資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.1.1 三角形的認識及其三邊關系八大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：三角形的識別與有關概念
【經典例題1】下列圖形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角形定義，根據不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，即可解題．
【詳解】解：由三角形定義可知，
是三角形，
故選：C．
【變式訓練1-1】下面各項都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形的定義即：由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，進行判斷即可．
【詳解】解：A，B，C，中的三條線段沒有首尾順次連接，故不是三角形，
C中的三條線段首尾順次連接，且不在同一條直線上，故C滿足題意；
故選：C．
【變式訓練1-2】三角形是（ ）
A．由在同一平面內的三條直線首尾順次相接所組成的圖形
B．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形
C．任意連接在同一平面內的三個點所得到的封閉圖形
D．由在同一平面內的三條線段所組成的圖形
【答案】B
【分析】根據三角形的定義解答即可．
【詳解】解：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，
故選：B．
【變式訓練1-3】如圖，在中，的對邊是 ，在中，的對邊是 ，在中，邊的對角是 ．

【答案】
【分析】根據三角形的定義，找準所在三角形，然后確定答案即可．
【詳解】解：由圖可知：
在中，的對邊是，在中，的對邊是，在中，邊的對角是，
故答案為：，，．
【變式訓練1-4】如圖，中，與的夾角是 ，的對邊是 ，，的公共邊是 ．

【答案】
【分析】根據圖形即可解答．
【詳解】解：與的夾角是，的對邊是，，的公共邊是，
故答案為：，，．
題型二：三角形的個數問題
【經典例題2】如圖，圖中三角形的個數共有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】C
【分析】根據三角形的定義， 找出圖中所有的三角形，數出其個數即可得出結論．
【詳解】圖中是三角形的有：、、、、．
故選：C．
【變式訓練2-1】看圖填空．
（1）圖中共有 個三角形，分別是 ；
（2）的三個頂點分別是 ，三條邊分別是 ，三個角分別是 ；
（3）中，頂點A所對的邊是 ，邊所對的頂點是 ；
（4）是 的內角，是 的外角，的對邊是 ．
【答案】 4 B、G，E / E /
【分析】本題考查三角形相關概念：
（1）寫出圖中的三角形即可；
（2）根據頂點，邊，角的定義，作答即可；
（3）根據對邊，對角的定義，作答即可；
（4）根據內角，外角，對邊的的定義，作答即可．
【詳解】解：（1）圖中共有4個三角形，分別是：，
故答案為：4，；
（2）的三個頂點分別是B、G，E，三條邊分別是，三個角分別是；
故答案為：B、G，E；；；
（3）中，頂點A所對的邊是，邊所對的頂點是；
故答案為：，；
（4）是的內角，是的外角，的對邊是；
故答案為：，，．
【變式訓練2-2】如圖所示．
（1）圖中共有 個三角形，它們是 ；
（2）線段是 ， ， 的邊；
（3）是 ， ， 的角．
【答案】 6
【分析】（1）首先根據給出的圖形，寫出所有的三角形，進而確定個數即可；
（2）根據三角形的邊的定義作答即可；
（3）根據三角形的角的定義作答即可．
【詳解】解：（1）由圖可知，圖中的三角形有：，共6個，
故答案為：6，；
（2）由圖可知：
以為邊的三角形有、、，
故答案為：，，；
（3）由圖可知：
是、、的角，
故答案為：，，．
【變式訓練2-3】如圖所示：
(1)圖中有幾個三角形？把它們一一說出來．
(2)寫出的三個內角．
(3)含邊的三角形有哪些？
【答案】(1)圖中有7個三角形，即
(2)的三個內角是
(3)含邊的三角形有
【分析】本題考查了三角形的定義，角的寫法，查找三角形時可按逆時針方向，先固定一條邊，再通過查第三個頂點的方法確定三角形．
【詳解】（1）解：圖中有7個三角形，
分別為：；
（2）解：在中，
它的三個內角是；
（3）解：由（1）知圖中有7個三角形，即，
含邊的三角形有．
【變式訓練2-4】如圖所示，在中，點，分別在，上，交于點．
(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來．
(2)寫出以為內角的三角形．
(3)寫出的對邊．
(4)寫出以線段為邊的三角形．
【答案】(1)圖中有個三角形，分別是，，，，，，，
(2)，
(3)在中，的對邊是；在中，的對邊是
(4)，
【分析】本題考查三角形定義，三角形的邊和內角
（1）先找出基本三角形，再找組合圖形；
（2）根據三角形的內角即可解答；
（3）根據三角形的邊即可解答；
（4）根據三角形的邊即可解答；
解題的關鍵是要細心、仔細的數出三角形的個數．
