資源簡介

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1.1.2 三角形的高、中線、角平分線七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：畫三角形的高
【經典例題1】如圖，在中，邊上的高線是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形的高線．熟練掌握三角形的高的定義：從三角形的一個頂點向對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，是解題的關鍵．直接根據三角形的高的定義即可得到答案．
【詳解】解：由圖可知：在中，邊上的高線是線段．
故選：B．
【變式訓練1-1】如圖，在中，下列關于高的說法正確的是（ ）
A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的高的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，熟記概念是解題的關鍵．
根據三角形的高的定義對各選項進行分析即可．
【詳解】A．于點，中，線段是邊上的高，故本選項不符合題意；
B．于點，中，線段是邊上的高，故本選項不符合題意；
C．于點，中，線段是邊上的高，故本選項不符合題意；
D． 于點，中，線段是邊上的高，故本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-2】如圖圖形中，線段是的高的是（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向對邊作垂線，連接頂點與垂足之間的線段．熟記定義是解題的關鍵．根據三角形高的畫法知，過點B作邊上的高，垂足為E，其中線段是的高，再結合圖形進行判斷．
【詳解】解：線段是的高的圖是選項D．
故選：D．
【變式訓練1-3】如圖，在中，關于高的說法正確的是（ ）
A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高
【答案】B
【分析】此題考查了三角形的高，從三角形頂點向對邊所在直線作的垂線段叫做三角形的高，根據三角形高的定義進行判斷即可．
【詳解】解：于點D，
∴中，是邊上的高，故A不符合題意，
∵，線段是邊上的高，B選項符合題意；
∵于點F，
∴是邊上的高，故C選項不符合題意，D選項不符合題意．
故選：B．
【變式訓練1-4】如圖，中，，，，，垂足分別為、、，則線段 是中邊上的高．
【答案】/
【分析】本題考查了三角形的高，熟練掌握三角形的高的定義是解題的關鍵．
根據過三角形的一個頂點向對邊引垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線作答即可．
【詳解】解：∵，
∴線段是中邊上的高，
故答案為：．
【變式訓練1-5】如圖，在中，于，那么圖中以為高的三角形共有 個．
【答案】6
【分析】此題主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形內，所以確定三角形的高比較靈活．
由于于，圖中共有6個三角形，它們都有一邊在直線上，由此即可確定以為高的三角形的個數．
【詳解】解：于，
而圖中有一邊在直線上，且以為頂點的三角形有6個，
以為高的三角形有6個．
故答案為：6．
題型二：與三角形高有關的計算
【經典例題2】如圖，、是的高，，，，則（ ）
A． B．10 C． D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的面積計算，熟記面積計算公式和認識三角形的底與高是解題的根本，關鍵是列出的方程．
根據三角形的面積公式列出的方程進行解答便可．
【詳解】解：，
，
故選：C．
【變式訓練2-1】如圖，在中，，三角形面積為27，點O是邊上任意一點，則點O分別到，邊的距離之和等于（ ）
A．5 B． C．9 D．10
【答案】C
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，掌握運用三角形面積的方法是解答本題的關鍵．連接，再根據等腰三角形的性質和三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：如圖：過點作，，連接，
∵在中，，該三角形的面積為27，
∴
，
解得：，
即點O分別到，邊的距離之和等于9．
故選：C．
【變式訓練2-2】如圖，在中，，，，，則點到邊距離為 ．
【答案】//
【分析】本題考查與三角形有關的線段，三角形的高，根據題意可得是直角三角形，設點到邊距離為h，由三角形面積公式計算即可求解．
【詳解】解：在中，，
是直角三角形，
設點到邊距離為h，
，即，
，
故答案為：．
【變式訓練2-3】如圖，在中，，，，，， 則的長為
【答案】
【分析】本題考查了三角形的高的定義、直角三角形的面積．根據等面積法即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練2-4】如圖，為鈍角三角形，分別過點作邊上的高，已知，，，則的長為 ．

