資源簡介

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1.1.3 三角形的內角和定理七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：三角形內角和定理求角度
【經典例題1】若三角形三個內角度數之比為，則這個三角形一定是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【變式訓練1-1】如圖，射線分別交直線于點，當時，的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】在中，，，則是 三角形．（填“銳角”“直角”或“鈍角”）
【變式訓練1-3】三角形三個內角的度數比為，則此三角形為 ．
【變式訓練1-4】如圖，中，是高，是三角形的角平分線，，，求的度數．
【變式訓練1-5】如圖，在中，，，將沿方向向右平移得到．
(1)試求出的度數；
(2)若，．請求出的長度．
題型二：與三角板有關的三角形內角和問題
【經典例題2】將一把含角的直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置擺放(直尺一邊經過A)，若．則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練2-1】兩個直角三角板如圖所示擺放，其中，，，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”．，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】把一副三角板擺放成如圖所示的形狀，使兩個直角頂點重合，已知，，，若,則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，與交于點．若，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練2-5】將一副三角板按如圖方式放置，點B在邊上，點C在邊的延長線上，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
題型三：與平行有關的三角形內角和問題
【經典例題3】如圖，已知，，垂足為點B，那么之間的數量關系是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式訓練3-1】如圖，，，則、的關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，，，，連接，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練3-3】如圖，已知，，，，那么 ．
【變式訓練3-4】如圖，直線，是直線上一點，是直線外一點，若，，則的度數為 ．
【變式訓練3-5】如圖，點B，C，F，E在同一條直線上，．
(1)若，，求的度數；
(2)若，求證：．
題型四：與角平分線有關的三角形內角和問題
【經典例題4】如圖，在中，平分交于點，平分交于點，若，，則的度數為 ．
【變式訓練4-1】如圖，在中，分別是，的平分線，分別是，的平分線．
(1)當，時，________，________，
(2)若，求，的度數；
(3)請你猜想，當的大小變化時，的值是否變化？請說明理由．
【變式訓練4-2】【探究】如圖①，和的平分線交于點，經過點且平行于，分別與、交于點、．
（1）若，，則　　度，　　度．
（2）若，求的度數．
【拓展】如圖②，和的平分線交于點，經過點且平行于，分別與、交于點、．若，直接寫出的度數．（用含的代數式表示）
【變式訓練4-3】如圖，點、分別在的邊、上運動（不與點重合），是的平分線，的反向延長線交的平分線于點．
(1)如圖（1）當，時，　　．
(2)如圖（2）當時，　?。?br/>(3)在解題過程中，你認為與是否有數量關系，如有請寫出關系式并說明理由．
【變式訓練4-4】如圖，在中，平分，于點，交于點．若，求的度數．
【變式訓練4-5】如圖，在中，平分交于點，是的高，與交于點．若，，求的度數．
題型五：三角形折疊中的角度問題
【經典例題5】在中，，點D是上一點，將沿翻折后得到，邊交射線于點F，，若中有兩個角相等，則 ．
【變式訓練5-1】如圖，將紙片先沿折疊，再沿折疊，若，則 °．
【變式訓練5-2】如圖，已知線段與直線的夾角，點在上，點是直線上的一個動點，將沿折疊，使點落在點處，當時，則 度．

【變式訓練5-3】如圖，將沿，翻折，頂點A，B均落在點O處，且與重合于線段，若，則等于 .