【詳解】（1）解：圖中有個三角形，分別是，，，，，，，；
（2）含有的三角形有，；
（3）在中，的對邊是；在中，的對邊是；
（4）以線段為邊的三角形有，．
【變式訓練2-5】如圖，在中，D，E分別為邊，上的點，，相交于點F．

(1)圖中共有三角形__________個．
(2)在中，所對的邊是__________；在中，邊所對的角是_______．
【答案】(1)8；
(2)，．
【分析】（1）根據圖形，即可解答；
（2）根據圖形，即可解答．
【詳解】（1）解：圖中共有8個三角形，分別是，，，，，，，．
（2）解：在中，所對的邊是；在中，邊所對的角是，
故答案為：，．
題型三：三角形的分類
【經典例題3】已知三角形三個內角的度數之比為，且，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形分類，掌握三角形的內角和為是解題的關鍵．
設一個角的度數為，則另外兩個角分別為，和，根據，再根據可得出答案．
【詳解】解：設一個角的度數為，則另外兩個角分別為，和，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三角形為鈍角三角形．
故選：C．
【變式訓練3-1】如圖所示，小手蓋住了一個三角形的一部分，則這個三角形是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】C
【分析】本題考查的是三角形的分類，根據鈍角三角形的定義作答即可．
【詳解】解：由三角形中有1個已知角為鈍角，
∴這個三角形是鈍角三角形；
故選C
【變式訓練3-2】具備下列條件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的內角和，熟悉掌握三角形的內角和公式是解題的關鍵．利用三角形的內角和，代入已知條件求出角的度數，逐一判斷是否有直角即可．
【詳解】解：A：，代入，
得：，
，故此選項不符合題意；
B：，根據得：
，
，故此選項不符合題意；
C：，
∴，
∴為鈍角三角形，故此選項符合題意；
D：代入，
得：，
，故此選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練3-3】滿足下列條件的，其中是直角三角形的有（ ）
① ；②③； ④
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【答案】A
【分析】本題考查三角形的內角和定理，直角三角形的判定，根據三角形的內角和定理結合有一個角是直角的三角形的是直角三角形，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，故①正確；
∵，，
∴，
∴，
∴是鈍角三角形，故②錯誤；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故③正確；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴是直角三角形，故④正確；
故選A．
【變式訓練3-4】有下列兩種圖示均表示三角形分類，則正確的是（ ）

A．①對，②不對 B．②對，①不對 C．①、②都不對 D．①、②都對
【答案】B
【分析】此題主要考查了三角形的分類，關鍵是掌握分類方法．按邊的相等關系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．根據三角形的分類可直接選出答案．
【詳解】解：按邊的相等關系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
按角分類：直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形．
故①的分類不正確；圖②中的三角形的分類正確．
故選：B．
【變式訓練3-5】下列說法正確的是（ ）
A．若，則為銳角三角形
B．若，則為銳角三角形
C．若，則為銳角三角形
D．若且，則為銳角三角形
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的分類、三角形內角和定理，根據三角形內角和定理、三角形的分類，舉出適當的反例，即可得出答案．
【詳解】解：A、當，，時，滿足，但不是銳角三角形，故原說法錯誤，不符合題意；
B、，，，，則為直角三角形，故原說法錯誤，不符合題意；
C、若，則為等邊三角形，即為銳角三角形，故原說法正確，符合題意；
D、若，，滿足且，則，故不是銳角三角形，故原說法錯誤，不符合題意；
故選：C．
題型四：三角形的穩定性
【經典例題4】如圖，自行車的主要結構設計成三角形，其依據是（ ）

A．兩點之間線段最短 B．三角形的內角和是180°
C．節省材料 D．三角形的穩定性
【答案】D
【分析】本題考查生活中數學知識的應用，熟記三角形的穩定性是解決問題的關鍵．
【詳解】解：自行車的主要結構設計成三角形，其依據是三角形的穩定性，
故選：D．
【變式訓練4-1】如圖，墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構成三角形，這是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．對稱性 C．穩定性 D．靈活性