【答案】6
【分析】本題考查了利用三角形的面積求高線的長．利用三角形的面積公式求得，再利用，求解即可．
【詳解】解：∵，，且，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
故答案為：6．
【變式訓練2-5】如圖，已知分別是中邊上的高，，求的長．
【答案】
【分析】本題考查三角形等面積法求高，通過三角形面積建立等量關系是解題的關鍵．三角形的面積等于任意一條底邊乘以該邊上的高的積的一半，分別以為底，寫出的面積的兩種表示方法；結合兩個面積相等和已知中的數據，進行計算即可解答題目．
【詳解】解：，
將代入得到：
解得， ．
【變式訓練2-6】如圖，在中，，為邊上的高，與交于點．若，求的度數．
【答案】
【分析】由高的定義可得，由三角形內角和可得的度數，再根據三角形內角和可得出的度數，由平角的定義可得出的度數．本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是是解答此題的關鍵
【詳解】解：是邊上的高，
，
在中，，
，
，
，
．
題型三：根據三角形的中線求長度
【經典例題3】如圖，在中，是中線，，．
(1)與的周長差為_______cm．
(2)點E在邊上，連接，若三角形的周長被分成的兩部分的差是2cm，求線段的長．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題考查了三角形的中線性質，三角形周長的計算，掌握相關知識點是解題的關鍵．
（1）的周長，的周長，由中線的定義可得，即可解答；
（2）由圖可知三角形的周長，四邊形的周長，，進而分當的周長-四邊形的周長和四邊形的周長-當的周長兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：的周長，的周長，
∵是中線，
∴，
與的周長差：
（2）解：由圖可知：的周長，四邊形的周長，
當的周長-四邊形的周長時，
∵是的中點，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
四邊形的周長-當的周長時，
∵是的中點，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
綜上，線段的長為或．
【變式訓練3-1】在中，，邊上的中線把的周長分成和兩部分，求邊和的長．（提示：設）
【答案】，
【分析】本題主要考查了三角形的中線，二元一次方程組的應用，三角形的三邊關系應用，解題的關鍵是根據題意設出未知數，列出方程，注意進行分類討論，并注意用三角形的三邊關系進行驗證．
【詳解】解：如圖：
∵是邊上的中線，
∴．
設，，則，
分兩種情況分別進行討論：
（1），，
則，，
解得，，
即，．
∵，
∴．
∵，
∴，，滿足三角形的三邊關系．
（2），，
則，，
解得，，
即，．
∵，
∴．
∵，
∴，，不滿足三角形的三邊關系．
綜上所述，，．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，，．求的長．
【答案】
【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，三角形高的定義，先根據三角形面積計算公式求出，再由三角形中線的定義即可得到．
【詳解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中線，
∴．
【變式訓練3-3】如圖，的周長為分別是邊上的中線，的延長線交于點，且，求的長．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的中線的定義和性質，三角形的周長，由分別是邊上的中線，得到，，進而由周長為得到，根據三角形的三條中線相交于一點，得到是的中線，即可求出的長，掌握三角形的三條中線相交于一點是解題的關鍵．
【詳解】解：∵分別是邊上的中線，
∴，，
∵的周長為，
∴，
∴，
∵三角形的三條中線相交于一點，
∴是的中線，
∴，
∴的長為．
【變式訓練3-4】如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的中線的定義，根據題意得出，，代入數據即可求解．
【詳解】解：是的邊上的中線，
，
又，的周長比的周長多，
，
即，
，
故答案為：．
【變式訓練3-5】如圖，是的中線，已知的周長為，比長，則的周長為 。
【答案】/13厘米
【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，由是的中線得到，由的周長為得，再由比長得到，等量代換后即可得到答案．
【詳解】解：∵是的中線，
∴，
∵的周長為，
∴，
∴，
∵比長，
∴，
∴，
∴，
∴的周長，
故答案為：
題型四：根據三角形的中線求面積
【經典例題4】如圖所示，在中，D、E、F分別為、、的中點，且（陰影部分），則的面積等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查三角形的中線及三角形的面積，利用三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分得到，再利用點為的中點得到，然后利用點為的中點得到，，從而得到的值．解題的關鍵是掌握：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，三角形的面積等于底與高的乘積的一半．
