購進A，B兩種商品進行銷售，已知一件A種商品的進價比一件B種商品的進價多10元，且用16000元采購A種商品的件數是用7500元采購B種商品件數的2倍.
（1）每件A種和B種商品的進價分別為多少元
（2）該商場欲購進A.B兩種商品共250進行銷售，其中A種商品的件數不小于20件，且不大于B種商品的件數.若B種商品的售價定為210元/件，A種商品的售價與A種商品的銷量之間的關系如下表所示：
商場購進這兩種商品能全部售出的前提下，請求出該商場銷售這兩種商品能獲得的最大利潤，并求出此時的進貨方案.
13.隨著龍蝦節的火熱舉辦，某龍蝦養殖大戶為了發揮技術優勢，一次性受夠了10000千克小龍蝦，計劃養殖一段時間后再出售.已知每天養殖龍蝦的成本相同，放養10天的總成本為166000元，放養30天的總成本為178000元.設這批小龍蝦放養t天后的質量為a千克，銷售單價為y元/千克，根據往年的行情預測，a與t的函數關系式為，y與t的函數關系如圖所示.
（1）設每天的養殖成本為m元，收購成本為n元，求m與n的值；
（2）求y與t的函數關系式；
（3）如果將這批小龍蝦放養t天后一次性出售所得利潤為元問該龍蝦養殖大戶將這批小龍蝦放養多少天后一次性出售所得利潤最大 最大利潤是多少 (總成本=放養總費用+收購成本；利潤=銷售總額-總成本)

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