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形具有穩定性，根據三角形具有穩定性，即可進行解答．
【詳解】解：墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構成三角形，這是利用三角形的穩定性，
故選；C．
【變式訓練4-2】三角形結構在生產實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的斜拉索橋結構穩固，其蘊含的數學道理是（ ）
A．兩點之間，線段最短 B．三角形的穩定性
C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．三角形的內角和等于
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的穩定性，由三角形的穩定性，即可得到答案，掌握三角形的穩定性是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示的斜拉索橋結構穩固，其蘊含的數學道理是三角形的穩定性
故選：B．
【變式訓練4-3】小華家的人字梯在兩旁分別有一根“拉桿”，這樣設計是利用（ ）

A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短
C．三角形具有穩定性 D．四邊形具有不穩定性
【答案】C
【分析】本題考查的知識點是三角形的穩定性，解題關鍵是熟練掌握三角形的穩定性原理．根據三角形的穩定性即可求解．
【詳解】解：在人字梯的中間設計的拉桿，
可從不穩定的四邊形中構成一個穩定的三角形，
從而達到穩定人字梯的作用．
故選：C．
【變式訓練4-4】下列說法錯誤的是（ ）
A．一枚硬幣在光滑的桌面上快速旋轉，像形成一個球，可以用“面動成體”來解釋
B．在朱自清的《春》中有描寫春雨“像牛毛、像花針、像細絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里可以用“線動成面”來解釋
C．我國建造的港珠澳大橋是世界最長的跨海大橋，港珠澳大橋中的斜拉索橋運用的數學原理是三角形的穩定性
D．日常生活中的起重機、伸縮門運用的數學原理是四邊形的不穩定性
【答案】B
【分析】本題主要考查了點、線、面知識，三角形的穩定性，四邊形的不穩定性等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．根據“點動成線、線動成面、面動成體”和三角形的穩定性、四邊形的不穩定性，逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A. 一枚硬幣在光滑的桌面上快速旋轉，像形成一個球，可以用“面動成體”來解釋，該說法正確，不符合題意；
B. 在朱自清的《春》中有描寫春雨“像牛毛、像花針、像細絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里可以用“點動成線”來解釋，故原說法不正確，符合題意
C. 我國建造的港珠澳大橋是世界最長的跨海大橋，港珠澳大橋中的斜拉索橋運用的數學原理是三角形的穩定性，該說法正確，不符合題意；
D. 日常生活中的起重機、伸縮門運用的數學原理是四邊形的不穩定性，該說法正確，不符合題意．
故選：B．
【變式訓練4-5】意大利面根根筋道，看起來極易折斷，棉花糖柔軟、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做連接，能搭建出“又高又穩”的建筑．在如圖所示的模型中三角形架子是其主要結構，這種設計的原理是（ ）
A．三角形具有穩定性 B．兩點之間，線段最短
C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短
【答案】A
【分析】本題考查三角形穩定性的實際應用．模型中三角形架子是其主要結構，故可用三角形的穩定性解釋．
【詳解】解：依題意，在如圖所示的模型中三角形架子是其主要結構，這種設計的原理是三角形具有穩定性，
故選：A．
【變式訓練4-6】我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋中的斜拉索橋，那么你能推斷出斜拉索大橋中運用的數學原理是 ．
【答案】三角形的穩定性
【分析】本題考查三角形的穩定性在實際生活中的應用問題，正確把握其性質是解題的關鍵，根據三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，及三角形的穩定性．
【詳解】解：可以推斷出斜拉索大橋中運用的數學原理是三角形的穩定性．
故答案為：三角形的穩定性．
題型五：構成三角形的條件
【經典例題5】以下列各線段長為邊，能組成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形三邊的關系，熟練掌握相關概念是解題關鍵．
根據三角形任意兩邊之和大于第三邊進行判斷即可．
【詳解】A：，故不能構成三角形，不符合題意；
B：，故不能構成三角形，不符合題意；
C：，故不能構成三角形，不符合題意；