【詳解】解：∵點是的中點，（陰影部分），
∴，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∵點為的中點，
∴，，
∴，
∴的面積等于．
故選：A．
【變式訓練4-1】如圖，在中，點為邊的中點，連接，取的中點，連接，，點為的中點，連接，若的面積為，則的面積為（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本題考查了根據三角形中線求面積，根據中點，推出，，根據得出答案即可，明白等底同高的三角形面積相等是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點為邊的中點，
∴，
∴和等底同高，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∴和等底同高，
∴，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∴和等底同高，和等底同高，
∴，，
∴，
故選：A．
【變式訓練4-2】如圖，，是的兩條中線，連接．若，則陰影部分的面積是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查的是三角形的中線，熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵．根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分計算即可．
【詳解】解：是的中線，，
，
是的中點，
，
故選：B
【變式訓練4-3】如圖，在中，是的中點，是上的一點，且，與相交于點，若的面積為，則四邊形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的中線的性質，連接，根據題意得出進而根據是的中點，得出，，設，則，根據列出方程，解方程得，進而根據即可求解．
【詳解】解：連接，
，
，
的面積為，
，
是的中點，
∴，，
設，
則，
，
解得，
四邊形的面積為，
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，已知點D，E，F分別為，，的中點，若的面積為20，則四邊形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了利用三角形的中線求面積問題，熟練掌握和利用三角形的中線求面積的方法是解決本題的關鍵．根據三角形一邊上的中線，把三角形分成面積相等的兩部分，即可求解．
【詳解】解：點D為的中點，的面積為20，
，
點E為的中點，
，
點F為的中點，
，，
四邊形的面積為，
故答案為：．
【變式訓練4-5】如圖，在中，延長至點，使得，延長至點，使得，延長至點，使得，連接、、，若，則為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的面積，三角形中線的性質，根據同高的三角形底邊之間的關系分別求出、、、、、，即可求出的面積．
【詳解】解：如圖，連接、、，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案為：．
題型五：角平分線的認識
【經典例題5】如圖，在中，，G為的中點，的延長線交于點E，F為上的一點，于H，下面判斷正確的有（ ）
是的角平分線；
是的邊上的中線；
是的邊上的高；
是的角平分線和高．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，連接三角形的頂點和對邊中點的線段即為三角形的中線；三角形的一個角的角平分線和對邊相交，頂點和交點間的線段叫三角形的角平分線；從三角形的一個頂點向對邊引垂線，頂點和垂足間的線段叫三角形的高．根據三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進行判斷即可．
【詳解】解：①根據三角形的角平分線的概念知是的角平分線，故原說法錯誤，不符合題意；
②根據三角形的中線的概念知是的邊上的中線，故原說法錯誤，不符合題意；
③根據三角形的高的概念知是的邊上的高，故原說法正確，符合題意；
④根據三角形的角平分線和高的概念知是的角平分線和高，故原說法正確，符合題意；
說法正確的有③④，共2個，
故選：B．
【變式訓練5-1】在中，線段，分別是高線，中線和角平分線，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據垂線段最短即可判斷．本題考查三角形的角平分線、高、中線，垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
【詳解】解：∵是邊上的高線，
∴根據垂線段最短可知：，
故選：A．
【變式訓練5-2】如圖，的角平分線與中線交于點，則結論（　　）
①是的角平分線；
②是的中線．