【變式訓練5-4】折紙是我國一項古老的傳統民間藝術，這項具有中國特色的傳統文化在幾何中可以得到新的解讀．如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，交于點F，若，且，則的度數為 ．
【變式訓練5-5】將的頂角A沿直線DE折疊（如圖），點A的對應點為點，記為，為．
(1)如圖1，當點A的對應點落在內部時，試探求與的數量關系，并說明理由；
(2)如圖2，當點A的對應點落在外部時，與又有怎樣的數量關系呢？請寫出猜想，并給予證明．
題型六：三角形內角和綜合證明
【經典例題6】如圖，在等腰三角形中，，延長到點，延長到點．
(1)判斷與的數量關系，并說明理由；
(2)的平分線交直線于點，若，求的度數；
(3)點是上一點，過點作交于點，在（）條件下求的度數．
【變式訓練6-1】如圖，在四邊形中，，連接，點E在邊上，點F在邊上，且．
(1)求證：；
(2)若平分，，，求的度數．
【變式訓練6-2】如圖，點E在上，平分，．
(1)若，求證：；
(2)若，，且，求的度數．
【變式訓練6-3】已知：如圖，中，在直線的下方，且，．

(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)沿直線平移線段至，連結，若直線，求的度數．
【變式訓練6-4】如圖，是的高，點E、F在、上，，，．
(1)求的度數；
(2)若，求證：．
【變式訓練6-5】如圖，點D在的邊延長線上，點E在邊上，連接交于點F，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
題型七：三角形內角和定理應用之探究問題
【經典例題7】問題提出：射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．
(1)若，則直接寫出的大?。?br/>(2)數學探究：如圖2，有兩塊平面鏡，，且，入射光線經過兩次反射，得到反射光線．
完成如下問題：
①若，直接寫出的度數．
②求證：．
拓展運用：有兩塊平面鏡，，入射光線經過兩次反射，得到反射光線，光線與相交于點，如圖3，圖4．若，．直接寫出，滿足的數量關系．
【變式訓練7-1】如圖1，已知線段相交于點，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．

(1)求證：；
(2)如圖2，若和的平分線、相交于點，且與分別相交于點．
①以線段為邊的“8字型”有__________個，以點為交點的“8字型”有__________個；
②若，求的度數；
③若角平分線中角的關系改為，試探究與之間存在的數量關系，并證明理由．
【變式訓練7-2】如圖，在中，，，，E為的中點，動點D在上從點A向點B運動，將沿翻折，使點A落在點處．
(1)如圖，當時，求的度數；
(2)若與點C重合，證明：；
(3)點D從點A運動到點B的過程中，探究與的數量關系，并說明理由．
【變式訓練7-3】綜合探究
如圖，在直角中，，點A在直線上，點D、E在直線上運動（點D不與點A重合），且始終滿足平分．
(1)當點D在點A左側時，請直接寫出與之間的數量關系．
(2)若，在點D、E運動的過程中，當是直角三角形時，求的度數．
(3)請你在以點C為頂點的角中任選一個（、、除外），在點D、E運動的過程中，探究所選角與的數量關系，并寫出具體過程．
【變式訓練7-4】探究：
(1)如圖①與有什么關系？為什么？
(2)把圖①沿折疊，得到圖②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如圖③，是由圖①的沿折疊得到的，如果，則______．
猜想三個角存在的等量關系為______．
【變式訓練7-5】將一塊直角三角板放置在銳角上，使得該三角板的兩條直角邊、恰好分別經過點B、C．
(1)如圖①，若時，點D在內，則____度，______度，_____度；
(2)如圖②，改變直角三角板的位置，使點D在內，請探究、、之間存在怎樣的數量關系，并驗證你的結論．
(3)如圖③，改變直角三角板的位置，使點D在外，且在邊的左側，判斷、、三者之間存在的數量關系并說明理由．
題型八：直角三角兩個銳角互余
【經典例題8】如圖，在中，D為上一點，為的高，為的角平分線．若，，求的度數．
【變式訓練8-1】如圖，在中，平分交于點E．過點E作，垂足為F．
(1)若，，求，的度數；
(2)若，，請直接用含，的式子表示，．
【變式訓練8-2】已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．
(1)如圖1，若AE⊥BC于E，∠C＝35°，求∠DAE的大??；
(2)如圖2，P為CB延長線上一點，過點P作PF⊥AD于F，求證：∠P（∠ABC﹣∠ACB）．
【變式訓練8-3】如圖，中，，垂足為，．
（1）求的度數；
（2）過作于，于，寫出圖2中與相等的所有角（不含本身）．
【變式訓練8-4】如圖，在中，是高，，是角平分線，它們相交于點，，，則和的度數是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【變式訓練8-5】如圖，在中，是邊上的高，平分交邊于E，，，則的大小是（　?。?br/>A． B． C． D．
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1.1.3 三角形的內角和定理七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：三角形內角和定理求角度
【經典例題1】若三角形三個內角度數之比為，則這個三角形一定是（　?。?br/>A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】此題主要考查了三角形的內角和定理：三角形的內角和為，熟練掌握這個定理是解答此題的關鍵．先根據三角形的內角和定理和三個內角的度數比三個內角中最大內角，然后再判斷三角形的形狀即可．