D：，故可以構成三角形，符合題意；
故選：D．
【變式訓練5-1】根據下列條件，能唯一畫出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】要滿足唯一畫出，就要求選項給出的條件是否符合三角形全等的判定方法，不符合即無法畫出唯一的三角形，由此得出答案．
【詳解】解：，不能構成三角形，故選項A錯誤；
不是已知兩邊的夾角，無法確定其他角的度數與邊的長度，故選項B錯誤；
已知兩角可得到第三個角的度數，已知一邊可根據來畫一個三角形，故選項C正確；
只有一個角和一條邊無法根據此畫出三角形，故選項D正確．
故選C．
【變式訓練5-2】有長度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據三角形的三邊關系逐一判斷即可．
【詳解】解：若選取長度分別是4cm、5cm、8cm的小棒，，故能圍成三角形；
若選取長度分別是4cm、5cm、9cm的小棒，，故不能圍成三角形；
若選取長度分別是5cm、8cm、9cm的小棒，，故能圍成三角形；
若選取長度分別是4cm、8cm、9cm的小棒，，故能圍成三角形．
綜上所述，可以圍成3種不同形狀的三角形．
故選：D．
【變式訓練5-3】如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長，題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和7，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形，解題的關鍵是驗證能否組成三角形．
【詳解】解：若3為腰長，7為底邊長，
∵，
∴三角形不存在，
若7為腰長，3為底邊長，則符合三角形的兩邊之各大于第三邊，
∴這個三角形的周長，
故答案為：．
【變式訓練5-4】已知三邊分別是、、， 化簡
【答案】
【分析】本題考查三角形的三邊關系，絕對值的性質，整式的加減運算．根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得，，，再根據絕對值的性質去掉絕對值符號，然后利用整式的加減運算進行計算即可得解．
【詳解】解：∵、、分別為的三邊長，
∴，，
∴，，，
∴
故答案為：．
【變式訓練5-5】王強準備用一段長為30米的籬笆圍成一個三角形形狀的區域，用于飼養小動物，已知第一條邊為a米，由于受地勢的限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米．
(1)請用a表示第二條邊長和第三條邊長；
(2)第一條邊長可以為7米嗎？為什么？
【答案】(1)；
(2)不可以，理由見解析．
【分析】（1）根據“第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米”表示出第二條邊長，然后再根據總長即可表示出第三條邊長；
（2）若第一條邊長為7米，分別求出第二條邊長和第三條邊長，判斷是否能構成三角形即可．
【詳解】（1）解：∵第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米，第一條邊長為a米
∴第二條邊長為米，
由題意可知：第三條邊長為米；
（2）若，則第二條邊長為米，第三條邊長為米
∵
∴此時不能構成三角形，
∴第一條邊長不可以為7米．
題型六：確定第三邊的取值范圍
【經典例題6】已知三角形的兩邊長分別為，第三邊長為，若為整數，則的值不可能為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查無理數的估算，三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．根據三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，再估算出第三邊的范圍，結合整數直接求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，設第三邊為x，即，
∵，即
∴，
∵第三條邊長為整數，
∴x可能為：2，3，4，
則第三邊長不可能為1，
故選：A
【變式訓練6-1】一個三角形的兩邊長分別為和，且第三邊長為整數，這樣的三角形的周長最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了三角形的三邊關系，由三角形的三邊關系定理可得到的取值范圍，而是整數，可求的最小值，周長最小值也可求，熟練掌握三角形三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據三角形三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．
【詳解】解：設第三邊長是，
∵三角形的兩邊長分別為和，
∴，即，
∵是整數，
∴，，，，，
∴當時，三角形的周長最小值是，
故選：．
【變式訓練6-2】用一條24cm的細繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？
【答案】（1）各邊長為：cm，cm，cm；（2）能，理由見解析.