A．①，②都正確B．①不正確，②正確C．①，②都不正確 D．①正確，②不正確
【答案】D
【分析】根據三角形的角平分線的定義，三角形的中線的定義可知．三角形其中一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線．
【詳解】解：是的角平分線，
則是的角平分線，
所以是的角平分線，故①正確；
是的中線，
則E是是中點，而O不一定是的中點，故②錯誤．
故選：D．
【變式訓練5-3】下列說法中錯誤的是（ ）
A．三角形的高、中線、角平分線都是線段 B．三角形的三條中線都在三角形內部
C．銳角三角形的三條中線一定交于同一點 D．三角形的三條高交于同一點
【答案】D
【分析】根據三角形的高線、中線、角平分線即可解答．
【詳解】解： 三角形的高、中線、角平分線都是線段，此說法正確，故項不符合題意；
三角形的三條中線都在三角形內部，此說法正確，故不符合題意；
銳角三角形的三條中線一定交于同一點，此說法正確，故不符合題意；
三角形的三條高線所在的直線交于一點，故符合題意．
故選．
【變式訓練5-4】下列說法正確的是（ ）
①三角形的角平分線可能在三角形的內部或外部 ②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形 ③三角形三條高都在三角形內部 ④三角形的三條中線交于一點
A．①②③④ B．②④ C．①③ D．④
【答案】D
【分析】根據三角形的角平分線的定義和性質判斷①；根據三角形分類判斷②；根據三角形的高的定義及
性質判斷③；根據三角形的中線的定義及性質判斷④即可．
【詳解】解：三角形的三條角平分線都在三角形內部，故①說法錯誤；
三角形按邊分類可分為等腰三角形、和不等邊三角形，等腰三角形分為等邊三角形和底和腰不相
等的等腰三角形，故②說法錯誤；
銳角三角形的三條高都在三角形內部；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內
部；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部．故③說法錯誤；
三角形的三條中線交于一點，故④說法正確；
所以說法正確的是④，
故選：D．
【變式訓練5-5】在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對角的角平分線，最短的是（　　）
A．角平分線 B．高 C．中線 D．不能確定
【答案】B
【分析】根據垂線段最短解答．
【詳解】∵是三條邊都不相等的三角形的同一條邊上的中線、高和這邊所對角的角平分線，
∴最短的是高線．
故選：B．
【變式訓練5-6】下列說法正確的個數有（ ）
①三角形的高、中線、角平分線都是線段；
②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于同一點；
③三角形的三條高都在三角形內部；
④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據三角形的三條中線都在三角形內部；三角形的三條角平分線都在三角形內部；三角形三條高可以在內部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上即可作答．
【詳解】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；
②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于同一點，故正確；
③鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤；
④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，故正確．
所以正確的有3個．
故選：C．
題型六：利用網格求三角形面積
【經典例題6】如圖是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，的頂點均在格點上，將先向上平移1個單位，再向右平移2個單位，按要求回答問題．
(1)畫出平移后的．
(2)平移后，和兩條線段之間的關系 ．
(3)在平移過程中，求出線段掃過的面積．
【答案】(1)圖見解析
(2)且
(3)9
【分析】本題主要考查了平移作圖，平移的性質，根據網格求三角形的面積，解題的關鍵是作出對應點的位置．
（1）作出點A、B、C平移后的對應點、、，然后順次連接即可；
（2）根據平移的性質進行求解即可；
（3）利用割補法求出四邊形的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：觀察圖形，結合平移的性質可知：且．
（3）解：根據平移可知：掃過的圖形為四邊形，連接，，取格點E，
則線段掃過的面積為：
．
【變式訓練6-1】如圖，在方格紙中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，的三個頂點就是小正方形的格點，將向右平移4個單位長度再向上平移1個單位長度，得到．
(1)畫出；
(2)在圖中連接、，那么與的關系是 ；
(3)的面積為 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析，平行且相等
(3)3
【分析】本題考查作圖-平移變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握平移變換的性質，屬于中考常考題型．
（1）利用平移變換的性質分別作出A，B，C的對應點，即可．
（2）根據平移的性質求解即可；
（3）利用分割法把三角形面積看成矩形面積截取周圍三個三角形面積即可．
【詳解】（1）如圖，即為所作；
（2）如圖：
∵平移得到，
∴，，
故答案為：平行且相等；
（3）．
【變式訓練6-2】如圖，在所給的網格圖（每個小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：
(1)作出三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形；
(2)連結，，判斷與的位置關系，并求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2);面積為．
【分析】（1）將三角形的三個頂點進行平移，然后連接即可；
（2）根據平移的性質即可判斷；利用網格求面積即可；
【詳解】（1）解：如圖即為所求圖形;
（2）解：三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形,
，
四邊形的面積為．
【變式訓練6-3】如圖，在每格邊長為1的網格上．平移格點三角形，使三角形的頂點A平移到格點D處．
(1)請畫出平移后的圖形三角形（B，C的對應點分別為點E，F）
(2)求三角形的面積．
(3)直接寫出線段與線段之間的關系．
【答案】(1)見解析
(2)4
(3)且
【分析】本題主要考查圖形平移：
（1）根據A、D兩點位置可得三角形向右平移4個單位，又向下平移1個單位，從而確定B、C兩點平移后位置，再順次連接起來即可得到三角形的位置；
（2）利用長方形面積減去周圍多余三角形的面積可得三角形的面積；
（3）根據平移的性質可得且．
【詳解】（1）解：如圖，三角形即為所求；
（2）解：三角形的面積為．
（3）解：由平移的性質得：且．
【變式訓練6-4】如圖，在平面直角坐標系中，，，．
(1)在圖中作出關于軸對稱的；
(2)在圖中作出三角形中邊上的中線；
(3)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查作圖軸對稱變換、三角形的中線、三角形的面積，熟練掌握軸對稱的性質、三角形的中線的定義是解答本題的關鍵．
（1）根據軸對稱的性質作圖即可．
（2）取的中點，連接即可．
（3）利用割補法求三角形的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作的三角形；
（2）解：如圖，即為所求．
（3）解：的面積為：
．
【變式訓練6-5】如圖，的三個頂點的坐標分別為．
(1)將向下平移4個單位得到，畫出．
(2)請畫出關于軸對稱的．
(3)求出的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)5
【分析】本題考查了作圖—平移變換、軸對稱變換，求三角形面積，熟練掌握平移的性質和軸對稱的性質是解此題的關鍵．
（1）利用平移的性質作出點的對應點，再順次連接即可；
（2）利用軸對稱的性質作出點的對應點，再順次連接即可；
（3）利用割補法求三角形的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作，
;
（2）解：如圖，即為所作，
；
（3）解：由圖可得：
．
題型七：三角形三條重要線段應用之探究問題
【經典例題7】綜合與實踐
問題情境 數學活動課上，老師提出了如下問題：如圖，在中，，是上一點，過點作，，垂足分別為，，過點作，垂足為，連接．