【詳解】解：∵三角形三個內角度數的比為，
∴三個內角中最大內角是
∴該三角形是直角三角形．
故選：B．
【變式訓練1-1】如圖，射線分別交直線于點，當時，的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查相交線的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握相交線的性質，三角形的內角和定理是解題的關鍵．計算出的度數即可得到答案．
【詳解】解：標記，如解圖所示．
，
，
．
故選C．
【變式訓練1-2】在中，，，則是 三角形．（填“銳角”“直角”或“鈍角”）
【答案】鈍角
【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，結合三角形的內角和為，求出與的度數，再判斷三角形的類型即可．解題的關鍵是掌握：三角形的內角和為．
【詳解】解：∵，，，
∴，
解得：，
∴，
∴是鈍角三角形．
故答案為：鈍角．
【變式訓練1-3】三角形三個內角的度數比為，則此三角形為 ．
【答案】鈍角三角形
【分析】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，三角形的分類，先求解三角形的最大內角，再判斷即可．
【詳解】解：由題意，得：最大的角為：；
∴此三角形為鈍角三角形；
故答案為：鈍角三角形．
【變式訓練1-4】如圖，中，是高，是三角形的角平分線，，，求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形內角和定理，先由三角形內角和定理得出，再由角平分線的定義得出，再求出的度數，即可得出答案．
【詳解】解：在中，，
又∵為角平分線，
∴，
∵是高，
∴，
在中，，
∴．
【變式訓練1-5】如圖，在中，，，將沿方向向右平移得到．
(1)試求出的度數；
(2)若，．請求出的長度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了平移的性質，注意：①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；②連接各組對應點的線段平行且相等．
（1）根據平移可得，對應角相等，由的度數可得的度數；
（2）根據平移可得，對應點連線的長度相等，由的長可得的長．
【詳解】（1）解：在中，，，
，
由平移得，；
（2）解：由平移得，，
，，
，
．
題型二：與三角板有關的三角形內角和問題
【經典例題2】將一把含角的直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置擺放(直尺一邊經過A)，若．則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質、三角形內角和定理等，如圖，根據平行線的性質可得，根據對頂角相等可得，再利用三角形內角和為180度即可求解．
【詳解】解：如右圖所示，

∵，，
∴，
∴，
∴．
故選C．
【變式訓練2-1】兩個直角三角板如圖所示擺放，其中，，，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質等知識．熟練掌握三角形內角和定理，平行線的性質是解題的關鍵．
由三角形內角和定理可求，，，由，可得，即，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∵，
∴，即，
解得，，
故選：B．
【變式訓練2-2】如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”．，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質等知識．熟練掌握三角形內角和定理，平行線的性質是解題的關鍵．
由三角形內角和定理可求，，由，可得，根據，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
【變式訓練2-3】把一副三角板擺放成如圖所示的形狀，使兩個直角頂點重合，已知，，，若,則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了平行線的性質、三角形內角和定理等知識，由平行線的性質求出，由三角形內角和定理求出，根據周角的定義即可求出的度數.
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴
故選：C
【變式訓練2-4】兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，與交于點．若，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，先由三角形內角和定理得到，再由平角的定義得到 ，則由三角形內角和定理可得．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練2-5】將一副三角板按如圖方式放置，點B在邊上，點C在邊的延長線上，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的定義，三角形內角和定理，由題意可知，，，從而得到，再由，得到，根據三角形內角和定理即可求解，掌握相關性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
題型三：與平行有關的三角形內角和問題
【經典例題3】如圖，已知，，垂足為點B，那么之間的數量關系是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，