【分析】（1）設底邊長為x cm，則腰長為2x cm，根據周長公式列一元一次方程，解方程即可求得各邊的長；
（2）題中沒有指明4cm所在邊是底還是腰，故應該分情況進行分析，注意利用三角形三邊關系進行檢驗．
【詳解】（1）設底邊長為x cm，
∵腰長是底邊的2倍，
∴腰長為2x cm，
∴2x+2x+x=24，解得，x=cm，
∴2x=2×=cm，
∴各邊長為：cm，cm，cm．
（2）能
①當4cm為底時，腰長==10cm；
②當4cm為腰時，底邊=24-4-4=16cm，
∵4+4＜16，
∴不能構成三角形，故舍去；
∴能構成有一邊長為4cm的等腰三角形，另兩邊長為10cm，10cm．
【變式訓練6-3】已知的三邊長為a，b，c，且a，b，c都是整數．
(1)若，且c為偶數．求的周長．
(2)化簡：．
【答案】(1)的周長為11或13
(2)
【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系、化簡絕對值、整式的加減運算等知識點，理解三角形的三邊關系成為解題的關鍵．
（1）根據三角形的三邊關系確定c的取值范圍，進而c的值，最后求周長即可；
（2）先根據三角形的三邊關系確定、、的正負，再化簡絕對值，然后再合并同類項即可解答．
【詳解】（1）解：，
，即，
由于c是偶數，則或6，
當時，的周長為，
當時，的周長為．
綜上所述，的周長為11或13．
（2）解：的三邊長為a，b，c，
，
．
【變式訓練6-4】在中，，．
(1)若是整數，求的長；
(2)已知是的中線，若的周長為10，求三角形的周長．
【答案】(1)8
(2)17
【分析】本題考查的是三角形的三邊關系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．
（1）根據三角形的三邊關系解答即可；
（2）根據三角形的中線的定義得到，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】（1）由題意得：，
，
是整數，
；
（2）是的中線，
的周長為10，
，
，
，
的周長．
【變式訓練6-5】如圖，在中，點D、E分別為邊上的動點．
(1)若時，的長恰好是偶數，則的長為 ；
(2)若時，，求的度數．
【答案】(1)4或6
(2)
【分析】本題考查了三角形三邊關系的應用，平行線的性質，三角形外角的性質．熟練掌握三角形三邊關系的應用，平行線的性質，三角形外角的性質是解題的關鍵．
（1）由題意知，，即，然后作答即可；
（2）如圖，連接，由，可得，根據，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，即，
∵的長恰好是偶數，
∴的長為4或6，
故答案為：4或6；
（2）解：如圖，連接，
∵，
∴，
∴，
∴的度數為．
題型七：三角形三邊關系的應用
【經典例題7】已知，，是三角形的三邊長．
(1)化簡：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了三角形三邊關系定理，絕對值的化簡，求代數式的值
（1）根據，，是三角形的三邊長，得，化簡計算即可．
（2）根據，，，代入化簡式計算即可．
【詳解】（1）∵，，是三角形的三邊長，得，
∴
．
（2）當，，時，
原式．
【變式訓練7-1】已知是三角形的三邊長．
(1)化簡：；
(2)滿足，且三角形的周長是16，判斷此三角形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)
(2)此三角形是等腰三角形，詳見解析
【分析】本題考查了三角形三邊關系定理，化簡絕對值及絕對值的非負性，熟練掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵．
（1）根據三角形三邊關系定理可得，，再去絕對值符號即可；
（2）根據及三角形的周長是16求得a，b，c的值即可判斷三角形的形狀．
【詳解】（1）解：是三角形的三邊長，
．
，．
．
（2）此三角形是等腰三角形．
理由如下：
，
．
．
三角形的周長是16，
．
．
此三角形是等腰三角形．
【變式訓練7-2】如圖，在中．
(1)如果，，是能被3整除的偶數，求這個三角形的周長．
(2)如果、分別是和的角平分線．
①當時，求的度數．
②當時，求的度數．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題主要考查了三角形三邊關系、三角形內角和定理、角平分線的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由三角形三邊關系可得，結合是能被3整除的偶數，得出，最后由三角形周長公式計算即可；
（2）①由三角形內角和定理可得，由角平分線的定義可得，，從而得到，最后再由三角形內角和定理計算即可；②由三角形內角和定理可得，由角平分線的定義可得，，從而得到，最后再由三角形內角和定理計算即可．
【詳解】（1）解：由三角形三邊關系可得：，即，
是能被3整除的偶數，
，
的周長；
（2）解：①，，
，
、分別是和的角平分線，
，，
，
；
②，，
，
、分別是和的角平分線，
，，
，
．
【變式訓練7-3】如圖，已知．

(1)若，，的長是偶數，請求出的值；
(2)作分別交，的延長線于點，，若，，求的度數．
【答案】(1)4或6
(2)
【分析】（1）根據題意，得，結合長是偶數，計算即可．
（2）根據兩直線平行，同旁內角互補，得到，再利用三角形內角和定理計算即可．
本題考查了三角形的三邊關系定理，三角形內角和定理，平行線的性質，熟練掌握三邊關系定理，平行線的性質定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵的長是偶數，
∴的長是4或6．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練7-4】先化簡再求值：，其中a滿足與2和3構成的第三邊，且a為整數．
【答案】，1