【特例探究】（1）如圖1．當為邊的中點時，利用面積之間的關系可以發現線段，，之間的數量關系為________．
【深入探究】（2）如圖2，當為邊上的任意一點時，（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請寫出成立的數量關系，并說明理由．
【拓展探究】（3）如圖3，當點在邊的延長線上時．
①試猜想線段，，之間的數量關系，并證明你的猜想．
②當，，時，線段的長為________．
【答案】（1）；（2）（1）中的數量關系仍然成立．證明見解析；（3）①；②6
【分析】（1）由題意得出，則得出，可證出結論；
（2）方法同（1）可得出結論；
（3）①根據可得出結論；
②由三角形面積求出，則可得出答案．
【詳解】解：（1），，，
，
，
，
．
故答案為：．
（2）（1）中的數量關系仍然成立．
證明：，，，
，
，
，
．
（3）①，，，
，
，
，
；
②，，
，
，
由①可知，
，
故答案為：6．
【變式訓練7-1】【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．
例如：如圖（1）．在和中，和分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．

【性質探究】
如圖（1），用分別表示和的面積．
則，
∵
∴．
【性質應用】
(1)如圖②，是的邊上的一點．若，則__________；
(2)如圖③，在中，分別是和邊上的點．若，，求和的面積．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題主要考查三角形的面積公式，理解等高的兩個三角形的面積比等于底的比是解題的關鍵．
（1）根據等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根據和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面積比即底的比，從而求出面積，
【詳解】（1）解：如圖，過點A作，
則
．

（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【變式訓練7-2】如圖，已知：點分別在的邊上，連接與交于點，．

(1)如圖1，當都是的角平分線時，求的度數；
(2)如圖2，當都是的高時，求的度數；
(3)如圖3，當時，探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，見解析
【分析】（1）根據角平分線的定義可得，結合三角形的內角和定理，得出，，進而推出，即可求解；
（2）根據，都是的高，可得出，進而得出，根據，則，求解即可；
（3）根據三角形的外角定理可得，，根據，，得出，求出，，即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵，都是的角平分線，
∴，，
∴，
∵，
，
∴
∴；
（2）解：∵，都是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練7-3】【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．
例如：如圖（1）．在和中，和分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．

【性質探究】
如圖（1），用分別表示和的面積．
則，
∵
∴．
【性質應用】
(1)如圖②，是的邊上的一點．若，則__________；
(2)如圖③，在中，分別是和邊上的點．若，，求和的面積．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根據等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根據和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面積比即底的比，從而求出面積，
【詳解】（1）3∶4；

解：如圖，過點A作，
則
．
（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【變式訓練7-4】在中，，過點C作于D，

(1)在圖1中，若，，，則 ，邊上的高 ；
(2)在圖2中，若點P是B，C所在直線上的一點（不與點B，C重合），過點P作于E，作于F，請你補齊圖形，嘗試探究線段，，之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)；
(2)圖形見詳解，當點在線段上運動時，；當點在點左邊運動時，；當點在點右邊運動時，．理由見解析．
【分析】（1），據此即可求解；
（2）分類討論當點在線段上運動、當點在點左邊運動、當點在點右邊運動，結合之間的關系即可求解．
【詳解】（1）解：，
∵
∴
故答案為：；
（2）解：當點在線段上運動時，連接，如圖所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
當點在點左邊運動時，連接，如圖所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
當點在點右邊運動時，連接，如圖所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
【變式訓練7-5】小明在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如圖探究：