延長交于點G，根據平行線的性質得到，然后表示出，，然后在中利用三角形內角和定理求解即可．
【詳解】如圖所示，延長交于點G，
∵
∴
∴
∵
∵
∴
∴整理得，．
故選：D．
【變式訓練3-1】如圖，，，則、的關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查平行線的性質，三角形內角和定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．
延長交于點G，延長交于點H，求出，，再根據平行線的性質得出，進而可得答案．
【詳解】解：延長交于點G，延長交于點H，如圖，
，
，
在中，，
，
，
，即，
，
，即．
故選：D．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，，，，連接，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延長交于點，根據，利用三角形和為，求得，再根據，可得出，再根據求得．
【詳解】解：如圖，延長交于點，

，，
，
，
，
，
，
故選：A．
【變式訓練3-3】如圖，已知，，，，那么 ．
【答案】/28度
【分析】此題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，
首先根據三角形內角和定理得到，然后由平行線的性質得到，然后根據三角形內角和定理求解即可．
【詳解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
【變式訓練3-4】如圖，直線，是直線上一點，是直線外一點，若，，則的度數為 ．
【答案】/120度
【分析】直接利用平行線的性質并結合三角形內角和定理即可得出答案．
【詳解】解：延長交于點，
∵，，，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴的度數為．
故答案為：．
【變式訓練3-5】如圖，點B，C，F，E在同一條直線上，．
(1)若，，求的度數；
(2)若，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了三角形內角和外角的性質、平行線的性質和判定，掌握并靈活運用相關知識是解題關鍵．
（1）根據外角的性質有，結合條件即可得解；
（2）由平行線的性質易得，再由外角的性質有，，根據角的轉化易得，從而．
【詳解】（1）解：，，
，
是的外角，，
；
（2）證明：，
．
、分別是、的外角，
，，
，
，
．
題型四：與角平分線有關的三角形內角和問題
【經典例題4】如圖，在中，平分交于點，平分交于點，若，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形內角和定理、三角形外角的性質，先根據三角形內角和定理，計算，再根據角平分線的定義，求出和的度數，最后根據三角形外角的性質計算，得出答案即可，熟練掌握三角形內角和定理、三角形外角的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分交于點，平分交于點，
∴，，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-1】如圖，在中，分別是，的平分線，分別是，的平分線．
(1)當，時，________，________，
(2)若，求，的度數；
(3)請你猜想，當的大小變化時，的值是否變化？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)的值不變，理由見解析
【分析】本題主要考查了角平分線的有關計算、三角形的內角和定理等知識點，學會整體思想是解題關鍵．
（1）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理解答即可；
（2）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理解答即可；
（3）利用（2）的結論即得結果．
【詳解】（1）解：∵分別是，的平分線，，，
∴，，
∴；
∵分別是，的平分線，
∴，
∴．
故答案為60，120．
（2）解：在中，，
∵，分別是，的平分線，
∴，，
∴，
∵，，
，，
∴，，
∵，分別是，的平分線，
∴，
∴．
（3）解：的值不變，理由如下：
由（2）可知：，，
∴，即當的大小變化時，的值不變．
【變式訓練4-2】【探究】如圖①，和的平分線交于點，經過點且平行于，分別與、交于點、．
（1）若，，則　　度，　　度．
（2）若，求的度數．
【拓展】如圖②，和的平分線交于點，經過點且平行于，分別與、交于點、．若，直接寫出的度數．（用含的代數式表示）
【答案】（1）30，125；（2）；拓展：
【分析】本題主要考查了平行線的性質以及三角形內角和定理的綜合運用，解決問題的關鍵是掌握：兩直線平行，內錯角相等．
探究：（1）依據角平分線以及平行線的性質，即可得到的度數，依據三角形內角和定理，即可得到的度數；
（2）依據角平分線以及平行線的性質、三角形內角和定理，即可得到的度數；
拓展：根據和的平分線交于點，可得，，再根據進行計算，即可得到的度數．
【詳解】探究：（1），平分，
，
又，
；
，平分，
，
中，；
故答案為：30，125；
（2）平分，平分，
，．
，
．
，
，．
．
，
．
拓展：和的平分線交于點，
，，
．
【變式訓練4-3】如圖，點、分別在的邊、上運動（不與點重合），是的平分線，的反向延長線交的平分線于點．
(1)如圖（1）當，時，　?。?br/>(2)如圖（2）當時，　　．
(3)在解題過程中，你認為與是否有數量關系，如有請寫出關系式并說明理由．