【分析】先化簡，根據三角形存在性，確定a的值，后代入計算即可，本題考查了分式的化簡求值，化簡是關鍵．
【詳解】
，
根據a滿足與2和3構成的第三邊，且a為整數，
，
故，
由于，
故，
故，
原式．
【變式訓練7-5】已知的三邊長是．
(1)若，且三角形的周長是小于22的偶數，求的值；
(2)化簡．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本題考查了三角形三邊關系、化簡絕對值，熟練掌握三角形三邊關系是解此題的關鍵．
（1）由三角形三邊關系結合三角形的周長是小于22的偶數，得出，即可得出答案；
（2）由三角形三邊關系得，再利用絕對值的性質化簡即可．
【詳解】（1）解：的三邊長是，，
，即，
三角形的周長是小于22的偶數，
，
或；
（2）解：由三角形三邊關系得：，
，，
．
題型八：閱讀材料題
【經典例題8】閱讀材料：若，求m，n的值．
解：，
，
，
，，
，．
根據你的觀察，探究下面的問題：
(1)已知的三邊長a，b，c，且a，b滿足，若的周長為偶數，求的周長；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本題主要考查完全平方公式的應用，三角形三邊關系，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
（1）根據題中所給方法利用完全平方公式把變形，進行求解a、b的值，然后根據等腰三角形的定義及三角形三邊關系進行分類求解即可；
（2）把變形為，然后可得的值，代入計算即可求解．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
，
的周長為偶數，
，
的周長為：；
（2）解：，
，
，
，
，即，
，
綜上的值為．
【變式訓練8-1】閱讀材料：若，求m、n的值．
解： ，
，，，．
根據你的觀察，探究下面的問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知等腰的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足，求△ABC的周長；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)的周長為7
(3)
【分析】本題考查了完全平方公式的應用和三角形三邊關系，靈活運用完全平方公式、掌握三角形三邊關系是解題的關鍵．
（1）根據材料將原式分為兩個完全平方的形式即可解答；
（2）將按材料方式進行整理，根據三角形三邊關系得出c的值，即可求得結果；
（3）由，得，按照原式按材料方式將整理，求出x、y、z的值，即可求得結果．
【詳解】（1），
，
，
，
，
解得：，
則；
（2），
，
，
則，，
解得：，，
由三角形三邊關系可知，三角形三邊分別為1、3、3，
的周長為1+3+3=7；
（3），
，
則，
，
，
則，，
解得，，，
．
【變式訓練8-2】觀察下列分解因式的過程：．
解：原式
．
像這種通過增項或減項把多項式轉化成完全平方形式的方法稱為配方法．
(1)請你運用上述配方法分解因式：；
(2)已知的三邊長a，b，c都是正整數，且滿足，求周長的最大值．
【答案】(1)；
(2)23．
【分析】（1）本題考查了因式分解，掌握公式法即可解題．
（2）本題考查了配方法運用，將原式變形為，再根據平方的非負性，解出a和b的值，最后利用三角形三邊關系即可解題．
【詳解】（1）解：原式，
．
（2）解：由整理，
得，
，
，
解得，．
由三角形三邊之間的關系，得．
為正整數，周長最大，
，
，
即周長的最大值為23．
【變式訓練8-3】閱讀材料：若，求m，n的值．
解：，，
，．
請解答下面的問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三邊a，b，c的長都是互不相等的正整數，且滿足，求的最大邊的長；
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查完全平方公式及三角形的三邊關系，熟練掌握完全平方公式及三角形的三邊關系是解題的關鍵；
（1）根據利用完全平方公式進行因式分解進行求解；
（2）先利用完全平方公式及三角形的三邊關系可進行求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的三邊a，b，c的長都是互不相等的正整數，
∴，
∴．
【變式訓練8-4】閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法，運用配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．
例如：．
即：．
根據以上材料，解答下列問題：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三邊長，且滿足，求的最長邊的取值范圍；
(3)已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查因式分解應用，三角形三邊關系，平方得非負性．
（1）根據題意進行求解即可；
（2）利用完全平方公式將所給式子變形，再根據三角形三邊關系即可求解；
（3）將式子變形利用平方非負性即可計算出，，三邊長，再計算周長即可．
【詳解】（1）解：根據題意列式：
∴，
即：；
（2）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∵，，是的三邊長，
∴，即：，
∵是的最長邊，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴的周長為：．
【變式訓練8-5】閱讀材料：若，求、的值．
解：， ， ， 、
根據你的觀察，探究下面的問題：
(1)已知，求的值；
(2)若的三邊長、、都是正整數，且滿足，求的周長；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查閱讀理解、配方法解題、平方非負性、非負式和為零成立的條件、三角形三邊關系等知識，讀懂題意，靈活運用配方法及非負式和為零成立的條件是解決問題的關鍵．