【習題回顧】：
(1)已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點．試說明：；
【變式思考】：
(2)如圖2，在中，，是邊上的高，的外角的平分線交的延長線于點，的反向延長線與邊的延長線交于點，若，求和的度數．
【答案】(1)見解析
(2)，
【分析】（1）先證明，，再結合三角形的外角的性質可得結論；
（2）先求解，結合角平分線可得，證明，再利用三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】（1）解：，是高，
，，
，
是角平分線，
，
，，
．
（2），，
，
為的角平分線，
，
為邊上的高，
，
，
又，，
．
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1.1.2 三角形的高、中線、角平分線七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：畫三角形的高
【經典例題1】如圖，在中，邊上的高線是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【變式訓練1-1】如圖，在中，下列關于高的說法正確的是（ ）
A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高
【變式訓練1-2】如圖圖形中，線段是的高的是（　　）
A．B． C． D．
【變式訓練1-3】如圖，在中，關于高的說法正確的是（ ）
A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高
【變式訓練1-4】如圖，中，，，，，垂足分別為、、，則線段 是中邊上的高．
【變式訓練1-5】如圖，在中，于，那么圖中以為高的三角形共有 個．
題型二：與三角形高有關的計算
【經典例題2】如圖，、是的高，，，，則（ ）
A． B．10 C． D．6
【變式訓練2-1】如圖，在中，，三角形面積為27，點O是邊上任意一點，則點O分別到，邊的距離之和等于（ ）
A．5 B． C．9 D．10
【變式訓練2-2】如圖，在中，，，，，則點到邊距離為 ．
【變式訓練2-3】如圖，在中，，，，，， 則的長為
【變式訓練2-4】如圖，為鈍角三角形，分別過點作邊上的高，已知，，，則的長為 ．

【變式訓練2-5】如圖，已知分別是中邊上的高，，求的長．
【變式訓練2-6】如圖，在中，，為邊上的高，與交于點．若，求的度數．
題型三：根據三角形的中線求長度
【經典例題3】如圖，在中，是中線，，．
(1)與的周長差為_______cm．
(2)點E在邊上，連接，若三角形的周長被分成的兩部分的差是2cm，求線段的長．
【變式訓練3-1】在中，，邊上的中線把的周長分成和兩部分，求邊和的長．（提示：設）
【變式訓練3-2】如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，，．求的長．
【變式訓練3-3】如圖，的周長為分別是邊上的中線，的延長線交于點，且，求的長．
【變式訓練3-4】如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則 ．
【變式訓練3-5】如圖，是的中線，已知的周長為，比長，則的周長為 。
題型四：根據三角形的中線求面積
【經典例題4】如圖所示，在中，D、E、F分別為、、的中點，且（陰影部分），則的面積等于（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，在中，點為邊的中點，連接，取的中點，連接，，點為的中點，連接，若的面積為，則的面積為（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2
【變式訓練4-2】如圖，，是的兩條中線，連接．若，則陰影部分的面積是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式訓練4-3】如圖，在中，是的中點，是上的一點，且，與相交于點，若的面積為，則四邊形的面積為 ．
【變式訓練4-4】如圖，已知點D，E，F分別為，，的中點，若的面積為20，則四邊形的面積為 ．
【變式訓練4-5】如圖，在中，延長至點，使得，延長至點，使得，延長至點，使得，連接、、，若，則為 ．
題型五：角平分線的認識
【經典例題5】如圖，在中，，G為的中點，的延長線交于點E，F為上的一點，于H，下面判斷正確的有（ ）
是的角平分線；
是的邊上的中線；
是的邊上的高；
是的角平分線和高．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練5-1】在中，線段，分別是高線，中線和角平分線，則（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，的角平分線與中線交于點，則結論（　　）
①是的角平分線；
②是的中線．