【答案】(1)45
(2)120
(3)，理由見解析
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵．
（1）根據三角形的內角和定理和角平分線的定義即可得到結論；
（2）根據三角形的內角和定理和角平分線的定義即可得到結論；
（3）由（2）的思路可得結論．
【詳解】（1）解： ，，
，
，
是的平分線，
，
平分，
，
，
（2）設，，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
．
（3），理由如下：
設，
平分，
，
設，
，
平分，
，
，
．
【變式訓練4-4】如圖，在中，平分，于點，交于點．若，求的度數．
【答案】114°
【分析】本題主要考查了角平分線、垂線以及三角形外角的定義和性質，熟練掌握三角形外角的定義和性質是解題關鍵．根據題意易得，，然后根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和”，利用求解即可．
【詳解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練4-5】如圖，在中，平分交于點，是的高，與交于點．若，，求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了三角形內角和定理、垂線以及角平分線的定義．由平分，利用角平分線的定義，可求出的度數，在中，利用三角形內角和定理，可求出的度數，由是的高，可得出，結合三角形內角和定理，可求出的度數，再將其代入中，即可求出的度數．
【詳解】解：平分，
．
在中，，，
．
是的高，
，
，
．
題型五：三角形折疊中的角度問題
【經典例題5】在中，，點D是上一點，將沿翻折后得到，邊交射線于點F，，若中有兩個角相等，則 ．
【答案】45或22.5
【分析】根據三角形的外角性質可得，求得，根據折疊的性質可得，，求得，根據三角形內角和定理求得，分、、三種情況，列方程解答即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∴，
當中有兩個角相等，分三種情況：
當時，則，（舍去）；
當時，則，；
當時，則，；
故答案為：45或22.5．
【變式訓練5-1】如圖，將紙片先沿折疊，再沿折疊，若，則 °．
【答案】
【分析】本題考查了折疊的性質，三角形的外角，靈活運用角的等量代換是解題的關鍵．
根據三角形外角的性質及，求出的度數，由三角形內角和定理求出的度數，由折疊的性質得出的度數，進而得出結論．
【詳解】解：如圖進行標注：
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：92．
【變式訓練5-2】如圖，已知線段與直線的夾角，點在上，點是直線上的一個動點，將沿折疊，使點落在點處，當時，則 度．

【答案】110或70
【分析】本題考查了平行線的性質，翻折變換（折疊問題），分兩種情況討論是解題的關鍵．
分兩種情況：當點N在射線上運動時；當點N在射線上運動時；然后分別進行計算，即可解答．
【詳解】分兩種情況：
當點N在射線上運動時，如圖：

延長到D，
∵，
∴，
由折疊得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
當點N在射線上運動時，如圖：

延長到E，
由折疊得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
綜上所述：當時，則或，
故答案為：或．
【變式訓練5-3】如圖，將沿，翻折，頂點A，B均落在點O處，且與重合于線段，若，則等于 .
【答案】/度
【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，三角形內角和定理，折疊的性質，由折疊的性質可得，，可得，由三角形內角和定理可得，再由三角形外角的性質推出，則，即可求的度數．
【詳解】解：將沿，翻折，頂點，均落在點處，
，，
，
，
，
連接并延長交于點M，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∴，
，
，
故答案為：．
【變式訓練5-4】折紙是我國一項古老的傳統民間藝術，這項具有中國特色的傳統文化在幾何中可以得到新的解讀．如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，交于點F，若，且，則的度數為 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查了三角形外角性質，三角形內角和定理，折疊性質，平行線性質；由兩直線平行同位角相等可得，由折疊性質可得，，再根據三角形外角性質可得，再根據折疊的性質即可得出最后結果．
【詳解】解：如圖：
，
，
將紙片沿折疊，使點A落在點處，
，，
，
，
，
，
故答案為：．
【變式訓練5-5】將的頂角A沿直線DE折疊（如圖），點A的對應點為點，記為，為．
(1)如圖1，當點A的對應點落在內部時，試探求與的數量關系，并說明理由；
(2)如圖2，當點A的對應點落在外部時，與又有怎樣的數量關系呢？請寫出猜想，并給予證明．
【答案】(1)，理由見解析
(2)，證明見解析
【分析】此題主要考查折疊的性質、三角形外角的性質，掌握折疊前后圖形對應角度相等和三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角的和是解題的關鍵．
（1）利用三角形兩次外角定理得出結論；
（2）由三角形外角定理，再由折疊可得即可得出結論．
【詳解】（1）解：，理由見解析：
如圖1，連接，
是的外角，
．
同理，．
．
由折疊性質得．
．
（2），證明如下：
如圖2，連接，
是的外角，
．
同理，．
．