（1）閱讀材料所給方法，利用配方法，結合平方非負性，由非負式和為零成立的條件列方程求出值即可得到答案；
（2）閱讀材料所給方法，利用配方法，結合平方非負性，由非負式和為零成立的條件列方程求出值，再由三角形三邊關系確定即可得到答案；
（3）閱讀材料所給方法，由題意得到，代入得到，利用配方法，結合平方非負性，由非負式和為零成立的條件列方程求出值，代入求值即可得到答案．
【詳解】（1）解：閱讀材料，解析如下：
，
，
，
，
（2）解：閱讀材料，解析如下：
，
，
，
，
，
的三邊長、、都是正整數，
的正整數只有，即，
的周長為；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，則，
．
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1.1.1 三角形的認識及其三邊關系八大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：三角形的識別與有關概念
【經典例題1】下列圖形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-1】下面各項都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】三角形是（ ）
A．由在同一平面內的三條直線首尾順次相接所組成的圖形
B．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形
C．任意連接在同一平面內的三個點所得到的封閉圖形
D．由在同一平面內的三條線段所組成的圖形
【變式訓練1-3】如圖，在中，的對邊是 ，在中，的對邊是 ，在中，邊的對角是 ．

【變式訓練1-4】如圖，中，與的夾角是 ，的對邊是 ，，的公共邊是 ．

題型二：三角形的個數問題
【經典例題2】如圖，圖中三角形的個數共有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【變式訓練2-1】看圖填空．
（1）圖中共有 個三角形，分別是 ；
（2）的三個頂點分別是 ，三條邊分別是 ，三個角分別是 ；
（3）中，頂點A所對的邊是 ，邊所對的頂點是 ；
（4）是 的內角，是 的外角，的對邊是 ．
【變式訓練2-2】如圖所示．
（1）圖中共有 個三角形，它們是 ；
（2）線段是 ， ， 的邊；
（3）是 ， ， 的角．
【變式訓練2-3】如圖所示：
(1)圖中有幾個三角形？把它們一一說出來．
(2)寫出的三個內角．
(3)含邊的三角形有哪些？
【變式訓練2-4】如圖所示，在中，點，分別在，上，交于點．
(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來．
(2)寫出以為內角的三角形．
(3)寫出的對邊．
(4)寫出以線段為邊的三角形．
【變式訓練2-5】如圖，在中，D，E分別為邊，上的點，，相交于點F．

(1)圖中共有三角形__________個．
(2)在中，所對的邊是__________；在中，邊所對的角是_______．
題型三：三角形的分類
【經典例題3】已知三角形三個內角的度數之比為，且，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【變式訓練3-1】如圖所示，小手蓋住了一個三角形的一部分，則這個三角形是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【變式訓練3-2】具備下列條件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-3】滿足下列條件的，其中是直角三角形的有（ ）
① ；②③； ④
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【變式訓練3-4】有下列兩種圖示均表示三角形分類，則正確的是（ ）

A．①對，②不對 B．②對，①不對 C．①、②都不對 D．①、②都對
【變式訓練3-5】下列說法正確的是（ ）
A．若，則為銳角三角形
B．若，則為銳角三角形
C．若，則為銳角三角形
D．若且，則為銳角三角形
題型四：三角形的穩定性
【經典例題4】如圖，自行車的主要結構設計成三角形，其依據是（ ）

A．兩點之間線段最短 B．三角形的內角和是180°
C．節省材料 D．三角形的穩定性
【變式訓練4-1】如圖，墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構成三角形，這是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．對稱性 C．穩定性 D．靈活性
【變式訓練4-2】三角形結構在生產實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的斜拉索橋結構穩固，其蘊含的數學道理是（ ）
A．兩點之間，線段最短 B．三角形的穩定性
C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．三角形的內角和等于
【變式訓練4-3】小華家的人字梯在兩旁分別有一根“拉桿”，這樣設計是利用（ ）

A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短
C．三角形具有穩定性 D．四邊形具有不穩定性
【變式訓練4-4】下列說法錯誤的是（ ）
A．一枚硬幣在光滑的桌面上快速旋轉，像形成一個球，可以用“面動成體”來解釋
B．在朱自清的《春》中有描寫春雨“像牛毛、像花針、像細絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里可以用“線動成面”來解釋
C．我國建造的港珠澳大橋是世界最長的跨海大橋，港珠澳大橋中的斜拉索橋運用的數學原理是三角形的穩定性