A．①，②都正確B．①不正確，②正確C．①，②都不正確 D．①正確，②不正確
【變式訓練5-3】下列說法中錯誤的是（ ）
A．三角形的高、中線、角平分線都是線段 B．三角形的三條中線都在三角形內部
C．銳角三角形的三條中線一定交于同一點 D．三角形的三條高交于同一點
【變式訓練5-4】下列說法正確的是（ ）
①三角形的角平分線可能在三角形的內部或外部 ②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形 ③三角形三條高都在三角形內部 ④三角形的三條中線交于一點
A．①②③④ B．②④ C．①③ D．④
【變式訓練5-5】在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對角的角平分線，最短的是（　　）
A．角平分線 B．高 C．中線 D．不能確定
【變式訓練5-6】下列說法正確的個數有（ ）
①三角形的高、中線、角平分線都是線段；
②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于同一點；
③三角形的三條高都在三角形內部；
④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型六：利用網格求三角形面積
【經典例題6】如圖是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，的頂點均在格點上，將先向上平移1個單位，再向右平移2個單位，按要求回答問題．
(1)畫出平移后的．
(2)平移后，和兩條線段之間的關系 ．
(3)在平移過程中，求出線段掃過的面積．
【變式訓練6-1】如圖，在方格紙中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，的三個頂點就是小正方形的格點，將向右平移4個單位長度再向上平移1個單位長度，得到．
(1)畫出；
(2)在圖中連接、，那么與的關系是 ；
(3)的面積為 ．
【變式訓練6-2】如圖，在所給的網格圖（每個小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：
(1)作出三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形；
(2)連結，，判斷與的位置關系，并求四邊形的面積．
【變式訓練6-3】如圖，在每格邊長為1的網格上．平移格點三角形，使三角形的頂點A平移到格點D處．
(1)請畫出平移后的圖形三角形（B，C的對應點分別為點E，F）
(2)求三角形的面積．
(3)直接寫出線段與線段之間的關系．
【變式訓練6-4】如圖，在平面直角坐標系中，，，．
(1)在圖中作出關于軸對稱的；
(2)在圖中作出三角形中邊上的中線；
(3)求的面積．
【變式訓練6-5】如圖，的三個頂點的坐標分別為．
(1)將向下平移4個單位得到，畫出．
(2)請畫出關于軸對稱的．
(3)求出的面積．
題型七：三角形三條重要線段應用之探究問題
【經典例題7】綜合與實踐
問題情境 數學活動課上，老師提出了如下問題：如圖，在中，，是上一點，過點作，，垂足分別為，，過點作，垂足為，連接．

【特例探究】（1）如圖1．當為邊的中點時，利用面積之間的關系可以發現線段，，之間的數量關系為________．
【深入探究】（2）如圖2，當為邊上的任意一點時，（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請寫出成立的數量關系，并說明理由．
【拓展探究】（3）如圖3，當點在邊的延長線上時．
①試猜想線段，，之間的數量關系，并證明你的猜想．
②當，，時，線段的長為________．
【變式訓練7-1】【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．
例如：如圖（1）．在和中，和分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．

【性質探究】
如圖（1），用分別表示和的面積．
則，
∵
∴．
【性質應用】
(1)如圖②，是的邊上的一點．若，則__________；
(2)如圖③，在中，分別是和邊上的點．若，，求和的面積．
【變式訓練7-2】如圖，已知：點分別在的邊上，連接與交于點，．

(1)如圖1，當都是的角平分線時，求的度數；
(2)如圖2，當都是的高時，求的度數；
(3)如圖3，當時，探究與的數量關系，并說明理由．
【變式訓練7-3】【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．
例如：如圖（1）．在和中，和分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．

【性質探究】
如圖（1），用分別表示和的面積．
則，
∵
∴．
【性質應用】
(1)如圖②，是的邊上的一點．若，則__________；
(2)如圖③，在中，分別是和邊上的點．若，，求和的面積．
【變式訓練7-4】在中，，過點C作于D，

(1)在圖1中，若，，，則 ，邊上的高 ；
(2)在圖2中，若點P是B，C所在直線上的一點（不與點B，C重合），過點P作于E，作于F，請你補齊圖形，嘗試探究線段，，之間的數量關系，并說明理由．
【變式訓練7-5】小明在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如圖探究：

【習題回顧】：
(1)已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點．試說明：；
【變式思考】：
(2)如圖2，在中，，是邊上的高，的外角的平分線交的延長線于點，的反向延長線與邊的延長線交于點，若，求和的度數．
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