由折疊性質得．
，
．
題型六：三角形內角和綜合證明
【經典例題6】如圖，在等腰三角形中，，延長到點，延長到點．
(1)判斷與的數量關系，并說明理由；
(2)的平分線交直線于點，若，求的度數；
(3)點是上一點，過點作交于點，在（）條件下求的度數．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)；
(3)．
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的外角性質，角平分線的定義和平行線的性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（）利用三角形的外角性質即可求解；
（）根據角平分的定義和外角性質，三角形的內角和定理即可求解；
（）根據三角形的內角和定理，平行線的性質即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵是三角形的一個外角，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴是三角形的一個外角，
∴，
∵平分，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【變式訓練6-1】如圖，在四邊形中，，連接，點E在邊上，點F在邊上，且．
(1)求證：；
(2)若平分，，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查多邊形的內角與外角、平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定與性質、三角形的內角和定理及角平分線的性質．
（1）由知，結合得，據此即可得證；
（2）由、知，再根據平分線定義及知，由三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】（1）證明：如圖，
∵（已知），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
∵，
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行）；
（2）解：∵（已知），
∴（兩直線平行，同旁內角互補），
∵（已知），
∴，
∵平分（已知），
∴，
∴，
∵在中，（三角形內角和定理），，
∴．
【變式訓練6-2】如圖，點E在上，平分，．
(1)若，求證：；
(2)若，，且，求的度數．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】本題考查的是角平分線的定義，平行線的性質與判定，三角形的內角和定理的應用，熟記平行線的判定方法是解本題的關鍵；
（1）證明，結合，可得，可得，從而可得結論；
（2）設，再分別表示，，可得，可得，，結合，從而可得答案．
【詳解】（1）證明： 平分，
，
，
，
∴，
∵，
∴；
（2）設，
，
，
，
，，
，
，
．
【變式訓練6-3】已知：如圖，中，在直線的下方，且，．

(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)沿直線平移線段至，連結，若直線，求的度數．
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【分析】本題考查的是平移的性質及平行線的性質，熟知圖形平移不變性的性質是解題的關鍵．
（1）先根據三角形內角和定理求出的度數，再由得出的度數，由三角形內角和定理得出的度數，進而可得出結論；
（2）根據圖形平移的性質得出的度數，故可得出的度數，由直線可知，故，據此可得出的度數，由三角形內角和定理即可得出結論．
【詳解】（1）解：，理由：
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）∵直線平移線段至，
，
，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練6-4】如圖，是的高，點E、F在、上，，，．
(1)求的度數；
(2)若，求證：．
【答案】(1)；
(2)見解析．
【分析】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，平行線的性質，熟記三角形的內角和定理是解本題的關鍵；
（1）先求解，再利用平行線的性質可得答案；
（2）先證明，，可得，再進一步證明即可．
【詳解】（1）解：在中，∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【變式訓練6-5】如圖，點D在的邊延長線上，點E在邊上，連接交于點F，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，三角形的外角的性質，熟記三角形的內角和定理與外角的性質是解本題的關鍵；
（1）分別利用外角得到，，再結合已知條件可得結論；
（2）先求解，．再證明，從而可得答案．
【詳解】（1）證明：在中．
，
在中．
，
又∵
∴．
（2）∵，．
∴，．
中．
．
中．而，
．
即：．
∴．
在中，．
題型七：三角形內角和定理應用之探究問題
【經典例題7】問題提出：射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．
(1)若，則直接寫出的大?。?br/>(2)數學探究：如圖2，有兩塊平面鏡，，且，入射光線經過兩次反射，得到反射光線．
完成如下問題：
①若，直接寫出的度數．
②求證：．
拓展運用：有兩塊平面鏡，，入射光線經過兩次反射，得到反射光線，光線與相交于點，如圖3，圖4．若，．直接寫出，滿足的數量關系．
【答案】(1)；