D．日常生活中的起重機、伸縮門運用的數學原理是四邊形的不穩定性
【變式訓練4-5】意大利面根根筋道，看起來極易折斷，棉花糖柔軟、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做連接，能搭建出“又高又穩”的建筑．在如圖所示的模型中三角形架子是其主要結構，這種設計的原理是（ ）
A．三角形具有穩定性 B．兩點之間，線段最短
C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短
【變式訓練4-6】我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋中的斜拉索橋，那么你能推斷出斜拉索大橋中運用的數學原理是 ．
題型五：構成三角形的條件
【經典例題5】以下列各線段長為邊，能組成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式訓練5-1】根據下列條件，能唯一畫出的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-2】有長度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式訓練5-3】如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為 ．
【變式訓練5-4】已知三邊分別是、、， 化簡
【變式訓練5-5】王強準備用一段長為30米的籬笆圍成一個三角形形狀的區域，用于飼養小動物，已知第一條邊為a米，由于受地勢的限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米．
(1)請用a表示第二條邊長和第三條邊長；
(2)第一條邊長可以為7米嗎？為什么？
題型六：確定第三邊的取值范圍
【經典例題6】已知三角形的兩邊長分別為，第三邊長為，若為整數，則的值不可能為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練6-1】一個三角形的兩邊長分別為和，且第三邊長為整數，這樣的三角形的周長最小值是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】用一條24cm的細繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？
【變式訓練6-3】已知的三邊長為a，b，c，且a，b，c都是整數．
(1)若，且c為偶數．求的周長．
(2)化簡：．
【變式訓練6-4】在中，，．
(1)若是整數，求的長；
(2)已知是的中線，若的周長為10，求三角形的周長．
【變式訓練6-5】如圖，在中，點D、E分別為邊上的動點．
(1)若時，的長恰好是偶數，則的長為 ；
(2)若時，，求的度數．
題型七：三角形三邊關系的應用
【經典例題7】已知，，是三角形的三邊長．
(1)化簡：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【變式訓練7-1】已知是三角形的三邊長．
(1)化簡：；
(2)滿足，且三角形的周長是16，判斷此三角形的形狀，并說明理由．
【變式訓練7-2】如圖，在中．
(1)如果，，是能被3整除的偶數，求這個三角形的周長．
(2)如果、分別是和的角平分線．
①當時，求的度數．
②當時，求的度數．
【變式訓練7-3】如圖，已知．

(1)若，，的長是偶數，請求出的值；
(2)作分別交，的延長線于點，，若，，求的度數．
【變式訓練7-4】先化簡再求值：，其中a滿足與2和3構成的第三邊，且a為整數．
【變式訓練7-5】已知的三邊長是．
(1)若，且三角形的周長是小于22的偶數，求的值；
(2)化簡．
題型八：閱讀材料題
【經典例題8】閱讀材料：若，求m，n的值．
解：，
，
，
，，
，．
根據你的觀察，探究下面的問題：
(1)已知的三邊長a，b，c，且a，b滿足，若的周長為偶數，求的周長；
(2)已知，求的值．
【變式訓練8-1】閱讀材料：若，求m、n的值．
解： ，
，，，．
根據你的觀察，探究下面的問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知等腰的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足，求△ABC的周長；
(3)已知，，求的值．
【變式訓練8-2】觀察下列分解因式的過程：．
解：原式
．
像這種通過增項或減項把多項式轉化成完全平方形式的方法稱為配方法．
(1)請你運用上述配方法分解因式：；
(2)已知的三邊長a，b，c都是正整數，且滿足，求周長的最大值．
【變式訓練8-3】閱讀材料：若，求m，n的值．
解：，，
，．
請解答下面的問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三邊a，b，c的長都是互不相等的正整數，且滿足，求的最大邊的長；
【變式訓練8-4】閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法，運用配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．
例如：．
即：．
根據以上材料，解答下列問題：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三邊長，且滿足，求的最長邊的取值范圍；
(3)已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長．
【變式訓練8-5】閱讀材料：若，求、的值．
解：， ， ， 、
根據你的觀察，探究下面的問題：
(1)已知，求的值；
(2)若的三邊長、、都是正整數，且滿足，求的周長；
(3)已知，，求的值．
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