(2)①；②證明見解析；拓展運用：圖3：；圖4：．
【分析】本題考查了角的等量代換，三角形的定義，平行線的判定等知識點，靈活運用角的等量代換是解題的關鍵．
（1）利用，運算求解即可；
（2）①：利用角的等量代換運算求解即可；
②：利用角的等量代換運算出和的度數后判定即可；
擴展運用：分類討論圖3和圖4兩種情況，利用角的等量代換尋找關系即可；
【詳解】（1）解：由題意可得：，
∵，
∴；
（2）①解：由題意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，，
∴，
∴；
擴展運用：
在圖3中，解：由題意可得：，，，
∴，，
∵在中：，
∴，
∴，
又∵在中：，
∴，
∴，
∴；
在圖4中，解：由題意可得：，，
在中，，即：，
在中，，即：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【變式訓練7-1】如圖1，已知線段相交于點，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．

(1)求證：；
(2)如圖2，若和的平分線、相交于點，且與分別相交于點．
①以線段為邊的“8字型”有__________個，以點為交點的“8字型”有__________個；
②若，求的度數；
③若角平分線中角的關系改為，試探究與之間存在的數量關系，并證明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①3；4；②③
【分析】（1）根據三角形內角和定理得出，，又因為和是對頂角，進而得出結論；
（2）①根據題目給的8字型定義，在圖2中查圖形的數量即可得出答案；
②根據角平分線的定義得到，再根據三角形內角和定理得出和，兩式相加，最后得出，然后把代入計算即可得到答案；
③根據，得到，，再根據三角形內角和定理得出和，兩式分別相減得到和，即可得到答案
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴；
（2）解：①以線段為邊的“8字型”有：以和共點M組成的圖形；以和共點O組成的圖形；以和共點O組成的圖形；共有3個；
以點為交點的“8字型”有：以和共點O組成的圖形；以和共點O組成的圖形；以和共點O組成的圖形；以和共點O組成的圖形；共有4個；
故答案為：3；4；
②以點為交點的“8字型”中，有，
以點為交點的“8字型”中，有，
，
∵、分別平分和，
，
，
，
；
③
，，
，，
以點為交點的“8字型”中，有，
以點為交點的“8字型”中，有，
，
，
；
【變式訓練7-2】如圖，在中，，，，E為的中點，動點D在上從點A向點B運動，將沿翻折，使點A落在點處．
(1)如圖，當時，求的度數；
(2)若與點C重合，證明：；
(3)點D從點A運動到點B的過程中，探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)；
(2)見解析
(3)或．理由見解析
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，折疊的性質．
（1）利用平行線的性質求得，再利用折疊的性質求解即可；
（2）利用折疊的性質結合三角形內角和定理求得，推出，據此求解即可；
（3）分點在內部和點在外部時，兩種情況討論，利用三角形的外角性質結合折疊的性質求解即可．
【詳解】（1）解：根據折疊的性質得，，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：若與點C重合，如圖，
，，
∴，
∴；
（3）解：或．理由如下，
連接，
當點在內部時，
由三角形的外角性質得，，
∴
；
當點在外部時，
由三角形的外角性質得，，
∴
；
綜上，或．
【變式訓練7-3】綜合探究
如圖，在直角中，，點A在直線上，點D、E在直線上運動（點D不與點A重合），且始終滿足平分．
(1)當點D在點A左側時，請直接寫出與之間的數量關系．
(2)若，在點D、E運動的過程中，當是直角三角形時，求的度數．
(3)請你在以點C為頂點的角中任選一個（、、除外），在點D、E運動的過程中，探究所選角與的數量關系，并寫出具體過程．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題主要考查角平分線的性質和角度的和差關系，
（1）根據題意得；
（2）由是直角三角形得或，①，可求得和，根據角平分線的性質即可求得；②若，則和，根據角平分線的性質即可求得；
（3）探究與的數量關系，分兩種情況：①點D在點A左側時，根據角平分線的性質得，結合直角可得；②點D在點A右側時，根據角平分線的性質得，由直角得，可得．
【詳解】（1）解：∵點D、E在直線上運動，平分，，
∴點E在點A的右側
∵點D在點A左側，
∴；
（2）∵點D、E在直線上運動，平分，，
∴點E在點A的右側，
∵是直角三角形，
∴或，
①若，如圖，
則，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②若，如圖，
∵
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
綜上所述，或；
（3）探究與的數量關系，
∵點D、E在直線上運動，平分，，
∴點E在點A的右側，
①點D在點A左側時，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即；
②點D在點A右側時，如圖，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
則，
即．
【變式訓練7-4】探究：
(1)如圖①與有什么關系？為什么？
(2)把圖①沿折疊，得到圖②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如圖③，是由圖①的沿折疊得到的，如果，則______．
猜想三個角存在的等量關系為______．
【答案】(1)，理由如下
(2)
(3)，
【分析】（1）由題意知，，進而可得；
（2）由題意知，，進而可得；
（3）由，，可得，由折疊與平角的性質，可知，，則，進而可求三個角存在的等量關系．
【詳解】（1）解： ，理由如下：
由題意知，，
∴；
（2）解：由題意知，，
∴，
故答案為：；
（3）解：∵，，
∴，
由折疊與平角的性質，可知，，
∴，
故答案為：；
由題意知，，
∴三個角存在的等量關系為，
故答案為：．
【變式訓練7-5】將一塊直角三角板放置在銳角上，使得該三角板的兩條直角邊、恰好分別經過點B、C．
(1)如圖①，若時，點D在內，則____度，______度，_____度；
(2)如圖②，改變直角三角板的位置，使點D在內，請探究、、之間存在怎樣的數量關系，并驗證你的結論．
(3)如圖③，改變直角三角板的位置，使點D在外，且在邊的左側，判斷、、三者之間存在的數量關系并說明理由．
【答案】(1)140；90；50
(2)，證明見解析
(3)，理由見解析
【分析】本題考查三角形外角的性質及三角形的內角和定理，解答的關鍵是熟練掌握外角和內角的關系．
（1）根據三角形內角和定理可得，，進而可求出的度數；
（2）根據三角形內角和定義有，則．
（3）根據三角形內角和定理即可得出．
【詳解】（1）在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴；
故答案為：140；90；50．
（2）、、之間的數量關系為：．
證明如下：
在中，．
在中，．
∴．
∴．
（3）、、之間的數量關系為：．
證明如下：
如圖③，設交于點M，

∵，，
∴．
∴．
題型八：直角三角兩個銳角互余
【經典例題8】如圖，在中，D為上一點，為的高，為的角平分線．若，，求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了三角形內角和定理及三角形外角性質. 先利用三角形的外角性質計算出，再利用角平分線定義得到，然后根據高的定義和互余可求出的度數.
【詳解】解：∵，，
∴.
∵平分，
∴.
∵為的高，
∴，
∴.
【變式訓練8-1】如圖，在中，平分交于點E．過點E作，垂足為F．
(1)若，，求，的度數；
(2)若，，請直接用含，的式子表示，．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根據已知條件易求的度數，再利用直角三角形的性質可求解，的度數，由角平分線的定義可求解的度數，根據三角形的內角和定理可求的度數；
（2）類比（1）的推理方法即可求解．
【詳解】（1）解： ∵，，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∵，
∴；
（2）解：，．理由如下：
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∵，
∴
【變式訓練8-2】已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．
(1)如圖1，若AE⊥BC于E，∠C＝35°，求∠DAE的大??；
(2)如圖2，P為CB延長線上一點，過點P作PF⊥AD于F，求證：∠P（∠ABC﹣∠ACB）．
【答案】(1)17.5°
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據已知條件，先分別算出∠ABC和∠BAC的度數，再計算出∠DAE的度數即可；
（2）根據直角三角形兩銳角互補，以及三角形的內角和與外角定理，進行等量代換即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵∠ABC=2∠C，AE⊥BD，∠C=35°
∴∠ABC=70°，∠BAE=90°-2∠C=20°
∴∠BAC=180°-70°-35°=75°
∵AD是角平分線，
∴∠BAD==37.5°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=37.5°-20°=17.5°
（2）證明：∵AD是角平分線
∴∠BAD=∠CAD
∵PF⊥AD
∴∠P+∠ADB=90°
∵∠ADB=∠DAC+∠ACB，∠BAD=
∴∠P=90°-(∠DAC+∠ACB)=90°-=
【變式訓練8-3】如圖，中，，垂足為，．
（1）求的度數；
（2）過作于，于，寫出圖2中與相等的所有角（不含本身）．
【答案】（1）；（2），，
【分析】（1）根據三角形內角和的性質得到，即可求解；
（2）根據平行線的判定與性質以及三角形內角和的性質，求解即可．
【詳解】解：（1）∵
∴
∵，，
∴
（2）∵，
∴
又∵
∴，
∴，
∴
∵，，
，
∴
又∵
∴
綜上所述：與相等的所有角為、、
【變式訓練8-4】如圖，在中，是高，，是角平分線，它們相交于點，，，則和的度數是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵．
【詳解】∵，，
∴，
∵，是角平分線，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
則有，，
故選：．
【變式訓練8-5】如圖，在中，是邊上的高，平分交邊于E，，，則的大小是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．
根據角平分線的定義可得，再根據直角三角形兩銳角互余求出，然后根據計算即可得解．
【詳解】
解：平分，
，
是邊上的高，
，
．
故選：C．
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